下载文档原格式
《解析几何》教学大纲课程编码：1512100803课程名称：解析几何学时/学分：48/3先修课程：适用专业：信息与计算科学开课教研室：代数与几何教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课。
2．课程任务：通过学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力。
二、课程教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。
通过课程教学及习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密。
本课程的教学，一方面要注意培养学生从几何直观方面分析和洞察问题的能力，另一方面要使学生注意掌握必要的代数方法和计算技巧，能准确地进行计算。
成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章 向量与坐标1．教学基本要求使学生掌握向量及其运算的概念，空间坐标系的建立。
2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章学习，使学生理解建立空间坐标系的基本思想，会利用向量法解决一些几何问题。
掌握向量的各种运算及其运算规律。
3．教学重点和难点本章教学重点是向量的线性关系与向量的分解、两向量的数量积、两向量的向量积、三向量的混合积；教学难点是坐标系的建立，利用向量解决几何问题的基本方法。
4．教学内容第一节 向量的概念1．向量的定义2．自由向量的定义3．共线向量的定义4．共面向量的定义第二节 向量的加法1．向量加法的定义2．向量加法的运算规律3．向量减法的定义4．向量加法和减法的互换第三节 数量乘向量1．数乘的定义2．数乘的运算规律第四节 向量的线性关系与向量的分解 1．向量的线性分解定理2．向量线性相关、相性无关的定义3．向量线性相关的判定定理4．向量线性相关与两向量共线、三向量共面的关系第五节 标架与坐标1．标架的定义2．坐标的定义3．用坐标进行向量的运算4．用坐标判定两向量共线、三向量共面5．线段的定比分点坐标第六节 向量在轴上的射影1．向量在轴上的射影的定义2．向量在轴上的射影的计算公式第七节 两向量的数量积1．两向量的数量积的定义2．两向量的数量积的运算规律3．用数量积为零来判断两向量垂直4．直角坐标系下用向量的坐标来表示数量积5．两点间的距离6．向量的方向余弦7．两向量的交角第八节 两向量的向量积1．两向量的向量积的定义2．两向量的向量积的运算规律3．用向量积来判断两向量共线4．用向量积的模来计算平行四边形的面积5．直角坐标系下用向量的坐标来表示向量积第九节 三向量的混合积1．三向量的混合积的定义2．利用三向量的混合积计算平行六面体的体积3．三向量的混合积的运算规律4．利用混合积为零来判断三向量共面5．直角坐标系下用向量的坐标来表示三向量的混合积★第十节 三向量的双重向量积1．三向量的双重向量积的定义2．三向量的双重向量积的运算公式第二章 轨迹与方程1．教学基本要求使学生掌握空间曲面方程与曲线方程的基本概念，能通过曲面或曲线上点的性质，建立曲面或曲线的方程。
第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上•2. 试决定k的值,使得(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；⑵直线x 1 kt与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；y k t⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点x 1 t⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求ky 1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得2x 2x k 5 02Q 2 4 k 5 04k 16 0k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•1 2 0(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/20 1/2 0且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,kk 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
24§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y 2 3x y 0; 222 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 30.11 解:(1) Q X,Y X2 2XY Y 2 0时，X : Y1:1，同时 I ?0,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 23时，F1X 0, y 0 X F 2X 0, y 0 Y1513 0,2(3). 二次曲线的矩阵为(1 11 (1 k)/20 k)/2 1解之, v X,Yk,1 , X o ,y o1 0,即―4k 1 1,k 25,2k0,即 k 2 6k 50,1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当5时, 1,5 时, X,Y直线与二次曲线有二重合实交点.k,12k 0,(4).二次曲线的系数矩阵为22 1/21/ 2 1 01:( 1)取(X 0,y0)(“)，令V0,即[2(1k)(1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k24，且此时(1,1) 24( 1) k28282 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y且i 23 2 2 o, 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线1 1解：(1) QI 21 0 ,故为中心曲线；1 21 2 1 2 Q A24 1711 1有I 21 2 0,且 9113]2a 1324a 12a 22a 23曲线为无心曲线；an a 12 a 13 1 ,且有 一一 一 3,-312a 22 a 23•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 21 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;2 22 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;2 24 4x 4xy y 4x 2y 0.X;Y 0:1 或 1:0,且 *〈0,5x y 1解1由解得x13 2 2 1 x 2xy 2y 22 2 x 4xy 4y223 9x 6xy y4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;6x 2y 0.••中心为3 (, 13 )28 282x5 y 3 0 2 由 2解得x 1, y 2 5 2y 3 x2 2--中心为1,2 J3an ai 2 3 a134 Q ———a i2 a225 ^23 15 '2曲线没有中心.曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.y y 。
二次曲线的基本概念与性质二次曲线作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用和深入的理论研究。
它在几何学、物理学、经济学等学科中发挥着重要作用。
本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用二次曲线。
一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程所表示的曲线，其一般形式可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F是实数，且至少有一个系数不为零。
二、二次曲线的分类根据二次曲线的方程，我们可以将其分类为三种常见形式：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：椭圆是由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹所形成的曲线。
椭圆的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线：双曲线是由平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹所形成的曲线。
双曲线的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。
3. 抛物线：抛物线是由平面上到定点的距离等于定直线的距离所形成的曲线。
抛物线的方程可以写成标准形式：y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的参数。
三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有对称性。
椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，双曲线具有关于坐标轴和原点的对称性，抛物线具有关于y轴的对称性。
2. 焦点和准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线。
焦点是离心率所确定的两个定点之一，准线是离心率的长度倍的直线。
焦点和准线在二次曲线的性质中起着重要作用。
3. 弦和切线：二次曲线可以通过弦和切线来研究。
弦是连接曲线上两点的线段，切线是曲线上某点的斜率与曲线相切的直线。
4. 集中度和离心率：二次曲线的集中度和离心率是描述曲线形状的重要参数。
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点⎩⎨⎧+==b kx y y x F 0),( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=+)222,222(2)222,222(122i i y x i i y x平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。
（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++='131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221),(y F a y a x a y x F =++=3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*22121211a aa a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I ==+=322121211222111,,33232322331313111a a a a a a a a k +=例：写出下列二次曲线的矩阵321,,F F F A 及04762)3(2)2(1)1(2222222=-+-+-==+y x y xy x x y by a x二、相关位置二次曲线0),(=y x F 与过点 且具有方向Y X :的直线⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xt x x 00联立，0),(]),(),([2),(000020012=+++⇒y x F t Y y x F X y x F t Y X φ1、),(),(]),(),([,0),(002002001y x F Y X Y y x F X y x F Y X φφ-+=∆≠ 010>∆ 方程有两个不等实根⇒21,t t 有两个不同的实交点 020=∆ 方程有两个相等实根⇒21,t t 有两个相互重合的实交点 030<∆ 方程有两个共轭虚根⇒交于两个共轭的虚点2、0),(=Y X φ0),(),(10020010≠+Y y x F X y x F ，有唯一实根⇒有唯一实交点 ⇒≠=+0),(0),(),(2000020010y x F Y y x F X y x F 而没有交点⇒==+0),(0),(),(3000020010y x F Y y x F X y x F 且直线全部在二次曲线上 eg1、试确定的值k 使直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两个不同实点，043122=--+⎩⎨⎧+=+=y xy y x t k y ktx 与二次曲线交于一点注：平面直线方程：Yy y X x x 00-=- b kx y +=⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xtx x 005.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足Y X Y X :0),(的方向=φ叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向)1(02),(22212211=++=Y a XY a X a Y X φ 渐近方向Y X :总有确定的点 2、按渐近方向分类 若112122212211110)(2)()1(,0a I a Y X a Y X a Y X a a -±-=⇒=++≠改写成 若22212220a I a X Y a -±-=⇒≠ 若,02211==a a 则一定有10:1012或=⇒≠Y X a 此时00021212122<-==a a a I故02>I 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 02=I 二次曲线有一个渐近的实方向 02<I 二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（1） 02>I 椭圆形曲线 122=+y x （2） 02=I 抛物线曲线 2x y = （3） 02<I 双曲型曲线 122=-y x二、二次曲线的中心与渐近线 定义：如果点c 是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c 是二次曲线的中心),(00y x c 是二次曲线的中心⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F推论：)0,0(是二次曲线的中心⇒曲线方程不含y x 与的一次项 证：将直线方程代入，得：0),(]),(),([2),(000020012=+++y x F t Y y x F X y x F t Y X φ由于),(000y x M 是两交点的中心021=+⇒t t 0),(),(002001=+⇒Y y x F X y x F由于Y X :为任意非渐近方向⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F⎩⎨⎧=++=++003302201213012011a y a x a a y a x a（1） 若有唯一中心方程有唯一解⇒⇒≠=0221212112a a a a I（2） 若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⇒==⇒≠===—中心直线—中心上所有点都是二次曲线直线有无穷解）（无中心无解）（即0210131211231322121211231322121211221212112a y a x a a a a a a a a a a a a a a a a a I二次曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠==≠2313221212112313221212112200a a a a a a a a a a a a I I 线心曲线无心曲线非中心曲线中心曲线： 定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
Th1、二次曲线的渐近线与其二次曲线或者没有交点，或者整条直线在二次曲线上。
判断二次曲线01224422=--++-y x y xy x 是中心曲线，无心曲线还是线心曲线0)23)(3(0266922=---⇒=+-+-y x y x y x y xy x 线心曲线0122222=++-+-y x y xy x 线心曲线 022=-y x 22222,1,1x y y x y x ==-=+5.5、二次曲线的主直径与主方向 1、主直径、主方向、轴、质点 2、二次曲线的特征方程0021222121211=+-=-I I a a a a λλλ即th1、一个方向Y X :成为二次曲线主方向的条件是⎩⎨⎧=+=+YY a X a XY a X a λλ22121211 成立，其中λ是特征方程的根证明：01若二次曲线为中心二次曲线)0(2≠I与Y X :共轭的直径为''21:,0),(),(Y X y x YF y x XF 设其方向为=+ 则)(:)(:12112212''Y a X a Y a X a Y X ++-= X Y Y X YY XX ::0''''-=⇒=+Θ012112212≠⎩⎨⎧=+=+⇒λλλ其中X Y a X a YY a X a02若非中心二次曲线)0(2=I 任何直径方向总是唯一的渐近方向)(:::1222111211a a a a Y X =-=而垂直于它的方向显然为2212121122:::a a a a Y X ==eg1、求01),(22=-+-=y xy x y x F 的主方向与主直径解：043121211,221≠=--==I I∴曲线为中心曲线，特征方程为04322=+-λλ 23,2121==⇒λλ 由211=λ 确定的主方向为1:1:11=Y X 由232=λ 确定的主方向为1:1:22-=Y Xeg2、求042),(22=-+-=x y xy x y x F 的主方向与主直径 5.6、二次曲线的化简与分类 一、平面直角坐标变换1、移轴⎩⎨⎧+=+=0''y y y x x x ),(00y x 为新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标 2、转轴⎩⎨⎧+-=+=⎩⎨⎧+=-=ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos ''''''y x y y x x y x y y x x 或3、一般情形⎩⎨⎧+--+-=+-+=⎩⎨⎧++=+-=)cos sin (cos sin )sin cos (sin cos cos sin sin cos 00'00'0''0''ααααααααααααy x y x y y x y x x y y x y x y x x 或 4、 2222222'B A C y B x A x +++=2121111'B AC y B x A y +++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++±=+++±=⇒)2()1(2121111'2222222'B AC y B x A y B A C y B x A x为了使新坐标系仍是右手系，使（1）式中x 的符号与（2）式中y 的符号相同 eg1、已知两垂直的直线轴，为取与''121,022:032:x o l y x l y x l =-+=+- 取''2y o l 为轴，求坐标 二、二次曲线的化简与分类1、移轴F ，曲线方程系数的变化01 二次项系数不变02 一次项系数变为),(2),(2002001y x F y x F 与03 常数项变为),(00y x F2、转轴下，二次曲线系数的变化规律01 二次项系数要改变，但仅与原方程的二次项系数及旋转角有关 02 一次项系数一般要改变，但仅与原方程的一次项系数及旋转角有关 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程没有一次项时，通过转轴也不会完全产生一次项。
03 常数项不变通过转轴使新方程的0'12=a ，只须12221122a a a ctg -=α2cos 22sin )(0)sin (cos cos sin )(12112222121122'12=+-⇒=-+-=ααααααa a a a a a a12121122a a a ctg -=⇒α 几何意义：把坐标旋转到与二次曲线的主方向平行的位置1222112212121122122212222122121122122212)(1212a a a a a a a a a a a a a tg tg ctg a a a a X Y tg -=--⋅--=-⋅--=-=∴-=-==λλλλλαααλλα 总结：通过转轴与移轴化简二次曲线方程实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置因此，二次曲线的化简，只要先求出它的主直径，以其作为新坐标轴即可 如果是中心曲线，有且只有一对相互垂直从二又相互共轭的主直径，主直径的交点恰是曲线的中心，化简后，坐标原点与 中心重合如果是无心曲线，只有一条主直径，化简后，坐标原点与曲线的中心重合 如果是线心曲线，只有一条主直径，坐标原点与曲线的任何一个中心重合 若是中心曲线，选取新坐标系原点与曲线的中心重合，坐标轴与主直径重合（除圆外）若是无心曲线，选取新坐标系原点与曲线的顶点重合，坐标轴与主直径重合 eg1、化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x ，并作出它的图形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=215551235231A ， 45,221-==I I ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=2222222222''''y x y y x x ， 0125212'2'=++-y x 25,210452212=-=⇒=--λλλλ 两个主方向1:1:,1:1:2211-==Y X Y X eg2、化简02222=++++y x y xy x1:1:,022==-Y X λλ0430)21()1(=++=+++++y x y x y x 即顶点089),165,163(=---y x化简二次曲线02222=++++y x y xy x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112111111A 0,221==I I 曲线为非中心曲线，它的特征方程为022=-λλ 特征根为 ：2,021==λλ 非渐近方向为：1:1:=Y X曲线的主直径为：0430)21()1(=++=+++++y x y x y x 即曲线的顶点为：)1615,163(-过点)1615,163(-且与043=++y x 垂直的直线方程为089=--y x取主直径为新坐标轴的'x 轴，垂直与主直径且过点)1615,163(-的直线为'y 轴变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=++=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++--=16522221632222243289'''''y x y y x x y x y x x 代入已知方程得 0222'2'=+x y 特征方程： '2'42x y -= 化简021*******=+-++-y x y xy x解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=215551235231A ， 45,221-==I I曲线为中心曲线，特征方程为：25,210452212=-=⇒=--λλλλ1:1:,1:1:2211-==∴Y X Y X040=+-=+∴y x y x 与两条主直径为th1、适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个)0(0)3()0(02)2()0(0)1(2233222132213222221133222211≠=+≠=+≠=++a a y a a a x a y a a a a y a x a中心曲线：取它的一对即共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系 022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a原点是曲线中心02313==⇒a a坐标轴（主直径）的方向为：1：0与0：1012=⇒a 203P 无心曲线：选取唯一的主直径为x 轴，而过顶点且以非渐近主方向为方向的直线为y 轴主直径的共轭方向：1:0:=Y X主直径方程为：轴即为x a y a x a 0232212=++ 0,0222312≠==⇒a a a 顶点与原点重合，（0，0）满足曲线033=⇒a 又23132212121120a a a a a a I ≠==即是无心曲线，故Θ 而0,00,013112212≠=⇒≠=a a a a 线心曲线：5.7应用不变量化简二次曲线方程01 中心曲线 0,0332''222''112=++≠a y a x a I 2'22'11'21'22'11'1,I a a I I a a I ===+=的的特征根是特征方程与0212'22'11=+-∴I I a a λλ23'33'332'3I I a a I I =⇒=02 无心曲线 0,032≠=I I13'1332'131'31'22'1,I I a I a I I I a I -±=⇒=-=== 03 线心曲线 032==I I1'331'33'22'33'11'22'1'332''2200000,,0K a I a a a K I a I a y a ==+====+5.7、应用不变量化简二次曲线的方程 一、不变量与半不变量 三个不变量 332313232212131211322121211222111,,a a a a a a a a a I a a a a I a a I ==+= 0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F在直角变换下： 33''23''13'2'22'''12'2'11''''222),(a y a x a y a y x a x a y x F +++++= '22'12'12'112'22'11'1,a a a aI a a I =+= 一个半变量 33232322331313111a a a a a a a a K +=经过转轴不改变 th1、当二次曲线为线心曲线时，在直角坐标变换下1K 是不变量 二、应用不变量化简二次曲线的方程01 00'332''222''112=++≠a y a x a I 简化方程为中心曲线00023222123'333'332'33'22'11'3212'22'112'22'11'22'11'21'22'11'1=++=⇒====+-⇒====+=I I y x I I a I a I a a a I I I a a I a a a a I I a a I λλλλ简化方程为（特征方程）的两根是方程与 02 0,032231322121211≠=≠=I I a a a a a a 即无心曲线其简化方程为02'132''22'=+x a y a 32'1312'131'13'22'13'22'1331'22'1000000,I a I a I a a a a a I I a I =-=-=-====23'13132'13I I a I I a -±=⇒-=⇒ 简化方程为：01321=-±x I I y I 03 线心曲线 032231322121211====I I a a a a a a 即 简化方程为 0'332''22=+a y a11'331'331'33'22'33'22'33'11'22'100000I K a K a I a a a a a K I a I =⇒===+=== 简化方程为01121=+I K y I 步骤：321,,)1(I I I 求3212,,0)2(I I I I 应用若≠⎩⎨⎧=≠=1133132,0,00K I I I I I I 应用应用若 化简 04222656522=-+-+-y x y xy x 128,16,10321-===I I I化简 025610222=+--+-y x y xy x 032220322264,0,222321=+=--===x y x y I I I 或。
