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umat的热力学
UMAT（Unified Material Access Tool）是一个用于在ABAQUS有限元软件中实现用户自定义材料模型的工具。
它允许用户通过编写子程序来定义自己的材料本构模型，以模拟材料的力学行为。
在UMAT中，热力学通常指的是描述材料的热学性质，例如热膨胀、热传导、热容等。
用户可以在UMAT中实现自定义的热力学模型，以模拟材料在热加载情况下的行为。
具体来说，用户可以在UMAT子程序中编写代码来计算材料的热学响应，例如根据材料的温度和应力状态计算材料的热膨胀系数、热导率、热容等热学参数。
这些热学参数可以与力学行为一起被ABAQUS 有限元软件用于模拟材料在复杂加载条件下的行为。
总之，UMAT中的热力学是指用户编写的用于描述材料热学性质的子程序，用于在有限元分析中模拟材料在热加载条件下的行为。
昆明学院2015届毕业设计（论文）设计（论文）题目一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟子课题题目无姓名伍有超学号************所属系物理科学与技术系专业年级2011级物理学2班指导教师王荣丽2015 年 5 月摘要本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论。
从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。
通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。
关键词：一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB 模拟AbstractIn this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems.Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation;finite difference method; numerical method; MATLAB simulation目录第一章绪论 (1)1.1热传导的概念 (1)1.2热质的运动和传递 (1)第二章一维热传导问题的两种数值解法 (3)2.1一维热传导问题的初值问题 (3)2.2一维热传导问题的分离变量法 (4)2.3一维热传导问题的有限差分法 (6)第三章一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟 (9)3.1一维有界杆热传导问题 (9)3.2分离变量法的MATLAB模拟 (9)3.3有限差分法的MATLAB模拟 (12)第四章总结与展望 (18)参考文献 (19)谢辞 (20)第一章绪论1.1热传导的概念由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。
Matlab在力学中的应用【摘要】倘若是在传统的手算方法里解超静定的结构工作是非常的繁琐麻烦，甚至是有时候是不可能的，所以我们运用结构一般的有限元编程方法，通过两个实例的对比方法，就能够直观的展示Matlab 在结构力学分析中的应用，Matlab 具有极高的性能，方法具有普遍的实用性和适用性，可以实现弯矩图自动绘制，这将大大的提高工作效率，减少工程师的负担，并且计算精准。
【关键字】Matlab ；结构有限元弯矩图；精准；一、前言Matlab可能很多人都会好奇，这是一个什么东西。
其实它是由美国的一家公司推出的新型的计算系统，主要用于材料力学，数学等学科的科学计算，还有一些其他的高科技用途。
他将许多的数学运算做了简化，特别是那些复杂的线性代数运算。
有巨大的数学贡献。
也给高级计算机语言的研究提供了窗口和可能。
Matlab的成功运用让太多的数学计算就变得简单。
但是Matlab是一个新的技术，所以我们对Matlab还是有很多的研究空间。
二、MATLAB-PDEtool介绍MATLAB-PDEtool提供了一个功能强大的并且是使用灵活的二维有限元偏微分方程求解环境，其图形用户界面更是使用十分方便、直观一般来说，MATLAB-PDEtool包括3个步骤：定义一个PDE的问题，它包括确定二维求解区域、边界条件和PDE系数。
MATLAB-PDEtool能够求解的PDE型式有：椭圆型、抛物线型、双曲线型、特征值型。
当使用GUI时，可以在画图模式下确定求解区域；在边界模式下选择方程形式和设置方程系数。
数值的求解，它包括剖分、离散方程和得到一个数值解。
在GUI中，在剖分模式下形成满意的网格；在求解模式下通过选择数值计算方法求解。
图形化显示结果。
通常用于的就是在表现有限元计算结果的图形有：比如说变形网格图、云图、等值线图、矢量图、网格图、表面图、流线图等。
三、MATLAB在麦克斯韦速率分布中的应用而在气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中的一个难点和重点。
基于MATLAB的发动机热力学建模与仿真+源代码Keywords Engine MATLAB Thermodynamic model Differential equatios目次1 绪论 31.1 文献综述 31.1.1 发动机进行计算机仿真技术的背景与意义 31.1.2 国内外研究状况 41.1.3 常用发动机仿真软件介绍 51.2 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段（途径） 61.2.1 本课题要研究或解决的问题 61.2.2 拟采用的研究手段（途径）： 62 数学仿真模型的建立 82.1 本文的技术路线 82.2 热力学过程的数学模型 82.2.1 建模过程基本假设 82.2.2 建模过程微分方程 82.2.3 发动机缸内热力过程分析 92.3 活塞往复运动的数学模型 132.4 燃烧放热过程的数学模型 143 仿真程序设计与编程 183.1 MATLAB软件介绍 18 :3.2 数值计算过程介绍 193.3 仿真程序的流程图 193.4 调试完成的源代码 204 仿真分析与参数研究 214.1 仿真参数列表 214.2 P-V示功图 224.2.1 P-V示功图介绍 224.2.2 P-V示功图仿真结果 234.3 指示热效率介绍 234.4 进气压力的影响分析 244.5 点火时刻的影响分析 254.6 压缩比的影响分析 265 结果与分析 28结论 29致谢 30参考文献 31附录A 发动机P-V图源代码 33附录B 进气压力对发动机性能影响源代码 40 附录C 点火时刻对发动机性能影响源代码 47附录D 压缩比对发动机性能影响源代码 551 绪论1.1 文献综述1.1.1 发动机进行计算机仿真技术的背景与意义1.1.2 国内外研究状况1.1.3 常用发动机仿真软件介绍（1）AVL BoostAVL-Boost是由AVL公司开发的汽车和发动机系列模拟软件当中的一个模块，主要用来研究和分析发动机的气体交换和热力方面的性能。
适合用Matlab解决的经典物理例题在物理学领域，经典物理例题一直是学习和研究的重要内容。
而Matlab作为一种强大的数学软件，非常适合解决各种物理问题。
本文将从力学、电磁学和热力学等多个方面，选取一些经典的物理例题，通过Matlab进行分析和求解，展示Matlab在解决物理问题时的强大用途。
1. 简谐振动问题简谐振动是物理学中一个重要的模型，涉及到弹簧振子、单摆等问题。
通过Matlab可以很方便地求解简谐振动的运动规律。
对于弹簧振子的运动方程，可以通过Matlab进行数值模拟，得到振动的周期、频率、位移等参数，从而更好地理解简谐振动的特性。
2. 电场问题在电磁学中，电场是一个重要的研究对象。
通过Matlab可以很容易地分析不同形状的电荷分布所产生的电场分布。
可以通过Matlab计算出点电荷、均匀带电细棒等情况下的电场分布，并绘制出电场线图，直观地展现电场的分布规律。
这样的分析对于理解电场的性质和相互作用具有重要意义。
3. 热传导问题热传导是热力学研究的一个重要方面，涉及到导热方程的求解和热量分布的分析。
通过Matlab可以对不同材料和形状的热传导问题进行数值模拟和求解。
可以通过Matlab计算出棒状材料中的温度分布随时间的演化，从而得到材料的热传导性能。
这样的分析对于工程实践中的热设计和材料选型具有重要指导意义。
4. 万有引力问题在力学中，万有引力是一个经典的例题，涉及到行星轨道、卫星运动等问题。
通过Matlab可以很方便地进行万有引力场下的物体运动模拟。
可以通过Matlab计算地球和月球的引力作用下的月球轨道，从而揭示天体运动的规律和特性。
这样的模拟对于探索宇宙中天体运动规律具有重要帮助。
总结回顾：通过以上例题的分析，我们不仅了解了Matlab在经典物理例题中的应用，也可以发现Matlab在解决物理问题时的便捷和高效。
当然，实际物理问题可能具有更多的复杂性和多样性，需要结合理论分析和实验数据进行综合研究。
基于MATLAB的能源系统仿真分析能源系统仿真分析在现代工程设计和技术建模中扮演着重要角色，它可以帮助工程师和科学家预测并优化能源消耗、降低费用以及减少对环境的影响。
MATLAB作为一款广泛使用的科学计算软件，可以为能源系统的建模、仿真和分析提供最佳解决方案，使得能源系统设计和优化变得更加高效和准确。
本文将介绍基于MATLAB的能源系统仿真分析的基本原理、技术特点和应用前景。
1. 能源系统仿真的基本原理能源系统仿真分析是建立在能量守恒、质量守恒和热平衡原理的基础上的，它涉及到能源转化、传输和消耗过程的多个环节。
能源系统的仿真分析可以通过数值方法对各种复杂的物理、化学、机械、电子和热力学过程进行数学建模，以便更好地了解和优化能源系统的运行状况。
在MATLAB中，要进行能源系统仿真分析，需要先确定仿真模型的类型和仿真框架，并结合能源系统的物理、化学和数学背景来确定所需的数学方程和计算方法。
然后，需要将所需的数据和参数输入仿真模型中，以进行基于数值模拟的实时计算和分析。
最后，需要通过仿真结果和分析结论对能源系统进行优化和改进。
2. 基于MATLAB的能源系统仿真分析的技术特点MATLAB作为一款易于使用、灵活性强、功能丰富的科学计算软件，具有如下特点：2.1 易于学习和使用MATLAB的用户界面友好、交互式命令式编程方式易于掌握，便于工程师和科学家快速上手。
此外，MATLAB库中有大量的实例程序和工具箱，可用于各种不同的应用场景，从而进一步降低学习和使用的难度。
2.2 提供完整的工具集MATLAB提供了多种仿真、建模和分析工具，可支持多种能源系统应用场景，包括燃料电池、太阳能、风能、水力发电、核能、电网等。
此外，MATLAB还提供了多种可视化工具，帮助用户直观地了解和分析仿真结果。
2.3 灵活性和可定制性高MATLAB提供了可扩展性强的编程语言，用户可以根据需要编写自己的仿真模型和算法，从而实现更高度的自定义和控制。
有限差分法matlab程序一维热传导一维热传导是一个常见的物理问题，涉及到热量在一个维度上的传递和分布。
在工程和科学领域中，研究和解决一维热传导问题对于优化系统设计和预测热现象非常重要。
本文将介绍如何使用有限差分法在MATLAB中模拟一维热传导过程。
有限差分法是一种常用的数值解法，用于近似求解微分方程。
它将连续的物理问题离散化，将连续的空间和时间划分为离散的网格点，并通过近似替代微分算子来计算离散点上的数值。
在一维热传导问题中，我们可以将传热方程离散化为差分方程，然后通过迭代计算来模拟热传导过程。
我们需要定义问题的边界条件和初始条件。
对于一维热传导问题，我们通常需要给定材料的热扩散系数、初始温度分布和边界条件。
假设我们研究的是一个长为L的细杆，材料的热扩散系数为α，初始温度分布为T(x,0)，边界条件为T(0,t)和T(L,t)。
接下来，我们将空间离散化为N个网格点，时间离散化为M个时间步长。
我们可以使用等距网格，将杆的长度L划分为N个小段，每段的长度为Δx=L/N。
同样，时间也被划分为M个小步长，每个步长的长度为Δt。
这样，我们可以得到网格点的坐标x(i)和时间点的坐标t(j)，其中i=1,2,...,N，j=1,2,...,M。
在有限差分法中，我们使用差分近似代替偏导数项。
对于一维热传导方程，我们可以使用向前差分近似代替时间导数项，使用中心差分近似代替空间导数项。
这样，我们可以得到差分方程：(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt = α*(T(i+1,j)-2*T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中，T(i,j)表示在位置x(i)和时间t(j)的温度。
通过对差分方程进行重排和整理，我们可以得到递推公式：T(i,j+1) = T(i,j) + α*Δt*(T(i+1,j)-2*T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2现在，我们可以在MATLAB中实现这个递推公式。
首先，我们需要定义问题的参数和初始条件。
matlab计算物理摘要：一、引言1.MATLAB 的介绍2.MATLAB 在计算物理中的应用二、MATLAB 的基本操作和语法1.MATLAB 的数据类型2.MATLAB 的基本操作符3.MATLAB 的函数与脚本三、MATLAB 在物理计算中的应用1.力学a.牛顿第二定律的求解b.弹簧振子的运动2.电磁学a.库仑定律的计算b.电场和磁场的计算3.热力学a.热力学方程的求解b.热力学过程的模拟四、MATLAB 与其他软件的联合应用1.MATLAB 与Mathematica 的联合使用2.MATLAB 与Python 的联合使用五、MATLAB 在物理教学中的应用1.教学演示2.学生实践六、结论1.MATLAB 在计算物理中的优势2.MATLAB 在物理研究和教学中的前景正文：MATLAB 是一种广泛应用于科学计算和工程设计的编程语言。
近年来，随着其在计算物理领域的不断深入应用，MATLAB 已成为物理学家和工程师必备的工具之一。
本文将简要介绍MATLAB 的基本操作和语法，重点阐述其在物理计算中的应用，以及与其他软件的联合使用。
首先，我们来了解一下MATLAB 的基本操作和语法。
MATLAB 的数据类型主要有两种：数值型和字符型。
数值型包括整数、浮点数和复数，字符型用于表示字符串。
MATLAB 的基本操作符包括算术、逻辑、关系和位操作等。
此外，MATLAB 还提供了丰富的内置函数和自定义函数，用户可以通过编写脚本实现复杂数学计算和数据处理。
在物理计算领域，MATLAB 具有广泛的应用。
力学方面，MATLAB 可以用于求解牛顿第二定律的微分方程，以及模拟弹簧振子的运动等。
电磁学方面，MATLAB 可以用于计算库仑定律的电场和磁场，以及分析电磁波的传播等。
热力学方面，MATLAB 可以用于求解热力学方程，模拟热力学过程等。
为了提高计算效率和精度，MATLAB 可以与其他软件进行联合应用。
例如，MATLAB 与Mathematica 可以相互调用，实现复杂数学计算和图形绘制。
二维热传导方程是描述二维热传导过程的数学模型，它在工程、物理、地球科学等领域都有重要应用。
在实际工程问题中，我们经常需要求解二维热传导方程，以预测物体表面的温度分布、热量传递速率等参数。
Matlab是一个强大的数学软件，通过Matlab我们可以很方便地求解二维热传导方程，并得到预期的结果。
一、二维热传导方程的基本形式二维热传导方程可以用偏微分方程的形式表示为：∂u/∂t = k(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u(x, y, t)是温度分布随时间和空间的变化，k是热传导系数。
二、Matlab中求解二维热传导方程的方法在Matlab中，我们可以采用有限差分法（finite difference method）求解二维热传导方程。
有限差分法将偏微分方程离散化，转化为代数方程组，然后通过迭代求解得到数值解。
具体步骤如下：1. 离散化空间和时间变量，将连续的空间区域和时间区间分割成若干个小区间。
2. 利用二阶中心差分格式对二维热传导方程进行离散化，得到代数方程组。
3. 利用Matlab中的矩阵运算和迭代方法，求解代数方程组，得到数值解。
三、Matlab代码示例下面是一个简单的Matlab代码示例，用于求解二维热传导方程：```matlab定义参数和初始条件Lx = 1; Ly = 1; 区域大小Nx = 100; Ny = 100; 离散化网格数T = 1; 总时间Nt = 100; 时间步数k = 1; 热传导系数dx = Lx/Nx; dy = Ly/Ny;dt = T/Nt;x = 0:dx:Lx; y = 0:dy:Ly;[X, Y] = meshgrid(x, y);u = sin(pi*X).*sin(pi*Y); 初始温度分布迭代求解for n = 1:Ntun = u;for i = 2:Nx-1for j = 2:Ny-1u(i, j) = un(i, j) + k*dt/dx^2*(un(i+1, j)-2*un(i, j)+un(i-1, j)) + k*dt/dy^2*(un(i, j+1)-2*un(i, j)+un(i, j-1));endendend可视化结果figure;surf(X, Y, u);xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('Temperature');```以上代码首先定义了区域大小、离散化网格数、总时间、热传导系数等参数，然后利用有限差分法进行迭代求解，最后利用Matlab绘制了温度分布的三维图像。
《MATLAB》课程论文MATLAB在热物理学中的应用姓名：田晓霞学号：12010245379专业：通信工程指导老师：汤全武学院：物理电气信息学院完成日期：2011.12.1MATLAB 在热物理学中的应用 (田晓霞 12010245379 2010级通信工程)【摘 要】 基于MATLAB 的数值计算、可视化图形处理、开放式以及可扩充体系结构的特点,并用高性能语言 MATLAB 在大学物理热物理学中的一些应用，包括在固体热容量的三种模型、理想气体定容比热回归分析和理想气体的热力学分析中的应用等对其进行数据处理。
【关键词】 MATLAB ；顺磁性固体；负温度状态；热力学；热传导；热扩散一. 问题的提出之固体热容量的三种模型热容量是热力学系统的一个重要响应函数。
经典理论曾用能量均分定理讨论了晶体在高温情况下的热容量，成功地解释了杜隆－珀替定律。
但是，经典理论不能说明低温下热容量随温度的降低而减小，以及它是系统特征量这两个实验事实。
1907年，爱因斯坦应用量子概念处理晶体振动，定性地说明了固体的热容量随温度降低而趋于零的规律。
1917年，德拜修改了爱因斯坦模型，出了3T 定律，使固体热容量理论在定量上与实验结果相符合。
1.固体热容量的经典模型－杜隆-珀替定律按照经典理论，由N 个原子或离子组成的固体可视为3N 个相互独立的经典线性谐振子的集合。
由能量均分定理，每个线性简谐振子的能量为kT ，固体的内能为U =3NkT ，热容量为3V C N k = (1)此即杜隆-珀替定律。
问题1：应用玻尔兹曼统计求经典固体的定容热容量。
(1) 解题分析经典固体可视为3N 个相互独立的经典线性谐振子的集合,每个经典线性谐振子的能量为()222212r p re m w m=+(2)其中,212rp m是两原子相对运动的动能，1212m m m m m =+为约化质量,r 是两原子间的距离，ω为振动的圆频率。
振动配分函数为dr dr p hpe zrv r ⎰⎰+-=)(2122221ωμμβ(3)求出配分函数后，再利用热力学公式13ln U NZ β∂=-∂ ， V VU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ (4)可求得经典固体的热容量。
(2) Matlab 程序:syms V h beta N k T mu omiga r p; %用syms 定义10个符号变量 d=beta/2*mu;e=beta*mu*omiga^2/2; %求符号表达式的值zp=2/(d)^(1/2)*int(exp(-p^2),0,inf); %求符号表达式的值 zr=2/(e)^(1/2)*int(exp(-r^2),0,inf); %求符号表达式的值 Zv= zp*zr/h; %振动配分函数 Uv=-3*N*diff(log(Zv),beta); %求符号表达式的值 beta=1/k/T; %求符号表达式的值Uv1=eval(simplify(Uv)); %内能Cv=diff(Uv1,T); %热容量 运行结果为：Zv =2/(beta/mu)^(1/2)*pi/(beta*mu*omiga^2)^(1/2)/h Uv1 =3*N*k*T Cv =3*N*k运行结果表明，杜隆-玻替定律在固体的温度较高时与测量结果符合，但在常温和低温下与实验结果严重不符。
事实上，固体热容量是与温度和固体特性有关的量，并非该定律所描述的那样是与二者无关的常量。
杜隆-玻替定律与实验事实偏离是对经典热力学理论的严重挑战。
2.爱因斯坦模型爱因斯坦将量子观点应用于固体热容量的研究，把固体看作由3N 个频率相同的，近独立的量子线性谐振子所组成的系统，应用玻尔兹曼统计得到了固体的内能和热容量表达式，这是继普朗克辐射理论之后，利用量子理论处理问题的第二个成功范例。
问题2：应用玻尔兹曼统计求爱因斯坦固体的内能和定容热容量。
（1）解题分析量子线性谐振子的能量为12n n εω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0,1,2,3,...n = （1） 谐振子的配分函数为1()210n Z eω∞-+=∑ （2）固体的内能和热容量分别为13ln U NZ β∂=-∂ （3）V VU C T ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭ （4）（2）Matlab 程序clearsyms Z1 beta n hbar w U N k T Cv; %用syms 命令定义10个符号变量 Z1=simplify(symsum(exp(-beta*hbar*w*(n+1/2)),'n',0,inf)); %应用函数规则对括号中的求和函数进行化简后得Z1U=simplify(-3*N*diff(log(Z1),'beta')); %先对其中算是求导，在对起化简 beta=1/k/T; %求beta 的表达式U1=subs(U); %应用U 的表达式求出其中的U1的值Cv=simplify(diff(U1,T)); %将U1对T 的导数求出后在进行化简得到的值 运行结果：Z1 =1/(-1+exp(beta*hbar*w))*exp(1/2*beta*hbar*w)U =3/2*N*hbar*w*(exp(beta*hbar*w)+1)/(-1+exp(beta*hbar*w)) U1 =3/2*N*hbar*w*(exp(1/k/T*hbar*w)+1)/(-1+exp(1/k/T*hbar*w))Cv =3*N*hbar^2*w^2*exp(1/k/T*hbar*w)/(-1+exp(1/k/T*hbar*w))^2/k/T^2其数学表达式为：121e e1Z βωβω=- , //3(e 1)2(e1)kT kTN U ωωω+=- ,2//2e 3(e1)kTV kT C N k kT ωωω⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 3.德拜模型1917年,德拜完成了他的固体热容量理论，他把固体看成连续介质，认为原子的振动形成各种简正频率的弹性驻波，而把整个固体原子的微振动看作这些弹性驻波的叠加，每一个简正频率的弹性波的能量与同一频率简谐振子的能量是一样的。
而弹性波又可分为纵波和横波，并且纵波和横波的波速均为一常数。
根据这一思想，德拜从固体中原子振动的频率着手，得出固体的内能和定容热容量分别为3/3d 9()e 1D TxDTx x U N kT θθ=-⎰（1）4/32e d 9()(e 1)D xTV xDTx x C N k θθ=-⎰（2)其中，D x k TTθω==, D θ称为德拜频率。
德拜的理论在低温区与实验符合得相当好，与实验发现的低温下热容量与T 3成正比的规律相一致，因此被称为德拜T 3律。
问题3：绘制杜隆－珀替定律、爱因斯坦模型和德拜模型的固体热容量随温度变化曲线，并讨论其在高、低温两端的性质。
（1）解题分析① 杜隆-玻替定律 113V C y Nk== （1）② 爱因斯坦模型 令 E x kTTθω==，可将爱因斯坦固体热容量表达式改写为()22222e e 3e 1e 1EExT VE x TC y x N k T θθθ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）③ 德拜模型令 D x kTTθω==，将德拜理论中热容量的表达式34/2e d 9(e 1)D x TV xD T x x C N k θθ⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰（3）改写为3344/322e d 1e d 333(e 1)(e 1)D yy Tx Vy yD C T y yy y y N k x θθ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰（4）下面，采用数值方法计算上述积分， （2）Matlab 程序clf %清图形窗口x=0:0.01:1.3; %定义一个步长为0.01，x 从0到1.3 y1=1; %杜隆－珀替定律y2=(1./x).^2.*exp(1./x)./(exp(1./x)-1).^2; %爱因斯坦模型的热容量 i=0; %以下采用循环语句计算德拜模型的数值积分for x1=0.7692:0.5:100 %用for 语句定义一个步长为0.5，初值为0.7692，终值为100的变量 i=i+1;a(i)=quadl('exp(y).*y.^4./(exp(y)-1).^2',0.001,x1); %德拜模型的热容量 y3(i)=a(i).*3./x1.^3; %给出y3的表达式 end %for 循环结束x1=0.7692:0.5:100; %定义变量x1的步长为0.5，从0到100plot(x,y1,x,y2,1./x1,y3) %用plot 函数分别作出x,y1;x,y2;x,y3坐标上的曲线 axis([0,1.3,0,1.1]), %设置坐标轴 xlabel('T/\theta'), %加x 轴说明 ylabel('Cv/3Nk') %加y 轴说明 图1 固体热容量三种理论结果的比较从图 1 可知，在高温端，爱因斯坦模型和德拜模型的曲线都趋近于杜隆-玻替定律，说明经典理论是量子理论的高温（或低频）近似。
运行结果表明，在低温端，爱因斯坦的热容量曲线比实验曲线要平缓一些,而德拜模型的热容量在低温端随温度的变化要比爱因斯坦模型来的快，与温度的三次方成比例,因此比爱因斯坦模型更符合实验结果。
二： 顺磁性固体的热力学性质顺磁性固体的理论模型是，磁性离子定域在晶体的特定格点上，认为离子间彼此相距甚远，相互作用可略去不计。
因此，顺磁性固体是由定域、近独立的磁性 离子组成的系统，遵从玻耳兹曼分布。
(1) 顺磁体的热力学性质问题4：计算顺磁体的磁化强度、内能和熵。
（1）解题分析假定磁性离子的总角动量量子数为12，磁矩大小为2e mμ=-（1）其中，μ在外场中的能量的可能值为－μB （磁矩沿外磁场方向）和μB （磁矩逆外磁方向），B 为外磁场的磁感应强度。
由此，磁性离子的能量为: B B εμμ=-+ (2)离子的配分函数为: 1eeeBBZ βεβμβμ--==+∑ (3)磁化强度：1ln N m Z B B∂=-∂ (4)内能：1ln U NZ β∂=-∂ (5)熵：11(ln ln )S Nk Z Z ββ∂=-∂ (6)（2）Matlab 程序%① 磁化强度syms Z1 beta T k mu N B %用syms 定10个符号变量Z1=exp(beta*mu*B)+exp(-beta*mu*B); %给出Z1表达式m=simplify(N./beta.*diff(log(Z1),B)) %应用函数规则对其进行化简 运行结果：m=N*mu*(exp(beta*mu*B)-exp(-beta*mu*B))/(exp(beta*mu*B)+exp(-beta*mu*B)) 数学表达式为： e e eeB B BBm N βμβμβμβμμ---=+令x = βμB ，y 1= m / Nμ，绘制x -y 1曲线。
