Matlab在求解扩散系统之浓度分布中的应用

浓度场数值模拟matlab1. 介绍浓度场数值模拟是一种通过数值方法来计算和预测物质浓度分布的技术。

这种模拟方法通常基于流体力学和传质过程的基本方程，通过数值求解这些方程来得到浓度场的分布。

在很多领域中，如环境科学、化学工程、材料科学等，浓度场数值模拟都是一种重要的工具。

在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB进行浓度场数值模拟。

我们将首先介绍数值模拟的基本原理和方法，然后详细讨论如何在MATLAB中实现这些方法，并给出一些实际应用的示例。

2. 数值模拟方法数值模拟浓度场的方法有很多种，其中常用的方法包括有限差分法（finite difference method）、有限元法（finite element method）和有限体积法（finite volume method）等。

这些方法都是将浓度场分割成网格，然后通过求解离散化的方程来得到各个网格点上的浓度值。

在MATLAB中，我们可以使用这些方法的内置函数或者自己编写代码来实现浓度场的数值模拟。

下面我们将以有限差分法为例，介绍如何在MATLAB中实现浓度场的数值模拟。

有限差分法是一种将微分方程离散化的方法，它将连续的空间域划分为离散的网格点，并在每个网格点上计算浓度的近似值。

有限差分法的基本思想是使用差分近似来代替微分运算，从而将微分方程转化为代数方程。

在浓度场数值模拟中，有限差分法通常用于求解扩散方程。

3. 在MATLAB中实现数值模拟在MATLAB中，我们可以使用内置函数pdepe来求解偏微分方程。

这个函数可以用于求解一维、二维和三维的偏微分方程，并支持不同的边界条件和初值条件。

下面是一个使用pdepe函数求解一维扩散方程的示例：function [c,f,s] = diffusion_eqn(x,t,u,DuDx)c = 1;f = DuDx;s = 0;function diffusion_simulation()x = linspace(0,1,100);t = linspace(0,1,100);m = 0;sol = pdepe(m,@diffusion_eqn,@diffusion_ic,@diffusion_bc,x,t);u = sol(:,:,1);surf(x,t,u)在这个示例中，我们定义了一个名为diffusion_eqn的函数来描述扩散方程。

基于Matlab仿真的扩散模型转移密度估计方法比较何源;陈晖【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(029)003【摘要】扩散模型目前被广泛的应用于现代电子、金融等领域用来描述变量的动态变化过程,转移密度作为反映扩散模型特征的重要变量一直是各国学者研究的重点,随着Matlab功能的日益完善,利用其强大的仿真和数值分析函数来定量研究扩散模型的转移密度,从而寻找出最优的估计方法无疑具有重要的意义.基于此,通过利用Matlab仿真技术,比较了2种估计扩散模型转移密度函数的方法,即Euler法和Henrmite法,通过对存在闭端解的2个扩散模型的比较,发现用Hermite扩展确实比Euler法能更好的估计扩散模型的转移密度函数,在此基础上,进一步利用这2种方法估计了扩散模型的参数,证明了Henmite法比Euler法能更好的识别模型参数,减少估计中的错误.【总页数】4页(P64-67)【作者】何源;陈晖【作者单位】湖南农业大学信息科学技术学院,湖南,长沙,410128;湖南大学工商管理学院,湖南,长沙,410082【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.基于MATLAB仿真模拟的单污染源扩散模型的优化研究 [J], 敬志臣;郑兴荣2.基于局部特征概率密度估计的三维模型特征提取方法 [J], 孙挺;张锦华;耿国华3.两类短期利率模型的实证研究——基于GARCH类模型与单因子扩散模型的比较 [J], 吴恒煜;陈鹏;杨启敏4.半参数跳-扩散模型的近似极大似然估计——基于转移密度的闭式展开方法 [J], 王继霞;张亚萌5.基于核密度估计的三维非等距模型簇的对应关系计算方法 [J], 雷鸣;马荣;赵丽;赵晓寒因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二维扩散方程是描述在二维空间中物质或能量传播的数学模型。

在科学和工程领域中，二维扩散方程被广泛应用于描述热传导、物质扩散等现象。

Matlab作为一种强大的科学计算软件，在求解和可视化二维扩散方程方面具有很大的优势。

本文将介绍如何使用Matlab编写二维扩散方程的求解程序，并通过实例演示其应用。

一、二维扩散方程模型二维扩散方程可以用以下偏微分方程表示：∂u/∂t = D(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中，u(x, y, t)是描述扩散物质浓度或能量分布的函数，D是扩散系数，x和y分别是空间坐标，t是时间。

上式描述了u随时间和空间坐标的变化规律，求解这个偏微分方程即可得到扩散过程中u的分布情况。

二、二维扩散方程的差分格式为了在计算机上求解二维扩散方程，我们需要将其离散化。

常用的方法是采用有限差分法，即将空间和时间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上使用近似的差分格式来表示偏微分方程。

对于二维扩散方程，我们可以使用以下的差分格式：u(i, j, t+Δt) = u(i, j, t) + DΔt/Δx^2 * (u(i+1, j, t) - 2u(i, j, t) + u(i-1, j, t)) + DΔt/Δy^2 * (u(i, j+1, t) - 2u(i, j, t) + u(i, j-1, t))这个差分格式将时间t+Δt的u(i, j)用t时刻的值和邻近点的值表示出来，通过迭代求解，即可得到u随时间和空间的变化。

三、 Matlab程序设计在Matlab中，我们可以很方便地编写二维扩散方程的求解程序。

我们需要定义计算区域的空间网格和时间步长：```matlabLx = 1; 区域长度Ly = 1; 区域宽度Nx = 100; 空间网格数Ny = 100;dx = Lx/Nx; 空间步长dy = Ly/Ny;D = 0.1; 扩散系数dt = 0.01; 时间步长T = 1; 总的模拟时间```接下来，我们初始化u在空间上的分布，并使用差分格式进行迭代计算：```matlabu_init = zeros(Nx, Ny); 初始化uu_init(Nx/2, Ny/2) = 1; 在中心点加入扩散物质u = u_init;for t = 0 : dt : Tu_new = u;for i = 2 : Nx-1for j = 2 : Ny-1u_new(i, j) = u(i, j) + D * dt/dx^2 * (u(i+1, j) - 2*u(i, j) + u(i-1, j)) + D * dt/dy^2 * (u(i, j+1) - 2*u(i, j) + u(i, j-1));endendu = u_new;end```我们可以使用Matlab的绘图功能将扩散物质的分布进行可视化：```matlab[X, Y] = meshgrid(1:Nx, 1:Ny);surf(X, Y, u);xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');```四、实例演示接下来，我们通过一个具体的例子来演示上述程序的应用。

读书报告Matlab在求解扩散系统之浓度分布中的应用池雨一、问题的提出管中储放静止液体 B ，高度为L=10 ㎝，放置于充满A 气体的环境中。

假设与B 液体接触面之浓度为C A0=0.01mol/m 3，且此浓度不随时间改变而改变，即在操作时间内(h=10天)维持定值。

气体A 在液体B 中之扩散系数为D AB =2×10−9m 2/s 。

试决定A 与B 不发生反应；情况下，气体A 溶于液体B 中之流通量(flux)。

参考如图所示的装置。

二、知识背景Fick 第一定律：实验表明，在稳态扩散的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面面积的扩散物质的通量与浓度梯度成正比。

数学表达式为： Fick 第二定律：根据质量平衡关系即在微小体积中积存的物质（留入的物质量）J 1—（留出的物质量）J 2得出 因此Fick 第二定律的数学表达为：三、问题求解根据题意不同时间t 和距界面厚度不同处x 的浓度C=f(z,t); 因气体A 与液体 B 不发生反应，故其扩散现象的质量平衡方程根据FickdxdcDJ -=dx J J dt dc 21-=22xcD t c ∂∂=∂∂第二定律。

依题意，其初始及边界条件为： I.C. C A0(Z,0)=0, Z>0 B.C. C A (0,t)=C A0, t ≥0 ;在获得浓度分布后即可应用Fick 第一定律求得流通量即 四、matlab 程序设计偏微分方程（Partial Differential Equation ，简称PDE ）就是涉及到两个自变量以上的微分方程。

在化学工程领域，为了更好的进行过程设计、优化和控制，经常需要了解化工设备（如反应器）中的温度、浓度和速度在不同空间上的分布以及随时间的动态变化规律，因此涉及到许多偏微分方程的问题。

Matlab 函数pdepe（）可用于求解偏微分方程，模型为：用以解含上述初始值及边界值条件的偏微分方程MATLAB 命令 pdepe 的用法如下：若要获得特定位置及时间下的解，可配合以 pdeval 命令。

Matlab在化学危险性气体扩散模拟分析中的应用
邓金华;沈贤明;张保平;王建兵
【期刊名称】《中国安全生产科学技术》
【年(卷),期】2005(001)005
【摘要】针对化学危险性气体扩散模拟分析过程中存在计算和分析过程复杂的问题,利用Matlab软件的综合分析计算与绘图优势,提出了Matlab软件程序对化学危险性气体高斯扩散模型的安全分析计算方法,实现了化学危险性气体扩散的直观图形表示、浓度分布和伤害分区的准确划分,其最小分析步长准确度可以根据需要设置,在安全分析与评价中应用效果理想,有利于提高分析效率,减少工作强度.
【总页数】3页(P94-96)
【作者】邓金华;沈贤明;张保平;王建兵
【作者单位】广州安准职业安全事务有限公司,广州,510600;广州安准职业安全事务有限公司,广州,510600;广州安准职业安全事务有限公司,广州,510600;广州安准职业安全事务有限公司,广州,510600
【正文语种】中文
【中图分类】TQ02
【相关文献】
1.Matlab在危险气体扩散模拟分析中的应用 [J], 艾唐伟;徐小贤;王洪
2.可燃气体扩散模拟在海上油气生产设施危险区划分中的应用 [J], 祝皎琳;潘大新;杜溪婷;涂跃进
3.MATLAB在复杂化学反应模拟中的应用 [J], 黄允中;张元勤
4.DNV PHAST软件在气体扩散模拟分析中的应用 [J], 潘鹏
5.MATLAB在反向地球化学模拟中的应用 [J], 刘飞;牟文杰;孙旭曙;张国鹏
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基于MATLAB的放射性气体扩散模拟及应用摘要：随着核电在世界范围内广泛应用，越来越多的核电站建立起来，但是，运用核能的同时我们也要防范于未然。

因此，模拟核事故放射性气体扩散有着非常重要的意义。

本文运用概率动力学的相关知识，结合高斯扩散模型，建立放射性气体扩散模型，模拟了福岛核电站放射性气体扩散对我国东海岸的影响。

关键词：核事故放射性气体扩散；高斯扩散模型；matlab放射性气体扩散模型1.前言北京时间2011年3月11日，日本福岛县的福岛第一核电站发生了一起重大核事故，大量的放射性污染气体从事故的核电站泄露进入大气，对大气环境产生了非常严重的污染，短时间内事故等级从四级跃升到最高等级——七级核事故，引起了国际社会的广泛关注。

3月15日，专家组分析相关数据得出较低浓度的放射性气体正从核电站向福岛以东地区扩散，并可能在将来几天内到达北美地区，最终到达欧洲地区。

同时事故核电站10km范围内的所有居民被日本政府要求紧急撤离。

核电站周围的各个监测站检测到碘，氩，钚等多种放射性同位素从核电站泄出，23日，在核电站厂区内检测出中子辐射。

随着核电在世界范围内广泛应用，越来越多的核电站建立起来，但是，运用核能的同时我们也要防范于未然。

因此，模拟核事故放射性气体扩散有着非常重要的意义。

本文运用概率动力学的相关知识，结合高斯扩散模型，建立放射性气体扩散模型，模拟了福岛核电站放射性气体扩散对我国东海岸的影响。

首先，我们考虑到风向和风速对放射性气体浓度分布有一定影响，由于当时日本发生了大地震和大海啸，这使得当地的气象环境十分复杂。

本文我们结合高斯烟羽模型，并考虑烟气抬升，地面反射，干湿沉积，放射性气体的衰变等多种因素对模型进行反复修正，得到最终的模型。

之后，对于上风向和下风向L公里处的放射性气体浓度，只需在上述的基础上，令x=L或-L，同时，将风速k用（k+s）和（k-s）来代替，y=0，z=0。

建立完这个基础模型后，我们就可以以此为基础研究在风速一定的情况下，位处上下风L公里处，放射性气体浓度的估计模型，并用matlab软件运行模型，模拟出在下风向时的浓度分布图。

MATLAB在模拟煤层气扩散中的应用马胜;虞青松【摘要】根据质量守恒原理推导的煤层气在煤储层中扩散运移方程(菲克第二定律),由于求解方法复杂,计算工作量大,在实际的运用中受到限制.而通过数学软件Matlab中的偏微分方程求解器PDETOOL GUI (pedtool),可以形象直观的模拟煤层中的煤层气在储层中扩散与分布.现以宁武煤田太原组4号为例,模拟结果表明,煤层气浓度扩散与实际具有较好的吻合特征.【期刊名称】《山西焦煤科技》【年(卷),期】2012(036)001【总页数】3页(P44-45,53)【关键词】质量守恒;菲克定律;数值模拟;MATLAB【作者】马胜;虞青松【作者单位】中国矿业大学资源与地球科学学院,江苏徐州221008;中国矿业大学资源与地球科学学院,江苏徐州221008【正文语种】中文【中图分类】TD12根据分子运动理论，扩散过程是分子的自由运动使得物质由高浓度体系到低浓度体系的一种浓度平衡过程，气体浓度梯度是推动力［1］，Smith和Williams认为煤层气在煤粒孔隙扩散遵从菲克(Fick)第二定律既非稳态扩散［1］，非稳态扩散模式中，主要有两点：一是认为煤基质块内甲烷浓度从中心到边缘是变化的，且中心点的浓度变化率为零;二是基质边缘处浓度是煤储层压力控制的等温吸附浓度，随着煤层气不断开采，煤基质块的浓度随之变化。

非稳态扩散模型能客观地表示煤基质块中的煤层气浓度时间与空间变化，能反映煤层气的扩散过程，但缺点是计算复杂，工作量大。

而数学模拟软件Matlab中偏微分方程求解器PDETOOLGUI(pedtool)可以方便的模拟解算。

建立如图1所示的微元体，其参与扩散的是吸附状态煤层气C;分别为质量扩散通量矢量m在三个坐标轴方向分量;对孔q是单位时间质量交换;t为时间，根据质量守恒原理，各轴向上单位时间扩散流入微元体质量减去流出质量，再加上质量源生成量等于单位时间质量变化量［2］。

第二讲 扩散系数与浓度的关系—俣野方法一、问题引出前面在处理扩散问题时都是假定D 为常数，通过解析法求解扩散方程。

但实际上，扩散系数D 是与浓度C (从而也与空间坐标)相关的。

菲克第二定律式(7-11)：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x C D x t C (7-11) 式中的D 不能从括号中提出，因此不能用普通的解析法求解。

俣野(Matano)从实验得出的浓度分布曲线C (x )出发，解决了计算不同浓度下的扩散系数D (C )的方法，一般称这种方法为俣野法。

二、数学处理设式(7-11)的定解条件为：初始条件： t=0时， ⎪⎩⎪⎨⎧==<>2010C C C C x x (7-92) 边界条件： ±∞=x 时，0=±∞=x dx dC (7-93) 采用Boltzmann 变换，t x /=λ (7-94) 使偏微分方程式(7-11)变为常微分方程。

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=∂∂λλλλd dC t t d dC t C 2 (7-95) λλλd dC t x d dC x C 1=∂∂=∂∂ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂λλλλλd dC D td d x d dC t D d d x C D x 1 (7-96) 式(7-95)、(7-96)代入式(7-11)得⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλλd dc D d d t d dC t 12 (7-97) 对式（7-97）中的dC 从C 1到C 积分⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C C C d dC D d dC 1121λλ (7-98) 注意到浓度分布曲线上的任一点表示同一时刻C-x 的关系，因此t 为常数，可把与t 相关的因子提到积分号前边，则式(7-98)变为⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-CC C C dx dCD d t xdC t 11121即 CC C C C C dx dCD dx dC D dx dC D xdC t ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎰1121 （7-99） 注意边界条件式(7-93)为01==C C dx dC(7-100)所以 ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C xdC dC dx t C D 121 (7-101) 式(7-101)即扩散系数D 与浓度C 之间的关系式。