百校联盟2017-2018学年全国卷II高考《考试大纲》调研卷理科数学（第五模拟）一、选择题：共12题1．已知复数z=+(i是虚数单位)的实部与虚部的和为1,则实数m的值为A.-1B.0C.1D.22．设集合A满足{a}⊆A⫋{a,b,c,d},则满足条件的集合A的个数为A.4B.5C.6D.73．在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则的值为A.2B.4C.-2或2D.-4或44．已知在平面中,A(1,0),B(1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=120°,若=λ-2,则λ的值为A.-1B.2C.1D.-25．已知-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y=x2+1相切,则双曲线的离心率为A. B. C.2 D.6．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图,则该几何体的体积为A.πB.πC.πD.π7．定义[x]为不超过x的最大整数,例如[1.3]=1.执行如图所示的程序框图,当输入的x为4.7时,输出的y值为A.7B.8.6C.10.2D.11.88．已知x,y满足不等式组,设(x+2)2+(y+1)2的最小值为ω,则函数f(t)=sin(ωt+)的最小正周期为A. B.π C. D.9．已知x,y是[0,2]上的两个随机数,则满足x·y∈[0,1]的概率为A. B. C. D.10．已知函数f(x)=,如果对任意的n∈N*,定义f n(x)=x)]},那么f2 016(2)的值为A.0B.1C.2D.311．已知椭圆+=1(a>b>0)及圆O:x2+y2=a2,如图过点B(0,a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A,若∠AOB=60°,则椭圆的离心率为A. B. C. D.12．定义在(-1,1)上的函数f(x)=1+x-+-…-,设F(x)=f(x+4),且F(x)的零点均在区间(a,b)内,其中a,b∈Z,a<b,则圆x2+y2=b-a的面积的最小值为A.πB.2πC.3πD.4π13．已知(x+2y)n的展开式中第二项的系数为8,则(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开式中所有项的系数和为.14．已知函数f(x)=a ln x+(x+1)2,若图象上存在两个不同的点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1>x2),使得f(x1)-f(x2)≤4(x1-x2)成立,则实数a的取值范围为.15．已知A,B,C为球O表面上的三点,这三点所在的小圆圆心为O1,且AB=AC=1,∠BAC=120°,球面上的点P在平面ABC上的射影恰为O1,三棱锥P-ABC的体积为,则球O 的表面积为.16．已知数列{a n}的前n项和为S n=pn2-2n,n∈N*,b n=,若数列{b n}是公差为2的等差数列,则数列{a n}的通项公式为.三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中c为最长边.(1)若sin2A+sin2B=1,试判断△ABC的形状;(2)若a2-c2=2b,且sin B=4cos A sin C,求b的值.18．如图,在四棱锥C-ABDE中,F为CD的中点,DB⊥平面ABC,AE∥BD,AB=BC=CA=BD=2AE.(1)求证:EF⊥平面BCD;(2)求平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.19．网上有一项虚拟的游戏,在如图所示的等腰直角三角形上有15个格点(横、纵相邻格点间的距离为1个单位),三角形边界上的每个格点记1分,三角形内部的每个格点记2分,若点击鼠标左键,屏幕上会随机等可能地显示点中的某一格点,点中某格点后,将与其距离为1个单位的格点的分数和作为其得分.(1)某人点击鼠标左键两次,若第一次显示点中三角形内部的格点,第二次显示点中三角形边界上的格点,求恰好两次点中的格点间的距离为1个单位的概率;(2)随机点击鼠标左键一次,其得分记为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.20．已知点P是抛物线C:y2=x在第四象限内的点,抛物线在点P处的切线l分别交x轴,y 轴于不同的两点A,B.(1)若圆心在x轴上的圆M与切线l也相切于点P,且满足|PB|=|PM|,求圆M的标准方程;(2)在(1)的条件下,记过点A且与直线l垂直的直线为m,Q是抛物线C上的点,若点Q到直线m的距离最小,求点Q的坐标.21．已知函数f(x)=,g(x)=ax-a.(1)若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象相切,求a的值及切点的坐标;(2)若m,n∈(0,1],且m>n,求证:≥e m-n.22．如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,交△ABC的外接圆于E,延长AC交△DCE 的外接圆于F.(1)求证:BD=DF;(2)若AD=3,AE=5,求EF的长.23．已知曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos(θ+)-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程;24．已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤g(x);(2)若存在x0∈R,使得f(x0)≥g(x0),求实数a的取值范围.参考答案1.C【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算.解题时对复数进行化简,进而求出m的值.由已知z=++,则+=1,得m=1,故选C.2.D【解析】本题主要考查集合的相关概念,意在考查考生对集合的子集、真子集的概念的理解.先由条件确定集合A中元素的特点,进而求出集合A的个数.根据子集的定义,可得集合A中必定含有元素a,而且含有a,b,c,d中的至多三个元素.因此,满足条件{a}⊆A⫋{a,b,c,d}的集合A有{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,c,d},{a,b,d},共7个.3.A【解析】本题考查等比数列的基本运算及性质.求解时一定要注意等比数列中奇数项的符号相同的关系,否则容易出现错解.∵a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,∴a3a15=8,a3+a15=6,因而a3,a15均为正,由等比数列的性质知,a1a17==a3a15=8,∴a9=2,=2,故选A.4.C【解析】本题考查向量的运算、向量的夹角公式等,利用点C所在的象限,求出参数λ的范围,再利用∠AOC的大小求出λ.由已知得,=(1,),=(1,0),则=λ-2=(λ-2,λ),又点C在第二象限,故λ-2<0,λ>0,则0<λ<2,由于∠AOC=120°,所以cos∠AOC==-,解得λ=1,故选C.5.A【解析】本题考查双曲线的基础知识,考查运算求解能力及灵活变通能力.解析几何是高考的重点,而双曲线在选择、填空题中是必考内容之一,双曲线的复习以基础为主,但要注意其综合性.双曲线的渐近线为y=±x,代入抛物线方程得,x2±x+1=0,∴Δ=-4=0,故e2=+1=5,∴e=,故选A.6.C【解析】本题考查三视图的基础知识,考查圆锥与圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件正确确定几何体的形状是解题的关键.三视图是必考题,且在高考中形式灵活多样,考生需要提高空间想象能力,以不变应万变,同时加强几何体体积及表面积求法的练习,提高运算能力.由已知三视图,可得这个几何体的直观图如图所示,则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积,即π×12×2-2××π×12×1=π,故选C.7.C【解析】本题考查程序框图的知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.注意求解时准确判断条件满足与否,决定程序执行的方向.当输入的x为4.7,执行程序框图可知,4.7-[4.7]=0.7,即4.7-[4.7]不等于0,因而可得y=7+([4.7-3]+1)×1.6=10.2,输出的值为10.2,故选C.8.D【解析】本题通过线性规划的知识,考查数形结合能力.求解时准确作出可行域,求出(x+2)2+(y+1)2的最小值,进而求出函数的最小正周期.由不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为可行域内的点与定点C(-2,-1)之间的距离的平方,其最小值为5,故f(t)=sin(5t+),其最小正周期T=,故选D.9.B【解析】本题考查运用定积分求面积、几何概型概率的求法,考查数形结合思想.将x·y≤1在直角坐标系中通过反比例函数图象体现出来,结合定积分求曲边图形的面积,进而求解概率.由于x,y∈[0,2],故x,y在直角坐标平面内所表示的区域为正方形,面积为4,而若满足x·y∈[0,1],显然x·y≥0恒成立,因而只需x·y≤1,故x·y∈[0,1]所表示的区域如图中曲边形OABCD所示,S OABCD=4-(2-)d x=4-(2x-ln x)=1+2ln 2,因而所求的概率为P=,故选B.【解析】本题以分段函数为背景考查函数求值、函数的周期性等知识.分段函数仍是新课标高考中的热点,另外,函数的零点、函数的性质等也备受者的青睐,考生一定要多关注.∵f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,∴f n(2)的值具有周期性,且周期为3,∴f2(2)=f3×672(2)=f3(2)=2,故选C.01611.A【解析】本题主要考查椭圆的基础知识,考查直线与圆、椭圆的位置关系等,突出对转化能力、运算能力等的考查.求解时将直线方程与椭圆方程联立,确定相切时直线的斜率,进而求出直线与圆的交点坐标,利用向量求角的余弦值,得出离心率,也可利用直线l的斜率与离心率e的关系数形结合求解.由已知,显然直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx+a,则由得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a2c2=0,∴Δ=4a6k2-4a2c2(b2+a2k2)=0,结合图形解得k=,即直线l的方程为y=x+a.通解y=x+a与x2+y2=a2联立得x A=,y A=,由于∠AOB=60°,因而cos∠AOB=,即,∴,得e=,故选A.优解故直线l的斜率为=e,由于∠AOB=60°,设AB与x轴交于点C,则在Rt△OBC中,∠OCB=30°,因而e=tan∠OCB=,故选A.12.A【解析】本题考查导数等基础知识,考查圆的面积公式,考查考生的化归与转化能力.第12题有一定的难度,容易将函数零点、不等式等综合在一起考查,因而在备考复习中,要注重训练,提高解题能力.f'(x)=1-x+x2-x3+…-x2 015=>0,因而f(x)在(-1,1)上单调递增,f(-1)=(1-1)---…-<0,f(0)=1>0,因而函数f(x)仅有1个零点,且在(-1,0)内,那么F(x)=f(x+4)也有1个零点在(-5,-4)内,故b-a的最小值为1,则圆x2+y2=b-a的面积的最小值为π,故选A.13.30【解析】本题考查二项式定理,求解时首先利用(x+2y)n的展开式中第二项的系数求出n的值,然后利用赋值x=1求出所有项的系数和.二项式定理往往与排列组合知识交替考查,复习中不能遗漏.(x+2y)n的展开式中第二项的系数为8,即×2=8,故n=4.令x=1,可得(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4的展开式中所有项的系数和为2+22+23+24=30.14.(-∞,]【解析】本题考查运用导数知识解决函数问题,考查考生的基本运算能力与分析、解决问题的能力.求解时构造函数,求得函数g(x)的最大值,即可求得a的取值范围.由题意可得,f(x)=a ln x+x2+2x+1,f'(x)=+2(x+1),由题意知,存在x>0,使得f'(x)≤4成立,即存在x>0,使得a≤-2x2+2x成立,设g(x)=-2x2+2x=-2(x-)2+,其最大值为,因而a≤.15.【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算求解能力,高考中对于与球相关知识的考查,往往结合球的内接柱、锥等几何体,考查球的表面积或体积的求解.由AB=AC=1,∠BAC=120°,知圆O1的半径r=1,且S△ABC=×1×1×sin 120°=,设PO1=h,球O的半径为R,因而V P-ABC=×h=,得h=2,R2=(h-R)2+r2,即R2=4-4R+R2+1,R=,则球O的表面积为4πR2=4π×.16.a n=3n-【解析】本题考查数列的知识,立意新颖,突出对考生能力的考查.通解由S n=pn2-2n可知,当n=1时,a1=p-2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2pn-p-2,a1=p-2适合上式,因而对任意的n∈N*,均有a n=2pn-p-2,又由已知得a1+2a2+3a3+…+na n=n(n+1)b n,a1+2a2+3a3+…+na n+(n+1)a n+1=(n+1)(n+2)b n+1,则(n+1)a n+1=(n+1)(n+2)b n+1-n(n+1)b n,∴a n+1=b n+1+n.a n+1-a n=b n+1-b n+1=3,则2p=3,a1=-.∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-.优解由S n=pn2-2n可知,当n=1时,a1=p-2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2pn-p-2,a1=p-2适合上式,因而对任意的n∈N*,均有a n=2pn-p-2,a n+1-a n=2p,因而数列{a n}是公差为2p的等差数列,a2=3p-2,b1=a1=p-2,b2=,b2-b1=-(p-2)=2,得2p=3,a1=-.∴数列{a n}的通项公式为a n=-+(n-1)×3=3n-.17.(1)由已知,sin2A+sin2B=1,∴sin2A=1-sin2B=cos2B,由于c为最长边,∴A,B均为锐角,则sin A=cos B.∴sin A=sin(-B),∴A=-B,即A+B=.故△ABC为直角三角形.(2)由已知sin B=4cos A sin C,结合正弦定理和余弦定理得b=×c,即b2=2(a2-c2),又a2-c2=2b,∴b2=4b,又b≠0,∴b=4.【解析】本题考查正、余弦定理,同角三角函数之间的关系等知识.第(1)问通过同角三角函数的关系式、诱导公式判断三角形的形状;第(2)问利用正、余弦定理求b的值.【备注】正、余弦定理,三角形的面积公式是解三角形的必要工具,求解三角形问题时常常需要利用正、余弦定理实现边角转换,在边角转换过程中,一定不要省略步骤,否则容易造成不必要的错误.另一方面,要注意三角公式中的变式应用,如sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)等.18.(1)设AE=1,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,A(0,0,0),B(0,2,0),C(,1,0),D(0,2,2),E(0,0,1),F(,,1),=(,,0),=(-,1,2),=(0,0,2).∵·=0,·=0,∴EF⊥CD,EF⊥BD.又CD⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,CD∩BD=D,∴EF⊥平面BCD.(2)设平面CED的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,∴,取x=1,解得,∴n=(1,-,)是平面CED的一个法向量,而平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为θ,则cosθ=.∵0<θ<,∴θ=.∴平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为.【解析】本题考查立体几何中线面垂直的证明、二面角的求解等知识.解题时要注意推理过程的严谨性,注意解题过程的规范性与全面性.【备注】空间中线线、线面、面面位置关系的证明,除了运用性质定理、判定定理外,借助向量解决是趋势.在运用向量法求解时,一般需思考:①如何将已知条件转化为向量,要解决的问题需要哪些向量,可用哪些向量知识解决,如何恰当建立空间直角坐标系等,通常以至少存在两条相交且互相垂直的比较明显的直线的交点为原点,并以这两条相互垂直的直线为坐标轴;②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示,能否顺利坐标化,为下一步向量运算提供条件;③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论;④运算结果和证明的结论不一致时,应该及时检查初始点或基向量是否正确;⑤运用向量法求二面角的易错点在于二面角是锐角还是钝角.19.(1)由题意可知,三角形内部的格点有3个,边界上的格点有12个,则两次点击的结果共有3×12=36种,而恰好两次点中的格点间的距离为1个单位的情况有3+3+2=8种,故所求概率为P=.(2)易知ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,将所有格点按图中所示进行编号,则得1分表示点中图中的4,P(ξ=1)=,得2分表示点中图中的0,P(ξ=2)=,得3分表示点中图中的3,5,P(ξ=3)=,得4分表示点中图中的1,2,6,P(ξ=4)=,得5分表示点中图中的7,P(ξ=5)=,得6分表示点中图中的8,P(ξ=6)=,因而ξ的分布列为Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×.【解析】本题考查古典概型概率的求解,简单随机变量的分布列、数学期望的求解等知识,考查考生的阅读理解能力和运算求解能力.【备注】①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中,每一次试验的结果只能有两种可能,要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的;②在n次独立重复试验中,设每次发生的概率为p,则事件A发生的次数为k的概率为p k(1-p)n-k,设事件A发生的次数为随机变量X,则其服从二项分布,记为X~B(n,p).做题时,某些问题不一定是独立重复试验问题,但需要转化成独立重复试验问题来求解,因而化归与转化思想的应用在该类问题的求解中是很重要的.20.(1)设P(t2,t),t<0,切线l的方程为y-t=k(x-t2),其中k≠0,联立,得y2-y+-t2=0,由Δ=-4(-t2)=0得k=,因此直线l的方程为y-t=(x-t2),即x-2ty+t2=0.令y=0,得x=-t2,所以A(-t2,0),令x=0,得y=,所以B(0,).设M(a,0),因为圆M与l相切于点P,|PB|=|PM|,且PB⊥PM,所以|MB|2=2|PB|2,即a2+=2(t4+),所以a2=+2t4①,又·=0,所以-t2(a-t2)+=0,即t2=a-②.联立①②解得a=或a=(舍去),|PM|2=,所以圆M的标准方程为(x-)2+y2= .(2)由(1)知A(-1,0),直线l的斜率为-,所以直线m的斜率为2,故直线m的方程为2x-y+2=0.设与直线m平行且与抛物线C相切的直线为2x-y+b=0(b≠2),代入抛物线方程,得y2=,即2y2-y+b=0,由Δ1=1-8b=0得b=,此时y=,x=,所以点Q的坐标为(,).【解析】本题主要考查抛物线、圆等基础知识,考查圆的标准方程的求法,考查考生的化归与转化思想.【备注】分析近几年新课标全国卷Ⅱ,不难发现解析几何的考查基本稳定在椭圆、圆、抛物线上,已知条件以向量形式给出也很普遍.本题以圆与抛物线相结合的方式进行考查,突破传统思维定势的影响,提高了复习的全面性与灵活性.21.(1)设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切于点M(t,),由f'(x)=,则f'(t)==a,且=at-a,消去a得(2t-1)ln t-t+1=0.设h(t)=(2t-1)ln t-t+1,则h'(t)=2ln t+-1=2ln t-+1.设φ(t)=2ln t-+1,则φ'(t)=+>0,所以φ(t)=2ln t-+1在其定义域上单调递增,即h'(t)=2ln t-+1单调递增.又h'(1)=0,所以当t∈(0,1)时,h'(t)<0,h(t)单调递减,当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增,所以h(t)的最小值为h(1)=0,所以(2t-1)ln t-t+1=0仅有一解t=1,此时a==1,切点为M(1,0).(2)要证≥e m-n,即证≥m-n,即证≥m-n,即证-≥m-n,即证≥1.由f'(x)==0,得x=e,因而当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,结合(1)知,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,因而f(x)的图象恒在y=x-1的下方,则当x∈(0,1]时,函数f(x)的图象上任意两点连线的斜率均不小于1,即≥1,故≥e m-n.【解析】本题考查利用导数研究曲线的切线、不等式的证明等,考查考生的化归与转化思想.本题以函数f(x)=为原型函数,入手点简单,但所涉及的问题有一定的高度,特别是第(2)问不等式的证明,需经过多次转化,如果不善于转化或转化错误则满盘皆输.【备注】高考对函数与导数的考查,多以对数函数、指数函数的形式出现,而且属于压轴题,对考生能力的要求很高,意在提高试题的区分度,有利于选拔.试题一方面可以从含有参数的函数的单调性、极值、最值,曲线的交点等方面进行设计,解题时需对参数分类讨论,往往比较复杂,考生由于对参数讨论分析不到位而产生差异,拉开分数;另一方面,从切线等角度入手,看似简单,但如果对数学思想的应用不够自如,则很难达到预期效果.因此,在复习过程中,对于某些常见函数的性质及图象要力争做到了如指掌,比如对于函数y=以及y=x ln x的图象及性质等要多加积累,并学会利用数形结合思想进行合理分析,寻找问题的求解方法.22.(1)在△ABC的外接圆中,∠ABC=∠AEC,在△DEC的外接圆中,∠DEC=∠DFC,因而∠ABC=∠DFC.又AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,又AD=AD,∴△ADB≌△ADF,∴DB=DF.(2)由(1),同理得∠BAD=∠BCE,∠DCE=∠DFE,∠BAD=∠CAD,∴∠CAD=∠DFE,∴△FDE∽△AFE,因而,即EF2=AE·DE=10,即EF=.【解析】高考对本部分内容的考查主要围绕圆的切线问题进行,主要考查考生的推理能力、逻辑思维能力.灵活运用与圆有关的定理、几何性质是解题的关键.23.(1)ρ2-2ρcos(θ+)-2=0,即ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0,将代入得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,圆心C(1,-1),若直线l被曲线C截得的弦长最小,则直线l与OC垂直,即k l·k OC=-1,因而k l=1,故直线l的直角坐标方程为y=x.(2)因为M是曲线C上的动点,因而利用圆的参数方程可设(φ为参数),则x+y=2sinφ+2cosφ=2sin(φ+),当sin(φ+)=1时,x+y取得最大值2.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力.24.(1)当a=-1时,不等式f(x)≤g(x),即|x+1|≤2|x|-1,从而,即x≤-1,或,即-1<x≤-,或,即x≥2.从而不等式f(x)≤g(x)的解集为{x|x≤-或x≥2}.(2)存在x0∈R,使得f(x0)≥g(x0),即存在x0∈R,使得|x0+1|≥|x0|+,即存在x0∈R,使得≤|x0+1|-|x0|.设h(x)=|x+1|-|x|=,则h(x)的最大值为1,因而≤1,即a≤2.【解析】本题考查绝对值不等式的求解,分类讨论很关键,第(2)问是本题的难点,是存在性问题,需要考生将该问题与恒成立问题加以区分,虽然都是转化为求最值问题,但有根本的区别.。
