“将军饮马”模型详解与拓展

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。

此时，将军只需将马拉到目的地即可。

例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。

例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。

例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。

例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。

例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

将军饮马问题16大模型将军饮马问题是一个经典的数学问题，被广泛应用于算法设计和逻辑推理。

在这个问题中，有一个有限数量的将军和马，将军们需要同时饮马，而且马的数量要足够多，以保证每个将军都能骑到马上。

然而，问题的难点在于，如果将军们不约定时间，他们同时骑上马的可能性很小。

为解决这个问题，已经提出了许多解决方案，下面我将介绍16种解决这个问题的模型。

1. 广播模型将军们可以通过广播的方式进行通信，每个将军都可以听到其他将军的广播信号。

在某个固定时间，将军们开始广播他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。

只有当每个将军都收到了其他将军的回应信号，他们才会同时骑上马。

2. 协商模型将军们可以通过协商的方式进行通信，每个将军都可以与其他将军直接交流。

在某个固定时间，将军们开始与其他将军交流他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。

只有当每个将军都收到了其他将军的回应信息，他们才会同时骑上马。

3. 仲裁者模型将军们委任一个仲裁者作为中介来传递消息。

每个将军将自己已准备好骑马的消息告诉仲裁者，仲裁者负责将该消息传递给所有其他将军。

只有当每个将军都收到其他将军的消息，他们才会同时骑上马。

4. 时钟模型在固定的时间间隔内，每个将军都可以检查时钟的状态。

他们会设定一个目标时间，当时钟的时间达到目标时间时，将军们会同时骑上马。

这样，他们可以通过同步的方式来保证同时骑马。

5. 群体模型将军们通过形成一个群体来解决这个问题。

在一个固定时间，将军们同时进入群体，并在一起饮马。

这种方式需要所有将军都同意进入群体，并时刻保持一致，才能保证同时骑马。

将军们依次传递一个令牌表示自己已准备好骑马。

当每个将军都收到了令牌并且已经骑上马时，他们才会将令牌传递给下一个将军。

这种方式需要将军们按照一定的规则来传递令牌，以保证同时骑马。

7. 树模型将军们通过构建一棵树来解决这个问题。

树的根节点是一个仲裁者，每个将军是树的叶子节点。

当仲裁者收到所有将军的准备好骑马的消息时，他会通知所有将军同步骑马。

初中数学解题模型专题讲解专题10 “将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。

问题提出：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型模型【【1】一定直线、异侧两定点直线l 和l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB 交直线l 于点P，点P 即为所求点模型模型【【2】一定直线、同侧两定点直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小解答：第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'（根据“翻折运动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题）第二步：联结A'B 交直线l 于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型模型【【3】一定直线、一定点一动点已知直线l 和定点A，在直线k 上找一点B （点A、B 在直线l 同侧），在直线l 上找点P，使得AP+PB 最小解答：第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'第二步：过点A'做A'B⊥k 于点B 且交直线l 于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB 最小模型模型【【4】一定点、两定直线点P 是∠MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B，使△PAB的周长最小解答：策略：两次翻折第一步：分别画点P 关于直线OM、ON 的对称点P1、P2第二步：联结P1P2，交OM、ON 于点A、点B（根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB 最短即△ABP 周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图，点P，Q为∠MON 内的两点，分别在OM，ON 上作点A，B。

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．【答案】824【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．(1)由折叠的性质可得BD=AB=12，再由CD=BC-BD进行计算即可得到答案；(2)设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，由此即可得到答案．解：(1)由折叠的性质可得：BD=AB=12，∴CD=BC-BD=20-12=8，故答案为：8；(2)如图，设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，由(1)得：CD=8，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE，要是△CDE的周长最小，只需AE+CE最小，由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，∴△CDE的周长=8+AC=8+16=24，故答案为：24．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，此时EP +FP 的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF =10，进而求得CE =3即可求解．解：作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，如图，则E P =EP ，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =AC ．在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知BC =5，AD =6．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为．【答案】6013【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，可得BH =6013．作点H 关于解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =52，∵AD =6．∴AC =AD 2+DC 2=62+52 2=132，∵S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，∴5×6=132BH ，∴BH =6013．∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，当M 与M 重合时，此时BM +MN 最小，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，则BM +MN 的最小值为6013．故答案为：6013【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC 中，∠ABC =30°，AC =4，△ABC 的面积为5，P 为△ABC 内部一点，分别作点P 关于AB ，BC ，AC 的对称点P 1，P 2，P 3，连接P 1P 2，PP 3，则2P 1P 2+PP 3的最小值为．【答案】5【分析】首先由△ABC 的面积为5，12AC ⋅BM =5，求出BM =52，然后由∠ABC =30°和对称构造正三角形，将P 1P 2转化成BP ，将2P 1P 2+PP 3提取系数2，最终转化成垂线段最短．解：设PP3与AC 交于点Q ，则PQ =12PP 3，连接BP 、BQ 、BP 1、BP 2，作BM ⊥AC ，垂足为M ，AC =4，△ABC 的面积为5，∴12AC ⋅BM =5，即12×4BM =5∴BM =5，根据对称性得BP=BP1=BP2，∠ABP=∠ABP1，∠CBP=∠CBP2，∴∠P1BP2=2∠ABC=60°，∴△P1BP2是正三角形，∴P1P2=BP1=BP，∴2P1P2+PP3=2P1P2+12PP3=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5，故答案为：5．【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，证得△P OP 是等边三角形，即可得到结论．解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P ；连接P ，P ，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP =2∠MON=60°，∴△P OP 是等边三角形，∴P P =OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP O=120°，∴△P AB的周长=P P =a，故答案为：120，a．【点拨】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF 的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q ，连接PQ ，股定理求出AB 的长，再利用三角形面积求出CH 的长即可得到结果．解：如图，作点Q 关于AD 的对称点Q ，连接PQ ，CQ ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，Q 与Q 关于AD 对称，∴点Q 在AB 上，PC +PQ =PC +PQ ≥CH ，∵AC =3，BC =4，∴AB =AC 2+BC 2=5，12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CH 即12×3×4=12×5×CH ，∴CH =2.4，∴CP +PQ ≥2.4，∴PC +PQ 的最小值为2.4，故选：A ．8.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，点D 为垂足，E 、F 分别是AD 、AB 上的动点．若AB =6，△ABC 的面积为12，则BE +EF 的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，从而可确定BE +EF ≥BM ，即BM 最小时，BE +EF 最小．再根据垂线段最短可知BN 的长即为BM 最小时，最后根据三角形面积公式求出BN 的长即可．解：如图，作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，∴EF =EM ，∴BE +EF =BE +EM ≥BM ，∴BM 最小时，BE +EF 最小．当BM ⊥AC 时BM 最小，即为BN 的长，∵S △ABC =12AC ⋅BN =12，AB =AC =6，∴BN =2×12÷6=4，∴BE +EF 的最小值是4．故选B ．9.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC 中，AB =AC =10,BC =12,AD =8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是．【答案】9.6【分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接PB ，PQ ，根据线段垂直平分线的性质可得BP =CP ，从而得到当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，再由S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，求出BQ 的长，即可．解：如图，连接PB ，PQ ，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP =CP ，∴PC +PQ =PB +PQ ≥PQ ，∴当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，∵S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，∴12×12×8=12×10BQ ，∴BQ =9.6．故答案为：9.6【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB =20°，M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠OPM =α，∠OQN =β，当MP +PQ +QN 最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【答案】D 【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP +PQ +QN 最小，易知∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，由此即可解决问题．PQ +QN 最小，解:由轴对称的性质得∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，∴α+β=180°-20°-∠ONQ +20°+20°+∠ONQ =200°．故选：D ．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】(20-21八年级上·天津·期末)如图，∠AOB =25°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠MPQ =α，∠PQN =β，当MP +PQ +QN 的值最小时，β-α的大小=_______(度)．【答案】50【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP +PQ +QN 最小，此时∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．解：作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP +PQ +QN 最小，即MP +PQ +QN =M N ，∴∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，∵∠MPQ =α，∠PQN =β，∴∠QPN =12180°-α ，∠OQP =12180°-β ，∵∠QPN =∠AOB +∠OQP ，∠AOB =25°,∴12180°-α =25°+12180°-β ，∴β-α=50°，故答案为：50．【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC 是等边三角形，AB =4．过点A 作AD ⊥BC 于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边△CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【答案】1【分析】连接BQ ，先证△ACP ≌△BCQ (SAS )，则可得∠CBQ =∠CAP =30°，由此可知Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，求出DQ 的值即可．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q 点的运动轨迹是解题的关键．解：连接BQ ，∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形，∴AC =BC ，PC =QC ，∠ACB =∠PCQ =60°，∴∠ACB -∠PCB =∠PCQ -∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠CBQ =∠CAP ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴BC =AB =4，∠BAC =60°，∵AD ⊥BC ，∴BD =DC =12BC =2，∠CAP =12∠BAC =30°，∴∠CBQ =30°，∴Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，此时DQ =12BD =1，∴DQ 的最小值为1．故答案为：1．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且CE =BD ，连接AE 、CD ，则AE +CD 的最小值为．【答案】234【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，证明△CEN ≌△BDC SAS ，得EN =DC 进而可得AE +CD =AE +EN ，再由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解：过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，∵CN ∥AB ，∴∠ECN =∠ABC ，∠ACN =180°-∠BAC =90°，在△CEN 和△BDC 中，EC =BD∠ECN =∠DBC CN =BC，∴△CEN ≌△BDC SAS ，∴EN =DC ，∴AE +CD =AE +EN ，由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，∵AC =6，BC =CN =10，∴Rt △ACN 中，AN =AC 2+CN 2=62+102=234，∴AE +CD 最小值为：234，故答案为：234．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，AB =8，O 是AC 的中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，OE 的最小值为()A.42B.433C.32D.2【答案】D 【分析】设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，证△AQD 和△AOE 全等得QD =OE ，因此当QD 为最小时，OE 为最小，根据“垂线段最短”得QD ≥QH ，故点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，然后在Rt △BQH 中求出QH 的长即可．解：设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH⊥BC 于H ，如下图所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠QAD +∠DAC =∠DAC +∠OAE =120°，∴∠QAD =∠OAE ，∵点Q 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，AB =AC ，∴AQ =AO ，在△AQD 和△AOE 中，AQ =AO∠QAD =∠OAE AD =AE，∴△AQD ≌△AOE (SAS )，∴QD =OE ，∴当QD 为最小时，OE 为最小，∵点Q 为AB 的中点，AB =8，点D 在直线BC 上运动，∴根据“垂线段最短”得：QD ≥QH ，∴当点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =12(180°-∠BAC )=30°，在Rt △BQH 中，∠B =30°，BQ =12AB =4，∴QH =12BQ =2，∴QD 的最小值为2，即OE 的最小值为2.故选：D ．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使AD =AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则CP +12AP 的最小值是．【答案】23【分析】过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF =30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ =12AP ，则CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．解：过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠BAC =60°，∴∠BAF =12∠BAC =30°，∴PQ =12AP ，∴CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，∴AB =2AC =8，∴BC =AB 2-AC 2=43，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ，∴CH =AC ⋅BC AB =4×438=23，1故答案为：23．【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC 中，∠A =90°,∠B =60°,AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．【答案】12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．解：过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，∠B =∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD =BD =AB =4，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =4，∴BC =8，∴DC =4，∴DF =12DC =2，∴AF =AD +DF =4+2=6，∴2(AD +DF )=2AF =12，∴2AD +DC 的最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =4，AC =5，点D ，E 在AB ，AC 边上，且AD=CE ，则CD +BE 的最小值是．【答案】61【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK=CD，可得CD+BE =EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长．解：如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE=∠A，∵CK=CA，CE=AD，∴△CKE≌△CAD SAS，∴CD=KE，∵CD+BE=EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，∵KG∥AB，∴∠GCB=∠ABC=60°，∴∠CBG=90°-∠GCB=30°，在Rt△BCG中，∵∠G=90°，BC=4，∴CG=12BC=2，BG=BC2-CG2=23，∴GK=KC+CG=AC+CG=5+2=7，在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=72+(23)2=61．故答案为：61．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．【答案】4【分析】由等腰△ABC中，∠BAC=100°，可得∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2=40°，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=12∠ABC=20°，如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，则∠ACE=∠ACB+E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，证明△ACE是等边三角形，则AC=AE=4，进而可求AB．解：∵等腰△ABC中，∠BAC=100°，=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2∵BD平分∠ABC，∠ABC=20°，∴∠ABD=12如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=60°，∵CE=AB，∠BCE=∠ABD，MC=BN，∴△CEM≌△BAN SAS，∴ME=AN，CE=AB，∴AM+AN=AM+ME，∴当A、M、E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，∵CE=AC，∠ACE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=4，∴AB=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．。

当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。

连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。

当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。

皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。

3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。

二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。

专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。

模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。

华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析一、背景知识：据传说，古罗马时代有一位名叫XXX的学者，他精通数学和物理。

有一天，一位罗马将军前来请教他一个难题：每天他从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题被称为“将军饮马”问题，据说XXX很快解决了它，从此这个问题流传至今。

二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两个定点到一个动点的距离和最小例1：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。

作法：连接AB，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB最小，且最小值等于AB。

原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAB中，由三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取等）。

例2：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。

关键：找对称点。

作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB和最小，且最小值等于AC。

原理：两点之间，线段最短。

证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAC中，由三边关系可知：AP+PC≧AC（当且仅当PQ重合时取等）。

2.两动一定型例3：在∠XXX的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短。

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△XXX即为所求。

原理：两点之间，线段最短。

例4：在∠XXX的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短。

作法：首先，我们作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B'，然后连接A'B'，交OM于点C，交ON于点D，最后连接AC和BD，四边形ABCD即为所求。

“将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有:① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中,通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形,并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马"问题.问题提出:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型【1】一定直线、异侧两定点直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：根据“两点之间,线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：第一步：画点A关于直线l的对称点A’(根据“翻折运动”的相关性质,点A、A’到对称轴上任意点距离相等,如图所示，AP=A'P,即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题)第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A’Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型【3】一定直线、一定点一动点已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧)，在直线l上找点P,使得AP+PB最小解答：第一步:画点A关于直线l的对称点A’第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短",可知A’P+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定点、两定直线点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小解答:策略：两次翻折第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2第二步:联结P1P2，交OM、ON于点A、点B（根据“翻折运动”的相关性质,AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图,点P，Q为∠MON内的两点,分别在OM，ON上作点A,B。

将军饮马问题，掌握这⼗个数学模型就够了“将军饮马”问题是初中数学中⾮常重要的数学知识和⼏何模型，也是求线段最值问题的最常⽤数学模型。

将军饮马问题是⼀个有故事的数学问题，故事⼤意如下：唐朝诗⼈李颀的诗《古从军⾏》开头两句说：'⽩⽇登⼭望烽⽕，黄昏饮马傍交河。

'诗中隐含着⼀个有趣的数学问题。

传说亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦，⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样⾛才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题⼴泛流传。

将军饮马问题的最基础模型探究：这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。

抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找⼀点C,使AC+BC最⼩。

假设点A、B在直线l的异侧就好了，这样我们就可以利⽤【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。

即连接AB交直线l于点C。

因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！如果将军在河边的另外任⼀点C'饮马，所⾛的路程就是AC'+C'B，但是AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。

要点概述：1.初中数学线段最值问题可以总结为三类，点与点、点与线和线与线之间的最值，⼀般需要⽤到以下知识点：2.将军饮马问题的核⼼思想，它的核⼼思想是“化折为直”，“化折为直”是初中数学最重要的⼀个解题思想，将军饮马，费马点，胡不归，阿⽒圆等最值问题，都⽤到“折化直”的数学转换思想。

化折为直的⽅法有轴对称，平移，构造⼦母相似三⾓形，三⾓函数转换等等，将军饮马问题⼤都采⽤的是轴对称来实现“折化直”的⽬标。

最值模型之将军饮马模型模型一两定一动型(线段和差的最值问题)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的和最小；题目在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；分类(1)点A、B在直线m两侧(2)点A、B在直线同侧原图辅助线作法连接AB交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为AB 作A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为A'B原理三角形两边之和大于第三边【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；题目在一条直线m上，求一点P，使|PA-PB|最大；分类(1)点A、B在直线m同侧：(2)点A、B在直线m异侧原图辅助线作法延长AB交直线m于点P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB 过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB'原理三角形两边之差小于第三边。

例题解析1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．【答案】17【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF=CF，∴CF+EF=AF+EF=AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=4,∠ABC=90°，∵点E在AB上，且BE=1，∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值为17故答案为：17．2如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF-PE的最大值为．【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到PF-PE=PF-PE≤E F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E的对称点E ，连接FE'并延长交AC于点P ，∴PE=PE ，∴PF-PE≤E F，=PF-PE当F、E 、P 在同一条直线上时，PF-PE有最大值E F，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，，AD=AB=BD，∵BD=8，∴AB=8，∵AF=3BF，∴BF=2，∵点E为OD的中点，∴E 为OB的中点，∴BE =1BD=2，4∴BF=BE ，∴△BE F是等边三角形，∴E F=BF=2，故答案为2；变式训练1如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()3A.3B.5C.22D.32【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．22如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A ，再连接A O，运用两点之间线段最短得到A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A O的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A ，连接A O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AE=A E，AE+OE=A E+OE，当且仅当A ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A E+OE=A O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，AB=2，∴OF=FB=12∵对称，∴AB=BA =4，∴FA =FB+BA =2+4=6，在Rt△OFA 中，OA =FO2+FA 2=210，故选：D．3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+ MF的最小值为()A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF =BF ∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF =AB •sin60°=2×32=3．即MA +MF 的最小值是3．故选：C4如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∠BCD =15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA -PB |的最大值为．【答案】6【分析】作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于P ，则点P 就是使|PA -PB |的值最大的点，|PA -PB |=A ′B ，连接A ′C ，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，根据角的和差关系得到∠ACD =75°，根据轴对称的性质得到A ′C =AC =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，推出△A ′BC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 并延长交CD 延长线于点P ，则点P 就是使PA -PB 的值最大的点，PA -PB =A ′B ，连接A ′C ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∴∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，∵∠BCD =15°，∴∠ACD =75°，∵点A 与A ′关于CD 对称，∴CD ⊥AA ′，AC =A ′C ，∠CA ′A =∠CAA ′，∴∠CAA ′=15°，∵AC =BC ，∴A ′C =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，∴∠ACA ′=150°，∵∠ACB =90°，∴∠A ′CB =60°，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B =BC =6．故答案为：65如图，MN 是⊙O 的直径，MN =6，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的最小值是．【答案】32【分析】首先利用在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，连接OB ，则P 点就是所求作的点．此时PA +PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，∵∠AMN =30°，∴∠AON =60°，∵B 为AN的中点，∴AB =BN∴∠AOB =∠BON =30°，∵MN ⊥BC ，∴CN=BN，∴∠CON =∠NOB =30°，则∠AOC =90°，又OA =OC =3，则AC =32．故答案为：32．6如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．动点P 满足S △PBC =13S 矩形ABCD．则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为。

专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aB3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMDCB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

将军饮马的六种模型将军饮马，是中国古代战争策略中的经典战术之一。

通过观察马，了解将军的心思，进而进行军事决策。

将军饮马虽然源于古代战争，但其思想也可以应用于现代管理和决策中。

在现代社会中，可以将将军饮马的思想应用到各种管理模型中，以期提供全面、客观、有效的决策支持。

本文将介绍六种基于将军饮马思想的模型，并对其应用领域进行简要分析。

一、马的姿态模型在将军饮马中，将军观察马展示出的姿态，来判断敌情。

而在管理和决策中，我们也可以通过观察员工或团队展示的姿态，来了解他们的态度、能力和潜力。

例如，一个员工是否充满自信和积极的态度，是否展示出自主解决问题的能力，这些都可以为管理者提供重要的参考信息。

二、军心模型将军饮马中，将军观察马的冷静与否，来判断士兵们的情绪状态。

同样，在管理中，管理者可以通过观察员工的情绪和表现来判断团队的士气和动力。

如果员工们表现出疲惫、消极或情绪低落，可能需要及时采取措施调整团队心态，提高士气。

三、战术模型将军饮马中，将军观察马的行动方式，来判断敌情并制定战术。

在管理决策中，管理者可以观察员工或团队的行动方式和工作方法，来判断他们的能力和适应性。

通过了解员工的工作方式，可以更好地进行任务分配和资源管理，使团队的工作更加高效。

四、资源模型将军饮马中，将军观察马数量和状态，来判断可用资源。

在管理决策中，管理者需要了解团队的资源情况，包括人力、物资、资金等。

通过了解资源状况，管理者可以更好地进行资源分配，确保团队工作的顺利进行。

五、协调模型将军饮马中，将军观察马是否协调一致，来判断士兵团结力。

在管理中，管理者可以通过观察员工的协作和团队合作能力，来判断团队的团结力和协作效率。

如果员工们能够协同合作、相互支持，将会提升整个团队的工作效果。

六、判断模型将军饮马中，将军通过观察马的各种表现，来综合判断敌情和决策方向。

在管理决策中，管理者也需要通过综合观察员工的各种表现和信息，来做出决策。

通过收集和分析各种信息，管理者能够更准确地判断当前形势，做出合理决策。

将军饮马问题16大模型将军饮马问题源于中国古代的一个寓言故事，讲述的是三位将军跟随他们的军队来到一座河边准备渡河，但只有一条小船，这条小船一次只能搭载两人。

如果将军A和将军B在船上，将军C在岸边，将军C将会受到辱骂，如果将军A和将军C在船上，将军B在岸边，将军B也会受到辱骂，问题是如何让这三位将军都安全地渡河而不受辱骂。

这个问题启发了许多数学家和逻辑学家，有各种不同的解法。

下面将介绍将军饮马问题的16种不同模型。

模型1：最直接的解法最直接的解法是将将军A和将军B一同乘坐小船去对岸，然后将将军A带船返回，将将军C载到对岸。

模型2：穷举法穷举法是一种比较笨拙但可以解决问题的方法，即穷尽所有可能的情况。

这种方法虽然有效，但耗时较长。

模型3：递归法递归法是将问题分解成较小规模的子问题，并逐步解决。

这种方法可以节省时间和精力，但需要较高的逻辑思维能力。

模型4：数学推导法通过数学推导，可以将将军饮马问题转化为数学模型，从而得出解答。

这种方法需要较强的数学功底。

模型5：逻辑推理法逻辑推理法是通过逻辑推理和思维分析，得出解决将军饮马问题的方法。

这种方法强调思维的逻辑性和推理能力。

模型6：图论模型图论是数学的一个分支，可以用来描述将军饮马问题中的交叉关系和路径规划。

通过构建相应的图模型，可以更清晰地解决问题。

模型7：概率模型概率模型是通过概率计算和推测，找出解决将军饮马问题的可能性和概率分布。

这种方法适用于对问题进行全面分析和评估。

模型8：动态规划法动态规划法是针对多阶段决策问题的一种解决方法，可以在问题空间中寻找最优解。

这种方法适用于将军饮马问题的场景。

模型9：模拟法模拟法是通过模拟将军饮马问题的场景，以实验测算的方式找出最佳解决方案。

这种方法可以直观地展示问题的复杂性和解决路径。

模型10：启发式算法启发式算法是通过启发性的思考和优化方法，寻找将军饮马问题的最佳解决方案。

这种方法可以在复杂问题中找到较好的解决途径。

将军饮马的十二种模型将军饮马是一种著名的古代兵法策略，通常用来形容指挥员在战场上果断决策的能力。

这种策略被广泛应用于各种领域，包括管理学、商业决策以及日常生活中的问题解决。

在本文中，我们将介绍十二种基于将军饮马原理的模型，以帮助读者更好地理解和应用这一策略。

1. 分析对手在决策过程中，了解对手的行为和意图非常重要。

通过分析对手的可能行动和策略，我们可以更好地预测并应对对手的举动。

2. 制定计划将军饮马的核心在于制定行动计划。

这意味着我们需要考虑不同的情况和可能的结果，并为每种情况制定相应的对策，以保证决策的有效性。

3. 增加变数为了增加决策的灵活性和适应性，我们可以通过引入一些变数来改变局势。

这可以包括改变战术、伪装行动或者制造干扰。

4. 强化决策为了确保决策的正确性和有效性，我们可以通过增强决策的支撑力量来提高其执行力。

这可以包括增加资源投入、加强组织和协调能力等方面。

5. 战略调整在执行决策过程中，我们应该密切关注局势的变化，并随时调整战略。

这可以保证我们能够迅速应对新出现的问题和挑战。

6. 创新思维创新思维是解决问题和应对挑战的关键。

通过引入新的想法和方法，我们可以找到更加高效和创造性的解决方案。

7. 风险管理将军饮马过程中，我们应该始终关注风险，并制定相应的应对策略。

通过评估风险的概率和影响，并采取相应的措施来管理风险，我们可以最大程度地减少潜在的不确定性。

8. 团队合作团队合作是决策过程中至关重要的一环。

通过充分发挥团队成员的专长和优势，我们可以共同制定决策，并更好地协同合作来实现最终目标。

9. 反思总结在每一次决策之后，我们都应该进行反思和总结。

通过评估决策的结果、分析决策的成功与失败原因，并从中吸取教训，我们可以不断完善和提升我们的决策能力。

10. 监控执行决策之后，并不意味着任务结束。

我们应该密切关注决策的执行情况，并根据实际情况进行调整和管理，以确保决策的顺利实施。

11. 持续学习决策是一个不断学习和成长的过程。

将军饮马”模型详解与拓展 (1)A，B，C，D，使得四边形ABCD的周长最小。

该问题可以通过两次翻折来解决。

第一步：分别画点P、Q关于直线OM、ON的对称点P1、Q1、P2、Q2.第二步：联结P1Q2、P2Q1，交OM、ON于点A、B、C、D。

根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2，CQ=CQ1，DQ=DQ2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+P1Q2+QC1+CD+DQ2+BP2最短即四边形ABCD周长最短。

将军饮马”问题源于唐朝诗人XXX的诗《古从军行》。

在这首诗中，将军从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营。

问题是，怎样走才能使总的路程最短？该问题可以通过“线段和最值”问题中的“一定直线、异侧两定点”模型来解决。

根据“两点之间，线段距离最短”的原理，联结AB交直线l于点P，点P即为所求点。

除了“一定直线、异侧两定点”模型外，还有“一定直线、同侧两定点”、“一定直线、一定点一动点”和“一定点、两定直线”等模型。

这些模型都可以通过“翻折运动”来转化为“一定直线、异侧两定点”问题，然后应用“两点之间，线段距离最短”的原理来求解。

对于“一定点、两定直线”问题，需要通过两次翻折来解决。

分别画点P、Q关于直线OM、ON的对称点P1、Q1、P2、Q2，然后联结P1Q2、P2Q1，交OM、ON于点A、B、C、D。

根据“翻折运动”的相关性质和“两点之间，线段距离最短”的原理，可以得到四边形ABCD周长最短。

总之，“将军饮马”问题是一个典型的“线段和最值”问题，可以通过不同的模型和翻折运动来解决。

掌握这些模型和原理，可以帮助我们更好地解决类似的几何问题。

如何使四边形PAQB的周长最小？在数学问题中，我们经常需要优化某些值。

这个问题的目标是最小化四边形PAQB的周长。

为了解决这个问题，我们需要先找到四边形的特征。

四边形PAQB是由四个点P、A、Q和B组成的。

我们可以使用坐标系来表示这些点。