2016博弈与社会第一次作业

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不是他选们择同产时说量选，而择这个自是事己选例提择是供人奶们的茶通奶的过茶合价作数格成量。功Q打这1破和下“囚Q可徒2困，乐境以坏”的求了尝得顾试最。客大另，有的他一利些们润网总。友是请惊呼光问，顾这这次价些同竞格学争更对博于低弈的的那纳家什店。 当然均，衡如是果什彼两么此家？而言价这真格个是均一最靠衡样谱是，的否顾队可友客。以就由会重任复选剔一除家被店占购优买战。略请的问过，程在达这到？个价格战 的博弈中，纳什
均衡又是什么？给出均衡时两家的产量，市场的价格，以及利润状况。这个均衡是否可以由
URV 请问，为什么 S2i2` 6`ƺ?HB+? 教授的给分策略会让学生陷入“囚徒困境”？ UkV 你认为，在这个事件中，学生为什么可以打成合作，成功突破“囚徒困境”？ UjV 如果 S2i2` 6`ƺ?HB+? 教授坚持想要用以上策略给分，那么你能否给教授支个招，让学生 自愿参加考试，重回“囚徒困境”？
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博弈与社会第一次作业
请于 kyRe 年 9 月 Rk 日提交本次作业！
R、 U战争与和平V 假设两个博弈参与人生活在“丛林法则”之下，每一个参与人都可以选择“战争” 与“和平”，并且其支付矩阵如下所示：
参与人 k 和平 战争 参与人 和平 j，j R，9 R 战争 9，R k，k URV 请问，这个博弈类似于教材中提到的哪类博弈？ UkV 这个博弈有几个纳什均衡？它是帕累托最优的吗？ UjV 出于对“战争”状况下人民福祉的忧虑，霍布斯建议采用“利维坦”来终结战争状态，即“把 大家所有的权利和力量托付给某一个人或一个能通过多数人的意见把大家的意志化为一个意 志的多人组成的集体。”由于“利维坦”拥有惩罚“战争”的力量，因此可以协调人们走出战争，迎 来和平。我们假设，如果在上述博弈中，参与人们通过契约建立了“利维坦”。如果某人发动战 争，“利维坦”会对其施加惩罚，且惩罚力度为 P UP > 0V。因此，博弈变成了如下形式：
况，假设每个参与人需要为建立“利维坦”支付成本 T UT > 0V，因此博弈变成了如下形式：
参与人 k
和平
战争
参与人 和平 3 − T ，3 − T 1 − T ，4 − P
R 战争 4 − P ，1 − T 2 − T ，2 − T
R
在参数 T 满足什么条件时，人们会选择建立“利维坦”；而在什么条件下，人们宁愿选择生活在 “自然状态”？
均衡（又2）是（什Be么rtr？and给竞出争均，衡或时价两格家竞的争产）奶量茶，市MM场j的和奶价茶格，GG以都及同利时润喜状欢况上。了这价个格均战衡的是方否式可，以即由 重复不剔是除选被择占产优量战而是略选的择过奶程茶达的到价？格。这下可乐坏了顾客，他们总是光顾价格更低的那家店。 （3当）（然H，o如tel果lin两g 家竞价争格，一或样区，位顾竞客争就）会奶任茶选一M家M店和购奶买茶。请GG问，在在长这街个之价上格分战别的摆博出弈了中自交通拥堵，决定在 CD 之间修建一条通路。经过这条通路，司机可 以从 C 点直达 D（为简化其间，假设由 C 到 D 的时间为 0）。请问，在此条通路建成后，纳
什均衡将发生怎样的改变？通路能如政府所预料的那样，缓解交通拥堵吗？
4、奶茶之战 I
图 k, "`2bb 悖论
茶，4、因奶此茶Q之衡将战就发等I生怎于样两的人改变分？别通供路能应如的政府奶所茶预数料的量那之样和，缓。解两交通人拥生堵产吗？一杯奶茶的成本都是 c（这里 c<a），他奶们茶的M决M策和目奶标茶都G是G 正利在润为最争大夺化市。场而展开激战。奶茶市场的需求曲线是 P=a-bQ，其 （1中）（PC是ou市r8n、o场tU囚中竞徒奶争困茶，境的或？价V产曾格量经，，竞Q国争内是）外整奶有个些茶市网场M站M中都 在奶和显茶奶著的茶位供置G给报G量道想了。通以由过下于新奶市闻茶场：的中约 翰供只·应有霍这量普两来金家进生行产P奶K。
本题将通过一个博弈模型来对这个案例进行分析。假设朱诺比在街道上遭遇劫匪并大声呼 救，周围至少有 n 个目击者听到了呼救。当听到呼救后，目击者可以选择报警或漠视。如果选 择报警，他需要支付的成本为 c。只要有一个人报警，朱诺比就会得救，所有目击者会因此而 获得效用 v。而如果没有人报警，则所有目击者都只能获得效用 0。
奶茶 MM 和奶茶 GG 正在为争夺市场而展开激战。奶茶市场的需求曲线是 P=a-bQ，其 中 P 是市场中Uk奶V 现茶在的政府价为格了缓，解Q交是通拥整堵个，决市定场在中*.奶之茶间的修建供一给条量通路。。由经过于这市条场通路中，只司有机可这以两家生产奶
从 * 点直达 . U为简化其间- 假设由 * 到 . 的时间为 yV。请问，在此条通路建成后，纳什均
URV 当我们考虑所有目击者的同时决策博弈时，这个博弈有纯战略纳什均衡吗？ UkV 这个博弈有混合战略纳什均衡吗？如果有，请解出来。 UjV 请计算至少有一个人报警的概率。这个结果对你有什么启示？
9、 U"`2bb 悖 论V 在 交 通 规 划 中， 增 加 道 路 建 设 往 往 被 视 为 缓 解 交 通 拥 堵 的 有 效 方 法。 但在 RNe3 年的一篇论文中，数学家 .B2i`B+? "`2bb 却提出了一个令人惊讶的观点，即：在个 人独立选择路径的情况下，为某路网增加额外的通行能力，有时非但不能缓解拥堵，反而会导 致路网整体运行效率的降低。
他们茶同，时因选此斯择大Q自学就的己等计提算于供机两教的人授奶分S茶2别i2`数供6`量应ƺ?H的BQ+?1奶一和茶直Q奉数2行，量“以以之考求和试得。成绩两最最人大高生分的为产利一R润yy杯、。按奶请分茶问布的曲这成线次依本次竞都给争是出博c弈（的这纳里什
均衡c<是a）什，么他最？们终这的成绩决个”的策均政目衡策标是，都岂否料是可去利年以润秋由学最重期大，复化他剔。三除门课被程占的学优生战们略全体的在过期程末考达试到弃？考，以全员零分的
本习题将向你介绍这一著名的悖论。如图所示，假设有 9yyy 名司机需要从 地驶往 " 地。 对于每位司机，都有两条行驶路径可选：@*@" 或 @.@" 。其中，. 路段和 *" 路段的通行 速度都不受车辆总数的影响，经过这两个路段都必须耗时 98 分钟。但通过 * 路段和 ." 路 段的时间则由本路段上行驶的车辆决定。具体来说，如果路段上行驶的车辆总数为 x，则通过
参与人 k
和平
战争
参与人 和平 j，j R，4 − P R 战争 4 − P ，R k，k
请问，P 值需要怎样取值，才能让人们走出“战争”状态？ U9V 尽管“利维坦”可能帮助人们走出战争状态，但人们为建立“利维坦”，需要放弃大量权利、
付出高昂成本。因此并不是在所有情况下，人们都有激励建立“利维坦”。我们可以考虑如下情
（1）假设如所上有图，司假机设的有目4标00都0 名是司通机行需时要间从最A小地化驶，往他们B 地同。时对选于择每行位驶司路机径，，都则有在两纳条什行均驶衡路下径， 他们可的选行：驶A-时C-间B 或将是A-多D 少–B？。其中，AD 图路R段, "和`2CbbB悖路论段的通行速度都不受车辆总数的影响， （2经）过现这在两政路个段府路的为时段了间都为缓必x解/须10交耗0。通时拥45堵分，钟决。定但在通过CDA之C 间路修段和建一DB条路通段路的。时经间过则这由条本通路路段，上司行机驶可 以从的C车点辆直决定达U。RDV 假具（设体为所来简有说司化机，其的如间目果标，路都假是段设通上行由行时驶C间最到的小车D化辆，的总他时们数间同为时为x选，0择）则行。通驶请路过问径路，，段则在在的此纳时条什间均通为衡路下x-/建10成0。后，纳 什均（衡1）将假发设他生所们怎的有行样司驶的机时改间的将目变是标？多都少通？是路通能行如时政间府最所小预化料，他的们那同样时，选缓择解行交驶通路拥径堵，则吗在？纳什均衡下，
k、 U罪 与 罚V 诺 贝 尔 经 济 学 奖 得 主、 芝 加 哥 大 学 教 授 :`v "2+F2` 教 授 曾 研 究 过 对 犯 罪 的“最优惩罚水平”，本题将用一个简化的模型介绍 "2+F2` 的研究。
考虑一个博弈，博弈的参与双方是政府 U:V 和罪犯 U*V，双方同时决策。对于政府来说， 可以选择执法力度 x Ux > 0V 来控制犯罪的发生，而罪犯则可以自由选择自己的犯罪频率 y Uy > 0V。政府的效用函数是 uG = −cx − y2/x，其中 c 是刻画执法力度成本的参数，而 −y2/x 刻画了犯罪对社会的危害程度；。罪犯的效用函数是：uC = y0.5/(1 + xy)，其中 y0.5 刻画当犯 罪而未被逮捕时的收益，1/(1 + xy) 则表示犯罪未被抓的概率。
k
如上图，假设有 4000 名司机需要从 A 地驶往 B 地。对于每位司机，都有两条行驶路径
可选：A-C-B 或 A-D –B 。其中，AD 路段和 CB 路段的通行速度都不受车辆总数的影响，
经过这两个路段都必须耗时 45 分钟。但通过 AC 路段和 DB 路段的时间则由本路段上行驶
的车辆决定。具体来说，如果路段上行驶的车辆总数为 x，则通过路段的时间为 x/100。
URV 请问，对于博弈双方来说，各自的最优反应曲线是什么？博弈的纳什均衡是什么？ UkV 随着参数 c 的变动，均衡时的执法力度和犯罪频率会发生什么变化？请给出一个直观的 解释。
j、 Uj3 个目击者V 在美国的法制史上，有个被称为“j3 个目击者”的著名案例：RNe9 年 j 月 Rj 日夜，在美国纽约郊外某公寓前，一位叫朱诺比的女子在回家途中遇刺。其间，尽管她大 声求救，并且至少有 j3 位目击者看到了犯罪经过或听到了呼救，但竟没有一人拨打电话。