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工程流体力学(清华版)

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清华工程流体力学课件第一章导论

清华工程流体力学课件第一章导论
20世纪中叶以后，流体力学的研究内容，有了明显的 转变，除了一些较难较复杂的问题，如紊流、流动稳定性
2024/7/30
11
与过渡、涡流动力学和非定常流等继续研究外，更主要的 是转向研究石油、化工、能源、环保等领域的流体力学问 题，并与相关的邻近学科相互渗透，形成许多新分支或交 叉学科，如计算流体力学、实验流体力学、可压缩气体力 学、磁流体力学、非牛顿流体力学、生物流体力学、多相目 录20247/30第一章 导 论
第二章 流体静力学
第三章 流体动力学基础
第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
第五章 不可压缩流体二维边界层概述
第六章 黏性流体的一维定常流动
第七章 气体一维高速流动
英汉词汇表
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1
第一章 导论
§1–1 流体力学的任务及发展状况
§1–2 流体的特征和连续介质假设
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12
用这种方法，获得了较好的效果，大大推动了实验技术的 发展。
13世纪以前，我国在流体力学原理的应用方面做出了 巨大贡献，曾领先于世界。新中国建立以后，随着工农业 的建设，在这方面的工作得到迅猛发展，建造了众多的各 级重点实验室，不仅解决了无数的生产实际问题，而且还 培养了一支具有较高水平的理论和实验队伍。完全可以相
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6
间，何梦瑶在《算迪》一书中提出了流量为过水断面上平 均流速乘以过水断面面积的计算方法。我国在防止水患、 兴修水利方面也有着悠久的历史。相传4000多年前的大禹 治水，就表明我国古代进行过大规模的防洪工作。在公元 前256年至前210年间修建的都江堰、郑国渠和灵渠三大 水利工程，两千多年来效益卓著。以上都说明了我国劳动 人民的聪明智慧，当时对流体流动规律的认识已达到相当 高的水平。14世纪以前，我国的科学技术在世界上是处于 领先地位的。但是，近几百年来由于闭关锁国使我国的科 学得不到应有的发展，以致在流体力学方面由古代的领先

《工程流体力学》习题1～7章参考答案

《工程流体力学》习题1～7章参考答案

解：本题利用流体静压强的计算公式 p = ρ gh 和等压面的性质（同种液体） 油 液 所 在 的 水 平 面 为 等 压 面 ， 等 压 面 上 的 相 对 压 强 ρ 1000 ρ油 gh = ρ水 g ( 3 − 2 ) ⇒ h = 水 = ≈ 1.22m ； 加 入 木 块 后 相 当 于 左 侧 容 器 加 入 了 体 积 为 ρ油 820
参考答案 4
图 3-10 习题 3-2 附图
解：根据已知条件，船底长度 12m，舱体宽度(垂直于纸面)上下均为 6m，水面上船的长度为 12＋2×2.4=16.8m，于是，船排开水的体积为 1 V = (16.8 + 12 ) × 2.4 × 6 = 207.36m3 2 根据阿基米德定律，船上货物的总质量等于船排开的水的质量 m = ρ 海水V = 1000 × 207.36 = 207360kg 习题 3-4 一个充满水的密闭容器以等角速度 ω 绕一水平轴旋转，同时需要考虑重力的影响。 试证明其等压面是圆柱面，且等压面的中心轴线比容器的转动轴线高 g ω 2 。 解：根据图示的坐标（z 轴水平）可知，单位质量流体的质量力分量为 g x = 0, g y = − g , g z = 0 流体绕 z 轴以匀角速度 ω 旋转时，半径 r 处流体团的加速度 a 位于 x-y 的平面内，大小为 rω ， 方向指向转动中心。 于是按达朗贝尔原理， 单位质量流体受到的惯性力(离心力)则为 −a ， 2 大小为 rω ，方向沿径向朝外，其 x, y, z 方向的分量为 − ax = rω 2 cos θ = xω 2
高
等
学
校
教
材
过程装备与控制工程专业核心课程教材
工程流体力学
习题参考答案
主讲：陈庆光

工程流体力学1

工程流体力学1

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工程流体力学1
四、流体力学的研究方法及其应用
流体力学研究流体这样一个连续介质的宏 观运动规律以及它与其它运动形态之间的相互 作用，其研究方法有理论研究、数值计算和实 验三种，三种方法取长补短，相互促进，彼此 影响，从而促使流体力学得到飞速的发展。
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工程流体力学1
1.理论研究
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工程流体力学1
4.应用
流体力学在生产部门中有着非常广泛的应 用，可以这样说，目前已很难找出一个技术部 门，它与流体力学没有或多或少的联系。
航空工程和造船工业中，飞机和船的外形设 计；在水利工程中，大型水利枢纽，水库，水 电站，洪峰预报，河流泥沙；动力机械中蒸气 透平，喷气发动机，压缩机，水泵；在石油工 业中，油气集输，油、气、液的分离，钻井泥 浆循环，注水，压裂，渗流；金属冶炼和化学 工业等。
例如：在标准状态下， 1μm3任何气体含 有个分子2.69×107。 液体分子间距比气体小， 1μm3液体体积中有3.35×1010液体分子个。
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工程流体力学1
在大多数工程应用中，人们关心的是大量 分子的总体统计效应，而不是单个分子的行为， 流体力学的一切宏观参数（密度、温度、压强） 都是大量分子行为的统计平均值。当从宏观角 度研究流体的机械运动时，就认为流体物质是 连续。
在流体力学中，把流体质点作为最小的研 究对象，每个质点都含有大量的分子，故分子 随机出入该微小体积不会影响宏观特性，能保 持宏观力学特性。因此，有理由认为流体是连 续介质。
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工程流体力学1
连续性介质模型特点：
1).客观上存在宏观上足够小而微观上足够大的 小体积，这个小体积在几何上为一个点，此点称 为流体质点；

清华工程流体力学课件第四章不可压缩流体的有旋2

清华工程流体力学课件第四章不可压缩流体的有旋2
工程流体力学
为了把流体微团的速度进行分解，并以数学
形式表达出来，现将上式进行改造。在第一
式右边 、 ，在第二式右边 、 ， 1 v dy
1 w dz
1 u dx
1 w dz
2 x
2 x
2 y
2 y
在第三式右边 1 u dx 、 1 v dy ，重新整理后可得
2 z
2 z
到
u c u u x d x 1 2 u y x v d y 1 2 u z w x d z 1 2 u z w x d z 1 2 x v u y d y
第四章 不可压缩流体的有旋流 动和二维无旋流动
第一节 流体微团运动分析 第二节 有旋流动和无旋流动 第三节 无旋流动的速度势函数 第四节 二维平面流动的流函数 第五节 基本的平面有势流动 第六节 平面势流的叠加流动
2020/7/27
工程流体力学
2020/7/27
欢 迎 进 入 第 四 章 的 学 习
维平面势流理论。
2020/7/27
工程流体力学
第一节 流体微团运动分析
刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。
v c v y v d 1 2 y x v u y d x 1 2 v z w y d z 1 2 x v u y d x 1 2 w y v z d z
w c w w z d z 1 2 w x u z d x 1 2 w y v z d y 1 2 w y v z d z 1 2 u z w x d x

清华工程流体力学基础

清华工程流体力学基础

流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） §2-2 流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） 平衡规律：在静止条件下， 平衡规律：在静止条件下，流体受到的静压力与 质量力相平衡。 质量力相平衡。 平衡微分方程的推导： 平衡微分方程的推导： 从平衡流体中取出一微 小正平行六面体微团。 小正平行六面体微团。 体积: 体积 dV = dxdydz
<1>表面力 表面力 1 ∆Fx = p x dydz 2 1 ∆Fy = p y dxdz 2 1 ∆Fz = p z dxdy 2 ∆Fn = pn ⋅ ∆ABC
各个面上的静压力
∆ABC — 斜面面积
<2>质量力 质量力 若
1 ∆V = ⋅ dxdydz 6
∆m =
ρ
6
⋅ dxdydz
则： ∆Fmx =
ρ
6
⋅ dxdydz ⋅ f x ⋅ dxdydz ⋅ f y
质量力在三个坐 标方向上的投影
∆Fmy =
ρ
6
∆Fmz =
ρ
6
⋅ dxdydz ⋅ f z
<3> x 方向上的力平衡方程式（ΣFx= 0） 方向上的力平衡方程式（ ） px1/2dydz − pn · ∆ABC·cos(n, x) + ρ1/6dxdydz fx =0 因∆ABC·cos(n, x) = 1/2dydz (∆ABC在yoz平面上 在 平面上 的投影) 的投影 则： 1/2dydz ( px – pn ) + ρ/6·dxdydz fx = 0 略去三阶微量 dxdydz. 可得： 可得： px = pn
第二章
流体静力学
绝对平衡 —— 流体整体 对于地球无相对运动。 对于地球无相对运动。

工程流体力学(清华版)

工程流体力学(清华版)

3.1 流体运动的描述方法第3章 流体运动学本章： 描述流体运动的方法，流动的分类 ； 流体微团运动分析； 连续性方程。

3.1.1 拉格朗日法（质点法）：研究流体质点的运动规律，综合得到流体的整体运动规律物理学里质点群的运动： r r rk = rk (t ) ，即 xk = xk(t)，yk = yk(t)，zk = zk(t) （k = 1，……，n）质点速度 即ukxr dr r uk = k ， dt dx k dyk dz k = ，uky = ，ukz = dt dt dt2课件制作： 赵 昕 武汉大学水利水电学院1质点加速度r r d u k d 2rk r = ak = dt 2 dtd 2z k d 2xk d 2y k a = a = 2 ， ky 2 ， kz dt dt dt 2uy =dz z (a , b , c , t ) dy ∂y (a , b , c , t ) ， = uz = = dt ∂t ∂t dt（a, b, c不随时间变）即a kx =流体质点：无穷多个，以初始时刻的位置（a, b, c）为标记 质点轨迹 x = x (a, b, c, t) y = y (a, b, c, t) z = z (a, b, c, t) ◆ (a, b, c, t)称为拉格朗日变数质点加速度ax = ay = az =d 2 x ∂ 2 x (a , b , c , t ) = dt 2 ∂t 2 d 2y ∂ 2y (a , b , c , t ) = dt 2 ∂t 2 d 2 z ∂ 2 z (a , b , c , t ) = dt 2 ∂t 2dx ∂x (a , b , c , t ) = 质点速度 u x = dt ∂t3，43.1.2 欧拉法（流场法）：研究流动空间中各固定点上任一时刻的质点流动参数，得到流 动参数的场 ux = ux(x, y, z, t) p = p(x, y, z, t)， uy = uy(x, y, z, t) ρ = ρ(x, y, z, t)， uz = uz(x, y, z, t) …… ◆ (x, y, z, t)称为欧拉变数 ◆ 流场： 指 流动参数的上述分布规律◆ 流体力学多用欧拉法。

工程流体力学(清华版)第1章 绪论

工程流体力学(清华版)第1章 绪论

dV / V dρ / ρ =− dT dT
单位：1/K
9
10
例：表1-4、1-5： 水： K≈2.1×109 Pa，αp ≈0.5×10-9 1/Pa， αV = 1.5×10-4 1/K （常温） 。 p增加108 Pa (约1000大气压)，体积减少仅5％； 水温变化10度，体积变化1.5‰ 。 其他液体情况类似。
解：M = 2πRL•τR
δ小，流速分布近似为线性
δ τ R ω δ
y ωR
du μωR τ=μ = dy δ
也作用在轴表面
M = 2πRL
μωR 2πμωR 3L πμωD 3L R= = δ δ 4δ
N = Mω =
2πμω2R 3L πμω2D 3L = δ 4δ
23
24
1.3.4 液体表面张力 一、表面张力
课件制作： 赵
昕
流体力学的应用领域：土木与水利工程，动力工程，航空航天， 环境工程，化工，海洋、船舶，生物，气象，等
2
武汉大学水利水电学院
1
1．2 流体的基本特征和连续介质假设
第1章
1. 1 、1. 5 自学 本章介绍： 流体的主要特征
绪
论
1.易流动性：流体受微小的剪切力作用即会发生持续变形 ——流动 ◆固体：一定的剪切力产生一定的剪切变 形，流体则不然。 ◆静止的流体一定没有受剪切力作用 。 2.液体的特点：没有一定形状（取容器的形状），有一定 体积，可以形成自由表面。（有分子力作用） 气体的特点：没有一定的体积和形状，可以充满任何可能的 空间。（没有分子力作用） 3．流体几乎不能承受拉力。
★ 流体重度
γ＝ρg=单位体积流体的重量
一 个 标 准 大 气 压 ， 4℃ 时 ， ρ 水 ＝ 1000 kg/m 3 ， (计 算 时 可 作 为 标 准 值 ) γ 水 ≈ 9800 N /m 3

计算流体力学清华大学完整版

计算流体力学清华大学完整版
第四，程序设计和调试。
在网格划分策略和数值方法的基础上，编制、调试数值求解流体运动方程 的计算机程序或软件。
第五，程序验证和确认。
验证(Verification)：The process of determining that a model implementation accurately
represents the developer’s conceptual description of the model and the solution to the
U ,C是m维列向量，B {bij}, A {aij}均为m m方阵。
对一阶导数项而言，是线性方程组；
如果B, A是U的函数，则整个方程组是非线性的，称之为 “拟线性方程组”。
考虑一维守恒型Euler方程（一阶）
U F 0 t x
U , F分别为
U
u
m ；
E
F
u u2 (E
The Elements of Computational Fluid Dynamics
计算流体力学引论
预修课程：流体力学、 偏微分方程数值解法、 计算机语言和编程基础。
教 材：任玉新, 陈海昕.《计算流体力学基础》， 清华大学出版社, 北京, 2006。
参考书目：
1. J.D. Anderson, Jr. Computational Fluid Dynamics-The Basis with Applications, McGraw-Hill, New York, 1995.
物理模型：
(1) 空间维数：1D、2D、3D (2) 时间特性：定常、非定常 (3) 流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流 (4) 流体物性：常物性、变物性

清华工程流体力学课件流体动力学基础

清华工程流体力学课件流体动力学基础
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法 §1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程 §1–4 理想流体的运动微分方程 §1–5 理想流体微元流束的伯努力方程 §1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用 §1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程 §1–8 液体的空化和空蚀现象
(3-8)
（3-9）
由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度 由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点
2019/1/13 9
的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式 u v w （3-8）中等式右端的第一项 、 、 ；第二部分是 t t t 某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加
v 2 y ay 2 a y (a, b, c, t ) t t w 2 z az 2 az (a, b, c, t ) t t
(3-3)
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5
同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的 函数，即ρ= ρ （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a， b，c，)。
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8
用矢量 a 表示加速度，即 a a x i a y j a z k 。根
据矢量分析的点积公式 V a (V )V t j k 是矢量微分算子。 式中 i
x y z
u u u u u v w t x y z v v v v ay u v w t x y z w w w w az u v w t x y z ax
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的 位置可表示为：

工程流体力学(清华版)

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5.2.1 曲线涡的诱导流速、毕奥－萨伐尔公式
r 曲线涡上任一点O处微元 dl 在点M处产生诱导速度为 r r r Γ dl × r du = ——毕奥－萨伐尔公式 4π r 3 r r 其方向垂直于 dl 、 r 所在平面。
Γ=I为曲线涡的涡管强度
r e du
r r Γ sin αdl ⋅ e du u= 2 ∫ 4π L r r 为 du 方向的单位长度矢量
v r
r du
如果曲线涡和点M在同一平面上，则
v Γdl
r Γ sin αdl du = 4π r 2
整个曲线涡在M点的诱导速度
r Γ sin αdl u = 4π ∫L r 2
⊥该平面
r du
z曲线涡对涡线自身的点也产生诱导速度，使曲线涡改变形状
r r r Γ dl × r u= 4π ∫L r 3
1 sin 2 θ = r2 R2
R l = R tgθ → dl = − 2 dθ sin θ
如：半径为r0的无限长圆柱体，以角速度ω转动，相当于一个涡管 则
I = Γ = u 0 2πr0 = 2πωr02
sin θdl − sin θdθ = R r2
则
r Γ B sin θdθ u =− 4π ∫A R
3．多连通区域中的斯托克斯定理 设区域中有一孔洞，周线 C 环绕 孔洞——所包围的 A 为多连通区 域。
Ωx = 0
Ωy = 0
∂u Ωz = − x = 2c ∂x ∂y
2
∂uy
为常数
以线段BE将区域A切割开， 作新周线C ′ ＝C＋ L＋BE＋EB， 所包围的区域A为单连通区域。
I = ∫ Ωn dA = ∫ Ω z dA = 2cπa = Γ

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解 代 边界条件离散 数 方 程 组
12
举例：自然循环回路内的流动与传热特性
A
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物理模型：
(1) 空间维数：1D、2D、3D (2) 时间特性：定常、非定常 (3) 流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流 (4) 流体物性：常物性、变物性
Geometric parameter:
Height H Width W Length of heat sink (source) L Tube diameter d Rayleigh number Ra Heat source temperature Th Heat sink temperature Tc Operation pressure P
计算流体力学引论
The Elements of
Computational Fluid
A
1
计算流体力学引论
预修课程：流体力学、 偏微分方程数值解法、 计算机语言和编程基础。
教 材：任玉新, 陈海昕.《计算流体力学基础》， 清华大学出版社, 北京, 2006。
参考书目：
1. J.D. Anderson, Jr. Computational Fluid Dynamics-The Basis
在牛顿流体范围内，用Navier-Stokes方程描述。 根据问题的特点，可以考虑定常或非定常，可压或不可压的流动模型。
简化的数学模型：势流方程，Euler方程，边界层方程， 薄层近似的Navier-Stokes方程等。
边界条件通常依赖于控制方程。
固体壁面条件，来流、出流条件，周期性条件，对称条件等
附加的物理模型：湍A 流模型，化学反应等。
9
第三，确定网格划分策略和数值方法。

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数值(shù zí)解的验证与确认：
第十八页，共351页。
流场显示(xiǎnshì)及结果分析：
第十九页，共351页。
计算流体力学(liú tǐ lì xué)的特点及意义
实验研究
优点：借助各种先进仪器，给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果，这些结果 对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。
缺点：费用高昂，周期很长，有些流动条件难以通过实验手段来模拟。
理论(lǐlù n)研究
优点：可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解，这些解析解对于分析流动的机 理和预测流动随参数的变化非常有用。 缺点：只能研究简单流动问题，能够得到解析解的流动问题为数不多，远远不能满足工程设计的需要。
第六，数值解的显示和评估 计算感兴趣的力、力矩等； 应用流场可视化软件对流(duìliú )场进行显示、分析； 对数值方法和物理模型的误差进行评估等。
第十一页，共351页。
计算流体力学典型(diǎnxíng)流程
物
数
理
学
(w
模
ùl
型
ǐ)
模
型
结
流
果
场
分
显
析
示
离
网
散
格
方
生
法
成
选
择 时、空离散
解
验
代 边界条件离散
第七页，共351页。
计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方 程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动 规律的学科。
在CFD中， 首先，把控制方程中的积分、微分项近似(jìn sì)地表示 为离散的代数形式，把积分、微分形式的控制方程转化 为一组代数方程，这个过程称为控制方程的离散化 (discretization)；所采用的离散化方法称为数值方法或 数值格式。

清华工程流体力学课件不可压缩流体二维边界层

清华工程流体力学课件不可压缩流体二维边界层

b —平板的宽度， m；
l —平板的长度， m；
—来流的密度，
kg/m3。
2018/11/4
工程流体力学
第三节
曲面边界层分离现象 卡门涡街
如前所述，当不可压缩黏性流体纵向流过平板时，在边界层 外边界上沿平板方向的速度是相同的，而且整个流场和边界层内 的压强都保持不变。当黏性流体流经曲面物体时，边界层外边界 上沿曲面方向的速度是改变的，所以曲面边界层内的压强也将同 样发生变化，对边界层内的流动将产生影响。曲面边界层的计算 是很复杂的，这里不准备讨论它。这一节将着重说明曲面边界层 的分离现象。
作用在控制面AD上的表面力为
FAD w dx
Fxdx d( p ) p dx dx
作用在控制面AB、CD上的表面力分别为
Fx p
作用在边界层外边界控制面BC上的表面力，因摩擦应力为零， 而压强可取B、C两点压强的平均值，于是有
2018/11/4
FBC
2018/11/4 工程流体力学
边界层外边界
II尾部流区域 I边界层 边界层外边界
图5-1 翼型上的边界层
2018/11/4 工程流体力学
在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力 有相同的数量级，属于黏性流体的有旋流动区；在边界层和尾 涡区外，流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界层外 部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体，黏性力 也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势 流区，可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来 研究流场的速度分布。普朗特边界层理论开辟了用理想流体理 论和黏性流体理论联合研究的一条新途径。实际上边界层内、 外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与流速达到 来流速度的99％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度 沿着流体流动方向逐渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到 摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速度逐渐减小，因此，只 有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到来流 速度。
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6
各向异性的应力
⎡1
P = − pδ + 偏应力张量 D = − p⎢⎢0
0 1
0⎤ 0⎥⎥
+
⎢⎢⎡ddyxxx
dxy dyy
dxz dyz
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣dzx dzy dzz ⎥⎦
性质4：不可压缩的牛顿流体
D = 2με = 2μ⎢⎢⎡εεyxxx
ε xy εyy
ε xz εyz
★壁面附近，当ux = ux(y)，uy =uz = 0， y
τ
=
pyx
=
2μεyx
=
⎡ 2μ⎢
⎣
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂x
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
μ⎜⎜⎝⎛ 0
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
μ
dux dy
ux x
9
ρdxdydz
dux dt
= ρdxdydz • X
+ ⎢⎣⎡⎜⎝⎛ pxx
+
∂pxx ∂x
（3）自由面（气液界面） p ≈气体压强p0
21
ux方程：X
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν∇ 2ux
=
X
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
d 2ux dz 2
=
∂ux ∂t
+ ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
+ uz
∂ux ∂z
= 0 + ux
•0+ 0+ 0 = 0
uz方程：
Z
−
1 ρ
∂p ∂z
+ ν∇ 2uz
=
=0
边界条件 z = 0，ux = 0；z = h，ux = U
确定系数：C2 = 0，C1 = U/h 得
ux
=
U h
z
z
U
h
ux
x
uy = uz = 0
24
如果考虑x方向的压强差，
∂p ∂x
=
−
Δp L
≠0
→
d 2ux dz 2
=
−
Δp μL
ux
=
−
Δp μL
z2 2
+ C1z
+C2,
p
=
−ρgz
fr
−
1 ρ
∇p
+
ν∇ 2ur
=
∂ur ∂t
+
(ur
•
∇ )ur
15
4.2.3 理想流体的运动微分方程
忽略粘性项，P = – pδ，运动方程为
X
−
1 ρ
∂p ∂x
=
du x dt
=
∂ux ∂t
+ ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
+ uz
∂ux ∂z
Y
−
1 ρ
∂p ∂y
=
duy dt
=
∂uy ∂t
第4章 流体动力学基础
流体应力张量和本构关系式； 流体运动微分方程及其求解和积分； 恒定总流的三大基本方程及其应用。
课件制作：武汉大学水利水电学院 赵昕
1
应力张量
P
=
⎡ ⎢ ⎢
p xx pyx
p xy pyy
p xz pyz
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡ p11
⎢ ⎢
p
21
p12 p 22
p13 ⎤
p
23
⎥ ⎥
⎢⎣ pzx pzy pzz ⎥⎦ ⎢⎣ p31 p32 p33 ⎥⎦
∂ux ∂y
+ uz
∂ux ∂z
Y
−
1 ∂p ρ ∂y
+
ν∇ 2uy
=
∂uy ∂t
+ ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
Z
−
1 ∂p ρ ∂z
+ ν∇2uz
=
∂uz ∂t
+ ux
∂uz ∂x
+ uy
∂uz ∂y
+ uz
∂uz ∂z
质量力 压差力 粘性力 时变惯性力 位变惯性力
矢量形式
+
∂pzz ∂z
⎟⎟⎠⎞
=
duz dt
=
∂uz ∂t
+L
或
fr
+
1 ρ
∇•P
=
dur dt
=
∂ur ∂t
+ (ur
• ∇)ur
——应力形式的流体运动微分方程组
◆ 方程成立的条件：连续介质。 （任何流体，任何流动）
◆ 须补充应力张量的表达式——本构关系式。
12
4.2.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程
2
性质1：应力张量是对称的，即 pij = pji （切应力互等）， 有6个独立分量。
pyx
对过C点且//z轴之转轴取矩
( ) Jω& z
=ρ 12
dx 2
+ dy 2
dxdydz
• ω& z
pxy
∑ = M = pxydydz • dx − pyxdxdz • dy
pxy C dy
dx pyx
( ) pxy − pyx = ρω& z dx 2 + dy 2 12 ⇒ 0
本构关系式——广义牛顿内摩擦定律
pxx
=
−p
+ 2μεxx
=
−p
+ 2μ
∂ux ∂x
,
pyy
=
− p + 2μεyy
=
−
p
+
2μ
∂uy ∂y
p zz
= − p + 2μεzz
=
−
p
+
2μ
∂u z ∂z
pxy
=
pyx
=
2μεxy
=
μ⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂x
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞,
pyz
=
p zy
=
2μεyz
⎫ ⎪ ⎬
=
nv
•
P
⎪⎩ pnz ⎪⎭ ⎢⎣ pxz pyz pzz ⎥⎦⎪⎩n z ⎪⎭
5
4. 1 运动流体的应力状态
pzz
第一个下标为作用面法向， 第二个下标为应力的方向。
pzy pxx pzx
pyx
pxy
pyz
pyy z
pyz
pxz
pxz
pxy
pyx
pyy
y
pzx
pxxpzyxFra bibliotekpzz
正面与负面应力方向相反（作用力与反作用力）。
=
μ⎜⎜⎝⎛
∂u z ∂y
+
∂uy ∂z
⎟⎟⎠⎞
p zx
=
p xz
= 2μεzx
=
μ⎜⎛ ⎝
∂u x ∂z
+
∂u z ∂x
⎟⎞ ⎠
代入运动微分方程中得
13
得 不可压缩粘性流体的运动方程组 （Navier-Stokes方程组）
X
−
1 ρ
∂p ∂x
+ ν∇ 2ux
=
∂ux ∂t
+ ux
∂ux ∂x
+ uy
∴ pxy = pyx
4
性质3：pxx + pyy + pzz 是应力张量的不变量，其大小与 坐标系的选择无关。
◆ 流体动压强的定义：
( ) p = − 1 3
p xx
+ pyy
+ pzz
= p(x,y, z,t )
p与作用面的方位无关（各向同性），是一个标量场函数。 ⎡1 0 0⎤
★如果应力张量为各向同性，则 P = − p⎢⎢0 1 0⎥⎥ = − pδ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
的数值解，用到各种数值方法。
19
2．边界条件：解在流动区域的边界上需要满足的条件
（1）静止固壁 理想流体：un = 0
un
uτ
粘性流体：无滑移条件（粘附条件） ur = 0 即un = 0，uτ = 0
（2）运动固壁
理想流体：un = un固 粘性流体： ur = ur固 即 un = un固，uτ = uτ固
+
ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
Z
−
1 ρ
∂p ∂z
=
duz dt
=
∂uz ∂t
+ ux
∂uz ∂x
+ uy
∂uz ∂y
+ uz
∂uz ∂z
—— 理想流体运动微分方程组（欧拉运动方程）
17
dux dt
=X
+
1 ρ
⎜⎜⎝⎛
∂pxx ∂x
+
∂pyx ∂y
+
∂pzx ∂z
⎟⎟⎠⎞
=
X
+
1 ρ
⎡ ⎢− ⎢⎣
∂p ∂x
+
2μ
∂ 2u x ∂x 2
+
μ⎜⎜⎝⎛
∂ 2uy ∂y∂x
+
∂ 2u x ∂y 2