高中数学 1.2.3同角三角函数的基本关系(1)教案 新人教B版必修4

格一课堂教学方案cos40章节：课时： 2 备课人：陈清二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

sec
sin tan cos
如果已知三角函数值，且角的 象限已知，那么只有一组解．
4 例1 已知 sin ，并且α是第二象限角， 5 求α的余弦和正切值． 解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角. cos 0
4 2 3 cos 1 sin 1 ( ) , 5 5 4 sin 4 5 tan cos 3 3
5 sin cos 5 sin 2 cos 2 1
消去sinα，得5cos2α－
cosα－2=0， 5
2 5 由方程解得cosα= 5
5 或cosα= 5
因为180º <α<270º ，所以cosα<0，即 cosα=
5 5
sin 于是tanα= =2. cos
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) 1 12 37 ＝ ×1＋25＝ . 5 125
本 课 时 栏 目 开 关
小结 对于这类利用已知 α 的一个三角函数值或者几种三角函 数值之间的关系及 α 所在的象限，求其他三角函数值的问题， 我们可以利用平方关系和商数关系求解．其关键在于运用方程 的思想及(sin α± cos α)2＝1± 2sin αcos α 的等价转化， 分析出解决 问题的突破口．
同角三角函数关系式
同角三角函数公式
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组
成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值，
|OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
根据勾股定理得
sin2α+cos2α=1 又知tanα=

1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它.思考2由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系：________________________________.②商数关系：________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝________；cos2α＝________.②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝____________；cos α＝____________.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.跟踪训练2 已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值.类型二 利用同角三角函数关系化简例3 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3 化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).类型三 利用同角三角函数关系证明例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0). (4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.跟踪训练4 求证：cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x .类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式.跟踪训练5 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值. (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A.－43 B.34 C.±34 D.±432.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( ) A.74 B.－916 C.－932 D.9323.化简1－sin 23π5的结果是( ) A.cos 3π5 B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.答案精析问题导学知识点思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义， 得sin α＝y ，cos α＝x .由勾股定理得sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 ∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α. 梳理 (1)①sin 2α＋cos 2α＝1②tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) (2)①1－cos 2α 1－sin 2α②cos αtan αsin αtan α题型探究例1 D跟踪训练1 cos α＝－35， sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.跟踪训练2 解 ∵cos α＝－513<0， ∴α是第二或第三象限角．(1)若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213， tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125， 故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0. (2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－513)2＝－1213， tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125， 故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0. 综上可知，13sin α＋5tan α＝0.例3 解 原式＝(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α ＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号)． 跟踪训练3 (1)1 (2)tan α例4 证明∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．跟踪训练4 证明 (比较法——作差)∵cos x1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x＝0， ∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x . 例5 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 跟踪训练5 (1)89 (2)1310当堂训练1．A 2.C 3.C 4.－255．解 ∵sin α＝15>0， ∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝ 1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612； 当α为第二象限角时，cos α＝－265， tan α＝－612.。

教学设计(一)自主学习推导公式1、证明公式：（同角三角函数基本关系）（1）平方关系：（2）商的关系：回忆：任意角三角函数的定义？学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：sinα=y；cosα=x，引导学生注意：单位圆中所以，sin2α+cos2α=1；设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。

2、辨析讨论—深化公式辨析1思考：上述两个公式成立有什么要求吗？设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。

如（2）式中辨析2判断下列等式是否成立：设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。

辨析3思考：你能将两个公式变形么？（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。

）设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）等(二)小组合作及时训练自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现。

刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？[例1] 已知sinα=0.8，且α是第二象限角，求cosα，tanα的值．思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。

变式：α是第四象限角，tanα＝－5/12，求sinα.思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所处的象限分类讨论。

小结：（由学生自己总结，师生共同归纳得出）2.注意：若α所在象限未定，应讨论α所在象限。

设计意图：利用例题与变式，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。

[例2]本题已知正切的值欲求sin α，tan α的值．设计意图：利用商的关系的灵活使用，解法多样，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理解与认识。