利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数

威布尔分布参数计算方法\[ f(x;\lambda, k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，$\lambda>0$和$k>0$是威布尔分布的两个参数，$\lambda$称为尺度参数，$k$称为形状参数。

下面将介绍如何计算威布尔分布的参数。

##最大似然估计法最常用的参数估计方法是最大似然估计法。

假设我们有$n$个样本数据$x_1, x_2, ..., x_n$，要估计威布尔分布的参数$\lambda$和$k$。

首先，根据概率密度函数，我们可以得到似然函数：\[ L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x_i/\lambda)^k} \]为了方便计算，我们可以求似然函数的对数：\[ \log L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log \lambda + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\lambda}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k \]接下来，我们需要最大化对数似然函数。

可以通过求偏导数等于0来求解最大化的参数。

求解$\lambda$的最大似然估计值：\[ \frac{\partial \log L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{(k-1)}{\lambda} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^k}{\lambda^{k+1}} = 0 \]化简上式得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k =\frac{(k-1)}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\lambda} \]我们可以定义一些中间变量：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]将上面的结果代入方程中：\[ \left(\frac{\bar{x}}{\lambda}\right)^k = \frac{(k-1)}{n} \frac{\bar{x}}{\lambda} \]进一步整理可得：\[ \lambda = \left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} \]接下来求解$k$的最大似然估计值，我们将$\lambda$的最大似然估计值带入似然函数中，得到：\[ \log L(k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right)^k \]类似地，对上式求偏导等于0，可以得到对$k$的求解。

利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数
由于威布尔分布的可以描述独立同分布变量的分布，经常被用于不同
概率密度函数模型之间的相互比较，因此其参数估计一直是建模分析的重
要环节，使用EXCEL可以规划求解威布尔分布参数，我们以以下案例来求
解该分布参数：
假设有一组随机样本x(1),x(2),…,x(n)，满足威布尔分布，想对α
和β参数进行估计，那么我们可以使用下面的方法：
1.首先，使用EXCEL编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数。

2.编写规划过程求解α、β估计值。

具体而言，我们需要构建EXCEL规划模型，使得对数似然函数最大，而其估计值α、β即为结果。

我们以EXCEL求解威布尔分布参数为例，指导将这一过程编写如下：
1.首先，在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数，其取值范围通常设置为大于0小于100，因此，可以将参数α作为变量编写入EXCEL规划模型，即：
MIN = lnL
S.T.0 < α < 100 and0 < β < 100
2.在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
其中α,β为待求参数，α ∑ lnx 为样本的对数期望值， -β ∑x 为样本的期望值，而n ln β 为测量方差。

用Excel求解数学规划武汉大学水利水电学院万飚Excel是Microsoft Office办公软件中的一个组件，以其强大的电子表格处理功能备受广大用户的青睐。

由于Excel支持丰富的公式和函数，因而在一般财务计算、高级财务管理、财务分析、信息管理、管理决策、市场营销、工程管理，以及管理科学、经济学和统计学等领域都得到了广泛的应用。

一、关于规划求解“规划求解”是Microsoft Excel中的一个加载宏，借助它可以求解许多运筹学中的数学规划问题。

Excel的“规划求解”工具来自德克萨斯大学奥斯汀分校的Leon Lasdon和克里夫兰州立大学的Allan Waren共同开发的Generalized Reduced Gradient(GRG2)非线性最优化代码；线性规划和整数规划算法来自Frontline Systems公司的John Watson和Dan Fylstra 提供的有界变量单纯形法和分支定界法。

安装Office的时候，系统默认的安装方式不会安装该宏程序，需要用户自己选择安装。

安装方法为：从Excel菜单中选择“工具”→“加载宏”，打开如下对话框：选择其中的“规划求解”后单击“确定”按钮，会出现提示：“这项功能目前尚未安装，是否现在安装?”，选择“是”，系统要你插入Office的安装光盘，准备好后单击确定，很快就会安装完毕。

于是，你会发现在“工具”菜单下多出一个名为“规划求解”的子菜单，说明“规划求解”功能已经成功安装。

二、第一个线性规划问题例：求解以下线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,124 16 48232 21212121x x x x x x x x z max 步骤：1．将模型中的目标函数和约束条件的系数输入到单元格中；为了使我们在操作过程中看得更清楚，可以附带输入相应的标识符，并给表格加上边框。

如下图所示：2．在E4单元格（目标值）输入“=SUMPRODUCT($C$3:$D$3,C4:D4)”；其中，SUMPRODUCT 函数的功能是将数组间对应的元素相乘，并返回乘积之和，即SUMPRODUCT($C$3:$D$3,C4:D4)＝C3×C4＋D3×D4；$C$3:$D$3表示这几个单元格为绝对引用。

利用线性回归方法求解生产计划方法一：1、建立数学模型:①设变量：设生产拉盖式书桌x台，普通式书桌y台，可得最大利润②确定目标函数及约束条件目标函数：y=max+115P90x约束条件：200x .....................⑴+y10≤20x .....................⑵4≤+y16128x .....................⑶+y1015≤220yx ..........................⑷,≥2、在Excel中求解线性规划①首先，如图1所示，在Excel工作表格输入目标函数的系数、约束方程的系数和右端常数项：图1②将目标方程和约束条件的对应公式输入各单元格中F2=MMULT（B6:C6,F6:F7)；F3=MMULT（B3:C3,F6:F7)；F2=MMULT（B4:C4,F6:F7)；F2=MMULT（B5:C5,F6:F7)；出现图2样式：图2线性规划问题的电子表格模型建好后，即可利用“线性规划”功能进行求解。

选择“工具”→“规划求解”出现“规划求解参数”窗口，如图3所示:图3在该对话框中，目标单元格选择F2，问题类型选择“最大值”，可变单元格选择F6：F7，点击“添加”按钮，弹出“添加约束条件”窗口，如图4所示:图4根据所建模型，共有4个约束条件，针对约束（1）：2002010≤+y x ，左端“单元格所引用位置”选择F3，右端“约束值”选择D3，符号类 型选择“<=”，同理继续添加约束（2）（3）（4），完成后选择“确定”，回到“规划求解参数”对话框，如5图所示：图5④点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框，选择“采用线性模型”和“假定非负”两项，如图6所示：图6⑤点击“确定”→“求解”，选择“运算结果报告”“敏感性报告”“极限值报告”三项，最后点击“确定”，输出结果： 运算结果报告：敏感性报告：极限报告：方法二：1、建立数学模型设生产拉盖式书桌x 台，普通式书桌y 台，总利润为Z 元 确定目标函数及约束条件 目标函数：y x Z 90115max += 约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0,22010151281642002010..y x y x y x y x t s 2、在Excel 中规划求解在Excel 中建立线性规划模型，如图1所示：图11)在E2中输入“=B2*B6+C2*C6”如图2所示，同理 E3=B3*B6+C3*C6E4=B4*B6+C4*C6B7=B5*B6+C5*C6图22)单击“工具”菜单下的“规划求解”，在弹出的“规划求解参数”对话框输入各项参数：✓目标单元格选择B7✓问题类型选择“最大值”✓可变单元选择B6:C6✓约束条件选择B6:C6≥0；E2:E4≤D2:D4参数设置完毕，如图3：图33）点击“选项”，弹出“规划求解选项”对话框，选择“采用线性模型”、“假定非负”和“显示迭代结果”，说明要求求解的问题是线性模型且所求的变量必须为非负，如图4所示：图44）点击“确定”→“求解”，选择“运算结果报告”“敏感性报告”“极限值报告”三项，最后点击“确定”，输出结果：运算结果报告：敏感性报告：极限值报告：。

数学与信息科学学院Excel求解线性规划问题实验教程二零一三零八月目录1.关于“规划求解” (1)2.如何加载“规划求解” (2)3.“规划求解”各参数解释和设置 (3)4.“规划求解”的步骤 (6)5.Excel求解线性规划问题 (8)6.Excel求解运输问题 (14)7.Excel求解目标规划问题 (18)8.Excel求解整数规划问题 (22)1.关于“规划求解”“规划求解”是Excel中的一个加载宏，借助“规划求解”，可求得工作表上某个单元格（被称为目标单元格）中公式（公式:单元格中的一系列值、单元格引用、名称或运算符的组合，可生成新的值。

公式总是以等号（=）开始）的最优值。

“规划求解”将对直接或间接目标单元格中公式相关联的一组单元格中的数值进行调整，最终在目标单元格公式中求得期望的结果。

“规划求解”通过调整所指定的可更改的单元格（可变单元格）中的值，从目标单元格公式中求得所需的结果。

在创建模型过程中，可以对“规划求解”中的可变单元格数值应用约束条件（约束条件：“规划求解”中设置的限制条件。

可以将约束条件应用于可变单元格、目标单元格或其它与目标单元格直接或间接相关的单元格。

而且约束条件可以引用其它影响目标单元格公式的单元格。

使用“规划求解”可通过更改其它单元格来确定某个单元格的最大值或最小值。

）Microsoft Excel的“规划求解”工具取自德克萨斯大学奥斯汀分校的Leon Lasdon 和克里夫兰州立大学的Allan Waren共同开发的Generalized Reduced Gradient(GRG2)非线性最优化代码。

线性和整数规划问题取自Frontline Systems公司的John Watson 和Dan Fylstra提供的有界变量单纯形法和分支边界法。

2.如何加载“规划求解”安装office的时候，系统默认的安装方式不会安装宏程序，需要用户根据自己的需求选择安装。

下面是加载“规划求解”宏的步骤：（1）在“工具”菜单上，单击“加载宏”。

数学规划模型实验指导手册Excel的规划求解加载宏求解数学规划问题一、什么是规划求解加载宏？规划求解加载宏（简称规划求解）是Excel的一个加载项1，可以用来解决线性规划与非线性规划优化问题。

规划求解可以用来解决最多有200个变量，100个外在约束和400个简单约束（决策变量整数约束的上下边界）的问题。

可以设置决策变量为整型变量。

规划求解加载宏的开发商是Fronline System公司。

用户通过自定义安装MS-Office所使用的是标准版本规划求解加载宏，Fronline System公司同时提供增强的Premium Solver工具。

规划求解工具在Office典型安装状态下不会安装，可以通过自定义安装选择该项或通过添加/删除程序增加规划求解加载宏。

二、怎样加载规划求解加载宏？加载规划求解加载宏的方法如下：（1）打开“工具”下拉列菜单，然后单击“加载宏”，打开“加载宏”对话框。

（2）在“可用加载宏”框中，选中“规划求解”旁边的复选框2，然后单击“确定”按钮。

1加载项的功能是为Microsoft Office 提供自定义命令或自定义功能的补充程序2如果“规划求解”未列出，请单击“浏览”进行查找。

（3）如果出现一条消息，指出您的计算机上当前没有安装规划求解，请单击“是”用原Office安装盘进行安装。

（4）单击菜单栏上的“工具”。

加载规划求解后，“规划求解”命令会添加到“工具”菜单中。

三、怎样使用规划求解加载宏求解数学规划？规划求解加载宏是一组命令构成的一个子程序，这些命令有时也称作假设分析3工具，其功能是可以求出线性和非线性数学规划问题的最优解和最优值。

使用规划求解加载宏求解数学规划的步骤首先，在Excel工作表中输入目标函数的系数向量、约束条件的系数矩阵和右端常数项（每一个单元格输入一个数据）；其次，选定一个单元格存储目标函数（称为目标单元格），用定义公式的方式在这个目标单元格内定义目标函数；再次，选定与决策变量个数相同的单元格（称为可变单元格），用以存储决策变量；再选择与约束条件个数相同的单元格，用定义公式的方式在每一个单元格内定义一个约束函数（称为约束函数单元格）；最后，点击下拉列菜单中的规划求解按钮，打开规划求解参数设定对话框（如图4所示），完成规划模型的设定模型设定方法如下：（1）设定目标函数和优化方向：光标指向规划求解参数设定对话框中的“设置目标单元格”提示后的域，点击鼠标左键，然后选中Excel工作表中的目标单元格。

下面我们通过一个例子来解释怎样用“规划求解”来求解数学规划问题。

例1 公司通常需要确定每月（或每周）生产计划，列出每种产品必须生产的数量。

具体来说就是，产品组合问题就是要确定公司每月应该生产的每种产品的数量以使利润最大化。

产品组合通常必须满足以下约束：● 产品组合使用的资源不能超标。

● 对每种产品的需求都是有限的。

我们每月生产的产品不能超过需求的数量，因为生产过剩就是浪费（例如，易变质的药品）。

下面，我们来考虑让某医药公司的最优产品组合问题。

该公司有六种可以生产的药品，相关数据如下表所示。

设该公司生产药品1～6的产量分别为126,,,x x x （磅），则最优产品组合的线性规划模型为123456123456123456123456max 6 5.3 5.4 4.2 3.8 1.86543 2.5 1.545003.2 2.6 1.50.80.70.316009609281041..977108410550,16j z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x j =++++++++++≤⎧⎪+++++≤⎪⎪≤⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≤⎪⎪≤⎪⎪≥≤≤⎩下面用规划求解加载宏来求解这个问题： 首先，如下如所示，在Excel 工作表内输入目标函数的系数、约束方程的系数、右端常数项；其次，选定目标函数单元、可变单元、约束函数单元，定义目标函数、约束函数其中，劳动力约束函数的定义公式是“=MMULT(B3:G3, J5:J10)”，原料约束函数的定义公式是“＝MMULT(B4:G4,J5:J10)”，目标函数的定义公式是“MMULT(B5:G5, J5:J10)”。

注：函数MMULT(B3:G3, J5:J10)的意义是：单元区B3:G3表示的行向量与单元区J5:J10表示的列向量的内积。

这一要特别注意的是，第一格单元区必须是行，第二格单元区必须是列，并且两个单元区所含的单元格个数必须相等。

用Excel进行威布尔型产品可靠性数值仿真评估张仕念;张国彬;易当祥;颜诗源;杨艳妮【摘要】基于最小二乘法,利用Excel的已有甬数和单元格的引用,估计威布尔分布的参数(m)和(η),用RAND()函数产生的随机数和逆变法抽取服从分布参数为(m)和(η)的威布尔分布抽样样本,计算可靠度的一个抽样值,反复抽样,得到可靠度的分布密度函数,用SMALL()函数返回可靠度置信下限的仿真值.实例表明,仿真结果与计算结果很接近,用Excel进行可靠性数字仿真,可以避免繁杂的编程工作,方便实用.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2012(030)004【总页数】4页(P43-46)【关键词】威布尔分布;可靠性;数字仿真【作者】张仕念;张国彬;易当祥;颜诗源;杨艳妮【作者单位】北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京100085;北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京 100085【正文语种】中文【中图分类】TB114.3;TB115.20 引言可靠性仿真是将仿真技术应用于可靠性分析的一种方法，利用计算机技术对己经建好的系统可靠性模型进行仿真，得到一系列的仿真结果，能够解决常规的解析法很难奏效的部分可靠性问题。

可靠性仿真具有经济性好、应用范围广、通用性好、难度小、直观和保密等优点[1]。

Microsoft Excel是微软公司开发的电子表格软件，易学易用，使用范围广；Excel 2003就提供了财务、日期与时间、数学与三角函数、统计等九大类约300个函数，具有强大的计算、统计功能。

本文以服从威布尔分布的数据为例，利用Excel的、已有函数和单元格的引用，进行复杂的数值计算，利用RAND（）函数产生的随机数而引入随机因素，实现可靠性评估的数值仿真。

实例表明，用Excel进行可靠性评估的数字仿真，可以避免繁杂的编程工作，省时省力，方便实用，且仿真结果与计算结果十分接近。

excel2010使用solver求解的方法步骤详解
在办公中，人们经常使用Excel进行数据的存储、对比、以及计算。

而solver是Excel里的求解器。

也是经常用到的一个功能。

下面是由店铺分享的excel2010如何使用solver求解的方法，希望对你有用。

excel2010使用solver求解的方法
步骤1：我们按照题目的限制条件在excel中输入如下的表格和公式
步骤2：A和B,的数量可以留空，但是为了让大家了解输入的公式，我们暂时分别填写50,50
excel2010使用solver求解的方法图2
步骤3：点击“数据”选项卡中的“规划求解”
excel2010使用solver求解的方法图3
步骤4：在弹出的对话框中填入相应的信息;
设置目标：单元格C20,即我们的目标函数的位置;
勾选“最大值”;
通过更改可变单元格：填入A，B产品数量的单元格(C5：C6)
下面添加限制公式，点击“添加”
excel2010使用solver求解的方法图4
步骤5：输入第一条限制公式：A<=400;点击确定
excel2010使用solver求解的方法图5
步骤6：如图遵守约束中出现刚才填写的限制条件，我们再点击“添加”加入另外两条公式;
步骤7：点击“求解”
excel2010使用solver求解的方法图6如图，自动求解出最优解：A=0，B=400; 步骤8：点解“确定”就okay了!
excel2010使用solver求解的方法图7。

利用e x c e l求解线性规划问题利用excel求解线性规划问题“规划求解”示例例1 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。

已知各制造一件时分别占用的设备A，B的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如下表所示。

问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。

1.建立数学模型2. 打开excel，输入下列数据。

3、如何在工作表中设置问题条件？先设置目标单元格，即最大利润，把它放在E1单元格上，可变单元格放置计划生产Ⅰ和Ⅱ产品的件数，这里把它放在C10：D10区域。

F4：F6是约束单元格，要对它们的值进行约束。

单击E1，在编辑框输入如图所示的公式。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=+<=+<=+=,52426155..2max212121221xxxxxxxt sxxz注意，表示绝对引用的美元符号，可以单击F4功能键添加。

4、单击E4单击格式，在编辑栏上输入公式：=$C$4*$C$10+$D$4*$D$10。

绝对引用单元格有一个好处，显示的单元格位置变化时，引用的数据没改变。

5、单击E5单击格式，在编辑栏上输入公式：=$C$5*$C$10+$D$5*$D$10。

6、单击E6单击格式，在编辑栏上输入公式：=$C$6*$C$10+$D$6*$D$10。

7、如何使用规划求解功能？单击工具菜单，如果看不到规划求解选项不要慌，先选加载宏。

然后勾选规划求解，确定单击数据菜单——点击“模拟分析”——8、单击“规划求解”：指定目标单元格。

一种方法是先选中目标单元格E1，单击工具---规划求解。

另一种先单击工具---规划求解，再输入目标单元格名称。

输入可变单元格区域。

比较快的方法是，单击折叠框，用鼠标选中可变单元格区域：$C$11：$E$11。

注意勾选最大值哦。

设置目标： $E$1；点选“最大值”；设置：可变单元: $C$10：$D$109.设置条件不等式。

单击添加，单击折叠框，选择单元格和不等号，单击关闭窗口，接着添加另一个条件。

如何在不同Excel版本中找到“规划求解”选项如果你的Excel是2003版得话，步骤如下：
1.打开Excel程序，选择“工具”→“加载宏”
2.在“Solver Add-in”的复选框中打上“√”，然后点击确定：
3.这时再打开“工具”菜单栏，就能找到“规划求解”了：
4.点击一下看看长什么样子的：
如果你使用的是Excel2007,那么找到规划求解的步骤如下：
1.首先找到“Exc el选项”
2.然后在“加载项”里面找到“转到”，点击“转到”
3.在“规划求解加载项”前面的复选框中打上“√”，然后点击确定：
4.最后在“数据”选项卡的“分析”组里面能找到它：
5.点击打开看看，貌似长的跟2003里面的没什么区别：最后看看Excel 2010的规划求解藏在哪里吧：
1.首先选择“文件”找到打开里面的“选项”
2.选中“自定义功能区”，在这两列的右列找到“开发工具”选项卡，并在它前
面的复选框中打上“√”，然后点击确定：
3.然后在“开发工具”选项卡中“加载项”组里面点击“加载项”
4.点击“规划求解加载项”前面的复选框，然后点击“确定”
5.然后像在2007中一样，去“数据”选项卡找到它：
6.点开2010中的“规划求解”，会发现界面有变化了（我指的不是英文菜单）：。

§9.6 Excel软件“规划求解”的使用用Excel软件的“规划求解”功能可以方便地求解线性规划、整数规划和非线性规划问题。

但如果安装Office 97时采用的是典型安装方法，则【工具】菜单中是无“规划求解”功能项的。

可参照§2.8中介绍的方法将未安装的组件安装完整。

下面以第八章例8.1为例介绍用Excel求解线性规划的操作步骤和运行输出结果的分析。

一．求解线性规划的操作过程1．输入数据、公式和说明文字（1）在工作表中按图9.7所示格式输入必要的说明文字（图中粗体字部分）和LP模型的原始数据（图中虚线框所示单元格内，注意并不需要化为标准型）；图中F4是放置目标函数的单元格，B5:D5是放置决策变量X1、X2、X3（既“可变单元格”）的区域。

图9.7（2）在F4单元格内输入目标函数X0的计算公式：=B4*B5+C4*C5+D4*D5或=SUMPRODUCT（B4:D4,B5:D5）其中SUMPRODUCT（）函数返回两个或多个区域（即数组）中对应单元格乘积之和的值。

该函数可在Excel的“数学和三角函数”中找到。

（1）在E8单元格中输入第一个约束条件左端的计算公式：=B8*$B$5+ C8*$C$5+D8*$D$5或= SUMPRODUCT（B8:D8,$B$5:$D$5）然后拖曳E8的填充柄将公式复制到E9、E10单元格（注意公式中的B5、C5、D5或B5:D5要使用绝对引用）。

当模型中的变量数较多时，使用SUMPRODUCT（）函数可大大加快以上两个公式的输入速度。

说明：图中粗线框是表示要输入公式的单元格。

用Excel求解线性规划的数据输入格式可由用户自行设计，但以上介绍的格式不仅与我们所熟悉的LP模型相似，便于理解和使用；而且便于在对话框中输入约束条件。

按以上格式输入说明文字后，还可以使系统所输出的三个运行结果报告更具可读性。

2．选【工具】→“规划求解”，“打开规划求解参数”对话框，见图9.8。

三参数威布尔分布在风机载荷外推中的应用作者：李波来源：《中国新技术新产品》2018年第10期摘要：本文通过极大似然法、双线性回归法、相关系数法及概率权重矩法的威布尔估计算法对风机载荷相关变量（叶根面内弯矩、叶根面外弯矩及叶尖挠度）进行载荷外推，并通过极大似然值对该几种方法进行比较，提出适合风机载荷变量的估计算法，为使用三参数威布尔分布对风机载荷外推提供了一定的参考。

关键词：威布尔分布；风机载荷；极大似然；外推中图分类号：O213 文献标志码：A风机载荷计算结果通常有两种表达形式：极限载荷和疲劳载荷。

极限载荷可以通过风机在其整个服役期间所经历的最大载荷再乘以相应的安全系数得到。

当来流风是确定性风时，产生的载荷为确定性载荷，其极值就是提取所有工况中的载荷最大值；当来流风是随机性风时（湍流模型NTM），因其特有的随机性和不稳定性，有必要在统计学的基础上分析载荷的极值，以便得到一个适当的特性载荷。

按照IEC61400-1：2005第三版的要求，我们需要得到50年一遇的载荷极值，而计算机仿真的有限次数很难直接获得该条件下的理想数值，为了得到合理的极限载荷值，我们需要借助概率的方法进行载荷外推从而得到该值。

随机变量分布中的威布尔分布，在可靠性工程领域中被广泛应用，由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，因而被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。

三参数威布尔分布应用于材料的寿命试验中，通常情况下，它具有比对数正态分布更大的适用性。

目前，对三参数威布尔分布的形状参数、尺度参数及位置参数的估计方法有多种。

在风机载荷外推中，根据IEC的标准，我们往往需要得到的参数是叶根面内弯矩Mx，面外弯矩My及叶尖挠度。

本文将三参数威布分布应用于风机载荷外推中，并采用极大似然法、概率权重矩法、双线性回归法及相关系数法分别进行参数估计，为了对各个估计算法进行比较，我们通过对比最大似然函数值从而选出适合每个变量的参数估计法，即找出适合于叶根面内弯矩Mx，面外弯矩My及叶尖挠度的参数估计法，为风机载荷外推提供一定的参考。

威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量研究表明，用三参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理；在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精度更高。

因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用。

在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。

威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-8]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。

在众多的估计方法中，能用于三 参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、 灰色估计法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。

EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它的规划求解功能可以快速、高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。

2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函数由下式给出 式中：m 称为形状参数，m>0；&eta; 称为尺度参数，&eta;>0；&gamma; 称为位置参数，也称最小寿 命，表示产品在&gamma; 以前不会失效，对于产品寿命有&gamma; ≥ 0 ,&gamma; =0 时退化为二参数威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ &gamma; 。

当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指数分布，适合于建模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老化失效。