两点式求直线方程 课件

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直线与方程
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直线与方程
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直线与方程
做一做
2.在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(
x y A. ＋ ＝1 －3 4 x y C. － ＝1 －3 4 x y B. ＋ ＝1 3 －4 x y D. ＋ ＝1 4 －3
)
答案：A
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直线与方程
x y 3．直线 2 － 2 ＝ 1 在 y 轴上的截距为 ________，在 x 轴上的 a b 截距为 ________．
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直线与方程
3 4 又 l 过点 A(3,4)，所以 ＋ ＝ 1，解得 a＝－ 1. a －a x y 所以直线 l 的方程为 ＋ ＝ 1，即 x－ y＋ 1＝ 0. －1 1 (2)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且为 0 时，直线的 4 方程为 y＝ x，即 4x－ 3y＝ 0. 3 综上，直线 l 的方程为 x－ y＋ 1＝ 0 或 4x－ 3y＝ 0.
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直线与方程
2．直线的截距式方程 直线 l 与 x 轴交于点 A(a, 0)，与 y 轴交于点 B(0，b)，其中 x y a≠ 0， b≠ 0，则得直线 l 的方程 ＋ ＝ 1，叫做直线的 a b 截距式方程 ． ____________
想一想
2.过原点的直线能写为截距式吗？
提示：不能．因为此时a＝0，b＝0.
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直线与方程
【解】
当直线过原点时，它在 x 轴、 y 轴上的截距都是 0， 1 1 满足题意．此时，直线的斜率为 ，所以直线方程为 y＝ x. 2 2 x y 当直线不过原点时， 由题意可设直线方程为 ＋ ＝ 1， 又过点 a b 4 2 A，所以 ＋ ＝ 1①， a b 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以 |a|＝ |b|②，

2．截距和为零问题 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满 足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y＝12x. ②当直线不过原点时， 由题意可设直线方程为xa－ay＝1.又过A(4,2)， ∴4－a 2＝1，即a＝2，∴x－y＝2. 综上，直线l的方程为y＝12x或x－y＝2.
2．直线方程的截距式为xa＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“＋”
相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截
距，如x3－4y＝1，x3＋4y＝－1 就不是直线的截距式方程.
直线方程的一般式 [提出问题] 观察下列直线方程： 直线l1：y－2＝3(x－1)； 直线l2：y＝3x＋2； 直线l3：3y－－22＝x4－－11； 直线l4：x4＋3y＝1. 问题1：上述直线方程的形式分别是什么？ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By ＋C＝0的形式吗？
提示：能． 问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？ 提示：能．
[导入新知] 1．直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个 关于x，y的二元一次方程表示． (2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不 同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的
方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题

已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其 中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的 直线方程呢？
直线方程的两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1点P1(x1,y1), P2(x2,y2) （其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做 直线的两点式方程，简称两点式。
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
y
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距，
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
一点一点地吃掉，比喻逐步侵占：～政策。 【蚕丝】ī名蚕吐的丝，主要用来纺织绸缎，是我国的特产之一。也叫丝。 【蚕蚁】名刚孵化出来的幼蚕，身体 小，颜色黑，像蚂蚁，所以叫蚕蚁。也叫蚁蚕。 【蚕纸】名养蚕的人通常使蚕蛾在纸上产卵，带有蚕卵的纸叫蚕纸。 【蚕子】（～儿）名蚕蛾的卵。 【惭】 （慚、慙）惭愧：羞～｜大言不～｜自～形秽。 【惭愧】形；2205不锈钢板 2205不锈钢板；因为自己有缺点、做错了事或未能尽到责任 而感到不安：深感～｜～万分。 【惭色】〈书〉名惭愧的神色：面有～。 【惭颜】〈书〉名羞愧的表情。 【惭怍】〈书〉形惭愧：自增～。 【惨】（慘） ①形悲惨；凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。②形程度严重；厉害：～重｜冻～了｜敌人败得很～。③凶恶；狠度：～无人道。 【惨案】’名①指反 动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 【惨白】形状态词①（景色）暗淡 而发白：～的月光。②（面容）苍白：脸色～。 【惨败】动惨重失败：敌军～◇客队以比～。 【惨变】①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。②动（脸色） 改变得很厉害（多指变白）：吓得脸色～。 【惨不忍睹】悲惨得让人不忍心看下去，形容极其悲惨。 【惨怛】〈书〉形忧伤悲痛：～于心。 【惨淡】（惨 澹）形①暗淡无色：天色～｜～的灯光。②凄凉；萧条；不景气：秋风～｜神情～｜生意～。③形容苦费心力：～经营。 【惨度】形残忍狠度：手段～。 【惨祸】名惨重的灾祸。 【惨景】名凄惨的景象。 【惨境】名悲惨的境地：陷入～。 【惨剧】名指惨痛的事件。 【惨绝人寰】人世上还没有过的悲惨，形 容悲惨到了极点。 【惨苦】形凄惨痛苦。 【惨厉】形凄凉；凄惨：风声～｜～的叫喊声。 【惨烈】形①十分凄惨：～的景象。②极其壮烈：～牺牲。③猛 烈；厉害：为害～｜～的斗争。 【惨然】形形容内心悲惨：～落泪。 【惨杀】动残杀：～无辜｜横遭～。 【惨死】动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀下。 【惨痛】形悲惨痛苦：～的教训。 【惨无人道】残酷到了没有一点人性的地步，形容凶恶残暴到了极点。 【惨笑】动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。 【惨重】形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。 【惨状】名悲惨的情景、状况。 【?】（穇）［?子］（?）名①一年生草本植物，茎有很多分 枝，叶子狭长。子实椭圆形，可以吃。②这种植物的子实。 【??】（篸）〈方〉名一种簸箕。 【憯】〈书〉同“惨”。 【黪】（黲）〈书〉①浅

求直线L的方程。
•解： 因为直线L经过 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) , 并且
x1≠x2 ,所以它的斜率 k y2 y1代入点斜式得
yy1yx22xy11(xx1)
x2 x1
当y1≠y2时，方程可以写成：
yy1 y2 y1
xx1 x2 x1
这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线
方程的两点式。
B.经过任意两点的直线都可以用
(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示。
C.不经过原点的直线都可用方程 x y 1 表示。
ab
D.经过A(0,b)的直线都可以用方程
2020年10月2日
Y=kx+b表示。
8
4.三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求 这个三角形三边所在直线的方程。 y
2020年10月2日
4
对直线方程的两点式的说明：
•1.直线方程两点式的适用条件： x1≠x2 , y1≠y2 •2.当直线没有斜率（x1=x2),直线方程为： x=x1; 当直线斜率为0(y1=y2),直线方程为: y=y1. •3.两点式方程形式的特点： yy1 xx1
y2 y1 x2 x1
•4.但把两点式化为整式形式:
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2 两点式的计算方法
学习如何通过两Байду номын сангаас坐标计算直线的方程。
3 优点与应用
探讨两点式相对于其他表示方法的优势和适用场景。
实例分析
例子1
通过经典直线图形分析，并应用 上述方程求解。
例子2
使用点斜式和截距式来解决实际 问题。
例子3
通过两点式解决现实生活中的直 线问题。
总结与扩展
知识总结
回顾直线方程的不同表示方法和计算步骤。
《两点求直线方程》PPT 课件
直线与平面的基本概念。
坐标系与点斜式
1
坐标系
了解直线在坐标系中的表示方法，以及如何确定直线的点斜式。
2
点斜式
学习如何使用给定的点和斜率来表示一个直线的方程。
3
点斜式计算方法
掌握通过给定的点和斜率计算直线方程的步骤和公式。
斜率的概念与计算方法
斜率的定义
理解斜率代表直线的倾斜程 度，斜率为0表示水平线。
应用拓展
探讨直线方程在几何学和实际问题中的应用。
学习资源
分享相关书籍、网站和学习资料，帮助深入学习直线方程。
斜率的计算方法
学习如何通过两点坐标计算 直线的斜率。
特殊情况
了解垂直线和水平线的斜率 特性。
截距式的概念与计算方法
1
截距的定义
了解截距代表直线与坐标轴的交点。
截距的计算方法
2
学习如何根据直线的截距和斜率计算直
线方程。
3
截距的特点
掌握截距对直线方程的影响。
两点式的概念与计算方法
1 两点式的定义
了解两点式表示直线的方程。

2．对直线方程一般式的四点说明 (1)方程是关于 x，y 的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y 的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个系数，但只需两个独立的条件 即可求得直线的方程．
3．五种直线方程形式的比较
名称
已知条件
类型三直线方程的一般式 [例 3] 把直线 l 的一般式方程 x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出 直线 l 的斜率以及它在 x 轴、y 轴上的截距，并画出图形．
【解】 将直线 l 的一般式方程化成斜截式 y＝12x＋3，
因此直线 l 的斜率 k＝12，它在 y 轴上的截距是 3，在直线 l 的 方程 x－2y＋6＝0 中，令 y＝0，得 x＝－6，即直线 l 在 x 轴上的截 距为－6.
原点的直线
知识点二 线段的中点坐标公式 若点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
则xy＝＝xy11＋ ＋22 xy22， .
知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系 在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：
2．直线的一般式方程 式子：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0； 条件：A，B 不同时为零； 简称：一般式．
|素养提升|
1．对直线的两点式方程的三点说明 (1)如果将直线的两点式方程转化为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x －x1)，此时可以表示已知不重合的两个点确定的直线． (2)当已知的两点为 A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)时，由两点式 可得直线方程ax＋by＝1，此方程为直线的截距式． ①其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距； ②截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线． (3)记忆特点： ①左边全为 y，右边全为 x； ②两边的分母全为常数； ③分子，分母中的减数相同．

xy1;xy1是截距式吗? 不是 23 2
截距式有何要求? 加号连接,右边为1
思 考 3 :点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2(x 2,y2),则 线 段 P 1 P 2 的 中 点 M 的
坐 坐标 标是 为（x1 x2 , y1 y2)
2
2
*
例 题:
1、已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上 中线所在直线的方程。
*
1、领略我 国江南 园林建 筑的风 貌，了 解苏州 园林的 特点， 并能够 从中得 到美的 享受、 激发热 爱祖国 灿烂文 化的感 情。 2、学习本 文围绕 说明对 象的总 特征， 先总后 分，从 整体到 局部， 条理清 晰地说 明事物 的写作 方法 3 、人 类 在 发 展 过 程中产 生了不 同的文 化，每 个国家 和民族 都有自 己的精 神史诗 。 4 、作 为 中 国 人 ， 我们每 个人的 精神生 命都流 淌着民 族文化 的血脉 ，离不 开优秀 传统文 化的滋 养。 5 、守 护 精 神 家 园 ，我们 不能丢 失优秀 的传统 文化， 需要在 个人精 神世界 的充盈 中发扬 民族精 神。
*
例 题:
2.一直线经过A(3,5)且在坐标轴上的截距相等, 求直线的方程.
3.过点(4,-3)的直线在两坐标轴上的截距的绝对 值相等,求直线的方程.
*
小 结：
(1)直线的两点式方程:
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
(x1≠x2 ,y1≠y2)
(2)直线的截距式方程: xy 1(ab0) ab
(x1≠x2 ,y1≠y2)
思 考 1 : 如 果 有 x 1 x 2 或 y 1 y 2 , :如 果 直 线 过 A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) ( a0 ,

可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测

不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)

课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
直线的两 点式方 程PPT完 美课件
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题型一 直线的两点式方程 【例 1】 已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． [思路探索] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件，若满 足，则应用公式求解；若不满足，则根据具体条件写出方程．
上的截距 距
a、b 且 式
ab≠0
ax＋by＝1 ab≠0
课前探究学习
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想一想：方程2x－3y＝1 和2x＋3y＝－1 都是直线的截距式方程吗？ 提示 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个：一是中 间必须用“＋”号连接；二是等号右边为 1.
课前探究学习
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直线的两 点式方 程PPT完 美课件
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规律方法 求与截距有关的直线方程时，可用截距式求解，但 截距式方程不表示垂直于坐标轴或过原点的直线，因而要特别 注意这些特殊情况．当所求的直线方程与截距有关时，也可设 出点斜式或斜截式方程，求出截距，利用截距的关系求出斜率， 再写出方程．
(3)如果将直线两点式转化为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)， 此时只要直线上已知两点不重合，都可以用它表示出来(即这个
变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．
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直线的两 点式方 程PPT完 美课件
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变式： 已知直线 L经过P（0，）、P（a， ） b 0 1 2 两点，求已知直线 L的方程。
三：直线的截距式方程
设直线 L在x轴、y轴上的截距分别 是a 、b，则直线 L的方程。 x y 1 (ab 0) a b
注： 1)直线 L在x轴、y轴上的截距a 、b， 分别是指直线 L与x轴、y轴交点的 横坐标和纵坐标。 2 ）此方程只适用不平行 坐标轴
例 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2) 求这个三角形三边所在直线的方程．
思考与练习
1）求过定点（3， 4）且在两坐标 P 轴上截距相等的直线方程。
3）一条直线经过（ 2，），并且与 A 2 两坐标轴围成的三角形面积为1 ，求 此直线方程。
2)一条光线从点（2， A 3）发出，经x轴 反射后，通过点（ 1 6），求反射 B ， 光线所在的直线方程。
小结 1 ）两种形式的直线方程 ；
2 ）一个公式； 3 ）探究问题的一类方法 ； 4 ）一种思想
或不过原点的直线
求证:(1)直线的方程都可以写成 关于x, y的一次方程
(2)任何关于x, y的一次方程都 表示一条直线
直线方程的一般式：Ax+By+C=0 (A B不全为零）
例题：根据下列条件写出直线方程， 并化为一般形式．
(1)斜率是2，且经过点A(5,3); (2)过点B(-3,0)，且垂直于x轴； (3)斜率为4，在y轴上的截距为-2； (4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴； (5)经过A(-1,5)，B(2,-1)两点； (6)在x ,y轴上的截距分别是-3,-1．
第
2.1.2
节
直线的两点式方程
二：直线的两点式方程
设P1 （x1 ，1）、P 2 （x 2 ， 2 ）直线 L上 y y 两点，则直线 L的方程是 ;