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永磁同步电机的转矩直接控制一、本文概述本文旨在探讨永磁同步电机（PMSM）的转矩直接控制策略。
永磁同步电机作为现代电力传动系统中的核心组件，具有高效率、高功率密度和优良的控制性能。
转矩直接控制作为一种先进的电机控制技术，能够实现对电机转矩的快速、精确控制，从而提高电机系统的动态响应性能和稳定性。
本文首先将对永磁同步电机的基本结构和原理进行简要介绍，为后续转矩直接控制策略的研究奠定基础。
随后，将详细阐述转矩直接控制的基本原理和实现方法，包括转矩计算、控制器设计和优化等方面。
在此基础上，本文将重点分析转矩直接控制在永磁同步电机中的应用，探讨其在实际运行中的优势和局限性。
本文还将对转矩直接控制策略的性能进行仿真和实验研究，评估其在不同工况下的控制效果。
通过对比分析，本文将提出改进和优化转矩直接控制策略的方法，以提高永磁同步电机的控制性能和运行效率。
本文将对转矩直接控制在永磁同步电机中的应用前景进行展望，探讨其在新能源汽车、工业自动化等领域的发展潜力。
本文的研究成果将为永磁同步电机的转矩直接控制提供理论支持和实践指导，推动其在现代电力传动系统中的广泛应用。
二、永磁同步电机的基本原理永磁同步电机（PMSM）是一种特殊的同步电机，其磁场源由永磁体提供，无需外部电源供电。
PMSM利用磁场相互作用产生转矩，从而实现电机的旋转运动。
PMSM的定子部分与常规电机相似，由三相绕组构成，用于产生电磁场。
而转子部分则装有永磁体，这些永磁体产生的磁场与定子绕组的电磁场相互作用，产生转矩。
PMSM的转矩大小和方向取决于定子电流的大小、方向以及永磁体与定子绕组磁场之间的相对位置。
PMSM的控制主要依赖于对定子电流的控制。
通过改变定子电流的大小、频率和相位，可以实现对PMSM转矩和转速的精确控制。
与传统的感应电机相比，PMSM具有更高的转矩密度和效率，以及更低的维护成本。
PMSM的工作原理基于法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
当定子绕组通电时，会产生一个旋转磁场，这个磁场与转子上的永磁体磁场相互作用，产生转矩。
直接转矩控制(DTC)技术概述作者：同济大学电气工程系袁登科陶生桂王志鹏刘洪1 引言交流电机传动系统中的直接转矩控制技术是基于定子两相静止参考坐标系，一方面维持转矩在给定值附近，另一方面维持定子磁链沿着给定轨迹(预先设定的轨迹，如六边形或圆形等)运动，对交流电机的电磁转矩与定子磁链直接进行闭环控制。
最早提出的经典控制结构是采用bang-bang控制器对定子磁链与电磁转矩实施砰砰控制，分别将它们的脉动限制在预先设定的范围内。
bang-bang调节器是进行比较与量化的环节，当实际值超过调节范围的上、下限时，它就产生动作，输出的数字控制量就会发生变化。
然后由该控制量直接决定出电压型逆变器输出的电压空间向量。
这种经典的直接转矩控制技术具有:(1) 非常简单的控制结构;(2) 非常快速的动态性能;(3) 无需专门的pwm技术;(4) 把交流电机与逆变器结合在一起, 对电机的控制最为直接，且能最大限度发挥逆变器的能力;(5) 前面叙述的实际被控量必须发生脉动才能产生合适的数字控制量，所以它不可避免地存在着一种与其特有的pwm技术密切相关的定子磁链与电磁转矩的脉动。
2 传统的直接转矩控制(dtc)方案直接转矩控制技术于上世纪80年代中期提出, 当时的控制系统有两种典型的控制结构:德国学者的直接转矩自控制方案与日本学者的直接转矩与磁链控制方案。
两者都属于直接转矩控制的范围，但仍有着较大的不同。
下面对各种方案进行介绍与分析。
2.1 德国depenbrock教授的直接自控制(dsc)方案[1]直接自控制方案是针对大功率交流传动系统电压型逆变器驱动感应电机提出来的控制方案。
由于当时采用大功率gto半导体开关器件，考虑到器件本身的开通、关断比较慢，还有开关损耗和散热等实际问题，gto器件的开关频率不能太高。
当时的开关频率要小于1khz，通常只有500~600hz。
而即便到现在，大功率交流传动应用场合中开关频率也只能有几khz。
摘要：直接转矩控制系统简称DTC（Direct Torque Control）系统，是继矢量控制系统之后发展起来的另外一种高动态性能的交流电动机变压变频调速系统。
在它的转速环里面利用转矩反馈直接控制电机的电磁转矩，因此而得名为直接转矩控制。
在控制思想上与矢量控制不同的是直接转矩控制通过直接控制转矩和磁链来间接控制电流，不需要复杂的坐标变换，因此具有结构简单、转矩响应快以及对参数鲁棒性好等优点。
本文对直接转矩控制原理进行了简介，以及目前应用直接转矩控制的产品介绍。
关键词：直接转矩控制，异步电机目录1直接转矩控制的基本原理及特点与规律 (3)1.1直接转矩控制系统原理与特点 (3)1.2直接转矩系统的控制规律和反馈系统 (5)2 直接转矩控制的基本原理和仿真模型 (7)2.1直接转矩控制的基本原理 (7)2.2直接转矩控制的仿真模型总图 (8)3 三相异步电机的数学模型 (8)4 磁链信号和转矩信号产生 (10)4.1定子磁链的观测控制 (10)4.2 电磁转矩的有效控制 (12)总结 (13)参考文献 (14)1直接转矩控制的基本原理及特点与规律直接转矩控制系统简称DTC（Direct Torque Control）系统，是继矢量控制系统之后发展起来的另外一种高动态性能的交流电动机变压变频调速系统。
在它的转速环里面利用转矩反馈直接控制电机的电磁转矩，因此而得名为直接转矩控制。
1.1直接转矩控制系统原理与特点如图1-1为直接转矩控制的原理框图，和VC系统一样，它也是分别控制异步电动机的转速和磁链，转速调节器ASR的输出作为电磁转矩的给定信号*T，在*T后面设置转矩控制内环，它可以抑制磁链变化对于转矩的影响，从而使得转速和磁链系统实现解耦。
因此，从整体控制结构上来看，直接转矩控制（DTC）系统和矢量控制系统（VC）系统是一致的都获得了较高质量的动态性能以及静态性能。
图1-1直接转矩控制系统图的幅值从图中中可以看出，直接转矩控制系统，就是通过使定转子磁链s保持恒定，然后选择合理的零矢量的作用次序和作用时宽，以调节定子磁链矢量的运动速度，从而改变磁通角的大小，以实现对电机转矩的控制。
直接转矩控制原理直接转矩控制是现代交流电机控制的一种方法。
该方法是控制电机强制控制其转矩以满足用户需求。
最初用于永磁同步电机控制，但现在已被广泛使用于异步电机以及其他类型电机的控制中。
直接转矩控制原理基于电机的意图控制，这个意图是指在控制周期内，电机期望达到的转矩。
控制器的目标是根据电机的意图控制电流并直接通过反馈测量进行修正，以控制电机的转矩输出。
与传统的平衡系统控制不同，直接转矩控制借助测量或估算电机磁通，并通过控制电机的磁通与当前测量的电机的电流的相位差来直接控制电机的转矩输出。
这种方法允许在没有传感器的情况下实现更短的响应时间，同时还可以更加准确地控制电机的转矩输出。
直接转矩控制的控制器由径向和切向两部分组成。
在径向控制环中，电流被用来控制电机的轴向磁通，旨在单向控制电机的转矩输出。
在切向控制环中，电流被用来控制电机的切向磁通，旨在控制电机的速度和位置。
通过在磁通和电流之间建立一个直接关系，可以控制电机的转矩输出。
直接转矩控制的主要步骤包括：1. 局部变量采集控制器通过使用传感器来测量电机的电流、转速、位置和其他变量。
这些变量被用于计算电机的角度，以及对电机的转矩进行估算。
2. 确定电机意图控制器根据控制周期之间的差异来确定电机的意图控制转矩输出。
该意图旨在帮助控制器驱动电机的输出以满足一个给定的应用程序目标。
3. 估算磁通控制器利用传感器数据对电机的磁通进行估算。
这部分对控制系统的准确性至关重要。
4. 根据意图控制电流控制器比较意图转矩与测量的电流，通过调整控制之间的差异，来控制电机的电流输出，以实现所需的电机转矩输出。
5. 调整控制器参数根据测量的数据，控制器不断地调整其参数（如比例积分等），以实现更准确的转矩输出。
直接转矩控制具有高精度、响应迅速、动态能力强的优点。
通过采用现代微电子技术，可以实现实时监控与控制，提高了电机的效率、可靠性与低噪音的运行，促进了电机在现代自动化设备中的应用。
直接转矩控制直接转矩控制（Direct Torque Control，简称DTC）是一种电机控制技术，用于直接控制交流电机的转矩和转速。
它是由法国斯特拉斯堡理工大学的Andrzej M. Trzynadlowski 教授于1985年提出的。
相比传统的电机向量控制（Field Oriented Control，简称FOC），DTC具有更快的响应速度、更宽的可调速范围和更精确的转矩控制能力，因此在工业应用中得到了广泛的应用。
直接转矩控制的基本原理是根据电机的状态变量，即电机电流和转速，直接计算所需的转矩控制量，并通过适当的电压矢量选择器生成相应的电压矢量，从而实现对电机的转矩和转速控制。
与FOC相比，DTC不需要进行逆变器电流矢量的坐标变换和空间矢量调制，因此减少了计算开销，提高了控制系统的响应速度。
在直接转矩控制中，最重要的是转矩和磁通的估算。
转矩估算一般通过测量电机绕组的电流和电压来实现，可以利用数学模型、数据曲线和反演算法等方式进行估算。
而磁通估算则是通过测量电机反电动势来实现，反电动势的测量可以利用传感器或者观测器等方法进行。
直接转矩控制的优点主要体现在以下几个方面：1. 响应速度快：由于DTC不需要坐标变换和空间矢量调制，可以更快地响应转矩和转速的变化，提高了系统的动态性能。
2. 转矩和转速控制精度高：DTC可以直接计算所需的转矩控制量，精确地控制电机的转矩和转速，使系统响应更加准确和稳定。
3. 拓扑简单：DTC的控制电路结构相对简单，不需要传统的坐标变换和PWM技术，减少了电路复杂性和硬件实现难度。
4. 高可靠性：由于DTC的拓扑简单，减少了电路元器件的数量和故障点，提高了系统的可靠性和稳定性。
5. 宽工作范围：DTC适用于大范围的转矩和转速控制需求，可以满足不同工况下的运行要求。
然而，直接转矩控制也存在一些缺点和挑战。
首先，由于DTC直接计算所需的控制量，对参考值的变化非常敏感，因此对速度和磁通参数的准确测量和估算至关重要。
直接转矩控制原理直接转矩控制是一种用于电机控制的方法，它通过直接控制电机的转矩，实现对电机运动的精确控制。
该控制方法广泛应用于各种类型的电机，包括直流电机、交流电机和步进电机等。
直接转矩控制的原理是利用电机的数学模型，通过对电机的电流和转矩之间的关系进行建模和计算，从而实现对电机转矩的精确控制。
在直接转矩控制中，电机的电流和转矩是直接控制的变量，而电机的速度和位置则是通过对电流和转矩进行反馈控制来实现的。
直接转矩控制的关键是准确地测量和估计电机的转矩。
为了实现这一点，通常需要使用一些传感器来测量电机的电流和转矩。
例如，可以使用电流传感器来测量电机的电流，使用转矩传感器来测量电机的转矩。
此外，还可以利用电机的数学模型来估计电机的转矩，从而减少传感器的使用量和成本。
在直接转矩控制中，电机的控制器通常采用高性能的数字信号处理器（DSP）或微控制器（MCU）来实现。
这些控制器具有强大的计算和处理能力，可以实时计算和调整电机的转矩，从而实现对电机运动的精确控制。
直接转矩控制的优点是具有较高的控制精度和响应速度。
由于直接控制了电机的转矩，可以实现对电机运动的精确控制，从而满足高精度和高性能的应用需求。
此外，直接转矩控制还可以实现对电机的快速响应，提高系统的动态性能和稳定性。
然而，直接转矩控制也存在一些挑战和限制。
首先，直接转矩控制需要准确地测量和估计电机的转矩，这对传感器和控制算法的设计提出了较高的要求。
其次，直接转矩控制对电机的参数和模型要求较高，需要精确地了解电机的特性和性能参数。
最后，直接转矩控制的实现复杂度较高，在控制器的设计和调试过程中需要投入较大的工作量和时间。
直接转矩控制是一种用于电机控制的高性能方法，通过直接控制电机的转矩，实现对电机运动的精确控制。
该控制方法具有较高的控制精度和响应速度，适用于各种类型的电机。
然而，直接转矩控制也存在一些挑战和限制，需要克服参数估计和模型精度等问题。
随着电机技术的不断发展和创新，直接转矩控制在各种应用领域有着广阔的发展前景。
太原科技大学题目：直接转矩控制专业：电气工程班级：研1403姓名：安顺林学号：S2*******直接转矩控制摘要直接转矩控制系统具有宽调速范围、高稳速精度、快动态响应控制等优点，是交流调速领域中一种新颖的控制算法。
直接转矩控制技术采用空间矢量分析的方法，直接在定子坐标系下计算并控制交流电动机的转矩和磁链，计算所得的转矩和磁链分别与给定值进行施密特调节产生脉冲信号，对逆变器的开关状态进行最佳控制，以获得转矩的高动态性能。
本文从异步机数学模型出发，系统阐述了异步机直接转矩控制基本理论，详细分析了空间电压矢量与定子磁链、电动机转矩的关系。
针对异步机的特点，分析讨论了空间矢量调制的直接转矩控制及实现方法，包括参考矢量的生成及空间电压矢量调制的方法。
关键字直接转矩控制，异步电动机一直接转矩控制系统介绍1.1 异步电动机调速系统的发展状况在异步电动机调速系统中变频调速技术是目前应用最广泛的调速技术，也是最有希望取代直流调速的调速方式。
就变频调速而言，其形式也有很多。
传统的变频调速方式是采用v/f控制。
这种方式控制结构简单，但由于它是基于电动机的稳态方程实现的，系统的动态响应指标较差，还无法完全取代直流调速系统。
1971年，德国学者EBlaschke提出了交流电动机的磁场定向矢量控制理论，标志着交流调速理论有了重大突破。
所谓矢量控制，就是交流电动机模拟成直流电动机来控制，通过坐标变换来实现电动机定子电流的励磁分量和转矩分量的解藕，然后分别独立调节，从而获得高性能的转矩特性和转速响应特性。
矢量控制主要有两种方式:磁场定向矢量控制和转差频率矢量控制。
无论采用哪种方式，转子磁链的准确检测是实现矢量控制的关键，直接关系到矢量控制系统性能的好坏。
一般地，转子磁链检测可以采用直接法或间接法来实现。
直接法就是通过在电动机内部埋设感应线圈以检测电动机的磁链，这种方式会使简单的交流电动机结构复杂化，降低了系统的可靠性，磁链的检测精度也不能得到长期的保证。
因此，间接法是实际应用中实现转子磁链检测的常用方法。
这种方法通过检测电机的定子电压、电流、转速等可以直接检测的量，采用状态重构的方法来观测电动机的磁链。
这种方法便于实现，也能在一定程度上确保检测的精度，但由于在异步电动机直接转矩调速系统的设计与仿真研究在状态重构过程中使用了电动机的参数，如果环境变化引起电动机参数的变化，就会影响到定子磁链的准确观测。
为补偿参数变化的影响，人们又引入了各种参数在线辨识和补偿算法，但补偿算法的引入也会使系统算法复杂化。
1985年，德国鲁尔大学的DePenbrock教授提出了一种新型交流调速理论一一直接转矩控制。
这种方法结构简单，在很大程度上克服了矢量控制中由于坐标变换引起的计算量大、控制结构复杂、系统性能受电动机参数影响较大等缺点，系统的动静态性能指标都十分优越，是一种很有发展前途的交流调速方案。
因此，直接转矩控制理论一问世便受到广泛关注。
目前国内外围绕直接转矩控制的研究十分活跃。
1.2 直接转矩控制技术传统的交流调速系统通常采用恒压频比的方式，但是由于异步电动机是一种多变量系统，具有高阶、非线性、强耦合的特点，恒压频比控制这种基于电机的稳态方程的控制方式的动态响应始终不够理想，调节器参数设置很难达到精度要求。
由于电机控制方法并没有达到让人满意的程度，很多专家和研究人员就开始在该领域潜心研究。
终于在1971 年提出了矢量控制技术，从而使交流调频技术从理论山解决了以前交流调速系统在静、动态性能上不能与直流传动相媲美的问题。
尽管矢量控制存在诸多优点，但是其存在的问题也不可回避。
研究人员指出，矢量控制中存在特性易受电动机参数变化的影响、计算控制复杂、实际性能难于达到理论分析结果等重大问题，需要进一步改善或者寻找新的控制策略。
于是在1977年，在IEEE 杂志上A.B.Piunkett 提出了直接转矩控制思想，1985 年德国鲁尔大学的M.Depenbrock 教授将直接转矩控制思想应用于实际情况中，随后日本学者I.Takahashi 也提出了与之类似的控制方案，而且在1987 年把它推广到了弱磁调速范围。
直接转矩控制理论一经提出，便得到了交流调速控制领域专家的广泛关注，并且各国专家都投入了大量的精力去研究和发展该控制技术。
总体来说，直接转矩控制技术具有以下几个特点：1、直接转矩控制技术直接控制电动机的输出转矩，即直接给出转矩给定值，以输出转矩和磁链作为控制对象，对电动机的控制直接明了。
2、直接转矩只需掌握被测电动机的转子的电阻即可解决复杂的定子磁链的观测问题，在很大程度上解决了矢量控制中定子磁链的观测易受电动机各项参数影响的问题。
3、直接转矩控制是一种动态控制手段，不是稳态控制，其精度远远高于传统的控制策略。
直接转矩控制的总体思想就是采用空间矢量分析的方法，直接在定子坐标系下计算并控制交流电动机的转矩和磁链，计算所得的转矩和磁链分别与给定值进行施密特调节产生脉冲信号，直接对逆变器的开关状态进行最佳控制，以获得转矩的高动态性能。
直接转矩控制强调的是转矩的直接控制与效果。
它包含有两层意思：(1)直接转矩控制与著名的矢量控制的方法不同，它不是通过控制电流、磁链等量来间接控制转矩，而是把转矩直接作为被控量，直接控制转矩。
因此，它并非极力获得理想的正弦波波形，也不专门强调磁链的圆形轨迹。
相反，从控制转矩的角度出发，它强调的是转矩的直接控制效果，因而它采用离散的电压状态和六边形磁链轨迹或近似圆形磁链轨迹的概念。
(2)对转矩的直接控制直接转矩控制技术对转矩实行直接控制。
其控制方式是，通过转矩两点式调节器把转矩检测值与转矩给定值作带滞环的比较，把转矩波动限制在一定的容差范围内，容差的大小，由频率调节器来控制。
因此它的控制效果不取决与电动机的数学模型是否能够简化，而是取决于转矩的实际状况。
它的控制既直接又简化。
对转矩的这种直接控制方式也称之为“直接自控制”。
综上所述，直接转矩控制技术，用空间矢量的分析方法，直接在定子坐标系下计算与控制交流电动机的转矩，采用定子磁链定向，借助与离散的两点式调节产生PWM信号，直对逆变器的开关状态进行最佳的控制，以获得转矩的高动态性能。
它省掉了复杂的矢量变换与电动机数学模型的简化处理，没有通常的PWM信号发生器。
它的控制思想新颖，控制结构简单，控制手段直接，信号处理的物理概念明确。
该控制系统的转矩响应迅速，限制在一拍以内，且无超调，是一种具有高静动态性能的交流调速方法。
但是 DTC系统存在的问题是：(1)由于采用砰-砰控制，实际转矩必然在上下限内脉动，而不是完全恒定的。
(2)由于磁链计算采用了带积分环节的电压模型，积分初值、累积误差和定子电阻的变化都会影响磁链计算的准确度。
这两个问题的影响在低速时都比较显著，因而使DTC系统的调速范围受限制。
1.3 与矢量控制系统的比较直接转矩控制技术，是利用空间矢量、定子磁场定向的分析方法，直接在定子坐标系下分析异步电动机的数学模型，计算与控制异步电动机的磁链和转矩，采用离散的两点式调节器（ Band-Band 控制），把转矩检测值与转矩给定值作比较，使转矩波动限制在一定的容差范围内，容差的大小由频率调节器来控制，并产生 PWM 脉宽调制信号，直接对逆变器的开关状态进行控制，以获得高动态性能的转矩输出。
它的控制效果不取决于异步电动机的数学模型是否能够简化，而是取决于转矩的实际状况，它不需要将交流电动机与直流电动机作比较、等效、转化，即不需要模仿直流电动机的控制，由于它省掉了矢量变换方式的坐标变换与计算和为解耦而简化异步电动机数学模型，没有通常的 PWM 脉宽调制信号发生器，所以它的控制结构简单、控制信号处理的物理概念明确、系统的转矩响应迅速且无超调，是一种具有高静、动态性能的交流调速控制方式。
与矢量控制方式比较，直接转矩控制磁场定向所用的是定子磁链，它采用离散的电压状态和六边形磁链轨迹或近似圆形磁链轨迹的概念。
只要知道定子电阻就可以把它观测出来。
而矢量控制磁场定向所用的是转子磁链，观测转子磁链需要知道电动机转子电阻和电感。
因此直接转矩控制大大减少了矢量控制技术中控制性能易受参数变化影响的问题。
直接转矩控制强调的是转矩的直接控制与效果。
与矢量控制方法不同，它不是通过控制电流、磁链等量来间接控制转矩，而是把转矩直接作为被控量，对转矩的直接控制或直接控制转矩，既直接又简化。
但也存在不足：一个是在低速区，由于定子电阻的变化带来了一系列问题。
主要是定子电流和磁链的畸变非常严重。
另外低速时转矩脉动、死区效应、开关频率问题也比较突出。
上下桥臂同时导通造成直流侧短路，引入足够大的互锁延时，带来了死区效应。
死区效应积累的误差使得逆变器输出电压失真，于是又产生电流失真，加剧脉动和系统运行不稳定的问题。
如逆变器开关频率不固定、转矩、电流波动较大、低速性能差和系统调速范围受到限制等。
表1-1 直接转矩控制系统和矢量控制系统特点与性能比较二 直接转矩控制系统2.1.1 异步电动机的数学模型异步电机数学模型是一个高阶、强耦合、多变量、非线性系统。
理想状态下（一般这样假设）电机三相（定、转子）均对称，定、转子表面光滑，无齿槽效应，电机气隙磁势在空间正弦分布，铁心涡流、饱和及磁滞损耗不计。
在固定坐标系下（α，β，0），用异步电机转子的量来表示异步电机数学模型（则有r u α＝r u β＝0）。
基本方程如下： ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r r s s r r rmm rr r mm m ss m s s s s i i i i L R L L LL L R L L L L R L L R u u βαβαβαωωωω........000000 （1） )()(r s r s m p s s s s p e i i i i L n i i n T βααβαββαψψ-=-= （2） pe p n F TL T dt n Jd ωω--= （3）s R、s L ：定子电阻和自感 r R 、r L ：转子电阻和自感m L ：定子互感ω：电机转子角速度，即机械角速度s u α 、s u β：定子电压（α、β）分量 s i α 、s i β：定子电流（α、β）分量 r u α、r u β：转子电压（α、β）分量 r i α、r i β：转子电压（α、β）分量J ，F 分别为机械转动惯量和机械磨擦系数本文均采用空间矢量分析方法，图2-1是异步电机的空间矢量等效图，在正交定子坐标系（βα-各个物理量定义如下：)(t u s —定子电压空间矢量)(t i s —定子电流空间矢量 )(t i r —转子电流空间矢量)(t s ψ—定子磁链空间矢量ω —电角速度依图2-1以下表达式表示异步电机在定子坐标系下的方程：s s s s i R U ψ+= (4)0 =r r i R -r ψ+j ωr ψ (5)s ψ=L u i (6) r ψ =s ψ-r i L σ (7)定子旋转磁场输出功率为（下式s ω表示定子旋转磁场的频率）：P=d s T ω=*}{23s s i RE ψ=)(23ββααψψs s s s i i + (8) 并且有 s .ψ＝)(βαωs s s ji i L j + (9)把表达式(9)分解到（βα-）坐标下得：ββαψωωψs s s s s Li -=-=.（10）ααβψωωψs s s s s Li -=-=.（11）把式（10）和式（11）代入式（8）得转矩表达式：)(23αββαψψs s s s d i i T -=（12） 从图1可得：r u s i i i +=，结合式（6）、式（7）得： )(231βααβσψψψr s r s d i L T -=（13） 上式也可以表示成（θ为磁通角，即定子磁链与转子磁链之间的夹角）：θψψσsin 231r s d L T =（14） 定子磁链的幅值根据式（4）由定子电压积分来计算的，而转子磁链幅值由负载决定的，它根据式（5）由转子电流决定，而稳态转矩据式（14）则通过计算磁通角来实现。
