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高效课堂,从了解学生的已有知识经验开始——“长方形的特
征”案例描述与反思
苟艳芳
【期刊名称】《新校园（学习）》
【年(卷),期】2016(000)011
【总页数】1页(P158)
【作者】苟艳芳
【作者单位】东营市垦利区第三实验小学,山东东营257500
【正文语种】中文
【相关文献】
1.把握学生已有知识经验促进历史学科有效教学 [J], 吴振;
2.学生已有的知识经验能被“覆盖”吗——例谈数学教学如何顺应学生的学习心理[J], 魏光明
3.从学生已有知识经验出发开始你的教学 [J], 安振平
4.有效教学应从学生已有的知识经验出发--“小数的意义和读写方法”教学设计与反思 [J], 祁凤芝
5.有效教学应从学生已有的知识经验出发——『小数的意义和读写方法』教学设计与反思 [J], 祁凤芝; 张宝梅
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浅谈解题思路的合理选择安振平 苟春鹏 (陕西省永寿县中学 713400) 由于数学问题千变万化,自然决定了解题思路没有固定不变的解题模式,况且同一问题的解决也会存在多种不同的解题思路.如何合理、自然、快速地选择解题思路,这是我们在解题教学过程中经常思考的课题之一.下面以文[1]中的题目为例,谈谈我们的具体做法,以期抛砖引玉.例1 已知a >13,b >13,ab =29,求证:a +b <1.分析与解答 由a >13,b >13知a -13>0,b -13>0.而由(a -13)(b -13)可生成ab 与a+b ,于是有如下简证:∵ a -13>0,b -13>0,∴ 0<(a -13)(b -13)=ab -13(a +b )+19=13[1-(a +b )]∴ a +b <1.例2 设x >0,y >0,x ≠y ,且x 2-y 2=x 3-y 3.求证:1<x +y <43.分析与解答 ∵x -y ≠0∴由(x -y )(x +y )=(x -y )(x 2+xy +y 2),得x +y =x 2+xy +y 2.将x 2+xy +y 2配方产生目标“x +y ”.不妨设x +y =t ,有t =(x +y )2-xy =t 2-xy ,即 t 2-t =xy .再将xy 向x +y 这个目标转化,自然想到xy <(x +y 2)2=t 24 (∵x ≠y )于是,有t 2-t <t24,即3t 2-4t <0,解得0<t <43.如何证明t >1,这又是我们的解题目标.事实上,由x >0,y >0知t 2-t =xy >0,即t 2>t 而t >0,∴t >1.评注 从已知条件出发,联想已学过的法则、定理,盯着目标设法实施有效的转化,在条件与结论之间搭起一座合理化归的桥梁.这是选择解题思路的重要策略.例3 已知a >0,b >0,a +b =1,求证:(a +1a )(b +1b )≥254.分析与解答 先将(a +1a )(b +1b)展开,得(a +1a )(b +1b )=ab +1ab +a b +b a 显然,a b +ba≥2,于是只要证ab +1ab ≥174而ab 与已知a +b =1联系有ab ≤(a +b 2)2=14利用函数的单调性,从“ab +1ab”想到了构造函数f (t )=t +1t (0<t <1)∵ 0<ab <14<1,∴f (ab )≥f (14)=174.这就证明了原不等式.评注 从外形结构联想到构造函数,利用函数的单调性是证明不等式的一条有效途径.转换角度,若不将(a +1a )(b +1b)展开,如何证明例3的不等式呢?下面又给出三种解题思路.1)从取等号成立的充要条件a =b =12,知a=14a ,b =14b,妙用5元均值不等式,得如下巧证.(a +1a)(b +1b )=(a +14a +14a +14a +14a )(b +14b +14b +14b +14b)≥55a ·(14a)4·55b ·(14b )4=2545(14ab )3≥254 (∵4ab ≤1)评注 利用不等式中等号成立的条件是妙证不等式的重要技巧之一.2)如果考虑化分式不等式为整式不等式,采用分析方法,就有如下妙证.要证 (a +1a )(b +1b )≥254只要证 (a 2+1)(b 2+1)≥254ab ,即 a 2+b 2+a 2b 2+1≥254ab ,只需证 1-2ab +a 2b 2+1≥254ab ,即 4(ab )2-33ab +8≥0(4ab -1)(ab -8)≥0(▲)∵ ab ≤14,∴ 4ab -1≤0,又 ab -8<0∴ (▲)式成立.评注 有些不等式从条件出发直接难以证明时,不妨转换角度,从结论出发,采用分析法,不仅使思路清晰、自然,而且证法简捷,如高中《代数》下册P 26中的定理1,教材中的证法学生很不容易想到,若采用分析法,证明过程就显得非常简洁、自然,请读者自证.3)由a >0,b >0,a +b =1,联想到三角基本平方关系式:sin 2β+c os 2β=1,自然考虑选择三角代换,则有如下证法.设a =sin 2α2,b =cos 2α2,α∈(0,π2].则 (a +1a )(b +1b ) =(sin 2α2+1sin 2α2)(cos 2α2+1cos 2α2 =(1-cos α2+21-cos α)(1+cos α2+21+cos α) =1-cos 2α4+41-c os 2α+1-cos α1+cos α+1+c os α1-c os α =sin 2α4+4sin 2α+2+2cos 2αsin 2α =sin 2α4+8sin 2α-2(▲)这里,将原不等式的证明问题转化为求三角式子(▲)的最小值问题.由其结构特点自然想到运用均值不等式a +b ≥2ab (a ,b >0)消掉sin 2α,但若直接应用公式,由于受正弦函数有界性的制约,等号取不到,所以须对(▲)式中的系数进行合理凑配.则有sin 2α4+8sin 2α-2=sin 2α4+14sin 2α+314sin 2α-2≥12+314sin 2α-2≥12+314-2=254评注 此题在转化为求三角式子的最值时,既用到了均值不等式,又用到了正弦函数的有界性,特别要注意的是:系数的凑配要以均值不等式中等号成立的条件与三角函数的有界性必须保持一致为前提.从对以上几个例题解题思路的分析看出,数学解题思路的合理选择,一方面受解题者自身知识水平的制约,另一方面要求我们在学习中要善于不断的总结,不断探索,寻求合理、准确、恰当的思维起点,以达到解题思路既自然,又流畅.只有这样,才能不断开发解题智慧,逐步提高分析问题和解决问题的能力.参考资料1.赵岳云.构造二次方程证明不等式.数学通报,1998,8.P 8。
5-38故学故学2020年第5期寻找简捷的解题途径<安振平(陕西省咸阳师范学院，陕西咸阳712000)数学是一种关系，数量关系、图形关系和 随机关系，数学解题就是寻找关系.寻找题设条件与解题目标之间的联系.这里思维链接愈 直接，其解题思维长度就愈短，解题过程就愈 简单、明快.寻求解题捷径,修改已有解法，修 炼解题思维，这是学解数学问题的一种有效途 径.本文从贵刊的几个数学问题着手，谈谈笔 者的解题思路.1从问题结构入手,展开思维联想例1 (《数学教学》2015年第2期问题963)已知A ：、y 、z > 1，且一 + —• + 一 = 2•求证：x y z J x + y + z Ss J x — 1 + -Jy — 1 + J z — \.本题原刊登的解答是采用三角换元后，再 借助柯西不等式.其实，直接证明不是很简 洁吗？从条件和解题目标出发，展开联想，仔细 观察结构特征* - 1, y - 1，z - 1,对条件等式1 1 1 ^ x — I y — \—+ — + — = 2变形，易得----+ -—+x y z x y d= i .这样，结合柯西不等式，实现分离z变形.证明：由条件等式丄+丄+丄=2变形，x y z 易得xyz于是，应用柯西不等式，得 J x ~ 1 + J y — 1 + J z ~ 1(% + y + z )=J x + j + z .说明：本题的一个推广见笔者提供的本刊2012年第4期问题864:nI »= 1设义 > 1，i = 1, 2，…，几（n >3)，且—=几一 1.求证：^ X A 一 1 •\ »• = 11 = 1例2 (《数学教学》2016年第2期问题969)已知s 为给定的正整数，〇1，a 2，…，& > 0, 且a , . a 2....a , = 1.求证：对一切n e N *，有n +1 . n +1 , . n +1 n , n , , n al + a 2 + ••• + as ^ a x + a 2 + ••• + .本题原刊登的解答是应用数学归纳法，过 程较长，如果联想到把字母的n +i 次分离为《 次和1次，就可以应用切比雪夫不等式来解答， 这样的解答似乎更直接.证明：因为a ,，a 2，…，a ,与a ?, a ;,…， <同序，所以，应用切比雪夫不等式和算术一 几何平均值不等式，得n +1 , n +1 , , n +1ax + a 2 + ••• +as ^ 一(aj + a 2 + ••• + a s) {a n { + a2 + ••• + )n ^ /J a x a 2','ds • (a ? + ag + ••• + a 》=+ aj + ••* + a ".说明：简洁的解答来源于知识的积累和运咸阳师范学院教育科学学院2018年度专项科研基金项目（JKKY 201827):基于核心素养的数学解题思维研究.2020年第5期故学故学5-39用，有效的联想，实现了问题情境和解题者大 脑思维的最佳链接.2从设元换元入手,展开思维联通例3 (《数学教学》2015年第6期问题947)设实数*、y、z满足d+y2+Z2= l j*y+ 2x z的最大值.本题原刊登的解答是引人2个参数，应用 基本不等式和待定系数方法求解.这里，将引 入1个参数，给出一种另解.解：设正数A是待确定的常数，应用基本 不等式和柯西不等式，得xy + 2xz = 一• (Ax)(y + 2z)A^ -：—•[\x + (y + 2z)]2111^-------+-------+-------2 J x y2y/yz2y/zx1ln(x + y + z\_73W=T等号成立的条件为$=y=z=y?.所以，l11的最大值为x + y y + z z + x1说明：若令a =丄，6=丄，C=丄，则获得x y z本题的一个变式为：已知正实数a、6、c满足a6 + 6c + ca = 1.求证：^7-(A2 + l2 + 22)(x2 + y2 + z2)4AA2 + 54A等号成立的条件为A* = y + 22,f =十=+，x2 +y2 +z2 = 1,解得正数A =7?, * = ，y=X 752* + 57=：,这时^75 4A752 _所以，M +的最大值为说明：本题的一个变式，即为2019年上海交大自主招生第9题：已知h y、Z不全为零，求^y+22yZ2的x+ y+ z最大值.例4 (《数学教学》2015年第8期问题952)已知正实数l y、z满足x + y+2 = ^，求ab be ca J3----+----- +----^ —•a +b b +c c + a23从构造模型入手，展开思维移动例5 (《数学教学》2018年第4期问题1026)设a、6、c为A4B C的三边长，满足a + 6 + c = 2又求证：a2 + 62 + c2 + —abc < 2s2.s本题原刊登的解答是作差分解因式，这 题可以逆向思考，从三角形边长之间的不等关系，合成构造所要证明的不等式，也是殊 途同归.证明：因为厶 + c >a，c+a >6，a+6 > c9a+b+c = 2s,所以 s-a > 0,s-6 > 0，s-c > 0,即（s-a)(s-6)(s-c)>0，有x + y y + z —的最大值. z + x本题原刊登的解答书写较繁，可以改得简 单些.解：应用基本不等式和柯西不等式，得53 - (a + 6 + c)s2 + (ab + be+ ca)s - abc > 0.将0 + 6+0 = 25，616+6〇+0(1 = 252 - 了(a2 + 62 + c2)，代入上式得2s3 + 2s1 - ^"(f l2^ b2 + c2)s - abc >0,5-¥)故等•故学2020年第5期所以 a2 + 厶2 + c2 + —abc < 2s2,s说明：研究本题的下界，可以获得：®正数a、i、c满足a + 6 + c = 2s•求证：a2 + b2 + c2 +—abc ^—52.527例6 (《数学教学》2013年第12期问题903)设 ac、e R，且 i+y+2 = 8.求证：X2 + I+ \/j2 + 4 + V^2 + 9 多 10.本题原刊登的解答是构图证法，甚是巧 妙.如果构造复数，证明更为直接.证明：构造复数A =尤+ i，= y+ 2i，2：3 = z + 3i,则y/x2 + l+ \/y2 + 4 + \/z2 + 9=1 Z j I + I z2\ + \Z3\^\z{ + z2 + z3 \=I(% + y + z) + 6i I=1 8 + 6i I = 10.(b + c)(6a + b + c)2 | =(I (6a + 6 + c)),即(y/l +-^-)&(I (6« +6 +c))^•l^V b + c]^(b + c)(6a + b + c)2要证原不等式，只要证明(^ (6a + 6 + c))-------------------------^ 36,(^ (6 + c)(6a + 6 + c)2)即需要证明([(6a+ b +c))5：36(工（6 +c)(6a +6 +c)2)化简得22 ^a3 + 24a6c ^ 15 ^a b + 15 ab\...............................(* )应用三元均值不等式，得说明：本解法中，用到复数模的不等式，这 自然联想到了闵可夫斯基（Minkowski)不等式的特例：已知y i> 0,则有X a2b + X ab2^a3 + a3 + 63^4—3+I+ b3 +b33=2^«3,即 2 X a3 多X a26 + Z d2....①4从运用重要不等式入手，寻找解题别径例7 (《数学教学》2013年第12期问题905)设 a、6、c e R+•求证：本题原刊登的解答是运用三元A M—G M 不等式和舒尔（Schur)不等式证明的，运算量 较大.如果联想到赫尔德（Halde)不等式，那么 可以获得另一证法.证明：应用赫尔德不等式，得+ c)2]注意到著名的舒尔不等式Z a3 + 3abc 5= 2a2b + ^ab2............................(D由7 x①+ 8 x②，易知不等式（* )成立，获证.说明：若令 * = ，乂= ’ 2 = ~^7,b +c c + a a+o则本题等价于：设正数*、y、z满足+yz+za£+ 2外2：= 1.求证：yi + 6x + y1 + 6y + y l + 6z 2： 6.“复盘”本是棋类术语，是指棋手在对局之2020年第5期故学轧学5-41基于“关键能力”命制数学操作题盛小青(江苏省常州市新北区飞龙中学，江苏常州213022)数学操作题具有新颖、开放、灵动、创新、思辨等其他题型无法比拟的独特性而成为近几年中考的热门题型.操作题能综合考查学生猜想与推理、抽象与建模、直观与想象、理解与运算等数学“关键能力本文结合例题阐述基于“关键能力”命制数学操作题的策略.1基于猜想与推理能力命制操作题操作题可以立足教材或生活实际进行取 材,这样的低起点可以确保学生通过简单的尝 试解决一些基本问题，然后运用类比、迁移等 方法与提供的素材进行关联设计、拓展延伸，这样的操作题才能构思巧妙、立意高远.例1(2016年常州市数学中考第26题）(1)阅读材料教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若 干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方 形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为________，故沿虚线剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图.(2)类比解决如图2,已知边长为2的正三角形纸板A B C,沿中位线〇£剪掉请把纸板剩下的部分剪开，使剪成的若干块能够拼成一个 新的正三角形.后，复演这盘棋的走法,来检查招式的优劣与 得失的关键.学解数学题也是如此，如果你时 常“复盘”，就能优化解法，扬长避短.在学习和欣赏期刊、图书上已有问题解 答的同时，也应当善于修改其已有的解答，提 出自己的别解，探究问题的变式•让自己的数 学思考和原问题交流，在与原作者对话的思图1①拼成的正三角形边长为________;② 在图2中用虚线画出一种剪拼示意图.图2(3)灵活运用如图3,把一边长为60 c m的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中乙B C D= 90。
