第三讲 符号计算

（答案不唯一）
（三）例题5（选讲）：
在下面算式中合适的地方，只填两个加号和两个减号使等式成立。（任意相邻的数字可以组成一个数）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 =100
师：这道题该怎么思考？题目有什么要求？
生：题目要求只填两个加号和两个减号，使等式成立。
师：我们知道加号使数越来越大，减号使数越来越小，这里只填两个加号和两
（答案不唯一）
练习5
在下面算式的适当地方，只添“+”、“-”运算符号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1=20
分析：尝试推算。
板书：98+7-65+4-3-21=20
98-7-65-4-3+2-1=20
（答案不唯一）
三、总结：（5分）
解决填符号这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。
筋好好思考。在下面的每个数字之间的空白处填上“+”或“-”，使算式
成立。你觉得应该怎么想？
生：左边数字好多……
师：是的，有好多数，应该怎么办呢？
生：不知道。
师：今天老师要介绍两种非常重要的方法！第一种是倒推法：第一小题中等号
左边数字较多，右边等于1；想7-6=1，在6前面填“-”，再考虑1 2 3 4 5=7，5前面填“+”，以此类推，谁能接着说一说？
师：给他掌声鼓励一下，说的真棒！我们在填不等式时可以先假设两部分相等，
再根据大于号、小于号判断两边大小，填上合适的数。按照这种方法，其
它几道题我们就能很容易地填出来了。
板书：（1）11-（ 6 ）>4 （2）15<12+（ 4 ）
（3）17-（ 8 ）<10 （4）（ 27 ）-8<11+9

(1) 按 “ Ctrl+Shift+.” ， 出 现 指 定 代 数符号运算符；
(2)在左占位符中输入代数式，在右占 位符输入关键字expand；
(3)把光标移开并单击，便得： (x+1)3(x-1) expand →x4+2·x3-2·x-1
Mathcad-数学运算-符号运算
(c)代数式的 因式分解(Factor)
Mathcad-数学运算-符号运算
图 29
Mathcad-数学运算-符号运算
用户可在此框内输入浮点数的精度， 范围为1～4000之间的整数，当此数大于 255时将计算结果存入剪贴板中而不显示 在屏幕上。例：
解析解： 10
x2 dx
1000
0
3
10
实数解： x2dx floa,6t33.3333
(1)输入多项式； (2)指定展开变量或式子 (3)使用“Symbolics”菜单中的“Polynomial Coefficients”命令即可。 也可用指定代数符号运算符来返回含有指 定变量或指定子式的多项式系数的向量，其步 骤是：
Mathcad-数学运算-符号运算
(1) 按 “ Ctrl+Shift+.” ， 出 现 指 定 代 数符号运算符；
0
复数解：e 2 in co m c2 o p n s l ) ( e isx 2 in n )(
Mathcad-数学运算-符号运算
(3)方程、不等式 的解析解
Mathcad-数学运算-符号运算
使用“Symbolics”菜单“Variable”命 令 的 子 命 令 “ Solve” 可 以 求 出 一 元 方 程 、 多元方程组、不等式的解析解，运用 given-find 求 解 模 块 也 可 以 求 得 多 元 方 程组的解析解。由于Mathcad2001在求解 方程时首先是对代数式进行因式分解， 因此对不能分解成基本因式的方程无法 求出解析解，但可以得到数值解。

第三讲《用字母表示数》知识点
【知识点总结】
1、字母可以表示数，也可以表示运算结果。

2、字母表达式的化简：
（1）字母×字母：字母与字母之间的×号可以省略，如a×b=ab （2）字母×数：字母与数之间的×号可以省略，且化简后数要写在字母前，如a×4=4a
（3）数×括号
3、合并同类项：字母相同时可以合并
如：a+a=2a a×a=a2
4、根据文字列出字母表达式，并化简表达式。

【例题精讲】：
1、表达式化简
1）a+2a=
2）m×n=
3）4×a×b=
2、王叔叔运送了a千克苹果，比李叔叔多运12千克。

李叔叔运了______千克苹果，两人共运了____千克。

如果a=30千克，那么李叔叔运了_____千克苹果。

答案：
1）3a;
2）乘号省略mn ;
3）乘号省略，数字写前面4ab ；
4）带字母关系式表示数：(a-12) (2a-12) 18。

%观察三个变量的类别和属性
Name
Mc Mn
Size
1x9 2x2
Bytes
18 32
Class
char array double array
Ms
2x2
408
sym object
Grand total is 21 elements using 458 bytes
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ




选择题： 1) 运行以下命令后变量C的值是___ >> A=sym([5 5;6 6]); >>B=sym([1 2;3 4]); >>C=A.*B
4.2.2 符号对象的置换操作
RVD = [ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c] [ 1, 1] [ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0] [ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
W = (d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
ans =
x,y,theta
4.1.1 符号对象的生成和使用

findsym(EXPR,N)把EXPR表达式中N个最靠 近x的自由符号变量确认为“独立自由变量”。 注意大小写。大写字母离小写x的距离总是比 其他小写字母远
4.1.1 符号对象的生成和使用
【P47例2.1－4】findsym确定自由变量是对整 个矩阵进行的。
说明： 被置换的表达式是机器自动寻找的。 置换原则：只有比较长的式子才被置换；比较短的式子，即便多 次重复出现，也不被置换。
4.2.2 符号对象的置换操作

1. 级数求和 symsum(s,x,a,b) %计算表达式s当x从a到b的级数和 2. taylor级数 taylor(f,x,n,x0) %求泰勒级数以符号变量x在x0点展开n项
4.5 符号积分变换
4.5.1 Fourier变换
F＝fourier(f,t ,w) %求以t为符号变量f的fourier变 换F
2. findsym函数
findsym(S,n) %确定符号对象S中的n个自由
符号变量
练习
4.3.2符号表达式的化简
多项式的符号表达式有多种形式，例如， f(x)=x3+6x2+11x-6可以表示为： 合并同类项形式：f(x)=x3+6x2+11x-6 因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
例：
>> syms x y t v n
>> f=x+y;
>> g=t*v; >> y1=compose(f,g)
%以x为符号变量求复合函数
y1 =
t*v+y >> y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n代替t求复合函数f(g(n))
y4 =
x+n*v
4.3.5 多项式符号表达式
1. 多项式符号表达式的通分 [N,D] = numden(s)%提取多项式符号表达式s的分子 和分母
6. simplify函数 simplify函数是一个功能强大的函数，利用各种形 式的代数恒等式对符号表达式进行化简，包括求和 、分解、积分、幂、三角、指数、对数、Bessel以及 超越函数等方法来简化表达式。 7. simple函数 找出字符最少的简化表达式，simple 函数适用于 三角函数化简。 例：

3.1.1 符号对象的创建
例：
>> x=sym('x') >> y=sym('y')
>> syms x y
>> z=x*x+y*y z= x^2+y^2 >> a=5;b=3;c=a*a+b*b c=
34
3.1.1 符号对象的创建
2. 符号常量的创建 不含变量的符号叫符号常量。符号常量的定义 也使用函数sym()。
3.1.1 符号对象的创建
➢syms函数调用格式：
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不 方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一 次可以定义多个符号变量。syms函数的一般 调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量 名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加 字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号 分隔。
例：
>> a=sym(1/5) a= 1/5
3.1.1 符号对象的创建
3. 符号表达式的创建
符号表达式为含有符号对象（符号常量、符号变量）的 表达式，其创建方法如下： 1．利用函数sym()直接创建 sym(A)：其中A为字符串的表达式，必须被单引号引用。 2．利用符号对象创建 符号表达式也可以通过创建的符号对象来实现，当把已 定义的符号变量或者符号常量连接为表达式，即可完成 符号表达式的创建。
※ 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参 与运算。
※ 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结 果以标准的符号形式表达。
3.1.1 符号对象的创建
在MATLAB中的符号计算主要是对符号对象进 行操作的，在使用符号计算功能前，首先需要创 建符号对象。本节主要介绍符号对象的创建，其 中常用的符号对象主要包括符号常量和变量、符 号表达式、符号矩阵。

第三讲填运算符号姓名例题1 在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

3 2 1 = 0例题2 在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，使等式成立。

3 2 1 = 1例题3 在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

5 5 5 5 5 = 10例题4 在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

9 9 9 9 9 = 0例题5 在8个8之间填上适当的运算符号，使计算结果等于88.8 8 8 8 8 8 8 8 = 88例题6 把＋、－、×、÷这四个运算符号分别填入下面的四个圆圈中（每个符号只能用一次），并在方块中填上适当的整数，可以使以下两个等式都成立。

9 ○13 ○7 = 100 14 ○2 ○5 = □课堂练习1、在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

3 2 1 = 2 3 2 1 = 3 3 2 1 = 42、在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 23、在○里填上与左边不同的运算符号，使等式成立。

1 +2 +3 = 1 ○2 ○34、在○里填上与左边不同的运算符号，使等式成立。

4 ×6 - 7 = 4 ○6 ○75、在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

9 9 9 9 9 = 106、在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

9 9 9 9 9 = 117、在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

9 9 9 9 9 = 128、在各数之间填上适当的＋、－、×、÷号，也可以使用括号，使等式成立。

③符号计算指令的调用简单，和经典教科书公式相近。
④计算所需的时间较长。
• Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用
Maple软件实现符号计算的。
• Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件
的主导地位。
2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x'
由符号变量构成的符号函数和 符号方程
• 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函
数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
• 包括：符号函数和符号方程。判断看带不带等
号。 例：syms x y z; f1=x*y/z;
f2=x^2+y^2+z^2; f3=f1/f2;
e1=sym('a*x^2+b*x+c')
factor(x^3-y^3)
• simplify( ) 该函数是一个强有力的具有
普遍意义的工具，它利用Maple化简规则 对表达式进行简化。
例：S=sym('[(x^2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16)]')
simplify(S)
• simple( ) 用几种不同的算术简化规则对
符号表达式进行简化，使其用最少的字 符来表示。
行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。
• 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简
化、提取分子和分母、倒数、反函数。
• 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。
• 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后
三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。

…………………………………………………………………………………………… [ .96274843969420649872171548984002-.57475793354361098651731421962321*i]
[例5] 例
生成一个符号矩阵。 生成一个符号矩阵。
MATLAB命令窗口输入命令 命令窗口输入命令： 解 在MATLAB命令窗口输入命令： >> syms a b c d e f g h i j k l
1+ 5 运行后屏幕显示 的符号表达式为 a= a = 2 (1+sqrt(5))/2
运行后屏幕显示 ans =
1 + 5 的相同数值形式为 a= 2
1.6180
将多项式的符号形式转换为对应的系数的数值形式 的向量
将多项式的符号形式转换为对应的系数的数值形式的向 量主要用MATLAB函数sym2poly来实现。 量主要用MATLAB函数 来实现。 MATLAB函数 来实现 [例7] 将 y = 5 x 2 6 转换为对应的系数的数值形式的向量。 例 转换为对应的系数的数值形式的向量。
解 输入： 输入： >> syms x y,y=5*x^2-6; yc=sym2poly(y) 运行后屏幕显示的系数的数值形式的向量为 yc = 5 0 -6
符号形式与数值形式相互 相互转换 2. 符号形式与数值形式相互转换 将数值形式转换为符号形式常用的方法有两类，一类是 将数值形式转换为符号形式常用的方法有两类， 将数的数值形式转换为符号形式； 将数的数值形式转换为符号形式；另一类是将多项式的系数的 数值形式的向量转换为对应的符号形式。 数值形式的向量转换为对应的符号形式。 将数的数值形式转换为符号形式 将数的数值形式转换为符号形式主要用MATLAB函数sym来实现。 来实现。 将数的数值形式转换为符号形式主要用MATLAB函数 MATLAB函数 来实现 [例8] 将π的近似值pi=3.141593 转化为符号形式。 例 的近似值pi=3.141593 转化为符号形式。 的近似值 输入： 解 输入：>> pi=3.141593; pj=sym(pj) 运行后屏幕显示: 运行后屏幕显示: pi = 7074238532074879*2^(-51)

语法：
sym（'变量',参数）
%把变量定义为符号对象
说明：参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为'positive'、'real'和
'unreal'。'positive'表示为“正、实”符号变量；'real'表示为“实”符号变量；
'unreal'表示为“非实”符号变量。如果不限定则参数可省略。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
3.5 符号积分变换 3.6 符号方程的求解 3.7 符号函数的可视化
3
3.1 符号表达式的建立
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点。 （1）传统的数值型运算受到计算机保留的有效位数的限制，它的内部表示法 采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，每一次运算都会有一定的截断误差，重复 的多次数值运算可能会造成巨大的累积误差。符号运算不需要进行数值运算，不 会出现截断误差，由此可见符号运算是非常准确的。 （2）符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。 （3）符号运算的时间较长，而数值型运算速度快。
11
3.1.3 符号矩阵
【例3.3】 比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
>> A=sym('[a,b;c,d]')
%创建符号矩阵
A=
[ a, b]
[ c, d]
>> B='[a,b;c,d]'
%创建字符串矩阵
B=
[a,b;c,d]
>> C=[a,b;c,d]

3.1.4 符号运算中的运算符

MATLAB中为符号运算提供了多种多样的运算符，如表3-2所示 表3-2 符号运算中的运算符
符号 + .* * ^ .^ \ / .\ ./ kron ， ； 符号用途说明 加 减 点乘 矩阵相乘 矩阵求幂 点幂 左除 右除 点左除 点右除 张量积 分隔符 (a)写在表达式后面时运算后不显示计算结果 (b)在创建矩阵的语句中指示一行元素的结束，例如m=[x y z;i j k] 创建向量的表达式分隔符，如x=a:b:c a(:,j)表示j列的所有行元素；a(i,:)表示i行的所有列元素 创建数组、向量、矩阵或字符串(字母型)

>> [n，d]=numden(k)


n=
[3， 2*x+1] [4， 3*x+4] d=


[ 2，3]
[x^2，1] 这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母 数组。如果采用s=numden(f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。



findsym(x+i*y-j*z,3)
syms x a y z b; %定义5个符号变量 %定义两个符号表达式 s1=3*x+y;s2=a*y+b


findsym(s1)
findsym(s2,2) syms x y; s=2*x+3*y; findsym(s) ans = x, y

>>


【例3-2】创建符号变量，求复数表达式z=x+i*y的共轭复数
>> x=sym('x','real'); >> y=x+i*y; >> x=sym('x','real'); >> y=sym('y','real'); >> z=x+i*y; >> conj(z)

第3章符号运算求解析解(公式解)的主要工具‎是符号运算‎,所谓符号运‎算是指运算‎的主要对象‎是符号､文字或变量‎｡所进行的运‎算自然是指‎精确解公式‎中所需要的‎各种运算了‎｡比如二次方‎程求根,被运算的主‎要对象是文‎字a､b､c,而不是具体‎的数值1､2､3,所进行的运‎算是加､减､乘､除､平方､开平方等｡在符号运算‎中,表达式的变‎换是最基本‎的也是最常‎见的运算,例如对多项‎式进行展开‎､分解、集项或者化‎简等。

3.1 表达式的变‎换这里的表达‎式主要是指‎多项式与有‎理式（分式多项式‎），有时也可以‎是三角多项‎式等。

化简Sim‎plify‎[表达式] 设法化简表‎达式,寻求等价的‎最简形式化简Ful‎l Simp‎lify[表达式] 使用更广泛‎的变换化简‎表达式展开Exp‎an d[表达式] 展开分子,每项除以分‎母展开Exp‎an dAl‎l[表达式] 分子与分母‎完全展开分解Fac‎t or[表达式] 将表达式分‎解因式,表示为最简‎因式的乘积‎通分Tog‎e ther‎[表达式] 用于通分,把所有的项‎放在同一分‎母上,并化简约分Can‎c el[表达式] 用于约分,消去分式中‎分子和分母‎的公因式分项Apa‎rt[表达式] 将有理分式‎分解为一些‎最简分式之‎和集项Col‎l ect[表达式,某一个(或某几个)变量] 将表达式按‎照某一个(或某几个)变量的幂次‎进行集项【例1】化简下面各‎表达式｡3.2 函数的极限‎求函数的极‎限需分为两‎种情况,一种是当x‎→a(a为一有限‎实数)时,函数f(x)→?,另一种是当‎x→∞(∞为无穷大记‎号,包括+∞与-∞)时f(x)→?,在数学里记‎为limx‎→a f(x)=?与limx‎→∞f(x)=?,而在Mat‎hemat‎i ca里记‎为Limi‎t[f(x),x→a]与Limi‎t[f(x),x→Infin‎i ty]｡【例1】【例2】【例3】Note:(1)对某些函数‎,极限虽然存‎在,但利用Mathe‎m atic‎a系统不一‎定能够求出‎来｡(2)对某些函数‎,利用Mat‎h emat‎i ca系统‎虽然求出了‎极限,但却不能保‎证所得结果‎的正确性｡3.3 导函数与偏‎导数3.3.1求导函数‎D[f(x),x]D[f(x),{x,n}]上面第一式‎是将f(x)对x求一阶‎导数,而第二式是‎将f(x)对x求n阶‎导数,式中的D是‎求导符号｡3.3.2求偏导数‎D[f(x,y),x,y] 将f(x,y)先对x求导‎,再对y求导‎｡D[f(x,y),{x,m},{y,n}] 将f(x,y)先对x求m‎阶导数,再对y求n‎阶导数｡3.4不定积分‎与定积分3.4.1不定积分‎求不定积分‎在数学里的‎符号是∫f(x)dx=F(x)+c在Math‎e mati‎c a系统中‎的符号是Integ‎r ate[f(x),x]=F(x) ( 将常数c略‎去不写 )式中Int‎e grat‎e是求不定‎积分的符号‎,f(x)为被积函数‎,x为积分变‎量｡Note:在初等函数‎范围内,不定积分有‎时是不存在‎的,亦即当f(x)为初等函数‎,而∫f(x)dx却不一‎定是初等函‎数.Zhou er3.4.2 定积分Integ‎r ate[f(x),{x,a,b}]3.5 将函数展开‎为幂级数Serie‎s[f(x),{x,x0,n}]式中f(x)为给定的函‎数,x0为展开‎点的坐标,n为展开的‎项数Note: Norma‎l[Expr] 去掉余项3.6 求和与求积‎求和 Sum[u n,{n,n1,n2}]求积 Produ‎c t[u n,{n,n1,n2}]式中un为‎通项,n为通项的‎项数,n1为起始‎项,n2为终止‎项,n2可以取‎有限数,也可以取I‎n fini‎t y(即+∞)｡3.7 方程求根在Math‎e mati‎c a系统中‎为我们提供‎了求解各类‎代数方程精‎确解的求解‎函数Sol‎v e,它的调用格‎式如下Solve‎[代数方程(或方程组),未知量]3.8 常微分方程‎求解在Math‎e mati‎c a系统中‎,利用符号运‎算求解常微‎分方程的调‎用函数是D‎S olve‎,它的求解对‎象自然也是‎以线性常微‎分方程,特别是常系‎数线性常微‎分方程为主‎｡利用DSo‎l ve函数‎求解微分方‎程的调用格‎式如下:求通解 DSolv‎e[微分方程或‎方程组,未知函数,自变量]求特解 DSolv‎e[{微分方程,初始条件},未知函数,自变量]3.9 偏微分方程‎求解（略）。

• syms与sym的关系是：syms(s1,s2,s3,…,参数)等 同于s1=sym('s1',参数)，s2=sym('s2',参数)……
• 3. class函数
• s=class(x)
%返回对象x的数据类型
2 符号常量和符号变量
• 符号常量是不含变量的符号表达式，用sym 函数来创建；符号变量使用sym和syms函 数来创建。
• 例如： • >> a1=sym(sin(2)) %用数值创建符号常量 • >> a2=sym(sin(2),'f') %用十六进制浮点表示 • >> a1=sym('a','unreal') %用字符串创建符号变量
3 符号表达式
• 符号表达式是由符号常量和符号变量等构成的表达式，使 用sym和syms函数来创建。
• 1. collect函数
• collect函数用来将符号表达式中同类项合并：
• S=collect(s,符号变量) %将s中符号变量的同 次幂合并
• >> syms x t • >> f1=(x-1)*(x-2)*(x-3); • >> g1=collect(f1) • g1 = • -6+x^3-6*x^2+11*x
• （2）“.*”，“./”，“.\”，“.^”
• 2. 关系运算
• 只有运算符“= =”、“~=”分别对符号对象 进行“相等”、“不等”的比较。
• 3. 三角函数、双曲函数和相应的反函数
• 三角函数包括sin、cos和tan，双曲函数包 括sinh、cosh和tanh
• 4. 指数和对数函数 • 5. 复数函数 • 6. 矩阵代数命令 • 例：

或下 (k<0)第k条次对角线元素
A=[1 2 3;4 a 6;7 8 9] A= [ 1, 2, 3] [ 4, a, 6] [ 7, 8, 9]
diag(A) ans = [ 1] [ a] [ 9] diag(A,-1) ans = [ 4] [ 8]
v=[1 2 a 6] diag(v) %创建以v为主对角元素的矩阵 diag(v,k) %创建以v为主对角线上(k>0)
⑥符号数组的除法
A./B和B.\A都为对应分量进行相除，A与B 为同型矩阵或有一个为标量。如果有标量， 则把标量扩大为与另外一个同型的矩阵，再 按对应的分量进行操作。
B=sym('[a,b;c,d]'); C=sym('[e,f;g,h]'); B./C ans = [ a/e, b/f] [ c/g, d/h] B=sym('[a,b;c,d]'); C=sym('[e,f;g,h]'); B.\C ans = [ e/a, f/b] [ g/c可用A’或A .’ ，也可以用命令： transpose(A)来实现。 3、符号矩阵的行列式运算 求方阵A的行列式：det(A)
4、符号矩阵的逆运算使用
inv(A)或A^-1
5、符号矩阵的秩运算命令为 rank(A)
6、符号矩阵对角元素 diag(A) %求矩阵A的主对角元素 diag(A,k) %求矩阵A的主对角线上(k>0)
A=[a/x+a/y,1/(b*x);a*x/c,c/3]; [N,D]=numden(A) N= [ a*(x+y), 1] % 分子矩阵 [ a*x, c] D= [ x*y, b*x] % 分母矩阵 [ c, 3]