第19章《矩形、菱形与正方形》2018年春达标检测卷(含答案)

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（）.A. B. C. D.2、下列命题正确的是( )A.三角形的中位线平行且等于第三边B.对角线相等的四边形是等腰梯形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.相等的角是对顶角3、如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A.2B.C.6D.34、下列命题是假命题的是( )A.如果a∥b，b∥c，那么a∥cB.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等D.矩形的对角线相等且互相平分5、如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对交线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A. cm 2B.1cm 2C.2cm 2D.4cm 26、已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A. 12 cm2B. 24 cm2C. 48 cm2D. 96 cm27、如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A. B. C.1 D.1﹣8、如图，在正方形ABCD中，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则的值是( )A. B. C. D.9、从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A.AC⊥BDB.AC=BDC.AB=BCD.AD=CD10、如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是否对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④11、如图，AB为半圆O的直径，，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为A.2B.C.D.12、顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A.25B.36C.49D.3013、周长为的正方形对角线的长是（）A. B. C. D.14、如图，菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF=90°，则∠D的度数为（）A.60°B.55°C.45°D.40°15、如图，ABCD是正方形，E是边CD上（除端点外）任意一点，AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，下列结论一定成立的有（）个.①△ABM≌△BCN；②△BCN≌△CEN；③AM﹣CN=MN；④M有可能是线段BE的中点.A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形 ABCD 中，AD＝，已知点 E 是边 AB 上的一动点（不与A、B 重合）将△ADE 沿 DE 对折，点 A 的对应点为 P，当△APB 是等腰三角形时，线段 AE= ________.17、如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为________．18、如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，已知a=2b=6c，其面积是________（用含c的代数式表示）19、如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为________.20、如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连结CE，则△CDE的周长为________cm.21、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．22、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S 1________ S2（填“＞”或“＜”或“＝”）23、如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则AD的长为________.24、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=________cm．25、等腰梯形的一个锐角为60°，一腰长为24cm，一底长为39cm，则另一底长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．27、为了保证人们上下楼的安全, 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制, 每节楼梯踏步的宽度相同, 高度也相同中小学楼梯宽度的范围是260 mm 300 mm ( 含300 mm ) , 高度的范围是120 mm 150 mm (含150 mm ). 如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图, 测量结果如下: AB, CD分别垂直平分踏步EF, GH, 各踏步互相平行, AB = CD, AC = 900 mm, ∠ACD = 65°, 试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定? (结果精确到1 mm, 参考数据: sin 65°≈0.906, cos 65°≈ 0.423.)28、如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．29、如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，将长方形纸片沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．试求折痕AE的长．30、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点.（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、D4、C5、A6、B7、A8、D9、B10、B11、C12、B13、D14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、。

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BH的值为（）AEA．1 B C D．22、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变3、下列命题是真命题的是（ ）A ．有一个角为直角的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．有一组邻边相等的矩形是正方形4、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论正确的是 （ ）A ．∠DAB ′＝∠CAB ′B ．∠ACD ＝∠B ′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE5、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6、如图，已知双曲线 (0)ky x x => 经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F 且交 BC 于 E ，四边形OEBF 的面积为 2，则()k =A ．1B ．2C ．4D ．87、如图，长方形OABC 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上．4OA BC ==，8AB OC ==．点D 在边AB 上，点E 在边OC 上，将长方形沿直线DE 折叠，使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（ ）A ．()4,4B ．()5,4C ．()3,4D ．()6,48、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．60°9、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点.C 若菱形OABC 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510、已知锐角∠AOB ，如图．（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接CP ，DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．四边形OCPD 是菱形B ．CP =2QC C ．∠AOP =∠BOPD ．CD ⊥OP第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，且顶点B 的坐标是（1，2），如果以O 为圆心，OB 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点P ，那么点P 的坐标是_______．2、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为CD 边上一点，将ADE 绕点A 旋转至ABE '△，连接EE '，若2DE =，则EE '的长等于______．3、如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB 上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．4、点P 为边长为2的正方形ABCD 内一点，PBC 是等边三角形，点M 为BC 中点，N 是线段BP 上一动点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，连接AQ 、PQ ，则AQ PQ +的最小值为______．5、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．6、如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且<AM AB ，CBE △由DAM △平移得到，若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得60DHC ∠=︒时，2=BE DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM =；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形；④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135︒以上结论正确的有______（把所有正确结论的序号都填上）．7、菱形的性质：（1）两组对边分别____________，菱形的四条边都____________．（2）菱形的两组对角____________，邻角____________（3）菱形的对角线互相____________，并且每一条对角线____________一组对角．（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有____________条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其____________的交点．8、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．9、有一组邻边相等的平行四边形是____________菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质．10、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE CD =，连接AC ，AE ，过点C 作//CF AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．(1)求证：四边形ACFE 是菱形；(2)连接BE ，当4AC =，30ACB ∠=︒时，求BE 的长．2、如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A ，B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接CF 并延长交DE 延长线于点K ．(1)根据题意，补全图形；(2)求∠CKD的度数；(3)请用等式表示线段AB、KF、CK之间的数量关系，并说明理由．3、如图，AD//BE，AC平分BAD∠，且交BE于点C．(1)作ABE∠的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；(2)根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．4、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB．(1)作∠BCD的角平分线交AD于点E，在BC上截取CF＝CD（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接EF，猜想四边形CDEF的形状，并证明你的结论．5、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∵AD=AB，∴DM=BE，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，∴∠DFG=90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ），∴∠3=∠4，∵∠ADC =90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG =45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ， ∴∠1=∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DME ≌△EBH （SAS ），∴EM =BH ，Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ，∴EM ，∴BH ，即BHAE．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．2、D【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】解：连接AE ，∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，∴ABCD DEGF S S=矩形，故选：D ． ．【点睛】 此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，结合选项进行判断即可．【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项为假命题；B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项为假命题；C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项为假命题；D.有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项为真命题．故选：D．【点睛】考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【详解】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，∴结论正确的是D选项．故选D.【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5、C【解析】【分析】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；【详解】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小， ∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．6、B【解析】【分析】 利用反比例函数图象上点的坐标，设()k F a a ，，则根据F 点为AB 的中点得到2()k B a a，．然后根据反比例函数系数k 的几何意义，结合OAF OCE OABC OEBF S S S S =++矩形四边形，即可列出11222B B x y k k ⋅=++，解出k 即可．【详解】 解：设()k F a a，， ∵点F 为AB 的中点， ∴2()k B a a，． ∵OAF OCE OABC OEBF S S S S =++矩形四边形， ∴11222B B x y k k ⋅=++，即211222k a k k a ⋅=++， 解得：2k =．故选B ．【点睛】本题考查反比例函数的k 的几何意义以及反比例函数上的点的坐标特点、矩形的性质，掌握比例系数k 的几何意义是在反比例函数(0)ky k x=≠图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答本题的关键．7、C【解析】【分析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．【详解】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，在Rt△OAD中，∵OA2+AD2=OD2，∴42+x2=(8-x)2，∴x=3，3,4，∴D()故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．8、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，255∠=︒，170∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．9、B【解析】【分析】根据题意，可以设出点C 和点A 的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k 的值，本题得以解决．【详解】解：设点A 的坐标为()0a ，，点C 的坐标为k c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴点D 的坐标为22a c k c +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 菱形OABC 的面积为9，9k a c∴⋅=①， 点D 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，22a c k k c +∴⋅=②， 解得，3k =，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．二、填空题1、0）【解析】【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，∵OB∴OP∴点P0）．故答案为：0）．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．2、【解析】【分析】在正方形ABCD中，BE′＝DE＝2，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝8，CE＝4，利用勾股定理求得EE′的长即可．【详解】解：在正方形ABCD中，∠C＝90°，由旋转得，BE′＝DE＝2，∴E ′C ＝8，CE ＝4，∴在直角三角形E ′CE 中，EE故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键．3、11【解析】【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可【详解】解：①EF 经过CD 边中点O 时，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，∵点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ∴11,22OC CD EC BC ==．∵CE=CO =1，∴45CEO ∠=︒， 由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴22.5FPE BPE ∠=∠=︒．∴45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，∵45BPF ∠=︒，∴PG ＝FG=x +1，∴BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，∴211)x x +=+，解得x =∴12BP =>，∴点P 在AB 外，不符合题意；②EF 经过AD 边中点O '，如图，此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒，∴BP=BE =1；③EF 经过AB 中点O ''，如图，∵O ''B=BE ，∴45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，∴1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．4【解析】【分析】如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，证明BMN EMQ ≌，进而证明Q 在EF 上运动， 且EF 垂直平分PM ，根据AQ PQ AQ MQ AM +=+≥，求得最值，根据正方形的性质和勾股定理求得AM 的长即可求得AQ PQ +的最小值．【详解】解：如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，MN MQ ∴=，60NMQ ∠=︒ PBC 是等边三角形，PB BC ∴=,60PBC ∠=︒,E F 是,BP PC 的中点，M 是BC 的中点BM BE ∴=BEM ∴是等边三角形BME ∴∠60=︒，BM BE =NMQ BME ∴∠=∠BME NME NMQ NME ∴∠-∠=∠-∠即BMB EMQ ∠=∠在BMN △和EMQ 中，BM EM BMN EMQ MN MQ =⎧⎪∠-⎨⎪=⎩∴BMN EMQ ≌60MEQ MBN ∴∠=∠=︒又60EMB ∠=︒MEQ EMB ∴∠=∠EQ BC ∴∥,E F 是,BP PC 的中点EF BC ∴∥Q ∴点在EF 上 M 是BC 的中点，PBC 是等边三角，PM BC ∴⊥EF PM ∴⊥ 又11,22EP PB EM EB PB === EP EM ∴=EF ∴垂直平分PMQP QM ∴=AQ PQ AQ MQ AM ∴+=+≥即AQ PQ +的最小值为AM四边形ABCD 是正方形，且2AB =AM ∴==+∴AQ PQ【点睛】本题考查了正方形的性质等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，根据以上知识转化线段是解题的关键．5、20【解析】【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6、①②④【解析】【分析】由正方形性质、三角形性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及全等三角形的判定及性质，对结论推理论证即可．【详解】由题意得AM BE =∴AB EM =∵四边形ABCD 是正方形，EH AC ⊥∴EM AD =，90AHE =︒∠，45MEH DAH EAH ∠=∠=∠=︒∴EH AH =∴()MEH DAH SAS ≅△△∴MHE DHA ∠=∠，MH DH =∴90MHD AHE ∠=∠=︒，DHM △为等腰直角三角形∴DM故②正确当60DHC ∠=︒时，604515ADH ∠=︒-︒=︒∴Rt ADM △中，DM =2AM即DM =2BE故①正确∵CD //EM ，AD //DM∴四边形CEMD 是平行四边形∵DM AD >，AD CD =∴DM CD >∴四边形CEMD 不可能为菱形故③错误∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合）且<AM AB∴45AHM BAC ∠<∠=︒∴135CHM ∠>︒故④正确综上所述①②④正确故答案为：①②④．【点睛】本题为四边形内的综合问题，熟悉正方形、三角形、平行四边形、菱形以及全等三角形的等知识点的性质是解题的关键．7、 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线【解析】略8、8【解析】【分析】正方形边长相等设为a ，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．【详解】解：设边长为a ，对角线为4 24a =+28a ∴=故答案为：8．【点睛】本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．9、 菱形 平行四边形【解析】略10、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC ＝90°，求得AE ＝AC ，EF ＝CF ，根据平行线的性质得到∠EAD ＝∠AFC ，求得AE ＝EF ＝AC ＝CF ，于是得到结论；（2）由直角三角形的性质可求AB ＝2，BC ＝(1)证明：四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，AF CE ∴⊥，又CD DE =，AE AC ∴=，EF CF =，EAD CAD ∴∠=∠，//AE CF ，EAD AFC ∴∠=∠，CAD CFA ∴∠=∠，AC CF ∴=，AE EF AC CF ∴===，∴四边形ACFE 是菱形；(2)解：4AC =，30ACB ∠=︒，90ABC ∠=︒，122AB AC ∴==，BC ， 2CD AB DE ===，BE ∴【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．2、 (1)见解析(2)45°(3)KF2+CK2=2AB2，见解析【解析】【分析】（1）按题意要求出画出图形即可；（2）过点D作DH⊥CK于点H，由轴对称的性质得出DA=DF，∠ADE=∠FDE，由正方形的性质得出∠ADC=90°，AD=DC，证出∠EDH=45°，由直角三角形的性质可得出结论；（3）连接AC，由轴对称的性质得出AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，由正方形的性质得出∠B=90°，∠BAC=45°，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出结论．(1)如图，(2)过点D作DH⊥CK于点H，∵点A关于DE的对称点为点F，∴DA=DF，∠ADE=∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC，∴DF=DC，∵DH⊥CK，∴∠FDH=∠CDH，∠DHF=90°，∴∠ADE+∠FDE+∠FDH+∠CDH=90°，∴∠FDE+∠FDH=45°，即∠EDH=45°，∴∠CKD=90°-∠EDH=45°；(3)线段AB、KF、CK之间的数量关系为：KF2+CK2=2AB2．证明：连接AC，∵点A关于DE的对称点为点F，∴AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，在Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC，在Rt△AKC中，∠AKC=90°，∴AK2+CK2=AC2，∴KF2+CK2=2AB2．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据角平分线定义和平行线性质证明∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠CBF，再根据三角形的等角对等边证得AF=AB=BC，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可．(1)解：如图，射线BF即为所求作的角平分线；(2)解：∵AC平分∠BAD，BF平分∠ABE，∴∠BAC=∠FAC，∠ABF=∠CBF，∵AD∥BE，∴∠ACB=∠FAC，∠AFB=∠CBF，∴∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠ABF，∴A B=BC，AB=AF，∴BC=AF，又AF∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCF是菱形．【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．4、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【小题1】解：如图，射线CE，线段CF即为所求．【小题2】结论：四边形CDEF是菱形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DEC=∠ECF，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠ECF，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD，∵CF=CD，∴DE=CF，∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形，∵CD=CF，∴四边形CDEF是菱形．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5、 (1)见解析(2)4(3)4【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC 交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD 的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．(1)解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=12×PF×PH-12×PF×TM-12×QH×CN=12×8×8-12×8×4-12×6×3=7．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．。

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A.4B.3C.2D.12、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不确定3、已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4、平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD一定是（）.A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形5、如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm6、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A.7B.8C.9D.107、下列性质中，矩形不一定具有的是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.4个内角相等D.一条对角线平分一组对角8、学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是（）A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是( )A.(1)(4)(5)B.(2)(5)(6)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(5).10、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A.1或2B.2或3C.3或4D.4或512、如图，是△EBD以正方形ABCD的对角线BD为边的正三角形，EF⊥DF，垂足为F，则∠AEF的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°13、平面内有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A.90°B.180°C.270°D.360°14、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.2.415、下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A.对角线互相平分的四边形B.对角线相等且平分的四边形C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形二、填空题(共10题，共计30分)16、已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为________．17、如图，矩形中，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，则的长为________．18、如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为________．19、如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于________度20、已知菱形的边长为4,∠A=60°，则菱形的面积为________．21、如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为________ ．22、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为________．（填一般式）23、如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为________24、如图，在中，，点的坐标为，点在轴上，轴.将沿翻折得到，直线过点，则四边形的面积为________.25、如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B 在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．27、如图，科博会上某公司展示了研发的绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE⊥直线EL且AE＝25 cm，手臂AB＝BC ＝60 cm，末端操作器CD＝35 cm，AF∥直线EL.当机器人运作时，∠BAF＝45°，∠ABC＝75°，∠BCD＝60°，求末端操作器节点D到地面直线EL的距离．(结果保留根号)28、如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．29、如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）30、在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．猜想：如图①，当点在边上时，写出线段与的大小关系。

第十九章矩形、菱形与正方形一、选择题1.矩形具有而一般平行四边形不具有的特征是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分2.菱形ABCD的对角线长分别为6和8，则菱形的面积为（）A.12B.24C.36D.483.下列命题中，真命题是（）A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形4.如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A.1：2B.1：3C.1：D.1：5.如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（）A.2.5B.5C.2.4D.不确定6.关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角7.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且OE=AE，则边BC的长为（）A.2B.3C.D.68.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A.4B.8C.10D.129.正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形10.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°.则正确结论的个数有()A.1B.2C.3D.4二、填空题11.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为________．12.如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO=________，菱形ABCD的面积S=________．13.能将三角形面积平分的是三角形的________（填中线或角平分线或高线）14.一个等腰三角形的一个内角为50°，这个等腰三角形的一条腰上的高与底边的夹角是________.15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD 上的点A′处，则AE的长为________．16.在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．17.如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了能得到一个正方形，剪口与折痕所成的角是________18.如图，下面是用由形状相同的黑色棋子按一定规律摆成的“H”字．按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要________个棋子．三、解答题19.如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，求证：PE﹣PF=CD．20.如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．21.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E,F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．22.如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由（3）求四边形EFGH面积的最小值．23.在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在CD上，且DE=1．（1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF丄AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE和△ECF相似；（3）应用：如图③，若EF交AB于点F，EF丄PE，其他条件不变，且△PEF的面积是6，则AP的长为________．24.如图，已知一次函数y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+b经过点C与x轴交于点B．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为x轴上方直线BC上一点，点G为线段BP的中点，点F为线段AB的中点，连接GF，取GF的中点M，射线PM交x轴于点H，点D为线段PH的中点，点E为线段AH的中点，连接DE，求证：DE＝GF；（3）在（2）的条件下，延长PH至Q，使PM＝MQ，连接AQ、BM，若∠BAQ+∠BMQ＝∠DEB，求点P 的坐标．参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.C6.C7.B8.B9.C10.D二、填空题11.512.1：2；1613.中线14.25°或40°15.16.3或617.4518.52三、解答题19.证明：过C作CG⊥PE于G，∵PE⊥AB，CD⊥AB，CG⊥PE，∴四边形CDEG是矩形，∴CD=EG，∵PF⊥AC，∴∠PFC=90°，∵CG⊥PE，∴∠PGC=90°，∴∠PFC=∠PGC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CG⊥PE，AB⊥PE，∴CG∥AB，∴∠ABC=∠PCG，又∵∠ACB=∠PCF（对顶角相等），∴∠PCG=∠PCF，在△PCG和△PCF中，，∴△PCG≌△PCF（AAS），∴PF=PG，∴PE﹣PG=PE﹣PF=EG=CD，则PE﹣PF=CD．20.（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，在△BAC和△EDF中，∴△BAC≌△EDF（SAS），∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形（2）解：连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是菱形，∴CG=FG，BE⊥AC，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC==10，∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴=，即=，∴CG=3.6，∵FG=CG，∴FC=2CG=7.2，∴AF=AC﹣FC=10﹣7.2=2.8．21.（1）证明：∵△AEF∽△ABC，∴=，∵AB=AC，∴AE=AF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD=∠FAD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，BC=2BD，∵BC=2AD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=∠BAD=45°，∴∠BAC=2∠BAD=90°，∵∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AE=AF，∴矩形AEDF是正方形22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG，在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠OAE=∠OCG，在△AOE和△COG中，∠OAE=∠OCG∠AOE=∠COGAE=CG∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA=OC，即O为AC的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2，∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32，∵2＞0，∴S有最小值，当x=4时，S的最小值=32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．23.（1）证明：感知：如图①．∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠DEA+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC．∵DE=1，CD=4，∴CE=3．∵AD=3，∴AD=CE，∴△ADE≌△ECF（ASA）（2）证明：如图②．∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DPE+∠DEP=90°．∵EF⊥PE，∴∠PEF=90°，∴∠DEP+∠FEC=90°，∴∠DPE=∠FEC，∴△PDE∽△ECF；（3）3﹣24.（1）解：∵一次函数y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴C（0，4），A（﹣5，0）．∵一次函数y＝﹣x+b经过点C，∴b＝4，∴一次函数解析式为y＝﹣x+4．（2）证明：如图1中，连接AP．在△APB中，∵PG＝GB，AF＝FB，∴FG＝AP，在△APH中，∵AE＝EH，PD＝DH，∴DE＝AP，∴FG＝DE．（3）解：如图2中，延长GF交AQ于K，连接PE．∵GM＝MF，∠PMG＝∠QMF，PM＝MQ，∴△PGM≌△QFM，∴QF＝PG＝GB，∴∠FQM＝∠MPG，∴QF∥PB，∴四边形FGBQ是平行四边形，∴BQ＝FG＝DE，BQ∥DE，可得△DEH≌△QBH，∴EH＝HB＝AE，∴H（1，0），设GM＝a，则MF＝a，PA＝4a，∵GK∥AP，PM＝MQ，∴AK＝KQ，∴MK＝2a，FK＝a，∴FM＝FK，∠MFB＝∠AFK，BF＝AF，∴△AFK≌△BFM，∴∠FAK＝∠MBF，∴BM∥AQ，∴∠BAQ＝∠ABM，∵∠BAQ+∠BMQ＝∠DEB＝∠PAB，∴∠ABM+∠BMQ＝∠PAB＝∠PHA，∴PA＝PH，∵AE＝EH，∴PE⊥AH，设AE＝EH＝x，则EO＝x﹣1，EO＝OA﹣AE＝5﹣x，∴5﹣x＝x﹣1，∴x＝3，∴PE＝EB＝6，EO＝2，∴P（﹣2，6）．。

八年级数学下册《第十九章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷-附答案(华东师大版)一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2. 如图，在矩形ABCD 中，若AC ＝2AB ，则∠AOB 的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3. 如图，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD 上的点F 处，则下列结论不一定成立的是( )A ．AF ＝EFB ．AB ＝EFC ．AE ＝AFD ．AF ＝BE4. 如图，菱形OABC 的顶点B 在y 轴上，顶点C 的坐标为(－3，2)，若反比例函数y ＝kx (x>0)的图象经过点A ，则此反比例函数的表达式为( )A ．y ＝3x (x>0)B ．y ＝－3x (x>0)C ．y ＝－6x (x>0)D ．y ＝6x(x>0)5. 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89166. 下列选项中能使▱ABCD 成为菱形的是( )A ．AB ＝CD B ．AB ＝BC C ．∠BAD ＝90° D ．AC ＝BD7. 如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°8. 如图，菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若BE ＝EC ，则∠EAF ＝( )A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°9. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 是AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF ＝( )A ．3B ．4 C.125D ．510. 以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE ⊥AC ，垂足为E.若双曲线y ＝32x(x ＞0)经过点D ，则OB·BE 的值为( )A ．2B ．3 C. 4 D ．5二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11. 如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件：_________使▱ABCD 是菱形． 12. 如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝60°，则对角线AC 的长是__________.13. 如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1＝50°，则∠2＝_______.14. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a 于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________．15. 如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，连结EF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过点F作FG⊥EF交BC于点G，连结GH，当AB，AD满足________(数量关系)时，四边形EFGH为矩形．16. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线距离之和PE＋PF＝_______．17. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为________．18. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，P为边BC上一点，且P不与点B，C重合，过P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值等于________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF ＝CD.20．(8分) 如图，在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDF.求证：BE＝BF.21．(8分) 如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．(1)求点D的坐标；(2)求经过点C的反比例函数表达式．22．(8分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB＝2，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．23．(10分) 如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC，交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形吗？如果是，请说明理由．24．(10分) 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．25．(14分) 综合探究如图①，图②，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上的一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.(1)如图①，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是________；②连结点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是________；③请证明上述的两个猜想；(2)如图②，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找一点N，使得NE＝BF，进而猜想此时DE 与EF有怎样的数量关系．参考答案1-5BCCDC 6-10BDBCB11. AD＝DC(答案不唯一)12. 613. 50°14. 1315. AB＝AD16. 4.817. 618. 4.819. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFD.在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD.∴BF ＝CD.20．证明： ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠C.在△ADE 和△CDF 中，∵∠A ＝∠C ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF.∵AB ＝CB ，∴AB －AE ＝BC －CF ，即BE ＝BF.21. 解：(1)∵A(0，4)，B(－3，0)，∴OB ＝3，OA ＝4，∴AB ＝5.∵在菱形ABCD 中，AD ＝AB ＝5，∴OD ＝1，∴D(0，－1)．(2)∵BC ∥AD ，BC ＝AB ＝5，∴C(－3，－5)．设经过点C 的反比例函数表达式为y ＝kx .把(－3，－5)代入表达式，得k ＝15，∴y ＝15x. 22. (1)证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形．在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°，∴四边形AODE 是矩形．(2)解：∵∠BCD ＝120°，AB ∥CD ，∴∠ABC ＝180°－120°＝60°.∵AB ＝BC ＝2，∴△ABC 是等边三角形，∴OA ＝12×2＝1.在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴由勾股定理得OB ＝ 3.∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ＝3，∴四边形AODE 的面积＝OA·OD ＝ 3.23. (1)证明：∵OD 平分∠AOC ，OF 平分∠COB ，∴∠AOC ＝2∠COD ，∠COB ＝2∠COF.∵∠AOC ＋∠COB ＝180°，∴2∠COD ＋2∠COF ＝180°，∴∠COD ＋∠COF ＝90°，即∠DOF ＝90°.∵OA ＝OC ，OD 平分∠AOC ，∴OD ⊥AC ，即∠CDO ＝90°.∵CF ⊥OF ，∴∠CFO ＝90°，∴四边形CDOF 是矩形．(2)解：当∠AOC ＝90°时，四边形CDOF 是正方形．理由如下：当∠AOC ＝90°时，∵OA ＝OC ，OD 平分∠AOC ，∴∠ACO ＝∠A ＝45°，∠COD ＝12∠AOC ＝45°，∴∠ACO ＝∠COD ，∴CD ＝OD.又∵四边形CDOF是矩形，∴四边形CDOF 是正方形．24. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB.由折叠可知，AD ＝AF ，∠AFE ＝∠D ＝90°，∴∠AFG ＝90°，AB ＝AF.∴∠B ＝∠AFG.又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(H.L.)．(2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴EF ＝DE ＝CE ＝3，∴EG ＝x ＋3，在Rt △CEG 中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x ＋3)2，解得x ＝2，∴BG ＝2. 25. 解：(1)①DE ＝EF ②NE ＝BF ③∵N ，E 分别为AD ，AB 的中点，∴DN ＝BE ，∴∠NEA ＝45°，∴∠DEN ＋∠FEB ＝45°，又∵FB 平分∠CBM ，∴∠FBM ＝45°，∴∠FEB ＋∠EFB ＝45°，∴∠DEN ＝∠EFB ，又∵∠DNE ＝∠FBE ＝180°－45°＝135°，∴△DNE ≌△EBF(AAS)，∴DE ＝EF ，NE ＝BF(2)在AD 上截取DN ＝EB ，连结EN ，∴AN ＝AE ，∴∠ANE ＝∠AEN ＝45°，∠DNE ＝∠EBF ＝135°，∴∠DEN ＋∠FEB ＝45°，而∠EFB ＋∠FEB ＝45°，∴∠DEN ＝∠EFB ，∴△DNE ≌△EBF(AAS)，∴NE ＝BF ，DE ＝EF。

第19章矩形、菱形与正方形单元测试卷一、选择题（每题3分,共30分）1. 如图，在矩形OABC中,0A=2,0C=1把矩形OABC放在数轴上，0在原点,0A在正半轴上，把矩形的对角线0B绕着原点0顺时针旋转到数轴上,点B的对应点为B',则点B'表示的实数是（）0 1 2®^A. 2B.1C. -「D.-「2. 下列命题是真命题的是（）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形3. 如图，在菱形ABC冲,/ B=60° ,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为（）E CA.14B.15C.16D.174. 如图,把一张长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一B.30 °或 45°C.45 °或 60°D.30 °或 605. 如图，有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE,再将△ AED 沿 DE 向右翻折,AE 与BC 的交点为F,则6. 如图，已知正方形ABED 正方形BCFE 现从A B 、C D E 、F 六个点中任取三点，使得这三个点构成直角三角形的三个顶点，这样的直角 三角形有（ ） ABC A.15 ° 或 30 △ CEF 的面积为（ ） A.- B. -C.2D.42 8A.16 个B.14 个C.12 个D.10 个7. 如图，在菱形ABCD中,M、N分别在AB CD上,且AM=CN,M与AC 交于点O,连结BO.若/ DAC=28 ,则/ OBC勺度数为（）A.28 °B.52 °C.62 °D.72 °8. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE,AC BE相交于点F,则/ BFC为（）A.45 °B.55 °C.60 °D.75 °9. 如图，在厶ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE丄AB 于E, PF丄AC于F,则EF的最小值为（）B P CA.2B.2.2C.2.4D.2.510. 如图所示的矩形是由六个正方形组成的，其中最小的正方形的面积为1,则此矩形的面积为（）A.99B.120C.143D.168二、填空题（每题3分,共24分）11. 已知正方形ABCD的对角线AC=,则正方形ABCD的周长为12. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE二BD连结AE，如果/ ADB=30 ,则/ E= ______________ .13. 如图，在平面直角坐标系中，？MNEF勺两条对角线ME NF交于原点O,点F的坐标是（3,2）,则点N的坐标是______________ .14. 如图，直线I过正方形ABCD勺顶点B,点A C到直线I的距离分别是1和2,则正方形的边长是_______________ .15. 如图，在矩形ABC冲，点E、F分别是AB CD的中点，连结DE和BF,分别取DE BF的中点M N,连结AM CN MN若AB=2,BC=3则图中阴影部分的面积为C16. 如图，在正方形ABC［中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是17. 如图，已知在正方形ABC［中,延长BC至E,使CE二CA连结AE交CD18. 在平面直角坐标系中，已知A B、C三点的坐标分别是A(0,4)、B(-3,0)、C(m,0)(m工-3).如果存在点D,使得以A B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点m的值等于_____________ .三、解答题(19,20题每题6分,21,22题每题8分,其余每题9分,共46分)19. 如图，在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点，将厶ADE沿AE对折至△ AFE,延长EF交BC于点G,连结AG.B G C(1)求证:△ ABG^ AFG;⑵求BG的长.20. 如图，在四边形ABCD中,AD// BC,AM L BC,垂足为M,AN L DC,垂足为N.若/ BAD^ BCD,AM=AN求证：四边形ABCD是菱形.21. 如图，在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点，连结CE DF.求证:CE=DF.22. 如图，点0是线段AB上的一点，0A=0C,0平分/ AOC交AC于点D,OF平分/ COB,Cl i OF于点F.B(1)求证：四边形CDO是矩形；⑵当/ AOC为多少度时，四边形CDO是正方形？并说明理由.23. 如图，在菱形ABCD中,E为边BC的中点,DE与对角线AC交于点M, 过点M作MFLCD于点F, / 1 = 22.求证：(1) DE 丄BC;(2) AM=DE+MF.24. 在?ABC冲,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH分别交平行四边形的四条边于E、G F、H四点，连结EG GF FH HE.(1)如图①，试判断四边形EGFH勺形状，并说明理由；⑵如图②，当EF丄GH寸,四边形EGFH勺形状是___________ ;⑶如图③，在⑵ 的条件下，若AC=BD四边形EGFH的形状是⑷如图④，在⑶ 的条件下，若ACLBD,试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.① ② ③ ④参考答案一、1.【答案】C解：T 四边形OABC是矩形,0C=1,0A=2,「./BAO=90 ,AB=0C=1「.在Rt △ OAB中，由勾股定理得OB 讪+腭讥+ F丽.二OB'=OB=故选C.2. 【答案】A3. 【答案】C解：T 四边形ABCD是菱形，二AB=BC又v/ B=60° ,ABC是等边三角形.二AC=AB=4/.以AC为边长的正方形ACEF的周长为4X 4=16.4. 【答案】D解：如图，设所得四边形为菱形ABCD.2当/ BAD=120 时,有/ ABC=180 - / BAD=180 -120 =60° ,•••/ CBD=30 .当/ ABC=120 时,有/ CBD=60 .•••剪口与第二次折痕所成角的度数应为30°或60° .故选D.5. 【答案】C解：T AB=8,AD=6纸片折叠，使得AD边落在AB边上，• DB=8-6=2,Z EAD=45 .又•••△ AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,•A B=AD-DB=6-2=4^ABF为等腰直角三角形，•B F=AB=4,•C F=BC-BF=6-4=2,而EC=DB=2,1•△CEF的面积二X 2X 2=2.26. 【答案】B解：从A B、CD E、F六个点中任取三点，以这三点为顶点可得到14个直角三角形，分别为△ ABE △ ADE △ ABD △ BED △ BCE △ CFE △ BCF △ BEF △ ACF △ ADF △ ACD △ CDF △ AEC △ DBF.7. 【答案】C 8.【答案】C9. 【答案】C解：连结AP,由题意易知/ BAC=90 ,根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP则EF 的最小值即为AP的最小值,根据垂线段最短，知AP的最小值等于直角三角形ABC 斜边BC上的高.10. 【答案】C 解：如图，由题意知正方形FGHI的边长为1,设GJ的长度为X,则正方形GJKL的边长为X,正方形LKCM勺边长为X,正方形EBJF的边长为x+1, 正方形AEIN的边长为x+2,正方形NHMI的边长为x+3.因为四边形ABCD 为矩形，所以AD=BC所以x+2+x+3=x+1+x+x,解得x=4.所以AB=x+2+x+1=2x+3=11,BC=3x+1 = 13所以矩形ABCD的面积为11 X 、11.【答案】412.【答案】15解：如图,连结AC,T四边形ABCD是矩形，••• AD// BE,AC=BD,•••/ E=Z DAE.又••• BD=CE/.CE=CA,• / E=Z CAE.vZ CAD h CAE k DAE且易知/ CAD M ADB=30 , E+Z E=30°，二/ E=15° .13•【答案】(-3,-2)解：要求点N的坐标,根据平行四边形的中心对称性和关于原点对称的点的坐标特征写出点N的坐标.在？MNE中，点F和点N关于原点对称，v点F 的坐标是(3,2), •••点N的坐标是(-3,-2).14. ［答案】■-解：观察题图易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为15. 【答案】3解：由题意易证得△ BCN W^ DAM全等，△CFN全等，所以△ BCN与△ DAM勺面积相等，△ AEMf A CFN的面积相等.又易知?DFNM| ?BEMN 的面积也相等，所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半，即12 x 2X 3=3.16. 【答案】10解:连结DE,交AC于P',连结BP',则当P在P'位置时PB+P啲值最小.T四边形ABCD是正方形，•••点B D关于直线AC对称，••• P'B=P'D,•P'B+P'E=P'D+P'E=DE.v BE=2,AE=3BE,•A E=6,「. AD=AB=8,•D E—=厂= 10,故PB+PE的最小值是10.17. 【答案】112.51解 :由题意易知/ ACB=45 ,因为CA=CE所以 / E=Z CAF= /ACB=22.5 ,所以/ DFE W E+Z FCE=22.5 +90° =112.5 ° .718. 【答案】2或-8或3或-6解：要使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则厶ABC必定是等腰三角形.分三种情况讨论：①若AB二AC则m=3②若AB二BC则m=2或-8;7③若AC二BC则m=.6三、19.(1)证明:T 四边形ABCD是正方形，二/ B二/ D=90 ,AD=AB. 由折叠的性质可知,AD=AF,Z AFE玄D=90° ,••• AB=AF/ AFG=90 .•••/ AFG M B=90° .又••• AG=AG,•R t △ ABG Rt △ AFG( H.L.).(2)解:v Rt △ABG^ Rt△AFG,•B G二FGi设BG二FG=＞则GC=6-x,v E为CD的中点，二CE=DE=EF=3, EG=x+3,在Rt△ CEG中,由勾股定理，得32+(6-x) 2=(x+3) 2,解得x=2,•B G=2.20. 证明：v AD// BC,^Z BAD吃B=180 , / BCD# D=180 .又v/ BAD# BCD,. / B二/ D.•四边形ABCD是平行四边形.又v AM L BC,AN L DC, •/ AMB/ AND=90 .在厶AMB^ AND中,ZB = ZD,Z.AMB = ZAND,AM = AN,•△AM B2A AND/. AB=AD/.四边形ABCD是菱形.21. 证明：v四边形ABCD^正方形，•A B=BC=C[/ EBC/ FCD=90 .又v E、F分别是AB BC的中点，• BE=CF,CEB^A DFC「CE=DF.22. (1)证明:v OD平分/ AOC,OF平分/ COB. / A0C=2 COD/ COB=2 / COF.v/ AOC/ COB=180 , . 2 / COD+Z COF=180 , COD/ COF=90，./ DOF=90 . •/ OA=OC,OD^分/ AOC,. ODL AC,即/ CDO=90 . v CF L OF,./ CFO=90，.四边形CDOF是矩形.⑵解：当/ AOC=90时，四边形CDOF是正方形.理由如下：当/AOC=90 时，v OA=OC,ODf 分/ AOC./ ACO/ A=45° , / COD=/2 AOC=45 , ACO/ COD. CD=OD又v 四边形CDOF是矩形，.四边形CDO是正方形.23. 证明:(1) v四边形ABCD是菱形，./BCA/ ACD,AB/ CD../仁/ ACD. v / 1= / 2, . / ACD二/ 2. . MC=M□又v MF丄CD, . /1 1CFM=90 ,CFhCD.v E为BC的中点，.CE=BE=BC.2 2v CD二BC「. CF=CE.在厶CFM ffiA CEM中,(CF = CE,'^：A - C〔CM = CM,.△CFM2A CEM/. / CEM/ CFM=90 ,即DEL BC.(2)如图,延长AB交DE的延长线于点N,v AB// CD,.・./ N=Z 2,又vZ BEN2CED,BE二CE,•••△BENm CED/. NE=DE.vZ 1 = Z 2, Z N=Z 2, /Z 1=Z N. • AM二MN. 又v NM=NE+ME,AM=DE+ME. 又由(1) #△ CEM^ CFM/ ME二MF,•A M=DE+MF.24. 解:(1)四边形EGFH是平行四边形. 理由：v ?ABCD勺对角线AG BD交于点O.•••点O是?ABCD勺对称中心.•E O=FO,GO=HO.•四边形EGFH是平行四边形.⑵菱形⑶菱形⑷四边形EGFH是正方形.理由：v AC=BDA ?ABCD是矩形.v ACLBD,/?ABCD是菱形.•?ABCD是正方形，•••/ BOC=90 , / GBO== FCO=45 ,OB=OC. v EF丄GH/.Z GOF=90 .:丄 BOG Z COF..」BO QA COF./ OG=OF/, GH=EF.由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又v EF丄GH,EF=GH./四边形EGFH是正方形.。

第19章矩形、菱形、正方形检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1. （2018·四川凉山中考）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A.14B.15C.16D.172.下列命题中，正确的是（）A.两条对角线相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形3.（2018·陕西中考）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A.38B.23C.35D.454.（2018·成都中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB=2,则的长为（）A.1B.2C.3D.45.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、DA、CD、BC的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.86.如图所示，将一圆形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（）A B C D7.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A．20 B．15 C．10 D．58.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中∠的度数是（）A．B． C．D．9．（2018·山东威海中考）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF10.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A.4B.2C.D.二、填空题（每小题3分，共21分）11.（2018·南京中考）如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O 处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为 2 cm,∠A=120°,则EF=cm.12.（2018·山东潍坊中考）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）13.已知菱形的边长为5，一条对角线长为8，则另一条对角线长为_________.14.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______．15.（2018·北京中考）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为.16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且cm，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm.17.（2017·江西中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为.三、解答题（共49分）18.（8分）（2018·南京中考）如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P 是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M，N.(1)求证:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.19.（8分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）：（1）连接____________ ；（2）猜想：______________＝_______________；（3）试证明你的猜想.ABDO第16题图20.（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出图中和BE相等的线段，并说明你的结论.21.（8分）如图，在矩形中，是边上一点，的延长线交的延长线于点，⊥，垂足为，且．（1）求证：；（2）根据条件请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．22.（9分）已知：如图，在△ABC中，，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线，交AC于点P，交AB于点Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.23.（8分）（2018·山东青岛中考）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD∶AB＝时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）第19章矩形、菱形、正方形检测题参考答案1.C 解析:根据菱形的性质得到AB=BC=4，由∠B=60°得到△ABC是等边三角形，所以AC=4.则以AC为边长的正方形ACEF的周长为16.2.C 解析：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错;两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，B错;两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D错.故选C.3. C 解析:设AB=x,AM=y,则BM=MD=2x-y.在Rt△ABM中，根据勾股定理有BM2=AB2+AM2，即（2x-y）2=x2+y2,整理得3x=4y,所以x=43y,故AMMD＝423yy y⨯-＝53yy=35.4.B 解析:因为四边形ABCD是矩形，所以CD =AB=2.由于沿BD折叠后点C与点C′重合，所以=CD=2.5.B 解析：∵矩形ABCD的面积为，∴阴影部分的面积为，故选B．6.C7.D 解析：在菱形中，由∠= ，得∠.又∵，∴△是等边三角形，∴.8.A 解析：观察图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于，所以.9.D 解析:本题综合考查了直角三角形、线段的垂直平分线的性质与菱形、正方形的判定方法等知识.因为EF垂直平分BC，所以BE=EC,BF=FC.又BE=BF,所以BE=EC=CF=FB,所以四边形BECF为菱形.如果BC=AC,那么∠ABC=90°÷2=45°,则∠EBF=90°，能证明四边形BECF为正方形.如果CF⊥BF,那么∠BFC=90°,能证明四边形BECF为正方形.如果BD=DF,那么BC=EF,能证明四边形BECF为正方形.当AC=BF时，可得AC=BE=EC=AE,此时∠ABC=30°，则∠EBF=60°，不能证明四边形BECF为正方形.点拨:判定一个四边形是正方形一般有两种方法：一是先证明它是矩形，再证明一组邻边相等或证明对角线互相垂直；二是先证明它是菱形，再证明有一个角是直角或证明对角线相等.10.B 解析：如图，正方形ABCD中，，则，即，所以，所以正方形的面积为2 ，故选B.11. 3解析:本题综合考查了菱形的性质、勾股定理和三角形中位线的性质.连接BD，AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°-60°=30°.∵∠AOB=90°，∴AO=12AB=12×2=1（cm）.由勾股定理得BO=3cm，∴DO=3cm.∵点A沿EF折叠后与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=12BD=12×（3+3）=3(cm).12.OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等（答案不唯一）解析:本题主要考查了菱形的判定方法，属于条件开放型题目.对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.13.6 解析：∵菱形的两条对角线互相垂直平分，∴根据勾股定理，可求得另一条对角线长的一半为3，则另一条对角线长为6．14.28 解析：由勾股定理得，又，，所以所以五个小矩形的周长之和为15. 20 解析:本题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质和勾股定理.在Rt△ABC中，因为AB=5，BC=AD=12，由勾股定理可得AC=13.因为O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，所以OM==2.5，=6.5，，所以四边形ABOM的周长=AB+BO+OM+MA=5+6.5+2.5+6=20.16.4 解析：因为cm，所以cm.又因为，所以cm.，所以（cm）.6解析:在Rt△ADE中，M为DE中点，故S△AEM=S△ADM,所以S△AEM=12S△AED，同理S△BNC=12S△BFC，S□DMNF=12S□BEDF，所以S阴影=12S矩形ABCD=12AB·BC=12×2×36.18.分析:本题考查了全等三角形和正方形的判定.（1）根据SAS定理可证明△ABD≌△CBD，从而得∠ADB=∠CDB.（2）先根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形MPND是矩形，再根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得PM =PN ，从而证得矩形MPND 是正方形.证明:(1)∵ BD 平分∠ABC , ∴ ∠ABD =∠CBD . 又∵ BA =BC ,BD =BD , ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ ∠ADB =∠CDB . (2)∵ PM ⊥AD ,PN ⊥CD , ∴ ∠PMD =∠PND =90°.又∵ ∠ADC =90°,∴ 四边形MPND 是矩形. 由（1）知∠ADB =∠CDB ,又PM ⊥AD ,PN ⊥CD , ∴ PM =PN .∴ 四边形MPND 是正方形.点拨:（1）证明三角形全等是证明角相等或线段相等的常用方法；（2）因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以遇到角平分线和两条垂线段时通常考虑这两条垂线段 相等.19.分析：观察图形可知应该是连接AF ，可通过证△ABF 和△ADE 全等来实现．解：（1）如图，连接AF. （2）.（3）∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ ， ∴ ∠∠， ∴ ∠∠.在△ABF 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE BF ADE ABF AD AB ∴ △ABF ≌△ADE ，∴．20.解：和BE 相等的线段是AF.理由如下： 因为四边形ABCD 是正方形， 所以，∠∠°.因为CE ⊥BF ，所以∠∠°.又因为∠∠°，所以∠∠.在△AFB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=,,,ECB ABF A ABC BC AB 所以△≌△，所以.21.（1）证明：在矩形ABCD 中，，且，∴.（2）解：△ABF ≌△DEA ．证明如下：在矩形ABCD 中，∵ BC ∥AD ， ∴ ∠∠.∵ DE ⊥AG ，∴ ∠°. ∵ ∠°，∴ ∠∠.又∵，∴ △ABF ≌△DEA ．22.分析：（1）根据平行四边形的性质可得对应角相等，对应边相等，从而不难求得其周长；（2）根据中位线的性质及菱形的判定说明． 解：（1）∵ AB ∥MP ，QM ∥AC ， ∴ 四边形APMQ 是平行四边形，∠∠，∠∠．∵ ，∴ ∠∠， ∴ ∠∠，∠∠．∴，．∴ 四边形AQMP 的周长．（2）当点M 是BC 的中点时，四边形APMQ 是菱形，理由如下： ∵ 点M 是BC 的中点，AB ∥MP ，QM ∥AC ， ∴ QM ，PM 是三角形ABC 的中位线． ∵，∴．又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．23.分析:本题考查了矩形的性质以及菱形和正方形的判定.（1）用SAS证明△ABM和△DCM全等.（2）先证四边形MENF是平行四边形，再证它的一组邻边ME和MF相等.（3）由（2）得四边形MENF是菱形，当它是正方形时，只需使∠BMC是直角，则有∠AMB+ ∠CMD=90°.又∵∠AMB=∠CMD,∴△AMB和△CMD都是等腰直角三角形.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D＝90°，AB＝DC.又∵MA=MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）.（2）解:四边形MENF是菱形.理由：∵CF=FM,CN=NB，∴FN∥MB.同理可得：EN∥MC，∴四边形MENF是平行四边形.∵△ABM≌△DCM，∴MB＝MC.又∵ME=12MB,MF=12MC,∴ME＝MF.∴平行四边形MENF是菱形. （3）解:2∶1.。

第19章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.[2023·南阳三中月考]如图，在矩形ABCD 中，AO ＝3 cm ，则BD 的长为( )(第2题)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.如图是用尺规过点P 作直线l 垂线的两种方法，其中a ，b ，m ，n 分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是( )(第3题)A.若a ＝b ，方法Ⅰ中的四边形为正方形B.若a ⊥b ，方法Ⅰ中的四边形为矩形C.若m ＝n ，方法Ⅱ中的四边形为菱形D.若m ⊥n ，方法Ⅱ中的四边形为正方形4.如图，菱形OABC 的顶点B 在y 轴上，顶点C 的坐标为(－3，2)，若反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点A ，则此反比例函数的表达式为( )(第4题)A.y ＝3x (x ＞0)B.y ＝－3x (x ＞0)C.y ＝－6x (x ＞0)D.y ＝6x (x ＞0)5.(母题：教材P121习题T3)如图，在正方形ABCD的内部，作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为( )(第5题)A.60°B.65°C.70°D.75°6.[2022·赤峰]如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )(第6题)A.四边形ABCD的周长不变B.AD＝CDC.四边形ABCD的面积不变D.AD＝BC7.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为( )(第7题)A.30°B.45°C.50°D.60°8.如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连结OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )(第8题)A.28°B.52°C.62°D.72°9.[2023·河南南阳模拟]在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编的题目是：“已知正方形ABCD(边长自定)，请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点的坐标.”同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标，若在魏华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为(－3，2)，则点C的坐标为( )A.(3，－2)B.(2，－3)C.(－3，－2)D.(1，－2)10.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( )(第10题)A.当t＝4时，四边形ABMP为矩形B.当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝4D.当CD＝PM时，t＝4或6二、填空题(每题3分，共24分)11.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α为 时，两条对角线长度相等.(第11题)12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为 .(第12题)13.(母题：教材P100例2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是 .(第13题)14.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为 .(第14题)15.[2023·滨州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 .(第15题)16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q 为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为 .(第16题)17.(母题：教材P118习题T2)如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为 .(第17题)18.在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，正方形A4B4C4C3，…，正方形A n B n C n C n－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，A n均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…，C n均在x轴上.若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点A n的坐标为 .(第18题)三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)19.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC 的延长线于点F.求证：DE＝DF.20.[2023·张家界]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.21.如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点.(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积.22.[2023·河南师大附中期末]如图，已知平行四边形ABCD.(1)若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠BAD＝120°，CD＝1，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积.23.如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.(1)BF与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论.(2)在其他条件都保持不变的情况下，当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.24.已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC 上的一个动点，连结AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连结CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.答案一、1.C2.D 【点拨】根据矩形的性质可知AC＝BD且AO＝CO，根据AO＝3 cm，求出AC，进一步求BD即可.3.C4.D5.D6.D7.D 【点拨】由矩形的性质可得∠D＝∠C＝90°，进而可得∠HGC＝∠IJD＝60°，再根据三角形内角和定理可得∠GMJ＝60°，然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠VNU＝∠GMJ＝60°，最后由对顶角相等即可解答.8.C9.D 【点拨】∵正方形ABCD关于x轴对称，∴x轴经过AB，CD中点E，F，∴直线EF为x轴.∵点A的坐标为(－3，2)，∴点A到y轴距离为3，点A到x轴距离为2，∴正方形ABCD的边长为4.建立平面直角坐标系，如图.∵正方形ABCD关于x轴对称，点A的坐标为(－3，2)，∴点B的坐标为(－3，－2).又∵BC＝4，∴点C的坐标为(1，－2).故选D.10.D二、11.90°　12.30　13.2.5　14.1315.22【点拨】如图，过A作AN⊥BD于点N，过B作BM⊥AC于点M，∴∠ANO ＝∠ANB ＝∠BMO ＝∠BMA ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝12BD ，OA ＝12AC ，AC ＝BD .∴OB ＝OA .∵S △AOB ＝12OB·AN ＝12OA·BM ，∴AN ＝BM .又∵AE ＝BF ，∴Rt △ANE ≌Rt △BMF .∴FM ＝EN .设FM ＝EN ＝x .∵AF ＝1，BE ＝3，∴BN ＝3－x ，AM ＝1＋x .易知AM ＝BN ，∴3－x ＝1＋x .∴x ＝1.∴FM ＝1.∴AM ＝2.又∵AB ＝5，∴BM ＝AB 2－AM 2＝21.∴BF ＝FM 2＋BM 2＝1+21＝22.16.617.2.4 【点拨】易知四边形AEPF 为矩形，∵M 为EF 中点，∴AM ＝12AP .当AP ⊥BC 时，AM 最小，此时AM ＝12×6×810＝2.4.18.(2n －1－1，2n －1) 【点拨】本题运用从特殊到一般的思想，由题意，得点A 1(0，1)，A 2(1，2)，A 3(3，4)，A 4(7，8)，…，根据以上总结规律，可得A n (2n －1－1，2n －1).三、19.【证明】连结DB .∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC .又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .20.【证明】(1)∵AD ＝BC ，∴AD ＋CD ＝BC ＋CD ，∴AC ＝BD .∵AE ＝BF ，CE ＝DF ，∴△AEC ≌△BFD ，∴∠A ＝∠B ，∴AE ∥BF .(2)∵△AEC ≌△BFD ，∴∠ECA ＝∠FDB ，∴EC ∥DF .∵EC ＝DF ，∴四边形DECF 是平行四边形.∵DF ＝FC ，∴四边形DECF 是菱形.21.(1)【证明】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝CB ，∠D ＝∠B ＝90°.∵E ，F 分别为DC ，BC 的中点，∴DE ＝12DC ，BF ＝12BC .∴DE ＝BF .∴△ADE ≌△ABF (S.A.S.).(2)【解】由题意知△ABF ，△ADE ，△CEF 均为直角三角形，且AB ＝AD ＝4，DE ＝BF ＝CE ＝CF ＝12×4＝2，∴S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADE －S △ABF －S △CEF ＝4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6.22.(1)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ， OB ＝OD ，∵对角线BD 上的两点M ，N 满足BM ＝DN ，∴OB －BM ＝OD －DN ，即OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵AC ＝2OM ，∴MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形.(2)【解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AB ＝CD ＝1，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°，∵∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∴AC ＝(2×1)2－12＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AC ·AB ＝3×1＝3.23.【解】(1)BF ＝DE .证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠DAC ＝∠BAC ＝45°.∵AF ⊥AC ，∴∠BAF ＝90°－∠BAC ＝45°＝∠DAC .又∵AB＝AD，AF＝AE，∴△AFB≌△AED.∴BF＝DE.(2)四边形AFBE是正方形.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，∴AE＝BE.在△ABF和△ABE中，AF＝AE，∠FAB＝∠EAB=45°，AB＝AB，∴△ABF≌△ABE.∴BF＝BE.∴AE＝BE＝BF＝AF.∴四边形AFBE是菱形.又∵AF⊥AE，∴四边形AFBE是正方形. 24.【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴AB＝AC.∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAG.又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.在△ABE和△ACG中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAG，AE＝AG，∴△ABE≌△ACG.∴BE＝CG.∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.(2)AB＝CE－CG.。

第19章　矩形、菱形与正方形第19章　素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2023福建厦门杏南中学期中)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当AC=BD时,它是正方形D.当∠ABC=90°时,它是矩形2.(2023甘肃白银会宁模拟)如图,这是一农村房屋的侧面截图,屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,C处,且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°,则∠A=( )A.70°B.110°C.125°D.135°3.(2023浙江嘉兴南湖一模)如图,在菱形ABCD中,∠C=80°,则∠ABD的度数为( )A.80°B.70°C.60°D.50°4.(2023福建泉州永春期末)如图所示,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,若AC=6,BD=8,AE ⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( )A.2.4B.4C.4.8D.55.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,过点A 作AE ⊥BD,垂足为点E,若∠EAD=3∠BAE,则∠EAO 的度数是( )A.60°B.67.5°C.45°D.22.5°6.【分类讨论思想】(2023山西太原实验中学模拟)如图,边长为6的正方形ABCD 内部有一点P,BP=4,∠PBC=60°,点Q 为正方形边上一动点,且△PBQ 是等腰三角形,则符合条件的Q 点有( )A.3个B.4个C.5个D.6个7.(2022山东济南天桥期末)如图,在菱形ABCD 中,AC=6,BD=8,AH ⊥BC,则AH 的长是( )A.245B.125C.5D.48.【新考法】(2023湖北十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.对角线BD的长度减小C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变9.(2023安徽宿州砀山一模)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD 交BC于点E,若∠CAE=15°,OA=6,则BE的长为( )A.5B.6C.7D.810.【转化思想】(2023山东威海文登期中)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别为AD,DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度( )A.逐渐增大B.恒等于4C.先减小再增大D.恒等于3二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2023河南三门峡灵宝期中)如图,正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB= .12.(2022重庆八中期中)如图,菱形ABCD的顶点C在直线MN上,若∠MCB=52°,∠DCN=18°,则∠BDC的度数为 .13.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= °时,四边形AEDF是矩形.14.【转化思想】(2023江苏南京金陵中学期末)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED,AB=1,∠ABE=45°,则BC的长为 .15.(2022福建龙岩连城期中)如图所示,在正方形ABCD中,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,连结CE、BD交于点G,连结AG,那么∠AGD的度数是 °.16.【新考向·尺规作图】(2023浙江绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连结AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连结CE,则∠AEC的度数是 .三、解答题(共52分)17.(6分)如图,点F,C在AD上,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:四边形BCEF是矩形.18.(2023湖北武汉武昌模拟)(8分)如图,四边形ABCD为矩形,对角线交于点O,DE∥AC交BC延长线于点E.(1)求证:BC=CE;(2)若∠E=30°,求∠BOC的度数.19.(2023吉林长春汽开区期末)(8分)如图,在▱ABCD中,AD>CD,CE平分∠BCD交AD于点E,过点E作EF∥CD交BC于点F,连结DF交CE于点O,过点O作OG⊥CF 于点G.(1)求证:四边形CDEF是菱形;(2)若CE=16,DF=12,求OG的长.20.【新考向·开放型试题】(10分)(2023湖北十堰中考)如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,分别以点B,C 为圆心,12AC,12BD 的长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP.(1)试判断四边形BPCO 的形状,并说明理由;(2)当▱ABCD 的对角线满足什么条件时,四边形BPCO 是正方形?21.(2022贵州遵义中考)(10分)将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示的方式摆放,顶点D 与顶点H 重合,菱形EFGH 的对角线HF 经过点B,点E,G 分别在AB,BC 上.(1)求证:△ADE ≌△CDG;(2)若AE=BE=2,求BF 的长.22.【动点问题】(10分)在菱形ABCD 中,∠B=60°,点E 和点F 分别是射线 BA 和射线AD 上的点(不与B,A 重合),且∠ECF=60°.(1)问题初见如图①,当点E 和点F 分别在线段BA 和线段AD 上(不与端点重合)时,线段BC,BE,DF 之间的数量关系是 .(2)深入探究如图②,当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上(不与端点重合)时,线段BC,BE,DF之间有怎样的数量关系?请说明理由.(3)拓展应用在(2)的条件下,若BC⊥CE,且BC=4,则DF= .答案全解全析1.C 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以确定A 选项中的结论正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以确定B 选项中的结论正确;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以确定D 选项中的结论正确;对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是正方形,故C 选项中的结论不正确,故选C.2.B ∵四边形BDEC 为矩形,∴∠CBD=90°,∴∠ABC=180°-∠FBD-∠CBD=180°-55°-90°=35°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=35°,∴∠A=180°-2∠ABC=180°-2×35°=110°.故选B.3.D ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD,∠ABD=∠CBD,∴∠C+∠ABD+∠CBD=180°,∵∠C=80°,∴∠ABD=180°―80°2=50°,故选D.4.C ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA=OC=12AC=3,OB=OD=12BD=4,∴BC=32+42=5,∴12AC·BD=BC·AE,∴12×6×8=5AE,∴AE=4.8,故选C.5.C ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,∴∠BAE+∠EAD=90°,∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°,∴∠BAE=22.5°,∵AE ⊥BD,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°,故选C.6.C 如图所示,符合条件的Q 点有5个,故选C.7.A 如图,设对角线AC 、BD 交于点O,∵四边形ABCD 是菱形,AC=6,BD=8,∴AC ⊥BD,OA=OC=3,OB=OD=4,∴BC=OB 2+O C 2=42+32=5,∵AH ⊥BC,∴菱形ABCD 的面积=12AC·BD=BC·AH,即12×6×8=5AH,∴AH=245,故选A.8.C 向左扭动矩形框架ABCD,四边形ABCD 由矩形变成平行四边形,A 正确,不符合题意;扭动后对角线BD 的长度减小,B 正确,不符合题意;BC 边上的高变短,BC 边的长不变,故面积变小,C 错误,符合题意;四边形ABCD 的四条边长度不变,故周长不变,D 正确,不符合题意.故选C.9.B 在矩形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,OA=OB=6,∵AE 平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=45°,∴∠AEB=90°-∠BAE=45°,∴BE=BA.∵∠CAE=15°,∠BAE=45°,∴∠BAC=60°,又∵OA=OB,∴△OAB 为等边三角形,∴BA=BO=6,∴BE=AB=6.故选B.10.B 如图,连结BD.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=CD=4,∵∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形,∴AB=BD,∠ABD=60°.∵DC ∥AB,∴∠CDB=∠ABD=60°,∴∠A=∠CDB.∵∠EBF=60°,∴∠ABE=∠DBF=60°-∠DBE,在△ABE 和△DBF 中,∠BAE =∠BDF ,AB =DB ,∠ABE =∠DBF ,∴△ABE ≌△DBF(A.S.A.),∴AE=DF,∴AE+CF=DF+CF=CD=4,即AE+CF 的长度保持不变,恒等于4.故选B.11.答案　22.5°解析　∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAD=90°,∠BAC=12∠BAD=45°,∵四边形AEFC 是菱形,∴∠FAB=∠FAC=12∠BAC=22.5°.12.答案　35°解析　∵∠MCB=52°,∠DCN=18°,∴∠BCD=180°-∠MCB-∠DCN=110°,∵四边形ABCD 是菱形,∴BC=CD,∴∠BDC=∠CBD=(180°-110°)÷2=35°.13.答案　45解析　当∠B=45°时,四边形AEDF 是矩形.∵DF ∥AB,DE ∥AC,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴当∠A=90°时,四边形AEDF是矩形,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=45°.14.答案　2解析　∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵EC平分∠DEB,∴∠DEC=∠BEC,∴∠BEC=∠ECB,∴BE=BC.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AB=AE=1.由勾股定理得BE=AB2+A E2=12+12=2,∴BC=BE=2.15.答案　60解析　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=CD,∠ABC=90°,∠ADG=∠CDG=∠ABD=45°,又∵GD=GD,∴△ADG≌△CDG(S.A.S.),∴∠AGD=∠CGD.∵△ABE是等边三角形,∴AB=BE,∠ABE=60°,∴BE=BC,∠EBC=150°,∴∠BEC=∠ECB=15°,∴∠BGE=180°-∠BEC-∠EBG=180°-15°-(60°+45°)=60°,∴∠AGD=∠CGD=∠BGE=60°.16.答案　10°或80°解析　连结AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E和E',连结CE,CE',如图所示,在菱形ABCD中,∠DAC=∠BAC,∵∠DAB=40°,∴∠DAC=20°,∵AC=AE,∴∠AEC=(180°-20°)÷2=80°.∵AE'=AC,∴∠AE'C=∠ACE'=10°,综上所述,∠AEC的度数是10°或80°,故答案为10°或80°.17.证明　∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△AFB 和△DCE 中,AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ,∴△AFB ≌△DCE(S.A.S.),∴BF=EC,∠AFB=∠DCE,∵∠AFB+∠CFB=180°,∠DCE+∠ECF=180°,∴∠BFC=∠ECF,∴BF ∥EC,又∵BF=EC,∴四边形BCEF 是平行四边形,∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF 是矩形.18.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ∥BE,AD=BC,∵DE ∥AC,∴四边形ACED 为平行四边形,∴AD=CE,∴BC=CE.(2)∵AC ∥DE,∴∠ACB=∠E=30°,∵四边形ABCD 为矩形,∴OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=30°,∴∠BOC=120°.19.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,又∵EF ∥CD,∴四边形CDEF 为平行四边形,∵CE 平分∠BCD,∴∠ECB=∠ECD,∵AD ∥BC,∴∠ECB=∠DEC,∴∠ECD=∠DEC,∴CD=DE,∴四边形CDEF 是菱形.(2)∵四边形CDEF 为菱形,∴EO=CO=12CE=12×16=8,DO=FO=12DF=12×12=6,CE ⊥DF,在Rt △COF 中,由勾股定理得CF=CO 2+F O 2=82+62=10,∵OG ⊥CF,∴S △COF =12CO·FO=12CF·OG,∴OG=CO ·FO CF=8×610=245.20.解析　(1)四边形BPCO 为平行四边形.理由:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴OC=OA=12AC,OB=OD=12BD,∵以点B,C 为圆心,12AC,12BD 的长为半径画弧,两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC,∴四边形BPCO 为平行四边形.(2)当AC ⊥BD,AC=BD 时,四边形BPCO 为正方形.∵AC ⊥BD,∴∠BOC=90°,∴四边形BPCO 为矩形.∵AC=BD,OB=12BD,OC=12AC,∴OB=OC,∴四边形BPCO 为正方形.21.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,四边形EFGH 是菱形,∴AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB,∴∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB,即∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,AD=CD,∠ADE=∠CDG, ED=GD,∴△ADE≌△CDG(S.A.S.).(2)如图,过E作EQ⊥DF于Q,则∠EQB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AD=AB=AE+EB=2+2=4,∠EBQ=∠CBD=45°,∴∠QEB=45°=∠EBQ,∴EQ=BQ,∵BE=2,∴2EQ2=22,∴EQ=BQ=2(负值舍去),在Rt△DAE中,由勾股定理得DE=AD2+A E2=42+22=25,∵四边形EFGH是菱形,∴EF=DE=25,∴QF=EF2-E Q2=(25)2-(2)2=32,∴BF=QF-QB=32-2=22.22.解析　(1)BE+DF=BC.(2)BE=BC+DF.理由如下:如图,连结AC,∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADC=60°,∴△ABC和△ACD为等边三角形,∴AC=DC,BC=AC,∠BAC=60°=∠ADC=∠ACD,∴∠EAC=∠FDC=120°,∵∠ACD=∠ECF=60°,∴∠ACE=∠DCF,在△EAC和△FDC中,∠EAC=∠FDC, AC=DC,∠ACE=∠DCF,∴△EAC≌△FDC(A.S.A.),∴AE=DF,∵BE=AB+AE,∴BE=BC+DF.(3)4.。