上海交大附中2018年初中数学自主招生试卷

2018年上海中学自主招数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知x2+ax−12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD=EC，过A作直线l，作DM//BA 交l于M，作EN//CA交l于N.设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. S1与S2的大小与过点A的直线位置有关3. 设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2=2(q1+q2)，若方程甲：x2+p1x+q1=0，乙：x2+ p2x+q2=0，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定4. 设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a−b的整数为( )A. 252B. 504C. 1007D. 2013二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5. 已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于______ ．6. 有______个实数x，可以使得√120−√x为整数．7. 如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF=______．8. 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0)与x轴交于A，B两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m的值等于_______．9. 定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值．10. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人．11. 对于各数互不相等的正整数组(a1,a2,…a n)(n是不小于2的正整数)，如果在i<j时有a i>a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的逆序数为______．12. 若n为正整数，则使得关于x的不等式1121<nx+n<1019有唯一的整数解的n的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。

2018年上海交通大学自主招生考试 1.设点0)P，已知曲线y x =≤≤上存在n 个点12,,,n A A A ，使得12,,,n PA PA PA构成公差为1(5d ∈的等差数列，求n 的最大值；2.已知△ABC 的面积为14，外接圆半径R=1111a b c++的大小3.已知等差数列{}n a ，满足2211n a a a ++≤，试求1221n n n a a a ++++++的最大值4.记6的小数部分为t，求t 6)的值 5.已知2113,12n n n a a a a +==-+，求122017111a a a +++的整数部份6.设X 为全集，A X ⊂,定义1,0,S A S Af S A ∈⎧=⎨∉⎩，对X 的真子集A 和B ，下列错误的是（ ）A . S SB A B A f f ⊆⇒≤ B .若B A ⋂≠φ，则S S S B S B A f f f ⋂≤≤C .忘记D . S S S B S B A f f f ⋃=≤7.在四面体中不同长度的棱长至少有______条8.在一个平面内，一条抛物线把平面最多分成2部分，两条抛物线把平面最多分成7部分，问四条抛物线把平面最多分成几部分？9.已知22(,)(53cos )(2sin )g a b a b a b =+-+-，求(,)g a b 的最小值 10.已知133a =，12n n a a n +-=，则当na n取最小值时，n =________ 11.已知动点A 在椭圆2212516x y +=上，动点B 在圆22(6)1x y -+=上，求AB 的最大值12.若100!12(*)n M M Z =∈，则当n 取最大值时，M 是否能被2,3整数13.设光线从点A （1,1）出发，经过y 轴反射到圆22(5)(7)1x y -+-=上一点P ，若光线从点A 到点P 经过的路程为R ，求R 的最小值14.正整数列1,2,3……，将其中的完全平方数和完全立方数都划去，求将剩下的数按照从小到大排列的第500个数是多少？。

1. 已知一个数x满足x²-2x+1=0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 0D. -12. 在等差数列{an}中，若a1=2，d=3，则第10项an的值为（）A. 27B. 28C. 29D. 303. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为（）A. 40B. 50C. 60D. 805. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于直线y=x的对称点为（）A.（4，3）B.（-4，-3）C.（-3，-4）D.（-4，3）二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知数列{an}的通项公式为an=3n²-2n+1，则a4的值为______。

7. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则第10项an的值为______。

8. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB的长度为______。

9. 在等腰三角形ABC中，底边AB=8，腰AC=10，则该三角形的面积为______。

10. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于直线y=-x的对称点为______。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的前10项之和。

12. （10分）已知等差数列{an}的公差d=3，若a1+a4+a7=27，求该数列的前10项之和。

13. （10分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求斜边AB的长度。

14. （10分）在等腰三角形ABC中，底边AB=10，腰AC=12，求该三角形的面积。

15. （10分）在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于直线y=x的对称点为Q，求点Q的坐标。

交大附中自招真题卷整理【例 1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同素来线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A.甲、乙、丙带同种电荷B.甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C.甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D.无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例 2】以下列图，作用在杠杆一端且向来与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由地址 A 拉至地址 B，在这个过程中，力 F 的大小（）A. 变小B.不变C.变大D.先变大后变小【例 3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，以下列图为充气泵气室的工作原理图。

设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体经过阀门S1、S2与空气导管相连接，以下选项中正确的选项是（）A.当橡皮碗被拉伸时， P>P0， S1开通 ,S 2关闭B.当橡皮碗被拉伸时， P<P0， S1开通， S2关闭C.当橡皮碗被压缩时， P>P0， S1关闭， S2开通D.当橡皮碗被压缩时， P<P0， S1关闭， S2开通【例 4】以下列图，静止的传达带上有一木块 A 正在匀速下滑, 当传达带突然向上开动时，木块滑终究部所需的时间t 与传达带静止不动时所需时间t 0对照（）A.t=t 0B.t>t 0C.t<t 0D.无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以米/ 秒的速度行走。

当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要 20 秒。

当火车以10 米/ 秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是 ______秒，站在地面上的人看见该旅客经过的行程为______米。

【例 6】以下列图，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着吞没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到 12cm。

则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平川面的压强为______帕 ( 容器的重力和容器壁的厚度， g=10N/kg) 。

交大附中自招真题卷整理【例1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同一直线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A. 甲、乙、丙带同种电荷B. 甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C. 甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D. 无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例2】如图所示，作用在杠杆一端且始终与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由位置A拉至位置B，在这个过程中，力F的大小（）A.变小B. 不变C. 变大D.先变大后变小【例3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，如图所示为充气泵气室的工作原理图。

设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体通过阀门S1、S2与空气导管相连接，下列选项中正确的是（）A. 当橡皮碗被拉伸时，P>P0，S1开通,S2关闭B. 当橡皮碗被拉伸时，P<P0，S1开通，S2关闭C. 当橡皮碗被压缩时，P>P0，S1关闭，S2开通D. 当橡皮碗被压缩时，P<P0，S1关闭，S2开通【例4】如图所示，静止的传送带上有一木块A正在匀速下滑,当传送带突然向上开动时，木块滑到底部所需的时间t与传送带静止不动时所需时间t0相比（）A. t=t0B. t>t0C. t<t0D. 无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以1.5米/秒的速度行走。

当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要20秒。

当火车以10米/秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是______秒，站在地面上的人看见该旅客通过的路程为______米。

【例6】如图所示，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着浸没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到12cm。

则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平地面的压强为______帕(容器的重力和容器壁的厚度，g=10N/kg)。

【例7】把一根粗糙的木棒按图所示的方式放在分开的两手的食指上。

交大附中数学真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数不是实数？A. πB. √2C. -1D. i2. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。

A. 5B. 3C. 1D. 73. 根据题目所给的几何图形，以下哪个选项是正确的？A. 三角形ABC是等边三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是等腰三角形D. 三角形ABC是等差三角形4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 27C. 29D. 315. 以下哪个不是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 36. 已知圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π7. 以下哪个是复数的共轭？A. z = 3 + 4iB. z = 3 - 4iC. z = -3 + 4iD. z = -3 - 4i8. 根据题目所给的代数式，求x的值。

A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = -19. 以下哪个是正弦函数的周期？A. 2πB. πC. 4πD. 110. 已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g(π/4)的值。

A. 1B. √2C. 2D. 0二、填空题（每题4分，共20分）11. 求方程3x + 5 = 14的解。

_______12. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求其周长。

_______13. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。

_______14. 求函数h(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2在x=1处的导数值。

_______15. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。

________三、解答题（每题25分，共50分）16. 解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 4 \\3x - 5 < 14\end{cases}\]17. 证明：若a, b, c是三角形ABC的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是直角三角形。

2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。

10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。

11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。