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同济大学高等数学第六版第七章微分方程

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高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程

高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程

常微分方程(讲课)

常微分方程(讲课)
2
解：将原方程变形为
dx 3 y − x=− dy y 2
−∫ 3 dy y
通解
x= e
∫
3 dy y
y (∫− e 2
dy + C )
1 2 = Cy + y 2
3
可微， 例3：设函数 f (x) 可微，且 f (1) = 2，又对右半平面 ( x > 0)内任意 ： 闭曲线 C，有 ∫C 4x3y dx + xf (x)dy = 0. ， ⑴ 求 f (x);
例（函授）
的一段弧. ⑵ 计算 ∫L 4x3y dx + xf (x)dy 其中 L 是从 (1, 0)到 (2, 3)的一段弧 ， ∂Q ∂P ，即 f (x) + xf ′(x) = 4x3 , = 依题意， 解：⑴ 依题意，有 ∂x ∂y y 1 2 ( 2, 3 ) f ′(x) + f (x) = 4x , . x
第二节 一阶微分方程
⒈ 可分离变量的一阶微分方程
dy 一般形式： 一般形式： = f (x) ⋅ g(y) dx 1 解法： 解法： ⑴ 分离变量 dy = f (x) dx, g(y) ≠ 0 g(y) 1 即得通解. ⑵ 两边分别对各自的变量积分 ∫ dy = ∫ f (x)dx, 即得通解 g(y)
⒉ 齐次方程
例5：求 x y′ = y ( 1 + ln y − ln x ) 的通解. 的通解 dy y y 解：方程变为 = (1 + ln ) dx x x y 令 u = , 则 y = ux x dy du = u+x dx dx du 则 u+x = u( 1 + lnu ) dx 1 1 分离变量得 du = dx ulnu x 两边积分得 lnlnu = lnx + lnC

同济大学《高等数学》第六版：D7_8常系数非齐次线性微分方程共15页文档

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41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
同济大学《高等数学》第六 版：D7_8常系数非齐次线
性微分方程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。

同济大学数学系《高等数学》(上册)配套题库-考研真题精选-微分方程【圣才出品】

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f (x)dx
f (x)dx a
f (x)dx f (x) af (x) am n
0
0
0
0
0
2．微分方程 2yy′－y2－2＝0 满足条件 y（0）＝1 的特解 y＝______。[数一 2019 研]
【答案】 y 3ex 2
【解析】分离变量，将题中微分方程转化为[2y/（2＋y2）]dy＝dx，求解后有 ln（2＋ y2）＝x＋C，代入 y（0）＝1 得 C＝ln3。
x
ydt
0
x
由题意知，
ydt
0
y2
3 2
，即
2 y
x 0
ydt
3y2 4
，两边对
x
求导，得
y
3 4
2
yy2 y2
y2
y
，
整理得 2yy′2＝3y2y″（1）。
由已知，得 y（0）＝0，y′（x）＞0，故 x＞0 时，y（x）＞0，则（1）式可化为 y′2
＝3yy″/2（2），此方程为可降阶的微分方程，令 P＝y′，则（2）式可化为 P2＝（3y/2）·PdP/dy，
面积比为 3:2，求曲线方程。[数二 2020 研]
解：设点 M 的坐标为（x，y），则曲线 y＝f（x）经过点 M（x，y）处的切线方程为 Y
－y＝y′（X－x），从而点 T 的坐标为（x－y/y′，0），故 S△MTP＝｜MP｜｜PT｜/2＝y（· y/y′） /2＝y2/2y′。
S 曲边三角形OMP
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第 7 章 微分方程
一、选择题 已知微分方程 y″＋ay′＋by＝cex 的通解为 y＝（C1＋C2x）e－x＋ex，则 a，b，c 依次 为（ ）。[数二 2019 研] A．1，0，1 B．1，0，2 C．2，1，3 D．2，1，4 【答案】D 【解析】由微分方程的通解可知，－1 是其特征方程λ2＋aλ＋b＝0 的二重根，ex 是其 中一个特解，因此λ2＋aλ＋b＝（λ＋1）2，所以 a＝2，b＝1，将特解 ex 代入微分方程， 得到 c＝4，故选 D 选项。

高等数学同济大学第七章微分方程-5

高等数学同济大学第七章微分方程-5
0 0
思考题
2x y2 3 x2 是否为全微分方程？ dy 0 方程 3 dx y y4
思考题解答
P 2 x 6x 3 4, y y y y
Q y 2 3 x 2 6x 4, 4 x x y y
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
3 2
x
y
x4 3 2 2 y4 x y , 4 2 4
x4 3 2 2 y4 x y C. 原方程的通解为 4 2 4
2x y2 3x2 例2 求方程 3 dx dy 0的通解. 4 y y
P Q 全微分方程 . y x
2.解法:
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0 全微分方程
P Q 法一：应用曲线积分与路径无关. y x
通解为 u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
P 6 x Q 解 4 , 是全微分方程, y y x 1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
2 1 x 1 x d ( ) d ( 3 ) d ( 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 3 C . y y
2
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
公式法:
ye


1 dx 1 x
[ x e
2

1 dx 1 x
Hale Waihona Puke dx C ],x x 通解为 y xy C. 3 4

《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案

《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案

第七章 微分方程—练习题参考答案一、填空题1. 三阶；2. 023=+'-''y y y ；3. 1-='xy y ； 4. x e 22ln ⋅ ； 5. x x e c e c 221-+；6. 错误 、错误、错误、正确.二、选择题1-5:ACDCB; 6-8: CCB;三、计算与应用题1、（1）解：变量分离得，1122-=+x xdx y ydy ， 两边积分得，c x y ln 21)1ln(21)1ln(2122+-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y .（2）解：整理得，xy x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dxdu x u ln =+， 变量分离得，xdx u u du =-)1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln，或写为1+=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(11c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-. （4）解：整理得，x y x x dx dy 1ln 1=+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2ln (ln 1)ln (ln 1)1(2ln 1ln 1c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-， 代入初始条件1==e x y 得21=c ，从而所求特解为)ln 1(ln 21x x y +=. （5）解：将方程两边逐次积分得，12arctan 11c x dx xy +=+='⎰， 2121)1ln(21arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=⎰，即原方程通解为212)1ln(21arctan c x c x x x y +++-=. （6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得， x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为x x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰， 从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 21221c e c x x y x ++--=.2、解：将⎰+=x du u f x x f 0)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，所以 )()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，又由⎰+=xdu u f x x f 0)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，所以所求1)(-=x e x f .3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因3221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关， 从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=，所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=，即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。

同济高等数学第六版-D7_7常系数齐次线性微分方程-精选文档




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小结:
y p y q y 0( p , q 为常数 )
2 特征方程: r p r q 0 , 特征根 :r ,r 1 2
特征根
通
解
r 1 r 2 实根
p r r 1 2 2
r i 1 , 2
r x r x 1 2 y C e C e 1 2 r x 1 y ( C C x ) e 1 2 x y e ( C cos x C sin x ) 1 2
x x ( t) . 速度为 v 0, 求物体的运动规律
解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
dx 2 2 n k x 0 2 dt dt d x x t 0 x 0, t 0 v0 dt
d x
2
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )

k 1 ( D D x D x sin x ] 1 2 k )
பைடு நூலகம்
(以上 C ) i, D i 均为任意常数
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例1. 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 1 , r 3 , 解: 特征方程 r 2 r 3 0 ,特征根: r 1 2
2
1 x y ( y y ) e cosx 1 2 1 2 1 x e sinx y ( y y ) 2 2 2 i 1
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:


因此原方程的通解为 y p y q y 0( p , q 为常数 ) x 2( y e C cos x C sin x ) 1 2 特征方程 r p r q 0

同济大学高等数学第六版 第七章 微分方程


C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C ,C 2 0, 故所求特解为 1 A
x A cos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (Xx ) Yy y y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
P ( x ) d x
齐次方程通解
非齐次方程特解
5 d y 2 y 例1. 解方程 ( x 1 ) 2. d x x 1 d y 2d x dy 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 2 积分得 ln 即 y y 2 ln x 1 ln C , C ( x 1 ) 2则 y u ( x ) ( x 1 ) , 用常数变易法求特解. 令
x y ( C 为任意常数 ) ln ( 1 e ) y C 所求通解:
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. d M M( 0 ) t 解: 根据题意, 有 d M M t 0 0 (初始条件) dM ( ) d t 对方程分离变量, 然后积分: M t M 即M C e 得 ln M t ln C , M0 利用初始条件, 得 CM 0 t 故所求铀的变化规律为 M M e . o 0
ue
P(x)dx
( x ) d x P
P (x)dx
Q (x )

P ( x ) d x e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y P ( x ) d x P ( x ) d x P (x )dx e Q ( x ) e d x y Ce 即

高等数学第六版微分方程答案

高等数学第六版微分方程答案【篇一：高等数学第七章微分方程试题及答案】>一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：3．伯努利方程dy?p?x?q?y?dx?q?y??0? 通解?dy??p?x?dx?c qydy?p?x?y?q?x?y????0,1? dxdz??1???p?x?z??1???q?x? 再按照一阶线性令z?y1??把原方程化为dx非齐次方程求解。

4．方程：（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：m1?x?n1?y?dx?m2?x?n2?y?dy?0dy1dx可化为??p?y?x?q?y? 以y为自变量，xdxqy?pyxdy为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

m?x?n?y? 通解?1dx??2dy?c ?m2?x??0,n1?y??0?m2xn1y 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程dy?y??f?? dx?x?令ydydu?u?x?f?u? ?u，则dxdxx?dudx???c?ln|x|?cfu?ux二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程dy?p?x?dx?p?x?y?0它也是变量可分离方程，通解y?ce?，（c为任意常数）dx2．一阶线性非齐次方程dy?p?x?y?q?x? 用常数变易法可求出通解公式 dx令y?c?x?e??p?x?dx代入方程求出c?x?则得?p?x?dxy?e??p?x?dx??q?x?edx?c1?四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程y???p?x?y??q?x?y?0 （1）二阶非齐次线性方程 y???p?x?y??q?x?y?f?x? （2） 1．若y1?x?，y2?x?为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程y???py??qy?0 其中p，q为常数，特征方程?2?p??q?0特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根?1，?2则方程的通解为y?c1e?1x?c2e?2x（2）特征方程有二重根?1??2 则方程的通解为y??c1?c2x?e（3）特征方程有共轭复根??1xc1y1?x??c2y2?x?（c1，c2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当，也即y1?x?与y2?x?线性无关时，则方程的通解y1?x???y2?x?（?为常数）为y?c1y1?x??c2y2?x?2．若y1?x?，y2?x?为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1?x??y2?x?为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

同济大学高等数学第六版第七章第二节可分离变量的微分方程


3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
机动
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思考与练习
求下列方程的通解 :
y x dy dx 提示: (1) 分离变量 2 2 1 y 1 x (2) 方程变形为 y 2 cos x sin y y ln tan 2 sin x C 2
解
dy dy 分离变量 P( x)dx, 两端积分 P( x)dx, y y
P ( x ) dx 即： | y | P ( x)dx c1 y c1e ln
P ( x ) dx y ce
其中c为任意常数.
注：此解的形式很重要，请留意。
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
机动
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作业
P 304 1; 2；6
第三节 目录
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1 与路径无关, 其中 F C , F (0 ,1) 0 , 求由 F ( x, y ) 0
备用题 已知曲线积分 L F ( x, y ) [ y sin xdx cos x d y ]
确定的隐函数 y f (x) . 解: 因积分与路径无关 , 故有 [ F ( x, y ) cos x ] [ F ( x, y ) y sin x] x y 即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
14 5 10 利用初始条件, 得 C 0.62 2 g 15

o hdh
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暨南大学珠海学院
一、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
第二节
第七章
一、可降阶高阶微分方程 二、线性微分方程解的结构
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一、 可降阶的高阶微分方程
1、y(n) f ( x) 型的微分方程 2、y'' f ( x, y') 型的微分方程 3、y'' f ( y, y' ) 型的微分方程
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一、可降阶高阶微分方程
1、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 其图形称为积分曲线族.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
求解过程中丢失了.
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3、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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例4.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积
例2. 求解 (1 x2 )y 2xy
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例4.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
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例1. 解微分方程 y y tan y .
解:
令u
y,
则y
u
x
x u,
x
代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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2、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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例4. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
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切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
满足的方程 .
( 99 考研 )
解:
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
y x2 1 1
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
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练习:
解法 1 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv dt
初始条件为 v t0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 代入上式后化简,
C 1 k
得特解
ln ( v
mg ) m g (1
e
k m
t
)
t
足够大时
v
mg k
k
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2、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
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例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为