2-1.极限状态设计法引入了统计数学的概念，考虑了材料强度和荷载的变异性，将单一的安全系数转化成多个系数，分别用于考虑荷载、荷载组合和材料等的不定向影响，并且引入了概率和统计数学的方法；
而容许应力设计法和破坏阶段设计法均采用单一的、经验的安全系数K，不一定能适用于不同的材料和荷载组合。
2-2砌体结构的功能要求：安全性、适用性、耐久性，三者统称为可靠性。
极限状态的种类和意义：（1）承载能力极限状态，对应于结构或结构构件达到最大承载力或不适合于继续承载的变形；（2）正常使用极限状态，结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项限值。
2-3现行规范中承载力设计公式中如何体现房屋安全等级不同或房屋的设计使用期不同的影响？
用结构重要性系数来体现，取值为：对安全等级为一级或设计使用年限为50年以上的结构构件>=1.1,对安全等级为二级或设计使用年限为50年的结构构件，>=1.0;对安全等级为三级或设计使用年限为1-5年的结构构件，>=0.9
2-4现行气体结构设计规范的承载力设计公式中如何体现施工技术、施工管理水平等对结构可靠度的影响？
通过砌体结构材料性能分项系数体现。通过现场质量管理，砂浆、混凝土强度，砂浆拌合方式，砌筑工人等讲施工质量控制等级划分为ABC三个等级。等级为A时，分项系数取1.6，等级为C级时，取为1.8.
2-5结构功能函数的含义是什么？
结构功能函数Z=g(X1,X2,X3,......Xn),当Z>0,结构处于可靠状态；当Z<0时，结构处于失效状态；当Z=0时，结构处于极限状态。
2-6极限状态的种类有哪些？其意义如何？（同2-2）
2-7失效概率、可靠指标的意义是什么？两者的关系如何？
失效概率Pf指结构或构件不能完成预定功能的概率。可靠指标β是衡量结构可靠性的定量指标。β越大，P f越小，反之，P f越大。
2-8砌体承载能力极限状态设计公式中个分项系数是按什么原则确定的？
为确定各分项系数，对给定的荷载和材料强度，以及相应的任何一组分项系数，可计算出以该分项系数表示的极限状态设计公式所反映的可靠度。定义一测度函数，以此来衡量不同分项系数的设计公式所反映的可靠度和结构构件承载力极限状态的目标可靠指标的接近度。其中，最接近的一组分项系数就是所要求的规范设计公式中的分项系数。
2-9荷载的标准值、设计值是什么？两者的关系如何？
荷载标准值相当于在基准使用期内、正常使用情况下作用在结构上的最大荷载。设计值指进行结构设计时采用的荷载值。荷载标准值经分项系数放大后即为荷载设计值。
2-10砌体材料的标准值、设计值是什么？两者关系如何？
标准值f k,设计值f, f=f k /γ f (材料性能分项系数)
2-11何为设计使用期？
设计规定的结构或构件不需要进行大修即可按其预定目的使用的时期。
2-12在确定砌体材料强度设计知识，如果构件的界面尺寸过小，如何取值？
考虑到截面较小的砌体构件局部碰损或缺陷对强度造成影响，强度设计值应乘以调整系数.γa。对无筋砌体构件，截面积小雨0.3m2时，γa为其截面面积加0.7；对配筋砌体构件，当其中砌体截面面积小于0.2m2时，γa为其截面面积加0.8。
3-1 砌体有哪些种类？对块体与砂浆有何基本要求？
可分为无筋砌体、配筋砌体、预应力砌体。块体与砂浆的强度等级见P19表3-2，其中砌筑用砂浆除强度要求外，还应具有流动性和保水性。
3-2轴心受压砌体破坏的特征如何？影响砌体抗压强度的因素有哪些？
轴心受压砌体从加载到破坏大致经历三个阶段，①当砌体加载到极限荷载的50%~70%时，单块砖内产生细小裂缝，此时若停止加载，裂缝也停止扩展。②当加载达极限荷载的80%～90%时，砖内的有些裂缝连通起来，沿竖向贯通若干皮砖，即使不再加载，裂缝仍会继续发展，砌体实际上已接近破坏。③当压力接近极限荷载时，砌体中裂缝迅速扩展和贯通，将砌体分成若干个小柱体，砌体被压碎或丧失稳定而破坏。
影响抗压强度的主要因素有：①块体的物理力学性能②砂浆的物理力学性能③砌筑质量④其他因素，如块体的搭砌方式、砂浆和砖的粘结力、竖向灰缝饱满程度以及构造方式等。
3-3 如何解释砌体抗压强度远小于块体的强度等级而又大于砂浆强度等级较小时的砂浆强度等级？
可从受压砌体复杂的应力状态予以解释
（1）砌体的砖处于复合应力状态，单块砖在砌体内并不是均匀受压，而是处于同时受压、受弯、受剪甚至受扭的复合应力状态，砖的抗拉强度低，一旦拉应力超过砖的抗拉强度，就会引起砖的开裂
（2）砌体中的砖受有附加水平力，砖和砂浆的弹性模量及横向变形系数不同，当砂浆强度较低时，砖的横向变形比砂浆小，在砂浆粘着力与摩擦力的影响下，砖将阻止砂浆的横向变形，从而使砂浆受到横向压力，砖就受到了横向拉力，加快了砖裂缝的出现
（3）竖向灰缝处存在应力集中，在位于竖向灰缝上、下端的砖内产生横向拉应力和剪应力的集中，加快砖的开裂
3-4砌体受压、受拉、受弯和受剪时，破坏形态如何？
受压：轴心受压砌体从加载到破坏大致经历三个阶段，①当砌体加载到极限荷载的50%~70%时，单块砖内产生细小裂缝，此时若停止加载，裂缝也停止扩展。②当加载达极限荷载的80%～90%时，砖内的有些裂缝连通起来，沿竖向贯通若干皮砖，即使不再加载，裂缝仍会继续发展，砌体实际上已接近破坏。③当压力接近极限荷载时，砌体中裂缝迅速扩展和贯通，将砌体分成若干个小柱体，砌体被压碎或丧失稳定而破坏。
受拉：①当轴向拉力与砌体的水平灰缝平行时，块体强度等级高而砂浆的强度等级较低时砌体发生沿竖向及水平向灰缝的齿缝截面破坏；当块体强度等级较低而砂浆的强度等级较高时沿块体和竖向灰缝截面破坏②当轴向拉力与砌体的水平灰缝垂直时，砌体可能沿通缝截面破坏
受弯：与轴心受拉相似，沿齿缝截面破坏，沿块体和竖向灰缝截面破坏，沿通缝截面破坏。受剪：有两种破坏形态，一是沿通缝截面破坏，二是沿阶梯形截面破坏。其中有三种剪切破坏状态：(1）剪摩破坏，当σy/τ较小时，通缝方向与作用力方向的夹角θ≤45o时，砌体将沿通缝受剪且在摩擦力作用下产生滑移而破坏（2）剪压破坏，当σy/τ较大45o＜θ≤60o，将沿阶梯形裂缝破坏（3）斜压破坏，当σy/τ更大时，砌体沿压应力作用方向产生裂缝而破坏。
3-5 水平灰缝和竖向灰缝对砌体的设计强度影响如何？
在竖向灰缝内，由于砂浆未能很好地填满及砂浆硬化时的收缩，大大地削弱甚至完全破坏两者的粘结，在计算中不考虑竖向灰缝的粘结强度
在水平灰缝中，当砂浆在其硬化过程中收缩时，砌体不断发生沉降，因此，灰缝中砂浆和砖石的粘结不断地提高，在计算中仅考虑水平灰缝的粘结强度。
3-6 在哪些情况下，需对砌体强度设计值进行调整？为什么？
（1）有吊车房屋砌体，跨度不小于9m的梁下烧结普通砖砌体及跨度不小于7.5m梁下烧结多孔砖、蒸压灰砂砖、蒸压粉煤灰砖砌体和混凝土砌块砌体，其γa（调整系数）为0.9。这是考虑厂房受吊车动力影响而且柱的受力情况较为复杂而采取的降低抗力、保证安全的措施。
（2）对无筋砌体构件，其截面面积小于0.3㎡时，γa为其截面面积加0.7.对配筋砌体构件，截面面积小于0.2㎡时，γa为其截面面积加0.8.这是考虑截面较小的砌体构件，局部碰损或缺陷对强度影响较大而采用的调整系数，截面面积以㎡计算。
（3）当砌体用水泥砂浆时，对附录3-1中各表的数值，γa为0.9，对附录3-2表3-7的数值γa为0.8；对配筋砌体，当其中的砌体采用水泥砂浆砌筑时，仅对砌体的强度设计值乘以γa。
（4）当施工质量控制等级为C级时，γa为0.89。0.89为B级和C级γf的比值。
3-7 砌体的受压弹性模量是如何确定的？它有哪些影响因素？
砌体的弹性模量E是根据砌体受压时的应力-应变图确定的。它与砌体抗压平均值以及砌体弹性特征值ξ有关，对于附表3-8中石砌体，仅按砂浆强度等级来确定弹性模量。
3-8 在确定砌体材料强度的设计值时，如果构件的截面尺寸过小将如何取值？
对无筋砌体构件，其截面面积小于0.3㎡时，γa为其截面面积加0.7.对配筋砌体构件，截面面积小于0.2㎡时，γa为其截面面积加0.8.
第四章
4-1 混合结构房屋有哪几种承重体系？各有何优缺点？
横墙承重体系：①纵墙的作用主要是围护、隔断以及与横墙拉结在一起，保证横墙的侧向稳定；对纵墙上设置门窗洞口的限制较少，外纵墙的立面处理比较灵活。
②横墙间距较小，一般为3~4.5m，纵、横墙及楼屋盖一起形成刚度很大的
空间受力体系，整体性好。对抵抗沿横墙方向的水平作用（风、地震）较为
有利，也有利于调整地基的不均匀沉降。
③结构简单，施工方便，楼盖的材料用量较少，但墙体的用料较多。
纵墙承重体系：①横墙的设置主要是满足房间的使用要求，保证纵墙侧向的稳定和房屋的整体刚度。这使得房屋的划分比较灵活。
②由于纵墙承受的荷载较大，在纵墙上设置的门窗洞口的大小和位置都受到
一定的限制。
③纵墙间距一般较大，横墙数量相对较少，房屋的空间刚度比横墙承重体系
小。
④与横墙承重体系相比，楼盖的材料用料较多，墙体的材料用量较少。
纵横墙承重体系：纵横墙承重体系的平面布置比较灵活，既可是房间有较大的空间，也可有较好的空间刚度。
内框架承重体系：①可以有较大的空间，且梁的跨度并不相应增大。
②由于横墙少，房屋的空间刚度和整体性较差。
③由于钢筋混凝土柱和砖墙的压缩性能不同，且柱基础和墙基础的沉降量
也不易一致，故结构易产生不均匀的竖向变形。
④框架和墙的变形性能相差较大，在地震时易由于变形不协调而破坏。
4-2 刚性、刚弹性、弹性三中静力计算方案有哪些不同点？
刚性方案：认为房屋的空间刚度很大，在水平荷载（包括竖向偏心荷载产生的水平力）作用下，由于结构的空间作用，墙、柱处于空间受力状态，顶点位移很小，屋盖和层
间楼盖可以视作墙、柱的刚性支座。对于单层房屋，在荷载作用下，墙、柱可按
上端不动铰支于屋盖，下端嵌固于基础的竖向构件计算。对于多层房屋，在竖向
荷载作用下，墙、柱在每层高度范围内，可近似地按两端铰支的竖向构件计算；
在水平荷载作用下，墙、柱可按竖向连续梁计算。民用建筑和大多数公共建筑均
属于这种方案。此时,横墙间的水平荷载由纵墙承受,并通过屋盖或楼盖传给横墙，
横墙可以视作嵌固于基础的竖向悬臂梁，考虑轴向压力的作用按偏心受压和剪切
计算，并应满足一定的刚度要求。
弹性方案：认为房屋的空间刚度很小，在水平荷载作用下,结构的空间作用很弱,墙、柱处于平面受力状态。单层厂房和仓库等建筑常属于这种方案。此时，在荷载作用下，
墙、柱内力应按有侧移的平面排架或框架计算。
刚弹性方案：认为房屋的空间刚度介于刚性方案与弹性方案之间,在水平荷载作用下,屋盖对墙、柱顶点的侧移有一定约束，可以视作墙、柱的弹性支座。单层房屋也常属
于这种方案。此时，在荷载作用下，墙、柱内力可按考虑空间工作的侧移折减
后的平面排架或框架计算。
4-3 房屋空间性能影响系数的物理意义是什么？
4-4 刚性方案单层和多层房屋墙、柱的计算简图有何异同？
4-5 什么情况下不考虑风荷载的影响？
当刚性方案多层房屋的外墙符合下列要求时，在静力计算中可不考虑风荷载的影响：
①洞口水平截面积不超过全截面积的2/3；
②层高和总高不超过表4-3（p52）的规定；
③屋面自重不小于0.8kN/m2。
4-6 如何选取墙和柱的承载力验算控制截面？
每层墙取两个控制截面：①该层墙体顶部大梁或板地面：按偏心受压验算承载力，并验算梁
底砌体的局部受压承载力；
②该层墙体下部大梁或板底边稍上的截面，对于底层取基础顶面处
的截面：按轴心受压验算承载力。
4-7 弹性方案和刚性方案单层房屋在水平风荷载的作用下的内力计算步骤各式怎样的？有何异同？
弹性方案：首先，在顶部加一水平连杆约束，算出其约束反力R及相应的结构内力。然后，取出约束把反力R反向作用在顶部，算出相应的内力。最终的内力为上述两步
内力的叠加。
刚性方案：受力图如图4-26（p49）,。先求出各种何在单独作用下的内力，然后按照可能同时作用的荷载进行内力组合。
4-8 在水平风荷载作用下，刚弹性方案多层房屋墙、柱内力计算步骤是怎样的？
考虑空间性能影响系数η，采用与单层相同的处理方法，即“两步叠加法”，取一个开间作为计算单元，作为平面排架的计算简图。步骤如下：
①在计算简图的各层横梁与柱连接点处，加上一个水平不动铰支座，形成以相应的刚性方案，求出支座反力Ri及其内力；
②将ηRi反向施加于各节点上形成以相应的弹性方案，计算其内力；
③将上述两项内力叠加，即为原多层刚弹性方案房屋的内力
第五章
1、为什么要控制墙柱的高厚比β？在什么情况下β值还要乘以修正系数？
因为无论墙柱是否承重，首先需确保其自身的稳定性。而高厚比的验算正是保证墙柱构件在施工阶段和使用时期稳定性的一项重要构造措施。当墙自承重或开有门窗洞口时，β需乘以修正系数。
2、带壁柱墙的高厚比验算应包括哪些内容？计算方法如何？
验算包括整片墙高厚比验算和壁柱间墙高厚比验算。整片墙高厚比验算：依据题中所给设计方案求出H0和h T=3.5i，验算高厚比。壁柱间墙高厚比验算：
依据刚性方案求出H0,根据H0和题中已知条件h验算高厚比。
3、无筋受压砌体的偏心影响系数α、构件稳定系数ψ0、单向偏心受压影响系数ψ分别与哪些因素有关？三者之间有何内在联系？(这个找不到答案。。。）偏心影响系数α和轴向力偏心距e，以及回转半径i有关；构件稳定系数ψ0和砂浆等级、高厚比β有关；单向偏心受压影响系数ψ和轴向力偏心距e、附加偏心距e i、回转半径i有关。
4、为什么要限制单向偏心受压距e？如何限制？
因为偏心距相当大时，承载能力值很离散且较低，可靠度难以保证。
e <=0.6y（y为截面重心到轴向力所在偏心方向截面边缘的距离。）
5、局部受压下砌体强度能够提高，为什么？
砌体的受压只要存在未直接受压面积，就有力的扩散作用，就会引起双向应力或三向应力，在不同程度上提高了直接受压部分的抗压强度。
6、为什么计算梁端砌体局部受压时要计算有效支撑长度？从受力机理上讲它与梁端的什么变形有关？
由于梁的挠曲变形，梁的端部可能会翘起，故需按有效支撑长度进行计算。从受力机理上讲它与梁端的受弯变形有关。（这个自己写的，好像不太对）
7、在梁端支撑处砌体局部受压计算中，为什么要对上部传来的荷载进行折减？折减值与什么因素有关？
因为内拱卸荷作用：即上部荷载会通过梁两侧的砌体向下传递。从而减小由梁顶面直接传递的压应力，故需对上部荷载进行折减。折减值与A0/A l有关。
8、在梁端下设有刚性垫块的局部受压承载力计算公式中，为什么没有梁端底面受压力完整性系数η？
因为在刚性垫块的局部受压的情况下，梁端底面受压力完整性系数η=1，故可不写入计算公式中。（这个自己写的，有待考证）
9、砌体受剪承载力计算中，为什么应考虑系数μ？
当构件水平截面作用有压应力时，由于灰缝粘结强度和摩擦力的共同作用，砌体结构的抗剪承载力有明显的提高，故需考虑减压复合影响因素μ。
10、砌体结构设计中，为什么要满足许多构造要求？
满足构造要求是为了保证房屋的空间刚度、整体性以及结构可靠性。
11、引起砌体结构裂缝的主要因素有哪些？应从哪些方面采取措施防止或减轻墙体开裂？
主要因素有设计质量、施工质量、材料质量、地基不均匀沉降等等。
P97-99
第六章
第一：
配筋砌体是：在砌体中配置钢筋的砌体，以及砌体和钢筋砂浆或钢筋混凝土组合成的整体，可统称为配筋砌体
砌体主要的形式：
在钢筋砌体中，又可分为配纵筋的、直接提高砌体抗压、抗弯强度的砌体和配横向钢筋网片的、间接提高砌体抗压强度的砌体。
第二：
网状配筋在砂浆中能约束砂浆和砖的横向变形，延缓砖柱的开裂及其裂缝的发展，阻止竖向裂缝的上下贯通，从而可避免砖砌体被分裂成若干小柱导致的失稳破坏。网片间的小段无筋砌体在一定程度上处于三相受力状态，因而能较大程度提高承载力，且可使砖的抗压强度得到充分的发挥。
第三：
影响系数考虑高厚比β和初始偏心距e对承载力的影响
第四：
四川省建筑科学研究院的组合柱试验表明：用混凝土的组合砌体，砌体的强度只能发挥80%。
第五：
（1）构造柱的截面尺寸不应小于240x240mm,其厚度不应小于墙厚；边柱、角柱的截面宽度宜适当加大。柱内竖向受力钢筋，对于中柱，不宜少于4 φ12；对于边柱、角柱，不宜少于4 φ14。其箍筋，一般部位宜采用φ6@200，楼层上下500mm范围内宜采用φ6@100。构造柱的竖向受力钢筋应在基础梁和楼层圈梁中锚固，并应符合受拉钢筋的锚固要求。（2）组合砖墙砌体结构房屋，应在纵横交接处、墙端部和较大洞口的洞边设置构造柱，其间距不宜大于4m。各层洞口宜设置在相同的位置，并宜上下对齐。
（3）组合砖墙砌体结构房屋应在基础顶面、有组合墙的楼层处设置现浇钢筋混凝土圈梁。圈梁的截面高度不宜少于240m；纵向钢筋不宜小于4 φ12，纵向钢筋应伸入构造柱内，并应符合受拉钢筋的锚固要求；圈梁的箍筋宜采用φ6@200
（4）砖砌体与构造柱的连接处应砌成马牙，并应沿墙高每隔500mm设2 φ16拉结钢筋，且每边伸入墙内不宜小于600mm。
（5）组合砖墙的施工程序应为先砌墙后浇混凝土构造柱。
第六:
①截面应变保持平面
②竖向钢筋与其毗邻的砌体，灌孔混凝土的应变相同
③不考虑砌体、灌孔混凝土的抗拉强度
④根据材料选择砌体和灌孔混凝土的极限压应变，且不应大于0.003
⑤根据材料选择钢筋的极限拉应变，且不应大于0.01.
7-1常用过梁的种类及适用范围有哪些？
答：有钢筋混凝土过梁和砖砌过梁两类。
门窗洞口宽度较大时，应采用混凝土过梁，支承长度≥240mm 。钢筋砖过梁跨度≤1.5m ，底面砂浆层处的钢筋直径≥5mm ，间距≤120mm ，根数≥2根，末端带弯钩的钢筋伸入支座的长度≥240mm ，砂浆厚度≥30mm 。砖砌平拱跨度≤1.2m ，计算高度内砂浆强度≥M5,用竖砖砌筑部分高度≥240mm 。
7-2如何计算过梁上的荷载？
答：一，对于梁、荷载，当梁、板下的墙体高度h w 3L n 时，应按墙体的均布自重计算；≥3L n 就按3 L n 计算。 三，对于砌块砌体的墙体荷载，当过梁上的墙体高度h w < 2L n 时，应按墙体的均布自重计算；≥2L n 就按2 L n 计算。 7-3墙梁有哪几种类型？设计时，承重墙必须满足那些基本条件？ 答：根据承担荷载类型，分为承重墙梁和自承重墙梁；根据结构形式，分为简支墙梁、连续墙梁和框支墙梁；还可以分为有洞口墙梁和无洞口墙梁。 墙梁类别 墙体总高 跨度m 墙高oi w L h / 托梁高oi b L h / 洞宽oi h L b / 洞高h h 承重墙梁 ≤18 ≤19 ≥0.4 ≥1/10 ≤0.3 ≤h w w h h h -且6/5≥0.4 非承重墙梁 ≤18 ≤12 ≥1/3 ≥1/15 ≤0.8 7-4墙梁有哪些破坏形态？ 答：弯曲破坏、剪切破坏、局压破坏 7-8挑梁有哪几种类型？挑梁设计中应考虑哪些问题？ 答：分为刚性挑梁和柔性挑梁。 设计要求：①纵向受力钢筋至少有1/2的钢筋面积伸入梁尾部，且不少于2Ф12；其他钢筋伸入支座的长度≥13 2l 。 ②挑梁埋入砌体长度1l 与挑出长度l 的比值≤1.2；当挑梁上无砌体时， 21>l l 。 7-9什么是挑梁的计算倾覆点？应如何确定挑梁的抗倾覆荷载？ 答：①当墙体无洞口时，对13l l ≤和13l l >的情况，取面积为h l h l A 312 1+=范围的本层砌体和楼盖恒载标准值。 ②当轻体有洞口时，若洞口内边至挑梁埋入端>370mm ，面积范围为A 减洞口面积；否则只考虑墙外边至洞口外边范围的本层砌体和楼盖恒载标准值； ③对雨篷等垂直于墙段悬挑的构件，所算范围如图7—25. 7-10在非抗震地区的混合结构房屋中，圈梁的作用是什么？应如何合理布置圈梁？ 答：作用：防止由于地基不均匀沉降或较大振动作用等对房屋产生的不利影响。 如何布置圈梁： 对于单层房屋：①砖砌体房屋，檐口高5--8m，设一道圈梁；>8m,适当增设；②砌块及料石砌体房屋，当檐口高度4—5m，设一道；>5m，增设；③有电动桥式吊车或较大振动设备的工业房屋，除在檐口或窗顶标高处设置现浇混凝土圈梁外，尚宜在吊车梁标高处或其他适当位置增设。 对于多层砌体民用房屋，层数3—4层时，应在檐口标高处设一道；>4层，包括顶层在内的所有纵、横墙上隔层设置圈梁。 对于多层砌体工业房屋和较大振动设备的房屋，每层设置现浇混凝土圈梁。 设置墙梁的多层砌体结构房屋，应在托梁和墙梁顶面、每层楼面标高和檐口标高处设置现浇钢筋混凝土圈梁。 同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t ) 第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。 常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解. 习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31; )(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数， 最新版 同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为 .. ml a。 取A点隔离体，A结点力矩为： .... 3 121 233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()() 2 121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为： . 2 1 33 la k l c al ??+ 根据A结点力矩平衡条件0 I p s M M M ++=可得： () 3 ... 322 1 393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . ..3 3 t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 t) 常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： 10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解： 常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： 10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解： 习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. 习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解. 第六章 习 题 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (d) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定 (h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关力法方程有何物理意义 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-= ??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 p Q X Q Q +=11 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图 p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) 3m 6m 6m l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12 习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du 习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31; )(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数， 习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 常微分方程习题及解答 一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将 常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (3221393) t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t ) 习题5.2 02412—02 02412—03 1.试验证()t Φ=?? ? ???122t t t 是方程组x '=??? ?????-t t 22 10 2 x,x=??? ???21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上 的基解矩阵。 解：令()t Φ的第一列为1?(t)=???? ??t t 22,这时'1?(t)=???? ??22t =??? ? ??-t t 22102 1?(t)故1?(t)是一个解。同样如果以2?(t)表示()t Φ第二列，我们有2?(t)=??? ? ??01= ??? ? ??-t t 221022?(t)这样2?(t)也是一个解。因此()t Φ是解矩阵。又因为det ()t Φ=-t 2故()t Φ是基解矩阵。 2.考虑方程组x '=A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a b t ≤≤上的连续n ?n 矩阵，它的元素为a ij (t),i ,j=1,2,…,n a) 如果x 1(t),x 2(t),…,x n (t)是(5.15)的任意n 个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x 1(t),x 2(t),…,x n (t)]≡W(t)满足下面的一阶线性微分方程W '=[a 11(t)+a 22(t)+…+a nn (t)]W b) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t 0)e ds s a s a s a nn t t )](...)()([22110++? t 0,t ∈[a,b] 解：w ' (t)= nn n n n n x x x x x x x x x .... ... (2) 1 222 '21 '1'12'11+'...... (2) 1 2'22'21112 11nn n n n n x x x x x x x x x +…+nn n n n n x x x x x x x x x '''.... ... (2122221) 11211 =同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动.知识题目解析
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