实验10 符号计算基础与符号微积分(第7章)

实验报告课程名称：数学软件姓名：学院：专业：年级：学号：指导教师：职称：年月日实验项目列表附件三：实验报告（二）系：专业：年级：姓名学号：实验课程：实验室号：_ 实验设备号：实验时间：指导教师签字：成绩：1. 实验项目名称：符号计算基础与符号微积分2. 实验目的和要求1.掌握定义符号对象的方法2.掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算3.掌握求符号函数极限及其导数的方法4.掌握求符号函数定积分和不定积分的方法3. 实验使用的主要仪器设备和软件方正商祺N260微机；MATLAB7. 0或以上版本4. 实验的基本理论和方法（1）符号函数;sym(x)；syms a b ……（2）平方根：sqrt(x)（3）分解因式：factor（s）（4）符号表达式化简：simplify（s）（5）逆矩阵：inv(x)（6）下三角矩阵：tril（x）（7）矩阵行列式的值:det(x)（8）符号函数求极限：limit （f ，x ，a ）；limit （f ，x ，a ，‘right ’） （9）符号函数求导：diff （f ，v ，n ） （10）符号函数求不定积分：int （f ，v ） （11）符号函数求定积分：int （f ，v ，a ，b ） 5. 实验内容与步骤（描述实验中应该做什么事情，如何做等，实验过程中记录发生的现象、中间结果、最终得到的结果，并进行分析说明） （包括：题目，写过程、答案） 题目：1. 已知x=6，y=5，利用符号表达式求yx x z -++=31。

提示：定义符号常数)'5(')'6('sym y sym x ==，。

>> x=sym('6'); >> y=sym('5');>> z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y)) z =7/(3-5^(1/2))2. 分解因式：44y x ->> syms x y;>> A=x^4-y^4; >> factor(A) ans =(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)3. 化简表达式 (1)2121sin cos cos sin ββββ- (2)123842+++x x x (1) >> syms x y;>> f1=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y);>> simplify(f1)ans =sin(x-y)(2)>> sym(x);>> f2=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1); >> simplify(f2)ans =2*x+34. .已知010100100,010,12001101a b cP P A d e fg h i⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦完成下列运算：(1)B=12PP A(2)B的逆矩阵并验证结果(3)包括B矩阵主对角线元素的下三角阵(4)B的行列式值(1)>> syms a b c d e f g h i;>> P1=[0 1 0;1 0 0;0 0 1];>> P2=[1 0 0;0 1 0;1 0 1];>> A=[a b c;d e f;g h i];>> B=P1*P2*AB =[ d, e, f][ a, b, c][ a+g, b+h, c+i](2)>> C=inv(B)C =[ -(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), (e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)][ (a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), (-d*c-d*i+f*a+f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)][ -(a*h-b*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), -(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)]>> D=B*CD =[ -d*(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f *h-g*e*c+g*f*b)+e*(a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-f*(a*h-b *g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),d*(e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+e*(-d*c-d*i+f*a+ f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-f*(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(-d*b*i+d* c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-d*(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-e*(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d* c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+f*(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g *f*b)][ -a*(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f *h-g*e*c+g*f*b)+b*(a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-c*(a*h-b *g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),a*(e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+b*(-d*c-d*i+f*a+ f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-c*(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(-d*b*i+d* c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-a*(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-b*(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d* c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+c*(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g *f*b)][ -(a+g)*(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c +g*f*b)+(b+h)*(a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-(c+i)*(a*h-b *g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),(a+g)*(e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+(b+h)*(-d*c-d*i+f*a+f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-(c+i)*(-d*b-d*h+e*a+e*g )/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-(a+g)*(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-(b+h)*(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+(c+i)*(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a *f*h-g*e*c+g*f*b)]（3）>> E=tril(B)E =[ d, 0, 0][ a, b, 0][ a+g, b+h, c+i](4)>> F=det(B) F =d*b*i-d*c*h-a*e*i+a*f*h+g*e*c-g*f*b 5. 用符号方法求下列极限或导数。

实验2 符号函数及其‎微积分一、符号函数计算‎ MATLAB ‎中的符号函数‎计算主要有复‎数计算、复合函数计算‎和反函数计算‎。

这些有关的符‎号函数的计算‎命令及说明列‎于表2—1。

实例1、求的复合函数‎>> syms x y z u t %定义符号变量‎>> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达‎式f,g >> compos ‎e (f,g) %求f,g 的复合函数‎ ans =sin(2*x-1)^3 >> compos ‎e (f,g,t) %求f,g 的复合函数‎，再将自变量x ‎换为t ans =sin(2*t-1)^3实例2、求的反函数。

>> finver ‎s e(exp(2*x)-2) %求的反函数 ans =1/2*log(2+x)>> finver ‎s e((1-x)/(2+x)) %求的反函数ans =-(2*x-1)/(1+x)二、绘制二维图形‎ 1、图形窗口及其‎操作 MATLAB ‎中不仅有用于‎输入各种命令‎和操作语句的‎命令窗口，而且有专门用‎于显示图形和‎对图形进行操‎作的图形窗口‎。

图形窗口的操‎作可以在命令‎窗口输入相应‎命令对其进行‎操作，也可以直接在‎图形窗口利用‎图形窗口的本‎身所带的工具‎按钮、相关的菜单对‎其进行操作。

下面将介绍一‎些对图形窗口‎进行基本操作‎的命令和函数‎。

（1） 图形窗口操作‎命令 对图形窗口的‎控制和操作的‎命令很多，这里主要介绍‎常用的fig ‎u re 、shg 、clf 、clg 、home 、hold 、subplo ‎t 等常用命令‎。

它们的调用格‎式及有关说明‎了见表2—2。

12sin ,-==x u u x 2x 1,22+--e x22-e xx 2x1+-（2）坐标轴、刻度和图形窗‎口缩放的操作‎命令MATLAB‎中对图形窗口‎中的坐标轴的‎操作命令是a‎x i s，坐标刻度的操‎作命令是xl‎i m、ylim、zlim等，其使用方法见‎表2—3，表2—4。

微积分中数学符号的由来介绍了积分符号∫、无穷大符号∞、极限符号lim、数集符号、判别式符号？驻、自然对数底数符号e、属于符号∈等微积分中常见数学符号的由来，帮助学生更好地掌握这一学科知识，激发学生学习兴趣，培养学生的数学素质。

标签：微积分数学符号由来“使用符号，是数学史上的一件大事。

一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用。

它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。

一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长而且含糊不清。

”（引自我国数学史家梁宗巨的《世界数学史简编》）。

1 积分符号∫的由来积分的本质是无穷小的和，拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。

将“Summa”的头一个字母“S”拉长就是∫。

发明这个符号的人是德国数学家莱布尼茨（Friedrich ，Leibniz）。

莱布尼兹具有渊博的知识，在数学史上他是最伟大的符号学者，并且具有符号大师的美誉。

莱布尼兹曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。

”莱布尼兹创设了积分、微分符号，以及商“a/b”，比“a：b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符号。

牛顿和莱布尼茨在微积分方面都做出了巨大贡献，只是两者在选择的方法和途径方面存在一定的差异。

在研究力学的基础上，牛顿利用几何的方法对微积分进行研究；在对曲线的切线和面积的问题进行研究的过程中，莱布尼兹采用分析学方法，同时引进微积分要领。

在研究微积分具体内容的先后顺序方面，牛顿是先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹是先有求积概念，后有导数概念。

在微积分的应用方面，牛顿充分结合了运动学，并且造诣较深；而莱布尼兹则追求简洁与准确。

另外，牛顿与莱布尼兹在学风方面也迥然不同。

牛顿作为科学家，具有严谨的治学风格。

牛顿迟迟没有发表他的微积分著作《流数术》的原因，主要是他没有找到科学、合理的逻辑基础，另外，可能也是担心别人的反对。

微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用

Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a

符号运算参考答案讲解实验3 符号运算⼀、实验⽬的1.掌握符号对象的创建及符号表达式化简的基本⽅法；符号(symbol)运算的基本功能.2.掌握符号微积分、符号⽅程的求解的基本⽅法。

⼆、实验内容与要求1. 字符型变量、符号变量、符号表达式、符号⽅程的建⽴⽤单引号设定字符串变量>>a ='u+4'%定义a为字符型变量a =u+4⽤命令sym(‘’)创建单个符号变量、符号表达式、符号⽅程. >>x= sym('m+n+i') %定义x为符号型变量x=m+n+i>>y = sym（'d*x^2 + x – 4'）%定义y为符号表达式y=d*x^2 + x – 4>>e = sym(' a*x^2+b*x+c=0') %定义e为符号⽅程e=a*x^2+b*x+c=0⽤命令syms创建多个符号变量、符号表达式.>>syms a b x y %定义a，b，x，y为符号变量，字母间必须⽤空格>>s = a*x^4+b*cos(y)-x*y %定义s为符号表达式s=a*x^4+b*cos(y)-x*y基于MA TLAB的数学实验16注意：sym(‘’)中的单引号不要漏，syms后的符号变量之间不能⽤逗号，⽤syms不能建⽴符号⽅程.2. 复合函数计算格式：compose(f,g,x,y)%返回复合函数f [ g (y)]，f = f (x)，g = g (y).>>syms x y>>f = 1/(1 + x^2*y); g = sin(y);>>C = compose(f,g,x,y) % 结果为1/(1+sin(y)^2*y)2 合并同类项格式：collect(S) %是对S中的每⼀函数，按缺省变量x的次数合并系数.collect(S,v) %是对指定的变量v计算，操作同上.【例1.18】>> syms x y %定义x,y为符号变量>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2)); %结果为x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y);%结果为y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1) 4.符号表达式的展开格式：R=expand(S) %展开符号表达式S中每个因式的乘积。

.附件一：实验报告课程名称：数学软件姓名：学院：专业：年级：学号：指导教师：职称：年月日实验项目列表序号实验项目名称成绩指导教师1MATLAB 运算基础2MATLAB 矩阵分析与处理3选择结构程序设计4循环结构程序设计5函数文件6MATLAB 的绘图操作7数据处理与多项式计算8数值微积分与方程数值求解9符号计算基础与符号微积分10总评实验报告（二）系：专业：年级：姓名学号：实验课程：实验室号： _实验设备号：实验时间：指导教师签字：成绩：1.实验项目名称：符号计算基础与符号微积分2.实验目的和要求1.掌握定义符号对象的方法2.掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算3.掌握求符号函数极限及其导数的方法4.掌握求符号函数定积分和不定积分的方法3.实验使用的主要仪器设备和软件方正商祺 N260微机；MATLAB7. 0 或以上版本4.实验的基本理论和方法（1）符号函数 ;sym(x) ；syms a b（2）平方根： sqrt(x)（3）分解因式： factor （s）（4）符号表达式化简： simplify（s）（5）逆矩阵： inv(x)（6）下三角矩阵： tril（x）（7）矩阵行列式的值 :det(x)（9）符号函数求导： diff（f，v，n）（10）符号函数求不定积分：int （f ，v）（11）符号函数求定积分： int （f ，v，a，b）5.实验内容与步骤（描述实验中应该做什么事情，如何做等，实验过程中记录发生的现象、中间结果、最终得到的结果，并进行分析说明）（包括：题目，写过程、答案）题目：x1z1. 已知 x=6，y=5，利用符号表达式求 3 x y 。

提示：定义符号常数x sym('6' )， y sym('5') 。

>>x=sym('6');>>y=sym('5');>>z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y))z =7/(3-5^(1/2))2.分解因式： x4 y 4>>syms x y;>>A=x^4-y^4;>>factor(A)ans =(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)4x 28x33.化简表达式(1)sin1cos2cos1sin2(2)2x1(1) >> syms x y;>> f1=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y); >> simplify(f1).sin(x-y)(2)>> sym(x);>> f2=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1);>> simplify(f2)ans =2*x+30 1 01 0 0 a b c P100,P 0 1 0 , A d e f 10 21 0 1g h i0 14.. 已知完成下列运算：PP A(1)B= 1 2(2)B 的逆矩阵并验证结果(3) 包括 B 矩阵主对角线元素的下三角阵(4)B 的行列式值(1)>> syms a b c d e f g h i; >> P1=[0 1 0;1 0 0;0 0 1]; >> P2=[1 0 0;0 1 0;1 0 1]; >> A=[a b c;d e f;g h i];>> B=P1*P2*A B =[ d, e, f] [ a, b, c][ a+g, b+h, c+i](2)>> C=inv(B) C =[ -(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), (e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), -(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)][ (a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), (-d*c-d*i+f*a+f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), -(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)][ -(a*h-b*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), -(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b), (-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-.>>D=B*CD =[-d*(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+e*(a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-f*(a*h-b *g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),d*(e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+e*(-d*c-d*i+f*a+f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-f*(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(-d*b*i+d* c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-d*(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-e*(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+f*(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g *f*b)][-a*(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+b*(a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-c*(a*h-b *g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),a*(e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+b*(-d*c-d*i+f*a+f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-c*(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(-d*b*i+d* c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-a*(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-b*(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+c*(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g *f*b)][-(a+g)*(b*i-c*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+(b+h)*(a*i-c*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-(c+i)*(a*h-b *g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),(a+g)*(e*c+e*i-f*b-f*h)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+(b+h)*(-d*c-d*i+f*a+f*g)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-(c+i)*(-d*b-d*h+e*a+e*g )/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b),-(a+g)*(e*c-f*b)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)-(b+h)*(-d*c+f*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a*f*h-g*e*c+g*f*b)+(c+i)*(-d*b+e*a)/(-d*b*i+d*c*h+a*e*i-a *f*h-g*e*c+g*f*b)]（3）>>E=tril(B)E =[d,0,0][a,b,0][ a+g, b+h, c+i](4)>>F=det(B)F =d*b*i-d*c*h-a*e*i+a*f*h+g*e*c-g*f*b 5.用符号方法求下列极限或导数。

特点：
运算对象可以是没赋值的符号变量，以 推理解析的方式进行，因此不受计算误 差累积所带来的困扰。
可以给出完全正确的封闭解或任意精度 的数值解(当封闭解不存在时)。
③符号计算指令的调用简单，和经典教科 书公式相近。 ④计算所需的时间较长。

2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x' f —— 字符串名 sin(x)+5x—— 函数表达式 ' '—— 字符串标识 字符串表达式一定要用' '单引号 括起来Matlab才能识别。 用class( )来返回对象的数据类型。
eval(A) ans = 0.3333 1.4286
2.5000 0.4000
符号矩阵

运算符
+、-、*、.* \ 左除 AX=B A\B相当于求解矩阵方程AX=B的解 .\ 、 ./
右除 / XA=B B/A相当于求解矩阵方程XA=B的解 ^ A^B A为方阵、B为整数 表示A*A*…*A (共B个） .^ A.^B 对应分量进行幂运算 ‘ .’ 矩阵转置(当为复数矩阵时有区别)

前两行是函数 f 和 g 的具体解析式，第三 行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简 化、提取分子和分母、倒数、反函数。 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后 三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。 最后一行是对计算器自身进行操作。
A=U*S*V
符号矩阵

例子：查看运行结果

实验10 符号计算基础与符号微积分（第7章 MATLAB 符号计算）一、实验目的1. 掌握定义符号对象的方法。

2. 掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算。

3. 掌握求符号函数极限及导数的方法。

4. 掌握求符号函数定积分和不定积分的方法。

二、实验内容1. 利用符号表达式求值已知x=6,y=5，利用符号表达式求3z x y=+-提示：定义符号常数x=sym(‘6’)，y=sym(‘5’)。

2. 分解因式(1) x 4-y 4(2) 5135《数学软件》课内实验王平程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：3. 化简表达式21212483(1)sin cos cos sin (2)21x x x ββββ++-+程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：4. 符号矩阵运算已知12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦完成下列运算：(1) B=P 1·P 2·A 。

(2) B 的逆矩阵并验证结果。

(3) 包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵。

(4) B 的行列式值。

程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：5. 用符号方法求下列极限或导数sin tan 301(1)2(1)1cos(2)(1)lim (2)lim ,',''sin x x x x x e e x y y y x x +→→-+---=求 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：3222(4),,,cos ln x a t dA d A d AA dx dt dxdt t x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知分别求22220,1(5)(,)(2),,x y xyx y y f f x y x x ex x y---==∂∂=-∂∂∂已知求程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行，参考教材P203）：6. 用符号方法求下列积分48(1) (2)1dx x x ++⎰程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：ln 22401(3) (4)(1)1x x x dx e e dx x +∞+++⎰⎰ 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：三、实验提示四、教程：第7章 MATLAB 符号计算(1/2)7.1 符号计算基础 p192 7.1.1 符号对象1. 建立符号变量和符号常量(1) sym 函数符号量名=sym('符号字符串')☞ 建立单个符号字符串。

2 0
xsin2
xdx
S=x*sin(x)^2;
int(S,0,pi/2)
ans=
-1/8*3^(1/2)+1/12*pi
20
级数求和 (symsum)
1 2n
前n项和
n0
>> syms n k >> f=1/2^n >>r1=symsum(f,0,n-1) r1 =
求1+…+n?
-2*(1/2)^n+2
9
A=sym(magic(3)) sigma=svd(A) digits(3) sig=svd(vpa(A))
10
符号表达式运算
基本运算函数 collect (S,v)合并同类项 expand(S) 将S展开 factor(x)因式分解 [N,D]=numden(A) 求分子N和分母D
simpily(S) S进行简化，若S矩阵则化简其每一个元素 [m,n]=size(A) 符号矩阵的行数、列数 findsym(S) 求S的符号变量 g=finverse(f,v) 求f对指定变量v的反函数g
＝b的解 非线型方程组的符号求解
slove(‘eqn1’,eqn2’,…’eqnN’,var1,var2,…,varN’) 常微分方程的符号求解 dsolve(‘eqn1’,’condition’,’var’)
16
符号函数的极限(limit函数的用法)
求arctanx当x+∞和 x-∞的极限
>>r1=symsum(f,0,n)
r1 = -2*(1/2)^(n+1)+2
21
符号方程求解(solve)
>> syms x y a b >> solve (x^4-3*a*x^2+4*b) ans = 1/2*(6*a+2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2) -1/2*(6*a+2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2) 1/2*(6*a-2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2) -1/2*(6*a-2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2)

实验十 符号计算基础与符号微积分1、已知x=6,y=5，利用符号表达式求z = 提示：定义符号常数()()'6','5'xsym y sym ==。

x=sym('6')>> y=sym('5');>> z=(x+1)/[(sqrt(3+x))-sqrt(y)] 2、分解因式（1）44x y -syms x y;>> A=x^4-y^4;>> factor(A)（2）5135B=5135;>> factor(B)3、化简表达式（1）1212sin cos cos sin ββββ-syms b1 b2;>> s=sin(b1)*cos(b2)-cos(b1)*sin(b2)>> simplify(s)1)*sin(b2)（2）248321x x x +++ syms x;>> s=(4*x.^2+8*x+3)/(2*x+1)>> simplify(s)4、已知12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦完成下列运算：（1）B=P 1⨯ P 2⨯Ap1=sym('[0 1 0;1 0 0;0 0 1]')>> p2=sym('[1 0 0;0 1 0;1 0 1]');>> A=sym('[a b c;d e f;g h l]')>> B=p1*p2*A（2）B 的逆矩阵并验证结果inv(B)（3）包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵 tril(B)（4）B的行列式值determ(B) 5、用符号方法求下列极限或导数()()()()()()()()()()22sin tan 31'''3222220,11211lim sin 2lim 1cos 23,4cos ln 5,2,x x x x x y xy x y x e e xx y y y x a t dA d A d A A dx dt dxdt t x x y f f x y x x e x x y +→----==+---=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∂∂=-∂∂∂求已知，分别求、、已知求、(1)sym x;>> f=[x.*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1)]./sin(x)^3 >> limit(f,x,0)(2)syms x;>> f=(sqrt(pi)-sqrt(acos(x)))/sqrt(x+1);>> limit(f,x,-1,'right')(3)syms x;>> f=(1-cos(2*x))/x;diff(f,1)>> diff(f,2)(4)syms a t x;>> f=sym('[a^x,t^3;t*cos(x),log(x)]')>> diff(f,x);diff(f,t,2)>> diff(f,x)/diff(f,t)(5)sym x y;f=(x.^2-2.*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> diff(f,x);>> a=diff(f,x)/diff(f,t)>> a=diff(f,x)/diff(f,t); >> x=0;y=1;>> eval(a)6、用符号方法求下列积分()()()()()482042ln 2011213141xx dx x x dx x dx x e e dx +∞+++++⎰⎰⎰⎰(1)syms x;>> f=1/(1+x.^4+x.^8); >> int(f)(1)syms x;>> f=1/a*sin(x).^2.*sqrt(1-x.^2); >> int(f)(3)syms x;>> f=(x.^2+1)/(x.^4+1); >> int(f,x,0,inf)(4)syms x;>> f=exp(x).*(1+exp(x)).^2; >> int(f,x,0,log(2))。

% 结果用32位数字表示
f2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2) +14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)
vf2 =
224.92153573331143159790710032805
14
13.4 级数
13.4.1 级数符号求和
求解命令为solve，其语法为： g = solve(eq) g = solve(eq,var) g = solve(eq1,eq2,...,eqn) g = solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn)
其中：eq为字符串方程，如果仅有表达式，则表示 该表达式等于0；var：表示方程中的变量。
limit(f,x,a,'right') —— 变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,'left') —— 变量x从左边趋近于a。
4
例1：求极限
x(esin x 1) 2(etgx 1)
lim
x0
sin 3 x
syms x;
%定义符号变量
%确定符号表达式
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3；
求无穷级数的和需要符号求和函数symsum，其调 用格式为： symsum(s,v,n,m)
其中：s 表示级数的通项，是一个符号表达式； v 是求和变量，省略时使用默认变量； n 和 m 是求和的开始项和末项。
15
例9：求级数 1/12+1/22+1/32+1/42+ ……

微积分中数学符号的由来【摘要】微积分中数学符号的由来是一门重要的研究领域，本文将通过引言、正文和结论三部分来探讨这一话题。

在我们将介绍微积分的定义以及数学符号在微积分中的重要性。

在我们将重点讨论数学符号的起源、微积分中常用的数学符号、符号的演变过程、数学符号的标准化以及数学符号的应用。

结论部分将总结讨论数学符号在微积分中的作用、数学符号的便利性以及数学符号的未来发展。

通过本文的阐述，读者将更深入地了解微积分中数学符号的起源、演变及其在微积分中的作用，体会数学符号在微积分中的重要性和便利性。

【关键词】微积分, 数学符号, 起源, 常用符号, 演变过程, 标准化, 应用, 作用, 便利性, 未来发展1. 引言1.1 微积分的定义微积分是一门研究变化的数学学科，通过对函数的极限、导数和积分的运算，来研究物体运动、曲线形状、函数的增减性等问题。

微积分广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在现代科学和技术发展中扮演着重要的角色。

微积分的核心概念包括导数和积分。

导数是描述函数在某一点上的变化率，而积分则是对函数在某一区间上的累积量的运算。

通过导数和积分，我们可以研究函数的趋势、曲线的形状，解决最优化问题等。

数学符号的准确性和统一性，是微积分研究中非常重要的问题。

符号的规范化可以避免理解上的误解，保证数学思想的交流和传播的准确性。

符号的标准化也有利于教学和学习的深入推进，让学生更好地掌握微积分中的基本概念和方法。

1.2 数学符号的重要性数学符号在微积分中扮演着非常重要的角色。

它们是一种简洁而精确的表达方式，可以帮助我们准确地描述各种数学概念和关系。

在微积分中，数学符号可以代表各种数学操作，例如求导、积分、极限等，简化了复杂的数学计算过程，使得我们能够更加高效地解决数学问题。

数学符号的重要性还体现在其能够帮助我们建立数学模型和推导数学定理。

通过符号化的表达，我们可以更加清晰地表达数学思想，将复杂的问题简化为符号和运算符的组合，使得数学问题更具可解性。

实验一 MATLAB 运算基础之阿布丰王创作1. 先求下列表达式的值,然后显示MATLAB 工作空间的使用情况并保管全部变量.(1)0122sin851z e =+ (2)21ln(2z x =+,其中2120.455i x +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ (3)0.30.330.3sin(0.3)ln , 3.0, 2.9,,2.9,3.022a a e e a z a a --+=++=-- (4) 2242011122123t t z t t t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪-+≤<⎩,其中t =0:0.5:2.5解：4. 完成下列把持：(1) 求[100,999]之间能被21整除的数的个数.(2) 建立一个字符串向量,删除其中的年夜写字母.解：(1) 结果：(2). 建立一个字符串向量 例如：ch='ABC123d4e56Fg9';则要求结果是：实验二 MATLAB 矩阵分析与处置1. 设有分块矩阵33322322E R A O S ⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中E 、R 、O 、S 分别为单元矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵,试通过数值计算验证22E R RS A O S +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 解: M 文件如下；5. 下面是一个线性方程组：(1) 求方程的解.(2) 将方程右边向量元素b 3改为0.53再求解,并比力b 3的变动和解的相对变动.(3) 计算系数矩阵A的条件数并分析结论.解： M文件如下：实验三选择结构法式设计1. 求分段函数的值.用if语句实现,分别输出x=-5.0,-3.0,1.0,2.0,2.5,3.0,5.0时的y值.解：M文件如下：2. 输入一个百分制成果,要求输出成果品级A、B、C、D、E.其中90分~100分为A,80分~89分为B,79分~79分为C,60分~69分为D,60分以下为E.要求：(1) 分别用if语句和switch语句实现.(2) 输入百分制成果后要判断该成果的合理性,对分歧理的成果应输出犯错信息.解：M文件如下3. 硅谷公司员工的工资计算方法如下：(1) 工作时数超越120小时者,超越部份加发15%.(2) 工作时数低于60小时者,扣发700元.(3) 其余按每小时84元计发.试编程按输入的工号和该号员工的工时数,计算应发工资.解：M文件下实验四循环结构法式设计1. 根据2222211116123nπ=++++,求π的近似值.当n分别取100、1000、10000时,结果是几多？要求：分别用循环结构和向量运算（使用sum函数）来实现.解：M文件如下：运行结果如下：2. 根据11113521yn=++++-,求：(1) y<3时的最年夜n值.(2) 与(1)的n值对应的y值.解：M—文件如下：3. 考虑以下迭代公式：其中a、b为正的学数.(1) 编写法式求迭代的结果,迭代的终止条件为|x n+1-x n|≤10-5,迭代初值x0=1.0,迭代次数不超越500次.(2) 如果迭代过程收敛于r,那么r的准确值是,当(a,b)的值取(1,1)、(8,3)、(10,0.1)时,分别对迭代结果和准确值进行比力.解：M 文件如下：运算结果如下；5. 若两个连续自然数的乘积减1是素数,则称这两个边境自然数是亲密数对,该素数是亲密素数.例如,2×3-1=5,由于5是素数,所以2和3是亲密数,5是亲密素数.求[2,50]区间内：(1) 亲密数对的对数.(2) 与上述亲密数对对应的所有亲密素数之和.解：M 文件：实验五 函数文件4. 设2411()(2)0.1(3)0.01f x x x =+-+-+,编写一个MATLAB 函数文件fx.m,使得调用f(x)时,x 可用矩阵代入,得出的f(x)为同阶矩阵.解：运算结果：5. 已知(40)(30)(20)f y f f =+(1) 当f(n)=n+10ln(n2+5)时,求y的值.(2) 当f(n)=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)时,求y的值.解：(1)(2).实验八数据处置与多项式计算2. 将100个学生5门功课的成果存入矩阵P中,进行如下处置：(1) 分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号.(2) 分别求每门课的平均分和标准方差.(3) 5门课总分的最高分、最低分及相应学生序号.(4) 将5门课总分按从年夜到小顺序存入zcj中,相应学生序号存入xsxh.提示：上机调试时,为防止输入学生成果的麻烦,可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来暗示学生成果.解：M文件：运行结果：3. 某气象观测得某日6:00~18:00之间每隔2h的室内外温度（0C）如实验表1所示.实验表1 室内外温度观测结果（0C）时间h 6 8 10 12 14 16 18室内温度t1 18.0 20.0 22.0 25.0 30.0 28.0 24.0室外温度t2 15.0 19.0 24.0 28.0 34.0 32.0 30.0试用三次样条插值分别求出该日室内外6:30~18:30之间每隔2h各点的近似温度（0C）.解：M文件：运行结果：4. 已知lgx在[1,101]区间10个整数采样点的函数值如实验表2所示.实验表2 lgx在10个采样点的函数值x 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101lgx 0 1.0414 1.3222 1.4914 1.6128 1.7076 1.7853 1.8513 1.9085 1.9510 2.0043 试求lgx的5次拟合多项式p(x),并绘制出lgx和p(x)在[1,101]区间的函数曲线.解：M文件：5. 有3个多项式P1(x)=x4+2x3+4x2+5,P2(x)=x+2,P3(x)=x2+2x+3,试进行下列把持：(1) 求P(x)=P1(x)+P2(x)P3(x).(2) 求P(x)的根.(3) 当x取矩阵A的每一元素时,求P(x)的值.其中：(4) 当以矩阵A为自变量时,求P(x)的值.其中A的值与第(3)题相同.解：M文件：实验九 数值微积分与方程数值求解1. 求函数在指定点的数值导数.实验六 高层绘图把持3. 已知在-5≤x ≤5区间绘制函数曲线.解：M 文件：2. 用数值方法求定积分.(1)210I π=⎰的近似值. (2) 2220ln(1)1x I dt x π+=+⎰ 解：M 文件：运行结果：3. 分别用3种分歧的数值方法解线性方程组.解：M文件：运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解.解：M文件：.5. 求代数方程的数值解.(1) 3x+sin x-e x=0在x0=1.5附近的根.(2) 在给定的初值x0=1,y0=1,z0=1下,求方程组的数值解.解：M文件：(2). M文件：运行结果：6. 求函数在指定区间的极值. (1)3cos log ()x x x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值. (2)33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值.解：M 文件：8. 求微分方程组的数值解,并绘制解的曲线. 解： 令y1=x,y2=y,y3=z; 这样方程酿成:'''0.51(0)0,(0)1,(0)1x yz y xz z xyx y z =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩,自变量是tM 文件：实验十 符号计算基础与符号微积分一、1. 已知x=6,y=5,利用符号表达式求提示：界说符号常数x=sym(‘6’),y=sym(‘5’).解：M文件：运行结果：2. 分解因式.(1) x4-y4(2) 5135解：M文件：运行结果：5. 用符号方法求下列极限或导数.解：M文件：运行结果：6. 用符号方法求下列积分.解：M文件：运行结果：。

z y
z u u y
z v v y

f12 f2 2
证略.
z
uv x yx y
19
类似地,设 z f (u, v , w ) ,u ( x , y ) , v (x, y) , w ( x, y) ,则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y), ( x, y)]
注：1. 利用公式时，求Fx, Fy, Fz都是在对中间变量求导，
故求Fx 时暂时将y, z看成常量，其他类似. 2. 利用公式时，不要忘记负号！
3. 利用公式求导只能求一阶导数,求高阶导数时应
采用直接求导法！
23
多元函数的极值
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y的偏导
数为
lim
y0
f
( x0 , y0
y) y
f
( x0 , y0 )
记为
z y
， f xx0 y
， zy
x x0
22
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0
则：
dy Fx . dx Fy

数学实验
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5.1.6 符号对象转换为数值对象
第5章 符号计算
• double(S)
功能：把符号矩阵S转换为双精度浮点数矩阵。
• single(S)
功能：把符号矩阵S转换为单精度浮点数矩阵。
数学实验
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第5章 符号计算
例5-7 建立符号常数矩阵，并转换 为数值矩阵。
s=sym('[1/3 5/7;sqrt(3) %建立符号常数矩阵s
数学实验
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第5章 符号计算
• horner(s)
• 功能：将符号多项式s转换为嵌套形式表示，
即用多层括号的形式表示。
例5-18 将多项式表示为嵌套形式。
x 6 x 4 5 x 3 5 x 2 5 x 6
syms x; horner([x^6-x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6])
数学实验
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第5章 符号计算
例5-20问入取何值时，齐次方程组有非0解？
(1 )x1 2x2 4x3 0
2x1
(3 )x2
x 3
0
x 1
x 2
(1 )x3
0
syms k;A=[1-k -2 4;2 3-k 1;1 1 1-k];D=det(A) ;factor(D)
数学实验
syms x;
f=x/(x^2+x+1)+1/(x-1);
simplify(f)
数学实验
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• 例5-24化简
f
3
1 x3
6 x2
128 x
11
• 例5-25 计算行列式的值 a b
a2 b2