1.2.2同角三角函数的基本关系-人教A版高中数学必修四教案

普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四

《1.2.2同角三角函数的基本关系（第一课时）》教学设计

贵阳第十中学 杨亮

一、指导思想与理论依据

以学生为本，学生是学习的主体。核心素养就是一个人在复杂

情境中解决问题的能力和品质，是学习个体在与情境的互动中不断

解决问题、产生新问题的过程中逐步养成的，在教学中以知识为载

体，以学生发展为目标，精心设计系列探究活动，给学生更多尝试、

探究发现机会，从学生数学知识发生发展过程的合理性，从学生思

维过程的合理性上思考，从学生已有的知识出发，以新旧知识的连

接点为教学起点，感受学习数学的乐趣，落实学科素养。

二、教学背景分析

1.本课在教材中的地位

本课是《普通高中课程标准实验教材A版▪必修4》第一章第二

节的内容。同角三角函数是学生学习了任意角和弧度值，任意角的

三角函数后，继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函

数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教

材中起着承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个

中学数学学习中都有着重要的作用。所以本节课的重点是同角三角

函数基本关系式及在求值、证明中的应用上。

2.学生学情

学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了三角函数定义的

两种推导方法，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所

了解。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四

学生主动学习能力、合作探究的能力较弱。

三、教学目标的确定及依据

1.知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合

的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系

式，掌握基本关系式在两个方面的应用：（1）已知一个角的一个三

角函数值能求这个角的其他三角函数值；（2）证明简单的三角恒等

式。

2.过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方

式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通

过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生

4-1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

教学过程：

一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角是一个任意角，终边上任意一点(,)Pxy，它与原点的距离为

2222(||||0)rrxyxy，那么：sinyr，cosxr，tanyx，

2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？

3．背景：如果53sinA，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；

4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系：consintan （2）平方关系：1sin22con

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin4cos41等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(,)2kkZ；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

2cos1sin， 22sin1cos， sincostan等。

2．例题分析：

一、求值问题

例1．（1）已知12sin13，并且是第二象限角，求cos,tan,cot．

（2）已知4cos5，求sin,tan．

1.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计

【学习目标】

（1）理解同角三角函数的基本关系式。

（2）掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）化简或证明简单的三角恒等式。

【教学重点和难点】

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：（1）对于“同角”的理解；

（2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；

（3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。

【新知探究】

一、 温故知新

1、回忆：任意角三角函数的定义?

【小组交流】：（1）根据三角函数的定义，你能发现tancossin、、三者之间的关系吗？

（2）如果过点P作x轴的垂线垂足为M，在OMPRt中根据勾股定理，你又能得出什么结论？

（3）请分别用文字语言和代数式表示上述结论。

α P(x,y)

x y 如图：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则:

tancossin

二、 新知应用

1、

【变式1】：例2.

【变式2】 已知3tan，求cossin、的值。

方法总结：

一：若已知sinα或cosα，先通过平方关系得出另外一个三角函数值，再用商数关系求得tanα。

二：若已知tanα，先通过商数关系确定sinα与cosα的联系，再代入平方关系求得sinα与cosα。

【注意】 若角所在象限未定，应讨论所在的象限。

的值。、是第三象限角角tanαcosα，求,53sinα已知1例的值。，求已知tan,sin53cos2、例3、.cossin1sin1cosxxxx求证：

【变式练习】求证：

（1）2244cossincossin

（2）1coscossinsin2224

1.2.2 同角三角函数的基本关系

自主学习

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：____________________.

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝__________；cos2α＝__________；

(sin α＋cos α)2＝__________；

(sin α－cos α)2＝____________；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；

sin α·cos α＝____________＝____________.

(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________；

cos α＝____________.

自主探究

1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．

2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．

(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；

(2)14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2α.

对点讲练

知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值

例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.

回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．

变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简

例2 化简：1cos α1＋tan2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.

回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．