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三角函数

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三角函数常考热点与核心问题 一 三角函数的基本概念定义、符号、终边相等的角的特点、象限角 等等，知识点比较多，但是相对容易，同学们在复习的时候要熟悉相关的定理、概念。

二 三角函数公式 基本公式1c o s s i n22=+x x xxx c o s s i n t a n = 1诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”(每半个周期变一次号)正弦函数，余弦函数周期都是2π，周期的一半是π，正切函数的周期为π ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 2πc o s s i n ⎪⎭⎫⎝⎛-=x x 2πs i n c o s 正弦函数是奇函数：()x x sin sin -=-余弦函数是偶函数：()x x cos cos =-2倍角公式(逆用)x x x c o s s i n 22s i n = x x x x x 2222s i n 21s i n c o s 1c o s 22c o s -=-=-= 更多的是逆用以上两个公式3和角公式()y x y x y x s i n c o s c o s s i n s i n ±=± ()y x y x y x s i n s i n c o s c o s c o s =±解决三角函数有关问题时往往要将所给函数化简为()B x A y ++=ϕωsin 的形式，注意公式的逆用以及特殊值 如：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+3πs i n 2c o s 3πs i n s i n 3πc o s 2c o s 23s i n 212c o s 3s i n x x x x x x x 一般的，有： ()ϕ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a x b a bx b a a b a x b x a s i n c o s s i n c o s s i n 22222222其中ab=ϕtan **和差化积公式与积化和差公式 1积化和差公式()()[]()()[]βαβαβαβαβαβα--+=-++=s i n s i n 21s i n c o s s i n s i n 21c o s s i n ()()[]βαβαβα-++=c o s c o s 21c o s c o s ()()[]βαβαβα--+=c o s c o s 21s i n s i n 积化和差公式的规律①两角的正弦，余弦的积都可化成()()[]βαβα-±+±f f 21的形式. ②如果两角的函数同为正弦或余弦，那么“f ”表示余弦；如果一为正弦一为余弦，那么“f ”表示正弦.③如果两角函数中有余弦函数，那么在后面的“±”处取“＋”，无余弦函数时，取“－”.④仅当两角函数均为正弦函数时，前面的“±”才取“－”，其他情况均为“＋”. 2和差化积公式2c o s2s i n 2s i n s i n ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-2c o s 2c o s 2c o s c o s ϕθϕθϕθ-+=- 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+和差化积公式的特点①公式的左边全是同名函数的和或差，前两个是正弦的和与差，后两个是余弦的和与差，右边积的系数前三个是2，最后一个是－2.②左边的角前面一个是θ，后面一个是φ，积式中的角，前面一个是原来两角和之半，即2ϕθ+，后面一个是原来两角差之半，即2ϕθ-③正弦和的积式为正弦乘以余弦，正弦差的积式为余弦乘以正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦. 三 三角函数的图像与性质重点掌握()B x Af y ++=ϕω形式函数的性质.其中f 可以为sin ，cos ，tan .(更多见的是sin 和cos )以()B x A y ++=ϕωsin 为例其中A ＞0，ω＞0 最小正周期：ωπ2=T 对称轴：π2πk x +=+ϕω，Z k ∈ 对称中心：(x ，B )其中πk x =+ϕω，Z k ∈ 单调递增区间：反解 π22ππ22πk x k +≤+≤+-ϕω，Z k ∈ 求出x 的范围即是单增区间.求解方法：利用sin x 的对称轴，对称中心单调区间.代入ϕω+x 反解出x 的范围即可. 四 解三角形高考中的关于三角函数的题目分为两种，一种是考三角函数，另一种就是解三角形。

两者联系紧密，同学们可以放在一起复习。

熟练掌握：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧∆===→αs i n21S ,,2s i n s i n s i n ab ABC R R c c b b a a三角形面积公式：余弦定理可以给出角的取值范围大小关系通过判断边长比较角的外接圆半径为正弦定理【注】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.基础篇 10全国 I (2)记()k =︒-80cos ，那么=︒100tanA ．k k 21-B ．kk 21--C ．21kk -D ．21kk --考点：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.规律方法：先化成锐角三角函数的值，正切化为正弦比余弦。

解析：()222180cos 180cos 180sin k -=︒--=︒-=︒，所以︒-=︒80tan 100tan kk 2180cos 80sin --=︒︒-= 答案：B10课标 (9)若54cos -=α，α是第三象限的角，则=-+2tan12tan 1ααA ．21-B ．21 C ．2 D ．－2考点：三角函数的化简求值规律方法：将正切化弦求解，遇到正弦加余弦可以平方。

解析：α 是第三象限的角，2α∴是第二或四象限的角ααααααααααααc o s s i n 12s i n 2c o s 2s i n 2c o s 2s i n 2c o s 2s i n2c o s 2t a n12t a n1222+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+又α是第三象限角，所以0sin <α，从而53sin -=α.所以原式＝21- 答案：A10辽宁 (5)设0>ω，函数23πsin +⎪⎭⎫⎝⎛+=x y ω的图像向右平移3π4个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 A ．32 B ．34 C ．23D ．3考点：三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性解析：图像向右平移π34个单位后与原图像重合，说明π34为原函数周期.从而它的最小正周期是π34的正数倍,即4π3T ≥，所以233π4π2π2=≥=T ω(等号可以成立)答案：C10全国 II (7)为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3π2sin x y 的图像，只需把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6π2sin x y 的图像A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位考点：三角函数图像的平移. 解析：将⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3π2sin x y 配凑成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6π2sin x y 的形式即可 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π4π2s i n 6π2π2si n 6π6π3π2s i n 3π2s i n x x x x 所以将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6π2sin x y 的图像向右平移4π个长度单位得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3π2sin x y 的图像答案：B10课标 (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0()2,2-，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为考点：三角函数的定义及图像规律方法：用排除法和特殊值法求解，或根据题意建立函数 解析：法一：排除法取点0=t 时，2=d ，排除A 、D ，又当4π=t 时d ＝0所以选C 法二：构建关系式x 轴非负半轴到OP 的角4π-=t θ，由三角函数的定义可知 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4πsin 2t y p ，所以⎪⎭⎫⎝⎛-=4πsin 2t d答案：C10全国 II (13)已知α是第二象限的角，()342πtan -=+α，则=αt a n _________．考点：三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.解析：由()342πtan -=+α得342tan -=α，又34tan 1tan 22tan 2-=-=ααα，解得21tan -=α或2tan =α，又α是第二象限的角，所以21tan -=α.注意：正切一般化成弦来求解，但是本题中直接给出α2的正切值，所以用正切的二倍角公式来求解方程。

答案：21-10北京 10，在ABC ∆中，若1=b ，3=c ，3π2=∠C ，则=a ___________ 考点：利用正弦定理，余弦定理解三角形解析：211323sin sin =⨯=⋅=b c C B ，因此6π=B ，B A ==6π，故1==b a C ab b a c cos 2222-+=即a a ++=132从而022==+a a 所以a ＝－2(舍)或a ＝1答案：a ＝110湖北 3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则=B cos A ．322-B ．322C ．36D ．36-考点：通过正弦定理求解三角函数规律方法：大边对大角确定B 的范围。

解析:根据正弦定理B b A a sin sin =可得B sin 1060sin 15=︒解得33sin =B ，又因为a b <，则A B <，故B 为锐角，所以36sin 1cos 2=-=B B . 答案:C10江西 7．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则=∠ECF tanA ．2716 B ．32 C ．33 D ．43 考点：利用特殊三角形性质解三角形，正切二倍角公式。

解析：分析图形知，可过C 作CD ⊥AB 于D 从而∠DCF ＝21∠ECF .且tan ∠DCF 易求. 312161tan ===∠AB ABCD DF DCF ，利用正切二倍角公式ααα2t a n 1t a n 22t a n -=，所以432t a n t a n =∠=∠D C F E C F答案：D10山东 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若2=a ，2=b ，B sin +B cos 2=，则角A 的大小为_______考点：三角恒等变换， 已知三角函数值求解以及正弦定理解析：由2cos sin =+B B 得2cos sin 21=+B B ，即sin2B ＝1，(这里也可以将2cos sin =+B B 化为24πsin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+B 从而得到B ＝4π) 因为0＜B ＜π，所以B ＝45°，又因为2=a ，2=b ，所以在△ABC 中，由正弦定理得4πsin 2sin 2=A解得sin A ＝21，又因为a ＜b 所以A ＜B ＜4π，所以A ＝6π 答案：6π 提高篇10课标 (16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC ＝60°考点：正弦定理、余弦定理的基础知识，三角形面积公式。

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三角函数

三角函数

三角函数三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。

也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（SinX）、余弦函数（Cosx）和正切函数（tanx）。

在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。

不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

三角函数在数学中属于一类重要的周期函数也是初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

例如在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用。

三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。

现代比较常用的三角函数有6个，其中sin和cos还常用于模拟周期函数现象，比如说声波和光波，谐振子的位置和速度，光照强度和白昼长度，过去一年中的平均气温变化等等。

三角函数是什么

三角函数是什么

三角函数是什么
三角函数是指直角三角形两边的比值。

θ是要求的角度，角度的对面的边是对边，而三角形最长的边是斜边，另一个边是邻边。

三角函数sin cos tan的定义是：
sinθ=对边/斜边
cosθ=邻边/斜边
tanθ=对边/邻边
这几个三角函数的值一定是固定的，比方说tan45一定都等于1，不会说今天换另一个大小的三角形tan45就不一样了。

这是因为我们都用直角三角形，所以每个三角形都有成比例的关系，比如说，
下面三角形是上面的两倍，也就是三个边都扩大两倍，但很明显角度θ维持不变，比方说θ是45度，tan45在上面的三角形是1/1=1，下面的是2/2=1。

另外，知道角度和其中一条边，就可以求出任意三条边的长度；或者知道两边的长度，就可以找到对应的角度。

三角函数

三角函数

三角函数公式百科名片三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义城为整个实数城。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

[编辑本段]公式分类锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA•CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin&sup2;a)+(1-2sin&sup2;a)sina=3sina-4sin&sup3;acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos&sup2;a-1)cosa-2(1-cos&sup2;a)cosa=4cos&sup3;a-3cosasin3a=3sina-4sin&sup3;a=4sina(3/4-sin&sup2;a)=4sina[(√3/2)&sup2;-sin&sup2;a]=4sina(sin&sup2;60°-sin&sup2;a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos&sup3;a-3cosa=4cosa(cos&sup2;a-3/4)=4cosa[cos&sup2;a-(√3/2)&sup2;]=4cosa(cos&sup2;a-cos&sup2;30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（kπ＋α）= tanαcot（kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -si nαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

(完整版)三角函数三角函数公式表

(完整版)三角函数三角函数公式表

(完整版)三角函数公式表1. 正弦函数 (sin):定义：正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值。

公式：sin(θ) = 对边 / 斜边范围：1 ≤ sin(θ) ≤ 1特殊值：sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 12. 余弦函数 (cos):定义：余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值。

公式：cos(θ) = 邻边 / 斜边范围：1 ≤ cos(θ) ≤ 1特殊值：cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 03. 正切函数 (tan):定义：正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值。

公式：tan(θ) = 对边 / 邻边范围：tan(θ) 可以取任意实数值特殊值：tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3, tan(45°) = 1, tan(60°)= √3, tan(90°) 不存在（无穷大）4. 余切函数 (cot):定义：余切函数是直角三角形中邻边与对边的比值。

公式：cot(θ) = 邻边 / 对边范围：cot(θ) 可以取任意实数值特殊值：cot(0°) 不存在（无穷大）, cot(30°) = √3, cot(45°) = 1, cot(60°) = 1/√3, cot(90°) = 05. 正割函数 (sec):定义：正割函数是直角三角形中斜边与邻边的比值。

公式：sec(θ)= 1 / cos(θ)范围：sec(θ) 可以取任意实数值特殊值：sec(0°) = 1, sec(30°) = 2, sec(45°) = √2, sec(60°) = 2/√3, sec(90°) 不存在（无穷大）6. 余割函数 (csc):定义：余割函数是直角三角形中斜边与对边的比值。