用待定系数法求解析式

初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。

9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。

11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标：1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤;2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法;3.通过自主、合作学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神.教学重点：用待定系数法求函数的解析式教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式教学设计：一、基础扫描1．已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1)，则k=__________．2．已知反比例函数kyx=的图象经过（1，－2）．则k=__．3．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.求经过A、B、C三点的抛物线的解析式.4．抛物线的顶点为（-2，-3），且过点（0，-7），求该抛物线的解析式．问题1：结合上述四题，说说何为待定系数法？（板书课题）问题2：谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤.二、课内探究活动一：一次函数的解析式的确定1．与直线y=x平行，并且经过点P（1,2）的一次函数解析式为_________.2．如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上.(1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02y≤≤时,自变量x的取值范围；(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y kx b=+,则y随x的增大而(填“增大”或“减小”).活动二：反比例函数解析式的确定1．如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（）A．2yx=B．2yx=-C．12yx=D．12yx=-2．已知如图,A 是反比例函数xky =的图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A. 3B. - 3C. 6D. -6活动三：二次函数解析式的确定1．将抛物线y =x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线的解析式为_______________.2．如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，求AC 的长．活动四：：“联姻”题组（选用） 1．一次函数与反比例函数的“联姻”如图，一次函数b x y +=的图象经过点B （1-，0），且与反比例函数xky =（k 为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A （1，n ）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当61≤≤x 时，反比例函数y 的取值范围(直接写 出结果)．2．一次函数与二次函数的“联姻” 如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴，OA ＝AB=1个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移1个单位长度后得△AA 1B 1.c+第18题图1（1）求以A 为顶点，且经过点B 1的抛物线；（2）若（1）中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、C 的坐标.3．二次函数与反比例函数的“联姻” 已知双曲线xky与抛物线y =ax 2+bx +c 交于A(2,3)、B(m ,2)、C(－3,n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,三、反馈练习1．如图，直线l 过A 、B 两点，A （0，1-），B （1，0），则直线l 的解析式为 _____． 2．如图，反比例函数ky x=的图象经过点A (-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A.y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜ y ＜23．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点（0，－3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b 的值是 ．4. 如图，已知A (-4，2)、B (n ，-4)是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.。

确定二次函数的表达式一、用待定系数法求二次函数的解析式步骤：（1）设二次函数的解析式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。

（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

二、二次函数解析式的的常见形式：1．一般式：.已知抛物线上三点或三对、的值，通常选择一般式.2．顶点式：.已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3．交点式：。

已知抛物线与轴交点的横坐标、，通常选用交点式。

三、例题选讲例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；例2：（一题多解）二次函数的图象经过点（1，0），（2，0），（3，4）求函数的解析式四、变式训练例1：已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情).例2：已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.[变式练习1] 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.[变式练习2] 将与x 轴两交点的距离改为已知一交点坐标.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴分别交于A(3,0),B 两点,与y 轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.五、题组训练，拓展迁移：1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．接近中考1、[2008年无锡市]已知抛物线22y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，），过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ，求当四边形OPEF 的面积等于72时点P 的坐标．2、[2008佛山]. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？O x y M 3 第2题图 AB C D P。

待定系数法求函数解析式【要点梳理】一．已知三点求抛物线解析式例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．五．求平移后新抛物线解析式例6把抛物线2xy-=向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式例7 在一张纸上作出函数322+-=xxy的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数322+-=xxy的图象关于x轴对称的抛物线，并写出新抛物线解析式．【课堂操练】1．求下列条件下的二次函数解析式：（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）．2．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于y轴对称的抛物线解析式．3．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于x轴对称的抛物线解析式．4．已知二次函数cbxxy++=221的图象过点A（c，－2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添加一个适当的条件，把原题补充完整．【课后巩固】1．将抛物线2y x=的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________．2．二次函数342++=xxy的图象可以由二次函数2xy=的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度3．已知2y ax bx c=++的图象过（－2，－6）、（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式．4．已知函数2y ax bx c=++，当x＝1时，有最大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的解析式．5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解析式．6．已知抛物线22(2)4y m x mx n =--+的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线112y x =+上，求此抛物线的解析式．7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过 （0，1）和（2，－3）两点． （1）如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围．（2）若对称轴为x ＝－1，求抛物线的解析式．8． 二次函数图象过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ． （1）求C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．9．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO =BO ，点A 的坐标为 (－3，1)．(1)求点B 的坐标，（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式， （3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为B l ，求△AB l B 的面积．10．已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到 点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++上， 且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这 条抛物线的顶点坐标．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．12．一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．13．在平面直角坐标系中，已知二次函数k x a y +-=2)1(的图像与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．14．关于x 的函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．。

一次函数的解析式1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。

直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --=b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标）1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．02：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。

3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。

4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ）A ．-2B ．-5C ．2D ．55.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（0，-1）D ．（-1，0）6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＜1B ．y ＜0C ．y ＞1D ．y ＜27.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示（1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。

（2）求k ，b 的值．用待定系数法求二次函数解析式二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。

C:与y轴交点刻度（纵坐标）2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？2.已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。

待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。

- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。

- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。

- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。

- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。

- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。

- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。

2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。

- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。

- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。

- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。

- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。

- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。

- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。