不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()
f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A
例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),
22x a
x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;
例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪
⎭⎫
⎝
⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒
成立，求实数m 的取值范围.
例4、已知函数
)0(ln )(4
4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；
（3）若对任意0>x ，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法
例5、若不等式a 10x -<对[]
1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围
例6、若对于任意
1
a ≤，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围
例7、已知函数
32
3()(1)132a f x x x a x =
-+++，其中a 为实数．若不等式
2
()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．
3、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为()()
g f x λ≥（或
()()
g f x λ≤）恒成立的形式；
（2） 求
()
f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式
()max
()g f x λ≥(或
()()min
g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式2
40x
mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
例9、已知函数321
()3
3f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,
且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
4、数形结合
例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________
例11、当x ∈(1,2)时，不等式2
(1)x -二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A
>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
例12、已知不等式
a
x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______
例13、若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．
例14、已知函数()21
ln 22f x x ax x
=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围
三、不等式恰好成立问题的处理方法
例15、不等式2
ax bx 10++>的解集为
1|13x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例16、已知(),
22x a
x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.
例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。
（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（3）对任意x1、x2∈[-3，3]，都有f （x1)≤g(x2)，求k 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式
2
(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 2、已知不等式22
6
22kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围
3、设函数329
()62f x x x x a
=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。
4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式2
12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
5、已知不等式[]
22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。求实数a 的取值范围。
6、对任意的
[]
2,2a ∈-，函数
2
()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值范围 7、 若不等式2
log 0m x x -<在10,2⎛⎫
⎪
⎝⎭内恒成立，则实数m 的取值范围 。
8、不等式
)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。
9、不等式2
20kx k +-<有解，求k 的取值范围。 10、对于不等式
21x x a
-++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[05]x ∈，
，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，． 11、①对一切实数x,不等式32x x a
--+>恒成立，求实数a 的范围。
②若不等式32x x a
--+>有解，求实数a 的范围。
③若方程
32x x a
--+=有解，求实数a 的范围。
12、 ①若x,y 满足方程
22
(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，求实数c 的范围。 ②若x,y 满足方程
22(1)1x y +-=，0x y c ++=，求实数c 的范围。 13、设函数432
()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在
[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．
14、设函数321
()(1)4243f x x a x ax a
=-+++，其中常数1a >，若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范
围。
