中考数学系统复习-图形的初步认识与三角形第14讲三角形的基础知识8年真题训练练习

卜人入州八九几市潮王学校第十四讲：解直角三角形知识梳理知识点1.直角三角形中边与角的关系 重点：纯熟掌握直角三角形中边与角的关系 难点：运用直角三角形中边与角的关系中，∠C=90°〔1〕边的关系： 〔2〕角的关系：〔3〕边与角的关系：sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc ，tanA ＝＝a b ，tanB ＝b a。

例1如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．3sin 2A =B ．1tan 2A =C ．3cos 2B =．tan 3B =解题思路：运用直角三角形的边角关系，选D例2．在AABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是() A ．43B ．34C ．53D ．54 解题思路：运用直角三角形的边角关系，例1选D ，例2选C练习1在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,c=4,那么sinA 的值是()BCAαCBAA 、1515B 、41C 、31D 、415ΔABC 中,∠C=900,那么以下等式中不正确的选项是() 〔A 〕a=csinA ；〔B 〕a=bcotB ；〔C 〕b=csinB ；〔D 〕c=cos b B.重点：熟记特殊角的三角函数值 难点：纯熟计算三角函数值特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：例：计算：006045解题思路：0sin 60=0cos 45= 原式练习 1.计算2(2)tan 452cos 60-+-。

；2.计算：()2cos 602009π--+°知识点3.直角三角形的解法重点：利用直角三角形的边角关系解直角三角形 难点：理解题意，灵敏运用直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的根据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个元素〔其中至少有一个元素是边〕和一个未知元素一共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表：一边一角条件解法斜边和一个锐角A①②③一条直角边和一个锐角A①②③两边斜边和一条直角边①②利用求A③两条直角边①②利用，求A③例1如图，AC=1，求BD。

初二三角形知识点总结和常考题一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的边、顶点、内角。

- 组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

3. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

二、三角形的分类。

1. 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2. 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

三、三角形的三边关系。

1. 定理。

- 三角形两边的和大于第三边。

2. 推论。

- 三角形两边的差小于第三边。

四、三角形的高、中线与角平分线。

1. 高。

- 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高所在直线相交于一点。

2. 中线。

- 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

3. 角平分线。

- 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点。

五、三角形的内角和定理及推论。

1. 内角和定理。

- 三角形三个内角的和等于180°。

2. 推论。

- 直角三角形的两个锐角互余。

- 有两个角互余的三角形是直角三角形。

六、三角形的外角。

1. 定义。

- 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

图形的初步认识与三角形第15讲一般三角形及其性质6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形一、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.第18讲解直角三角形21P COBAPCO BADABC abcDABC abc二、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际。

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第14讲三角形的基础知识重难点三角形中角度的相关计算（2018·眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是(C)A．45°B．60°C．75°D．85°【思路点拨】由直角三角板中各内角度数，结合三角形内角和定理可求得∠1，即∠2的大小，再由三角形外角的性质可求得∠α的度数．错误!求解三角形中有关的角度时，若已知角和待求角可以转化为一个三角形的内角之间或内、外角之间的关系问题，则可以直接利用三角形内角和或外角性质求解．【变式训练1】（2018·黄石)如图，在△ABC中,AD是BC边上的高，AE,BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线,∠BAC＝50°，∠ABC＝60°,则∠EAD＋∠ACD＝(A）A．75° B．80°C．85° D．90°【变式训练2】(2018·株洲）如图,直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2,过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是(D）A．∠2＞120° B．∠3＜60° C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4【变式训练3】(2017·泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．考点1三角形的高、中线、角平分线1．（2018·贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中一条线段是△ABC的中线，则该线段是（B)A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG2．(2017·泰州)三角形的重心是（A)A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边的垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点考点2三角形的中位线3．（2018·南京）如图,在△ABC中,用直尺和圆规作AB,AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E连接DE.若BC＝10 cm，则DE＝5cm.4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm,则四边形ADEF的周长等于14cm。

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第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于( ）A。

45° B.60°C。

75°D。

90°2。

到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ）A。

三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D。

三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是（）A。

三角形三条中线交于三角形内一点B。

三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是（）A.a>2 B。

2<a<14C.7<a<14 D。

a<145.如图，在四边形ABCD中,AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P（）A。

有且只有1个B。

有且只有2个C.组成∠E的角平分线D。

组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外）6.在△ABC中,AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是( ）A。