代数复习1(数的整除、实数)-学生版

数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。

它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。

下面将对数的整除进行详细总结。

一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。

可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。

二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。

2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。

3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。

4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。

5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。

6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。

三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。

如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。

2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。

四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。

2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。

3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。

4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。

例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。

2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。

代数概念的复习一．数的整除1. 数的整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。

整除的条件：1.除数，被除数都是整数；2. 被除数除以除数，商是整数而且余数为0.2. 因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3. 能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除4 .能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的整数都能被5整除。

5 奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。

6. 偶数：能被2整除的整数叫做偶数。

7. 素数: 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。

8. 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

1既不是素数，也不是合数。

正整数可以分为1，素数，合数三类。

9. 分解素因数：每个合数可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

（短除法）10. （最大）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数11. 互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。

12. （最小）公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。

如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。

二．实数1．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根2. 开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数1⎧⎪⎨⎪⎩素数正整数合数 0⎧⎪⎨⎪⎩正整数整数负整数 ⎧⎪⎨⎪⎩正实数实数零负实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪→⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪→⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 三． 整式与分式1. 代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式2． 单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式3． 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数4. 多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。

专题一 实数第一讲 数的整除（一）一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y例2己知五位数x 1234能被12整除，求X例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值。

一、知识梳理：整数和整除：1．零和正整数统称为自然数；正整数，零和负整数统称为整数。

2．整除的概念：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b 整除，或者b能整除a。

3. 整除的条件：除数·被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

4．整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

5. 一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

6．能够被2和5整除的数：个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除。

能够被2整除的数叫做偶数，不能够被2整除的数叫做奇数。

个位上是0或者5的整数都能被5整除。

分解素因数：1.一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。

2.1既不是素数也不是合数。

正整数又可以分为1，素数和合数三类。

3.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

4.用短除法分解素因数；用口算来分解素因数。

因数、公因数、最大公因数1. 一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身，最小的因数是1；2. 几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数；3.互素数：公因数只有1的两个整数，称为互素数。

倍数、公倍数、最小公倍数1. 一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身；2. 几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数；3.求几个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余（独有）的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这几个数的最小公倍数4、如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。

注意1．有最小的自然数，没有最小的整数2．“除”和“除以”的概念3．整除的条件：除数和被除数都是整数，商是整数，余数为零。

代数知识点整理一、数的整除①整除：整数a除以b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a②因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）③能被2、5整除的数：个位上是0，2，4，6，8，的整数都能被2整除个位上是0或5的整数都能被5整除④奇数：…-7，-5，-3，-1，1，3，5，7…偶数：…-6，-4，-2，0，-2，4，6，…素数（也叫质数）：只有1和它本身两个因数的数。

例如：2，3，5，7，11，13⑤正整数 1：既不是素数也不是合数合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数.例如：4，6，8，9，10，12⑥素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素⑦公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做他们的最小公倍数二、实数（有理数和无理数的统称）正整数自然数整数零有理数负整数实数分数无理数-----------无限不循环小数叫做无理数(如 ，5，0.01…)有理数都可以写成ab（a、b是整数，且b≠0）的形式无理数不能写成分数ab（a、b是整数，且b≠0）的形式①同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，把较大的绝对值减去较小的绝对值有理数的加减法③一个数与零相加，仍得这个数④加法交换律：a+b=b+a⑤加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）⑥减去一个数，等于加上这个数的相反数①两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）②除以一个数等于乘以这个数的倒数③任何数与零相乘，都得零有理数的乘除法 ④零除以任何一个不等于零的数，都得零⑤乘法交换律：ab=ba⑥乘法结合律：（ab ）c=a （bc ）⑦乘法分配律：a （b+c ）=ab+ac有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 有理数的混合运算：先乘方、开方，再乘、除，后加、减。

中考数学代数部分复习要点中考对于每一位初中生来说都是一次重要的挑战，而数学作为其中的重要科目，代数部分更是占据了较大的比重。

为了帮助同学们更好地复习中考数学代数部分，提高复习效率，以下是对代数部分复习要点的详细梳理。

一、实数1、实数的分类要清楚地知道实数包括有理数和无理数。

有理数又分为整数和分数，无理数则是无限不循环小数。

比如常见的无理数有π、√2 等。

2、数轴、相反数、绝对值数轴是理解实数的重要工具，数轴上的点与实数一一对应。

相反数是指绝对值相等，符号相反的两个数。

绝对值则是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

3、实数的运算掌握实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算。

特别是要注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

有括号的要先算括号里面的。

二、代数式1、整式（1）单项式和多项式的概念要清晰。

单项式是只有一个项的式子，多项式是由多个单项式组成的式子。

（2）整式的加减运算，其实质就是合并同类项。

同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

（3）整式的乘法运算，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，要熟练掌握乘法公式，如平方差公式和完全平方公式。

2、分式（1）分式的定义，即分母中含有字母的式子。

（2）分式有意义的条件是分母不为零。

（3）分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。

（4）分式的运算，包括分式的加减、乘除、乘方。

3、二次根式（1）二次根式的定义，形如√a（a≥0）的式子。

（2）二次根式的性质，如（√a）²＝ a（a≥0），√a² ＝｜a| 等。

（3）二次根式的化简和运算，要将二次根式化为最简二次根式，然后进行合并同类二次根式的运算。

三、方程与不等式1、一元一次方程（1）方程的定义，含有未知数的等式。

（2）一元一次方程的一般形式为 ax ＋ b ＝ 0（a≠0），解一元一次方程的步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等。