高中数学-直线的两点式方程

直线方程的两点式直线方程的两点式是高中数学中常见的一种求解直线方程的方法，它通过两点来求解直线方程的斜率和截距，是高中数学解决实际问题的简便方法。

本文就来介绍这一重要的数学概念，具体内容分别有以下几点：一、什么是直线方程的两点式？直线方程的两点式即过两点求解直线方程的斜率和截距的方法。

它的具体形式为：y=kx+b即：直线的斜率k为两点的纵坐标之差除以横坐标之差，截距b 为(0,b)是直线和y轴的交点，即纵坐标b等于：纵坐标加斜率乘以相应横坐标。

二、求解直线方程的两点式步骤在求解直线方程的两点式时，首先要弄清楚问题所涉及的两个点的坐标，一般给定的两个点的坐标形式是：A(x1,y1)，B(x2,y2)。

（1）先求斜率：将两点的纵坐标之差除以横坐标之差，即可求得斜率k：k=（y2-y1）/（x2-x1）（2）再求截距：将斜率k带入直线方程：y=kx+b可有：y=（y2-y1）/（x2-x1）x+b将(x1,y1)代入上式，即可求得截距b：b=y1-（y2-y1）/（x2-x1）x1三、直线方程的两点式的应用直线方程的两点式可以帮助我们更好的去解决实际问题，可以用它来求解图形问题，坐标轴问题，几何问题，解决日常生活中的实际问题等等。

比如：在一个游乐园里，有一堆沙子，人们想用算法来知道一共有多少沙子，此时可以使用两点式来解决，具体步骤如下：（1）首先在沙子的一端画一个点P，然后在另一端画另一个点Q，这两个点就是我们计算两点式的两个点；（2）求出这两点的纵坐标和横坐标，即：P(x1,y1)，Q(x2,y2)，然后求出两点式的斜率和截距，即k和b；（3）最后用求出的斜率和截距来算出沙子的数量，即：横坐标乘以斜率加上截距等于纵坐标，然后分段求和即可得出沙子的总数量。

四、总结通过上面我们可以了解到，直线方程的两点式是一种通过两点求解直线方程的斜率和截距的简便方法，它可以帮助我们更好的解决实际问题，如求图形面积，求坐标轴问题，几何问题等等。

2.2.2直线的两点式方程（基础知识+基本题型）知识点一直线的两点式方程1.直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.当直线的斜率不存在（12x x =）或斜率为0（12y y =）时，不能用两点式方程，若12x x =，12y y ≠,则直线方程为10x x -=若12y y =、12x x ≠，则直线方程为10y y -=.提示：(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行（或重合）或垂直的直线.(2)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)将两点式化成整式：211211()()()()x x y y y y x x --=--.用该式可求出过平面内的任意两个已知点的直线的方程.3.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.知识点二直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x y a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程.拓展（1）到x 轴和y 轴上的截距，反之，若已知直线在x 轴和y 轴上的截距（都不为0），也可直接由截距式写出方程.（2）由截距式的方程可知，截距式的方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在，且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线.过原点的直线可以表示y kx =；与x 轴垂直的直线可以表示0x x =；与y 轴垂直的直线可以表示0y y =.（3）直线与两坐标轴都相交（非原点）时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积考查时要注意截距式与“距离”的关系.（4）求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.考点一直线的两点式方程例1.（1）已知直线l 经过点(2,1),(2,7)A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点(2,1),(3,4)A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是(1,0),(3,1),(1,3)A B C --，求三角形三边所在直线的方程.解：（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.总结：1.利用两点的坐标写直线的两点式方程时，一定要注意2121,y y x x ≠≠.2.若点P 在直线AB 上，则点P 的坐标满足直线AB 方程.求直线的两点式方程的策略及注意点（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑两点式求方程.（2）用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.考点二利用截距式求直线方程例2.（1）求在,x y 轴上的截距分别是3,4-的直线方程；（2）求过点(3,4)A ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.解：（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为134x y +=-，化简得43120x y -+=.（2）当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为1x y a a +=-.又因为l 过点(3,4)A ，所以341a a =，解得1a =-.所以直线l 的方程为111x y +=-，即10x y -+=.当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为43y x =，即430x y -=.综上，直线l 的方程为10x y -+=或430x y -=.总结：用截距式求直线方程的步骤（1）由已知条件确定直线在轴和y 轴上的截距.（2）若截距为0，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为0，则代入公式1x y a b +=中，可得所求直线方程.考点三：直线方程的综合应用例3．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =，∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0．设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0．∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．总结：求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．。