绝对值不等式

绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。

绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。

本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。

解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。

解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

绝对值基本不等式在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。

它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|几何意义：1、当a，b同号时它们坐落于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等同于它们至原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离) 相关公式：绝对值关键不等式推论过程：我们知道|x|={x，(x\ue0);x，(x=0);-x，(x\uc0);因此，存有：-|a|≤a≤|a| ......①-|b|≤b≤|b| ......②-|b|≤-b≤|b|......③由①+②得：-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即为|a+b|≤|a|+|b| ......④由①+③得：-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b||b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|由④知：|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =\ue |a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =\ue |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =\ue |a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =\ue |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可以得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0另“→”指可双向推出数学分析解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。

绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。

通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。

一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。

对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

例如，|5|=5，|-3|=3。

二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。

2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。

3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。

例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。

综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。

2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。

例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。

当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。

综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。

四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。

例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。

绝对值不等式[知识梳理]1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a －b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．[诊断自测]1．概念思辨(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.()(2)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( )(3)|ax ＋b |≤c (c ≥0)的解集，等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修A4－5P 19T 5)解不等式|2x ＋1|＋|x －2|>4.解 当x ≤－12时，原不等式可化为－2x －1＋2－x >4，所以x <－1，此时x <－1；当－12<x <2时，原不等式可化为2x ＋1＋2－x >4，所以x >1，此时1<x <2；当x ≥2时，原不等式可化为2x ＋1＋x －2>4，所以x >53，此时x ≥2.综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)(选修A4－5P 20T 9)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|.①解不等式f (x )≥3；②若f (x )≥a 对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解 ①当x ≤3时，原不等式可化为4－x ＋3－x ≥3，即x ≤2，所以x ≤2；当3<x <4时，原不等式可化为4－x ＋x －3≥3，即1≥3，无解； 当x ≥4时，原不等式可化为x －4＋x －3≥3，即x ≥5，所以x ≥5. 综上，原不等式的解集为{x |x ≤2或x ≥5}．②f (x )≥a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≤f (x )min .因为f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，即f (x )的最小值为1，所以a ≤1.即实数a 的取值范围是(－∞，1]．3．小题热身(1)(优质试题·山东高考)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)答案 A解析 ①当x <1时，原不等式等价于1－x －(5－x )<2，即－4<2，∴x <1.②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )<2，即x <4，∴1≤x <4.③当x >5时，原不等式等价于x －1－(x －5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x <4.故选A.(2)(2014·重庆高考)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52⇔－1≤a ≤12.题型1 绝对值不等式的解法典例 (优质试题·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．(1)去绝对值符号转化为分段函数；(2)根据(1)作出的图象，采用数形结合方法求解．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 方法技巧解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤1．零点分段法(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；(2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．2．利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.3．图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见典例．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．冲关针对训练(优质试题·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.题型2 绝对值不等式性质的应用典例 (优质试题·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．(1)将不等式化为|x －a |≤c 的形式求解；(2)利用绝对值不等式性质消去a .解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．[条件探究]将典例(1)中条件“a＝2时”变为“g(x)＝|2x－1|，若g(x)≤5时，恒有f(x)≤6”，试求a的最大值．解g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.方法技巧绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b ∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值，(2)证明不等式．见典例．冲关针对训练(2018·福建漳州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a 的取值范围．解因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)∪(－∞，－5]．1．(优质试题·河西区三模)若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是()A．[－2,1] B．[－2,2] C．[－2,3] D．[－2,4]答案 D解析由|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，不等式|x－a|＋|x－1|≤3有解，可得|a－1|≤3，即－3≤a－1≤3，求得－2≤a≤4.故选D.2．(优质试题·潍坊一模)若关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7>0的解集为R，则实数m的取值范围为()A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，4) D．(－∞，4]答案 A解析不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7>0，移项：|x＋1|＋|x－2|>7－m，根据绝对值不等式的几何意义，可知：|x＋1|＋|x－2|的最小值是3，解集为R，只需要3>7－m恒成立即可，解得m>4.故选A.3．(优质试题·北仑区校级期中)关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a2－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是()C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2答案 B 解析 关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集， 则a 2－3a <(|x －1|－|x －3|)max 即可，而|x －1|－|x －3|的最大值是2， ∴只需a 2－3a －2<0，解得：3－172<a <3＋172. 故选B.4．(优质试题·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．[基础送分 提速狂刷练]1．(优质试题·洛阳模拟)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a >0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32.若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，⎣⎭2．(优质试题·广东潮州二模)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎨⎧ x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x <－32时，f (x )＝－3x －2，∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52，∴a ＋1≤52，即a ≤32.∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 3．(优质试题·湖北黄冈调研)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，f (x )≤2⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x 到两点－12，12距离之和小于或等于1，则－12≤x ≤12，即原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)∵f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，|2x －a |＋2x －1≤2x ＋1恒成立， ∴2x －2≤a ≤2x ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立， ∴(2x －2)max ≤a ≤(2x ＋2)min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴0≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[0,3]．4．(2018·山西八校联考)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |.(1)若f (x )≥5对于x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，函数f (x )的最小值为t ，且正实数m ，n 满足m ＋n＝t ，求证：1m ＋1n ≥2.解 (1)|x ＋1|＋|x －a |表示数轴上的动点x 到两定点－1，a 的距离之和，故当a ≥4或a ≤－6时，|x ＋1|＋|x －a |≥5对于x ∈R 恒成立，即实数a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(2)证明：因为|x ＋1|＋|x －1|≥|x ＋1＋1－x |＝2，所以f (x )min ＝2，即t ＝2，故m ＋n ＝2，又m ，n 为正实数，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号．5．(优质试题·沈阳模拟)设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)显然a ≠0，当a >0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a ， 则－1a ＝－6，3a ＝2，无解；当a <0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32，由此可知h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意，知－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，72. 6．(2018·江西模拟)设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|(x ∈R )．(1)求证：f (x )≥2；(2)若不等式f (x )≥|2b ＋1|－|1－b ||b |对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围．解 (1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2.(2)g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |≤|2b ＋1－1＋b ||b |＝3， ∴f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋1|≥3，当x ≤－1时，－2x ≥3，∴x ≤－1.5；当－1<x ≤1时，2≥3不成立；当x >1时，2x ≥3，∴x ≥1.5.综上所述x 的取值范围为(－∞，－1.5]∪[1.5，＋∞)．。

含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。

绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。

解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。

首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。

要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。

首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。

然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。

因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。

接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。

对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。

同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。

然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。

因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。

在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。

总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。

带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。

以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。

2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。

3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。

4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。

以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。

因此，不等式的解集为-a<x<a。

2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。

因此，不等式的解集为x<-a或x>a。

3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。

当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。

因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。

需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。

1。

绝对值不等式成立条件绝对值不等式是初中数学中的重要内容，它在解决一些实际问题时具有很大的帮助。

在学习绝对值不等式时，我们需要了解其成立条件。

本文将从定义、性质、举例等方面全面详细地介绍绝对值不等式的成立条件。

一、定义绝对值不等式是指形如|a|<b或|a|>b的不等式，其中a和b均为实数。

当a与0之间的距离小于b时，称|a|<b成立；当a与0之间的距离大于b时，称|a|>b成立。

二、性质1. 若|a|=0，则必有a=0。

2. 若|a|=|-a|，则称其具有奇偶性，即当a为偶数时，有|a|=|-a|=a；当a为奇数时，有|a|=|-a|=-a。

3. 若k>0，则有k|x|=|kx|；若k<0，则有k|x|=|-kx|=k|-x|。

4. 绝对值函数y=|x-a|(或y=||x-a||)在点x=a处不可导，在点x=a处左右导数分别为-1和1。

三、成立条件1. |ax+b|<c当c>0时，① a≠0且c>|b/a|② a=0且|b|<c当c=0时，a=0且b=0当c<0时，该不等式无解。

2. |ax+b|>c当c>0时，① a≠0且|b/a|>c② a=0且|b|>c当c=0时，a≠0且b≠0当c<0时，该不等式无解。

四、举例说明1. |x-2|<3的解集为(-1,5)。

解：将不等式转化为x-2<3和-(x-2)<3，得到x<5和x>-1。

综合起来得到(-1,5)。

2. |2x+3|>5的解集为(-∞,-4/2)∪(1,-∞)。

解：将不等式转化为2x+3>5或-(2x+3)>5，得到x>-4/2或x<-1。

综合起来得到(-∞,-4/2)∪(1,-∞)。

总结：绝对值不等式是初中数学中的重要内容，它在解决一些实际问题时具有很大的帮助。

在学习绝对值不等式时，我们需要了解其成立条件。