高等数学习题及解答(极限,连续与导数)

极限导数考试题及答案1. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，当\(x\)趋近于0时，\(\frac{\sin x}{x}\)的极限等于\(\frac{\cos x}{1}\)的极限，即\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \cos 0 = 1\)。

2. 求函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)在\(x = 1\)处的导数。

答案：首先求导数\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)，然后将\(x = 1\)代入得到\(f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3\)。

3. 判断极限\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)是否存在，并说明理由。

答案：极限\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)存在，因为当\(x\)趋向于无穷大时，\(\frac{1}{x}\)趋向于0。

4. 计算定积分\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案：根据定积分的定义，\(\int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\)。

5. 求函数\(g(x) = e^x\)的导数。

答案：根据指数函数的导数公式，\(g'(x) = e^x\)。

6. 计算极限：\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。

答案：首先对分子进行因式分解，得到\(\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\)。

7. 求函数\(h(x) = \ln(x)\)在\(x = e\)处的导数值。

高等数学函数极限连续练习题及解析第一篇：高等数学函数极限连续练习题及解析数学任务——启动——习题1一、选择题：(1)函数y=-x+arccosx+1的定义域是()2(A)x≤1;(B)-3≤x≤1(C)(-3,1)(D)xx<1⋂x-3≤x≤1(2)函数y=xcosx+sinx是()(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数(3)函数y=1+cos{}{}π2x的最小正周期是()(A)2π(B)(4)与y=π(C)4(D)1 2x2等价的函数是()(A)x;(B)(x)(C)x)(D)23x⎧x-1-1<x≤0(5)f(x)=⎨,则limf(x)=()x0<x≤1x→0⎩(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：(1)若f ⎪=⎛1⎫⎝t⎭5+2t2,则f(t)=_________,ft2+1=__________.t()⎧⎪1(2)φ(t)=⎨⎪sinx⎩π⎫⎛π⎫3，则φ⎛φ⎪=______。

⎪=______,π⎝6⎭⎝6⎭x>30,1]，则fx2的定义域为______，f(sinx)的定义域为x≤π(3)若f(x)的定义域为()______，f(x+a)(a>0)的定义域为___，f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为______。

1-4x2(4)lim。

=__________12x+1x→-2(5)无穷小量皆以______为极限。

三、计算题(1)证明函数y=11sin在区间(0,1]上无界，但当x→+0时，这个函数不是无穷大。

xx(2)求下列极限(1)lim2x3+3x2+5x→∞7x3+4x2-1(3)lim(tanx)tan2xx→π(5)limex-1xx→0(7)lim+xsinx-1x→0x2arctanx(2)lim1-cos2x x→0xsinx(4)lim(1+2n+3n1n n→∞(6)limtanx-sinxx→0sin32x ⎛1(8)limx ex-1⎫⎪x→∞⎝⎪⎭(3)设f(x)=⎨⎧1-xx<0，求limf(x)。

大学高数极限考试题及答案# 大学高数极限考试题及答案一、选择题1. 下列函数中，极限不存在的是（）A. \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 当 \( x \to 1 \)B. \( g(x) = \sin(x) \) 当 \( x \to \pi \)C. \( h(x) = x^2 \) 当 \( x \to 2 \)D. \( k(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 当 \( x \to 0 \)答案：A2. 计算极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} \) 的结果是（）A. \( \infty \)B. \( 1 \)C. \( 0 \)D. \( \frac{1}{2} \)答案：A二、填空题1. \( \lim_{x \to 0} x \cdot \sin(\frac{1}{x}) = \) ______答案：02. \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = \) ______答案：0三、计算题1. 计算极限 \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)。

解答：\( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \)2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)。

解答：使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 \)四、证明题1. 证明 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

练习题1. 极限 <5> 011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b . <6> x x x x sin 1sin lim 20→ <7> 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→ <8> x x x21lim 0-→<9> x x x sin )31ln(lim 0-→ <10> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→1lim 1x x e x2. 函数的连续性<1> 确定b 的值, 使函数在x =0点连续.<2> 确定a , b 的值, 使函数在整个实数轴上连续.<3> 讨论如下函数的连续性, 并判断其连续点的类型. ①x xx f sin )(= ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f x x3. 连续函数的性质<1> 设1)(1-+++=-x x x x f n n , 证明：)(x f 有一个不大于1的正根.<2> 假如),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim ,证明:),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性<1> 确定b 的值, 使函数在x =0点连续.解:100)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x<2> 确定a , b 的值, 使函数在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x ba xb a x bx ax x xx f y<3> 讨论如下函数的连续性,并判断其连续点的类型. ①x x x f sin )(=解: x =0为可去连续点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f x x 解:1)(lim 1)(lim 00-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃连续点.3. 连续函数的性质<1> 设1)(1-+++=-x x x x f n n , 证明：)(x f 有一个不大于1的正根. 解: 假如n=1, 如此显然有解x =1.假如n>1, 如此01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在<0, 1>内至少有一个根..<2> 假如),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f 由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f < 取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 假如A x f ≡)(, 如此显然结论成立.设存在A x f >)(0, 如此存在X >0, 当X x ≥时, 有于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ 从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C A C x f <+<2)( 于是有C A C X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。

高中数学练习题附带解析极限与连续函数的计算高中数学练习题附带解析：极限与连续函数的计算第一题：求以下函数在$x=0$处的右导数和左导数，判断该函数在$x=0$处是否连续。

$$f(x)=\begin{cases}x+1 &,x<0 \\x^2 &,x \geq 0\end{cases}$$解析：首先求该函数在$x=0$处的函数值$f(0)$，由于$x \geq 0$时，$f(x)=x^2$，因此$f(0)=0$。

其次，求该函数在$x=0$处的右导数和左导数。

当$x<0$时，$f(x)=x+1$，因此该函数在$x=0$处的左导数为$f'_{-}(0)=1$。

当$x>0$时，$f(x)=x^2$，因此该函数在$x=0$处的右导数为$f'_{+}(0)=0$。

由于$f'_{-}(0) \neq f'_{+}(0)$，因此该函数在$x=0$处不存在导数，所以该函数在$x=0$处不连续。

第二题：求以下函数在$x=1$处的极限。

$$f(x)=\begin{cases}x+1 &,x<1 \\x^2 &,x >1\end{cases}$$解析：该函数在$x=1$处的左极限为$$\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}(x+1)=2$$该函数在$x=1$处的右极限为$$\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x^2)=1$$由于左极限和右极限不相等，因此该函数在$x=1$处不存在极限。

第三题：求以下函数在$x \to +\infty$时的极限。

$$f(x)=\frac{3x^3+x^2+1}{5x^3-2x+1}$$解析：首先将分母的最高次幂提取出来，得到$$f(x)=\frac{3x^3+x^2+1}{5x^3-2x+1}=\frac{x^3(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})}{x^3(5-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3})}$$当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{x^2} \to 0$，$\frac{1}{x^3} \to 0$，所以$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to+\infty}\frac{x^3(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})}{x^3(5-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3})}=\frac{3}{5}$$因此，该函数在$x \to +\infty$时的极限为$\frac{3}{5}$。

高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

极限必做150解答033002020001021111.lim ()x sin tan tan sin tan (1cos )1lim lim 2ln()ln()2ln 2.lim1121lim lim 22()()l x x x x x x x x x ax x x x x x x x a x a x a x x a x a x x x a x a x a→→→→→→→→→---===++----+-===-+-===00002201tan 6.lim(sin lim ln(1)ln(1x x )7.lim secx cosxl x ax ax a x x x x x x mxm nx mx m nx n x x →→→→→→→→→+=+==-==+++-+-=、n 为正整数)=2224222002020ln (1)im lim 1sec (1cos )1..8.lim ln()1111121lim ....2x x x x nxx x x nx x x x x x x x xe e e x n e e e n n x nn n n n n →→→→⎡⎤+-+⎣⎦==-+++⎛⎫---+=+++=+++= ⎪⎝⎭)22(1)22(1)6(1)lim2312li 9.limsinlim(1))lim(1)03210.lim 346lim 1312111.lim 212lim 121n n nnn n n n n n n n n n n nn nn n n n ee n n n e n π→∞→∞→∞→∞+→∞+-+-+→∞→∞→∞=--=-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭+⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭2m 21ln ln lim lim ()2211(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)(2)(2200012.lim 13.lim 212lim lim lim 2n n n n n nn a ba bn n n nn nn t t t t t t t t t e ee en e e e t ne e e e e e e t t →∞→∞→∞-→∞++⎝⎭+-→∞+-+-+-→→→=⎝⎭====⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=+--+===令)21lim 1lim 1214.lim 1 (a ln lim ln 15.lim 1n n n n n n nn n n e n a a n a nn eeee →∞→∞→∞→∞→∞⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=⎛ ⎪+⎝⎭====为整数)=[]211lim21116.lim ln()ln()2ln 1,n17.lim lim (1)lim 1118.lim (1)19.lim ln(1)ln 1lim ln lim n n a bn n n abnn n n nn n n n n n n a a a n n t n e e n e n e a b e n ne n e e nn n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤++--⎢⎥⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-=+-+⎛⎫== ⎪⎝⎭令同第二题[]211120201ln(1)1120.limln (1)(1)(1)(1)limlim 2ln()(1)21.lim ln(1)ln(1)122lim ln()lim ln(1)lim 2111ln cos 22.limln(1cosx 1)lim li x x x x x x x x x n n x x x x x x x x x x xx xx x x x x xx x →∞→-→-→-→+∞→+∞→+∞→+∞→→+=-+-+-===--++--+==+==---+-==[]2022cos 11m 223.lim (2)ln(2)2(1)ln(1)ln 2lim ln(2)ln(1)ln ln(1)2ln()121lim ln ln 2lim ln(1)221111(1)x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→+∞→+∞→+∞→+∞-=-++-++++⎡⎤=+-++-++⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=++=-+=-=⎢⎥+++⎣⎦)00010110112lim 2cot 0sin()cos()44limcos()tan cos()sin()244424.lim26.lim tan()427.lim sin x x x x xx xx x xxx x x x x x x x xe ee eex e e x ππππππ→→→→→→→--→---------→+=====⎡⎤-⎢⎥⎣⎦===()22222221sin cos 1cos 1limlim1tan2sin 1cos limlim12cos cos 2222122lim 1lim 2121cos 28.lim(sin )2129.lim 21x x x x x x xx x x xxxx x x x xxx x x x x x x x x x x eeex e eex x x x eeπππ→→→→→∞→∞+--+→---→∞⎛⎫-+-+⎛⎫- ⎪ ⎪ +-+-⎝⎭⎝⎭+======⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭==132lim 3621122130.lim 212lim(1)2131.lim(12)x xx x x x xx e x x e e x x e →∞⎪-→∞⎛⎫⎪+⎝⎭→∞-→=+⎛⎫⎪-⎝⎭=+=+-=22lim cos1lim()221cos cos sinlim limtancos()cos0002232.lim coscos33.limcosln()ln()2ln134.lim35.limx xx a x axxx xxx ax ax a xaa x a axxe e exae e ex x x x xx xππ→+∞→+∞→→→+∞⎡⎤⎫-⎢⎪⎥-⎭⎣⎦-→----→→+===⎛⎫⎪⎝⎭===++--+同第二题-[]00011211121ln(1)ln(1)ln(1)lim ln(1)lim lim1ln(sec tan)36.limsinln(1sin)cos ln(1sin)ln coslim lim lim137.lim()lim(axax axaxaxx x xxx x xx xxxxbexb b e abee abx x ex xxx x x xx x xx a ax a a∞→+∞→+∞→+∞→→→→+→+∞+→+∞+++=+===++++==+=-=22122111(ln ln) 0005111)lim()ln lim ln ln1(1)138.lim111lim explim explim1(1)139.lim5x xx xx xxxx x x x x xxa bx xx x xxxxx a a ax x x xxaxbxa xb a b a b aexb x xb x x bex-+→+∞→+∞→-→→→→-=-==++⎛⎫+⎪+⎝⎭⎛⎫----===-== ⎪++⎝⎭-=20000tan 30tan 300300240.lim 1111lim lim lim 12222241.lim sin 11lim lim 132142.lim 3ln lim 3ln 43.lim()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a a x a x a x e e x e e e e x x x e e x e e x x a x x a a xa a x a a a x a -→--→→→→→→→→→-→→+----==-=+=---=-=-=--==--==-0000100101000()ln ln ln ln 144.lim145.lim11(1)1lim lim 46.lim 2112x 47.lim()11explim explim a a a x x n x n t t xxxx bx x x bx bx a bx x a x a a a a x a x x x x x x x x tt nt n t t a b t ax e ax e e a e x x→→→→→→+→→-=--=----=+-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++--==+=令令，如题31148.ln 1 n ()ln(1)1()10,[0,)11()[0,)()(0),[0,)11ln(1)0ln(1)ln(1)()32,()(x 1),()n n nf x x xxf x x x xf x f x f x x x x x n nx x x x c c x αβα⎛⎫+< ⎪⎝⎭=+--'=-=≤∈+∞+++∞<∈+∞+-<⇒+<⇒+<=-+=-→证明不等式：其中为正整数解：令当所以在递减 所以即证毕49.设确定及n,使当x 1时，3211111211~()()3233lim 1lim 1lim 1()(1)(1)3(1)(x 1)3(1)lim1lim 1(1)(1)612,c 350.()(),A ()~()l n n x x x n n x x kx x x x x x c x cn x x x cn x cn x n cn Af xg x f x g x x βαβ-→→→--→→-+-=⇒=⇒=--+-+⇒=⇒=--=⇒====→∞解：所以n-2=0,设确定K 及，使当x +,解：1212()im1lim1()~()lim1lim 1()lim11111,,1,224k x x k x x kx f x g x Ax x f x g x Axk A A-→+∞→+∞-→+∞→+∞-=⇒==-=→∞=⇒=⇒===--==-所以k+4。