博弈与社会第一次作业
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2、一锤定音？
新一代“江南才子”唐伯狮、文征白和祝枝海参加由华府组织的绘画大赛，他们提交的
画作分别为《百鸟朝凤图》、《万壑争秀图》和《小鸡吃米图》。绘画大赛的评委会由华太师
和他的两个儿子华文、华武组成，他们将决定哪幅作品获得优胜。三位评委对三幅画作的偏
好迥然相异，对于每位评委而言，每幅画作胜出对他们带来的效用分别如下所示：
街道上的顾客可以决定在哪一家购买奶茶。购买后，他获得的效用为 10-Pi-tx（i=1，2）。
其中 Pi 是奶茶的价格，tx 是交通成本（这里，x 是他距离进行消费的奶茶店的距离，t 是单 位交通成本）。 （i）假设城管规定奶茶 GG 和奶茶 MM 的摊位位置（a 和 1-b）必须是固定的。这时，他们 只能通过价格战来争取消费者。请求出他们各自面对的需求曲线（也就是奶茶价格和销售量 的关系）。在均衡状态下，两人的价格、消费量和利润。 （ii）城管决定放松对摊位的管理。这样，为了争夺市场，奶茶 MM 和奶茶 GG 都可以改变 设摊地点（即他们可以选择 a 和 b）。在给定设摊地点后，他们再同时决定奶茶售价 P1 和 P2。 请问：在均衡时，两人选择的设摊位置各是什么？有人说，对于有缘人，无论是向左走，还 是向右走，他们终究总会在一起。在我们的故事中，这种说法对吗？
评委
华太师
华文
华武
获得 效用
3
百鸟朝凤图 万壑争秀图 小鸡吃米图
2
万壑争秀图 小鸡吃米图 百鸟朝凤图
1
小鸡吃米图 百鸟朝凤图 万壑争秀图
比赛规则规定，所有评委分别进行独立保密投票，一人一票，少数服从多数。如果出现 平局，华太师投票的作品将获奖。让我们分析一下三位评委的博弈： （1）请画出博弈的战略矩阵。 （2）请问，在进行投票时，每一位评委存在着严格被占优战略或弱被占优战略吗？ （3）用重复剔除被占优战略的方法对上述博弈进行分析。你预测哪位“才子”的作品将获 得优胜？ （4）有记者在对大赛进行报道时进行“吐槽”，说比赛规则太黑暗了，很明显华太师比其他 两位评委更有发言权，因此他偏爱的唐伯狮几乎就是内定的优胜。将你预测的结果和华太师 的偏好进行比较。你认为在这个博弈中，这位记者的评论有道理吗？
* 如果读者对“38 个目击者”这个故事感兴趣，可以进一步阅读 Rosenthal.A,1964， Thirty-Eighபைடு நூலகம் Witnesses，New York: McGraw-Hill。
假设朱诺比在街道上遭遇劫匪并大声呼救，周围至少有 n 个目击者听到了呼救。当听到 呼救后，目击者可以选择报警或漠视。如果选择报警，他需要支付的成本为 c 。只要有一个 人报警，朱诺比就会得救，所有目击者会因此而获得效用 v 。而如果没有人报警，则所有目 击者都只能获得效用 0。 （1）当我们考虑所有目击者的同时决策博弈时，这个博弈有纯战略纳什均衡吗？ （2）这个博弈有混合战略纳什均衡吗？如果有，请解出来。 （3）假设每个目击者独立决定是否报警，请计算至少有一个人报警的概率，并回答这个概 率如何随着 n 变动。这个结果对你有什么启示？
4、奶茶之战 I 奶茶 MM 和奶茶 GG 正在为争夺市场而展开激战。奶茶市场的需求曲线是 P=a-bQ，其
中 P 是市场中奶茶的价格，Q 是整个市场中奶茶的供给量。由于市场中只有这两家生产奶 茶，因此 Q 就等于两人分别供应的奶茶数量之和。两人生产一杯奶茶的成本都是 c（这里 c<a），他们的决策目标都是利润最大化。 （1）（Cournot 竞争，或产量竞争）奶茶 MM 和奶茶 GG 想通过奶茶的供应量来进行 PK。 他们同时选择自己提供的奶茶数量 Q1 和 Q2，以求得最大的利润。请问这次竞争博弈的纳什 均衡是什么？这个均衡是否可以由重复剔除被占优战略的过程达到？ （2）（Bertrand 竞争，或价格竞争）奶茶 MM 和奶茶 GG 都同时喜欢上了价格战的方式，即 不是选择产量而是选择奶茶的价格。这下可乐坏了顾客，他们总是光顾价格更低的那家店。 当然，如果两家价格一样，顾客就会任选一家店购买。请问，在这个价格战的博弈中，纳什 均衡又是什么？给出均衡时两家的产量，市场的价格，以及利润状况。这个均衡是否可以由 重复剔除被占优战略的过程达到？ （3）（Hotelling 竞争，或区位竞争）奶茶 MM 和奶茶 GG 在长街之上分别摆出了自己的奶 茶摊。为方便起见，假设整条街的长度为 1，街道左端的坐标为 0，右端坐标为 1，顾客在 整条街上均匀分布。为争夺这些顾客，奶茶 MM 和奶茶 GG 展开了“位置战”和“价格战”。 他们首先同时决定各自摊位的摆放位置 a 和 1-b，其中 0≤a，b≤1，（也就是说奶茶 MM 的摊 位距离街左端距离为 a，奶茶 GG 的摊位距离街右端距离为 b。不失一般的，假设 1-b>a）， 然后同时决定奶茶的价格 P1、P2。两人生产奶茶的单位成本都是 c。
如上图，假设有 4000 名司机需要从 A 地驶往 B 地。对于每位司机，都有两条行驶路径 可选：A-C-B 或 A-D –B 。其中，AD 路段和 CB 路段的通行速度都不受车辆总数的影响， 经过这两个路段都必须耗时 45 分钟。但通过 AC 路段和 DB 路段的时间则由本路段上行驶 的车辆决定。具体来说，如果路段上行驶的车辆总数为 x，则通过路段的时间为 x/100。 （1）假设所有司机的目标都是通行时间最小化，他们同时选择行驶路径，则在纳什均衡下， 他们的行驶时间将是多少？ （2）现在政府为了缓解交通拥堵，决定在 CD 之间修建一条通路。经过这条通路，司机可 以从 C 点直达 D（为简化其间，假设由 C 到 D 的时间为 0）。请问，在此条通路建成后，纳 什均衡将发生怎样的改变？通路能如政府所预料的那样，缓解交通拥堵吗？
3、Braess 悖论 在交通规划中，增加道路建设往往被视为缓解交通拥堵的有效方法。但在 1968 年的一
篇论文中，数学家 Dietrich Braess 却提出了一个令人惊讶的观点，即：在个人独立选择路径 的情况下，为某路网增加额外的通行能力，有时非但不能缓解拥堵，反而会导致路网整体运 行效率的降低。本习题将向你介绍这一著名的悖论。
《博弈与社会》第一次作业
（注意：请大家在 3 月 25 日课前提交本次作业！）
1、最靠谱的队友 不久前，国内外很多网站都在显著位置报道了以下新闻：约翰·霍普金斯大学的计算机
教授 Peter Fröhlich 一直奉行“以考试成绩最高分为 100、按分布曲线依次给出最终成绩”的 政策，岂料去年秋学期，他三门课程的学生们全体在期末考试弃考，以全员零分的结果来挑 战这一政策。教授思考再三，称赞了学生们的团结精神，给了所有人 A。有网友评论说，这 个事例是人们通过合作成功打破“囚徒困境”的尝试。另有一些网友惊呼，这些同学对于彼 此而言真是最靠谱的队友。 （1）请问，为什么 Peter Fröhlich 教授的给分策略会让学生陷入“囚徒困境”？ （2）你认为，在这个事件中，学生为什么可以打成合作，成功突破“囚徒困境”？ （3）如果 Peter Fröhlich 教授坚持想要用以上策略给分，那么你能否给教授支个招，让学生 自愿参加考试，重回“囚徒困境”？
5、38 个目击者 在美国的法制史上，有个被称为“38 个目击者”的著名案例：1964 年 3 月 13 日夜，在
美国纽约郊外某公寓前，一位叫朱诺比的女子在回家途中遇刺。其间，尽管她大声求救，并 且至少有 38 位目击者看到了犯罪经过或听到了呼救，但竟没有一人拨打电话。本题将通过 一个博弈模型来对这个案例进行分析。
