理解定积分定义要注意以下三点47页PPT

yy A
C C
时，性质 3的公式的几何意义就是 曲边梯形面积
A
的可加性 . 如右图所示：曲边梯形 AabB 的面积等 于曲边梯形 AacC 的面积与 CcbB 的面积.
o oa
a
c c
a
a
b
2）、若规定： f (x)dx 0, f (x)dx f (x)dx.
a
b
a
推论：若 f在[ A，B]上可积，且 a、b、c [ A，B] ，
(a).
a
证
16
公式使用说明：
b
1、在应用公式求 f (x)dx 时，f (x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求 f (x)dx失效。即f (x)的原函数F (x)可由 f (x)dx求出。
a
2、 定理的条件还可适当减弱，如： 1）、对F的要求可减弱为：在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且： F (x) f (x). 不影响定理的证明。 2）、对 f 的要求可减弱为：在[a,b]上可积（不一定连续），这时 公式仍成立。 3）、若定理中的F与 f 同时减弱为：f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连 续，且除有限个点外有F (x) f (x),则公式仍成立。 4）、在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对F的假设 便是多余的条件。
b
c
b
则： f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
c
BB bx x b
27
于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积.
a
a
b
2）、若规定： f (x)dx 0, f (x)dx f (x)dx.
a
b
a
推论：若f在[ A，B]上可积，且a、b、c [ A，B] ，

《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被

f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上

和曲线 y f (x) 所
b
a f (x)dx S
围成的的曲边梯形 的面积
合作探究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积?
yf (x) y
Oa
y gx
b
b
a f(x)dxag(x)dx
bx
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
y 2x
y
针
y sin x
对
训
01
x
0 1 3
x
4
练
1
0 2 xd x
b f (x)dx ＝
b
f (t)dt
a
a
如何用定积分表示抛物线 y x 2 、 直线 x 1 和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积。
探
y的几何意义( f (x) 0 )
设阴影部分面积为S
b
a f ( x)dx
表示由直线 x a,
x b (a b), y 0
a a 0 i 1
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
积分上限
[ a , b ] 叫做积分区间
结
构
分
b
n
f(x)dxlim
baf()
a
n n i1
i
析
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
式
变
数
量
合作探究
（1）定积分的结果是一个 数值
（2）定积分的值只与被积函数和积分区 间有关，而与积分变量用什么字母表 示 无关 ， 即
定积分的概念ppt
§1.5 定 积 分 －－§1.5.3定积分的概念
滨海中学 李鹏
n
i1

的速度为 v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在 0≤t≤2(单
位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ [解] (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等
分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…， n)，其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝n2.每个时间段上行驶的路程
y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n
个小区间，则第 i－1 个区间为
()
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
[解析]
每个小区间长度为
t n
，故第i－1个区间的左
端点为0＋(i－2)×
t n
＝
ti－2 n
，右端点为
ti－2 n
＋
t n
＝
ti－1 n.
[答案] D
[易错防范] 1．解决本题易错误地认为区间左端为ti－n 1，从而误选 C. 2．在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的 左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为n1，…，依次类推，第 i 个小区间的左端点为i－n 1.
小区间长 Δx＝n1为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面
积．第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ3i ·Δx＝
n＋ni－13·n1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面
积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，
n
n
即 S＝ΔSi≈
i＝1

n n
x
（4）取极限
1 i 1 S lim S lim f n n n i 1n n
n
引入2：汽车行驶的路程
问题：汽车以速度 v 匀速直线运动时， 经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果 汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度 2 为 v t t 2 （单位： km/h） ，那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位： km）是多少？
b
积 分 f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 yf (x)
a
y
上述曲边梯形面积的负值。
S [f(x)] dx
a
b
S[ f(x )] dx
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

S f f ( x ) d x ( x ) d x f ( x ) d x 。 y f ( x)
练习：
i 1 i 2 , f ( x ) x n 1、当n很大时，函数 在区间 n
上的值，可以用( C )近似代替 1 2 ) ) A. f ( B. f ( n n C. f ( i ) D. f 0
x 2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 i,x i 1 上的 C 近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi1 ) C.可以是该区间内任一点的函数值 f ( )( x , x ) i i i i 1 D.以上答案均不正确
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间 v v (t ) [a, b]内运动的距离s为 v
b a
s v ( t ) d t 。

在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
首页
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曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
首页
上页
下页
注意：
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
首页
上页
下页
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
i ，(i n
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,

y yf(x)
h
1 h
1
h
xh
x
f(t)dt f(t)dt
a
a
o
xh
x
f(t)dt f(t)dt
a
a
(x)
a x b x
xh
1
xh
f(t)dt
hx
f ()
(xxh)
因为 f (x) [a , b]连续
(x)
lim (xh)(x)
即得曲边梯 形面积 A .
n
Alim 0 i1
f(i )xi
其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}
(λ→0 表示 [a,b] 被 无限分细 )
2.变速直线运动的路程
2019年10月20日“神州”火箭发射 和回收成功
列车在某时间间隔内行驶的路程
已知：速度 v=v ( t ) , 求在时 间区间 [ t0 ,T ] 内火箭上升的速
A
曲边梯形面积A
注3 : 定积分的几何意义
当 f (x) ≤0 时
b
a f(x)dxA
A
( A为面积 )
当 f (x) 符号不定时 , 例如
y
A1
a
oA2
y f(x) A3
A4
A5 bx
b
a
f (x)dx
=A1－A2＋A3－A4＋A5
A1
＋
A2＋A3
＋
A4＋A5

b a
f (x)dx
F(x) f(x)dxC
a
F(a)C
b
F(b)af(x)dxF(a)
b
a f(x)dx F(b)F(a)

区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。

22 x2dx. 1
2. [02f(x)-2x]dx= f0(2x)dx+ (-022x)dx.
3.
(0e2x2-x+1)dx=20e
x2dx- exdx+ e
0
0
1dx.
【自主解答】(1)选C.由定积分的几何性质得：
0f2 (x)dx=
(01x+1)dx+
22 x2dx 1
(2)由定积分的性质得：
分的面积).
2.定积分的性质
b
(1)
b
a
kf(x)dx=
_k_a_f_(_x_)_dx_(k为常数).
(2) a［b f1(x)±f2(x)］dx=__a_b f_1__x_d_x____ab_f2__x__d_x_.
(3)
b
a
f(x)dx=
c
a
பைடு நூலகம்
f(x)dx+
_c_b f__x__d_x_(其中a＜c＜b).
当n→∞时，上述和式无限接近某个_常__数__，这个_常__数__叫做函
b
数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作__a _f(_x_)d_x_，即
b
a
f(x)dx=
_lni_m__in1__b_n_a_f_(__i )，
这里，a与b分别叫做积分下限与_积__分__上__限__，区间[a，b]叫做
积分区间，函数f(x)叫做_被__积__函__数__，x叫做_积__分__变__量__，f(x)dx
叫做被积式.
(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数连续且恒有
_f_(_x_)_≥__0_，那么定积分
b
a
f(x)dx表示由直线x=a，x=b(a<b)，

课题：
定积分的概念
定积分的概念
▼ 曲 边 梯 形 面 积 ▼ 定 积 分 的 定 义
▼ 定 积 分 的 几 何 意 义
▼ 课 堂 练 习
引例：

曲边梯形面积
设函数f（x）在区间[a，b]（a〈b）上非负且连续， 由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴围成的图形为曲 边梯形，如图所示。其中曲线弧y=f（x）称为曲边，线 段ab称为底边。 问题：如何计算曲边梯 形的面积呢？
分析过程：
曲边梯形的面积取决于区间[a，b]及定义在这个区间 上的函数f（x）。 f（x）是区间[a，b]上的连续函数，当x变化不大时， f（x）的变化也不大。 将区间[a，b]分割成许多小 区间，相应地将曲边梯形分割成 许多小曲边梯形。每个小曲边梯 形可以近似的看成小矩形。 所有小矩形的面积和就是整 个曲边梯形的面积。 将区间[a，b]无限细分使每 个小曲边梯形的底边长都趋向于 零时，小矩形的面积之和的极限， 就是所求的曲边梯形的面积。
定积分的几何意义
如果函数f（x）在[a，b] 上连续且f（x）≥0时，那么定 积分∫ f（x）dx就表示以y=f （x）为曲边的曲边梯形面积。 定积分∫ f（x）dx的数 值在几何上都可以用曲边 梯形面积的代数和来表示。
练习：
用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积。

b
s a v(t)dt;
密 度 为 ( x ) 线 状 物 体 的 质 量 为
m b(x)dx. a 前页 后页 返回
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 表 达 式 JlT im 0i1f(i)xi 不 仅 与 n和 T有
关 , 还 与 { 1 ,2 , ,n } 有 关 , 因此定积分既不是数 列极限，也不是函数极限.
区 间 [xi1, xi]的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 [ x i 1 , x i ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) :
T m a x x i i 1 ,2 , ,n .
则 当T0时 ,就能保证分割越来越细.
n
当v(t)v0为 匀 速 运 动 时 ， s v 0 ( b a ) ; 当质量是
均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 , m(ba).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
前页 后页 返回
可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如来何解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊的和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
与S的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1 )如 何 刻 划 分 割 越 来 越细？
n
(2 )如 何 刻 划 f(i)x i越 来 越 逼 近 于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
前页 后页 返回
( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a 0 x 0 x 1 x n b , 不 能 用n来表示分割 T 越来越细,因为可能某些

y yf (x)
b f ( x ) d x c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a b 时 ， 有 b f ( x ) d x 0 。 a
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b 将区间[a,b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x
（
x
b
n
a
），在每个小区间 xi1
,
xi
上取一点
i i 1,2, ,n ，作和式：
Sn
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
定积分的概念1
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四 步曲”:
①分割--------- ②近似代替----------
③求和---------- ④取极限得到解决.
如小 果矩 形 当面 n积 ∞和 时S ，=i n S1的f(无i) 限x接近i n 1某f(个i)常b 数 na ，
y f(x)
a
bx
积分上限
n
b
f ( x)dx I
a
lim
n
i 1
f (i )xi
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即

答案
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第五节 定积分的概念
课时2 定积分的概念
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知识点1 定积分的定义
答案
1.A 【解析】 由定积分的定义,知被积函数为y=x3-x2+2,故选A.
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知识点1 定积分的定义 答案
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知识点1 定积分的定义 答案
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知识点3 定积分的性质
答案
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1.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲、乙两车的速度曲线分别为v甲,v乙(如图 所示).那么对于图中给定的时刻t0和t1,下列判断中一定正确的是 ( ) A.在t1时刻,甲车在乙车前面 B.t1时刻后,甲车在乙车后面 C.在t0时刻,两车的位置相同 D.t0时刻后,乙车在甲车前面
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右图是取5等分的情形，就已经非常精确了。 让等分的份数趋近于无穷大，所得极限就是所求面积的精确值。 右图是取5等分的情形，就已经非常精确了。
右端点型
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上积分梯形公式的 示意。为8个分点情形。
梯形公式
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上积分梯形公式的 示意。为15个分点情 形。
• 可以看到，梯形公式 比矩形公式精确度高。
梯形，15个分点
定积分的定义
• 考虑正弦函数sin(x)在 0， 区间上。
• 分割. 将 0， 比如说20份。
区间等分，
• 近似. 将每个小区间上的面积用 矩形的面积来近似。
• 积分和（黎曼和）. 将所有小矩 形面积求和，得到整体面积的 一个近似。
• 求极限. 让等分的份数趋近于无 穷大，近似
求和 取极限
定积分的定义
• 现在看看分成40份的 情形。
• 可以看到误差变小了。 • 有理由相信：随着分
点的增加，误差越来 越小。
误差很小
定积分的定义
• 当然，小区间上的面 积也可以用其他容易 求出面积的图形的面 积来表示，比如梯形。
• 这就是定积分的梯形 算法。
• 右图是取5等分的情形， 就已经非常精确了。
误差更小
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上的积分示意。为 20等分情形，取左端 点处的函数值
左端点型
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上的积分示意。为 让等分的份数趋近于无穷大，所得极限就是所求面积的精确值。
考虑正弦函数sin(x)在 0， 区间上。 现在看看分成40份的情形。
2点0处等的分函情数形值，取右端 这让有右有右右让右当当右 将这当右考就等理图理图图等图然然图每就然图虑是 分 由 是 由 是 是 分 是 ， ， 是个 是 ， 是 正定的相取相正正的正小小正 小定小正弦积份信5信弦弦份弦区区弦 区积区弦函等分数：：在在数在间间在 间分间在数分的趋随随一一趋一上上一 上的上一si的n梯近着着个个近个的的个 的梯的个(情x形于分分周周于周面面周 面形面周)在形算无点点期期无期积积期 积算积期，法穷的的上上穷上也也上用法也上0就，。大增增积的大积可可的 矩。可的已，加加分积，分以以积 形以积经所，，梯分所梯用用分 的用分非区得误误形示得形其其示 面其示常间极差差公意极公他他意 积他意精上限越越式。限式容容。 来容。确。就来来的就的易易近易了是越越示是示求求似求。所小小意所意出出。出求。。。求。面面面面面积积积积积的的的的的图图图精精形形形确确的的的值值面面面。。积积积来来来表表表示示示，，，比比比如如如梯梯梯形形形。。。