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第1章建模与仿真的基本概念参照P8例子，列举一个你相对熟悉的简单实际系统为例，采用非形式描述出来。
第2章建模方法论1、什么是数学建模形式化的表示？试列举一例说明形式化表示与非形式化表示的区别。
模型的非形式描述是说明实际系统的本质，但不是详尽描述。
是对模型进行深入研究的基础。
主要由模型的实体、包括参变量的描述变量、实体间的相互关系及有必要阐述的假设组成。
模型的非形式描述主要说明实体、描述变量、实体间的相互关系及假设等。
例子：环形罗宾服务模型的非形式描述：实体CPU，USR1，…，USR5描述变量CPU:Who,Now(现在是谁)----范围{1,2,…,5}; Who.Now=i表示USRi由CPU服务。
USR：Completion.State（完成情况）----范围[0，1]；它表示USR完成整个程序任务的比例。
参变量X-----范围[0，1]；它表示USRi每次完成程序的比率。
i实体相互关系（1）CPU 以固定速度依次为用户服务，即Who.Now为1，2，3，4，5，1，2…..循环运行。
X工作。
假设：CPU对USR的服务时间固定，不（2）当Who.Now=I,CPU完成USRi余下的iX决定。
依赖于USR的程序；USRi的进程是由各自的参变量i2、何谓“黑盒”“白盒”“灰盒”系统？“黑盒”系统是指系统内部结构和特性不清楚的系统。
对于“黑盒”系统，如果允许直接进行实验测量并通过实验对假设模型加以验证和修正。
对属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。
对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。
3、模型有效性和模型可信性相同吗？有何不同？模型的有效性可用实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度来度量。
它分三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效。
不同级别的模型有效，存在不同的行为水平、状态结构水平和分解结构水平的系统描述。
数学建模方法数学建模，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述和解决现实世界中的问题。
它就像是一座桥梁，连接着抽象的数学理论和复杂的实际情况。
那数学建模到底是怎么一回事呢？想象一下，你要规划一个城市的交通系统，让车辆能够高效通行，减少拥堵；或者要预测某种疾病的传播趋势，以便采取有效的防控措施；又或者要设计一个最优的生产流程，降低成本提高效率。
这些实际问题都可以通过数学建模来解决。
数学建模的第一步，是要对问题进行清晰的理解和定义。
这可不是一件简单的事情，需要我们仔细观察问题的背景、条件和目标。
比如说，如果要解决交通拥堵的问题，我们就得先了解这个城市的道路布局、车辆流量的规律、人们的出行习惯等等。
只有把这些都搞清楚了，才能准确地把实际问题转化为数学语言。
接下来，就是要做出合理的假设。
现实问题往往非常复杂，包含了太多的因素。
为了能够用数学方法来处理，我们必须对一些次要的因素进行简化和假设。
但要注意，这些假设不能太过于偏离实际情况，否则建立的模型就没有实用价值了。
有了假设之后，就可以选择合适的数学工具和方法来建立模型。
这就像是选择合适的工具来完成一项工作。
如果问题涉及到变量之间的线性关系，可能会用到线性规划；如果是要研究随机现象，概率统计就派上用场了；要是问题与变化的过程有关，微分方程可能就是一个好的选择。
建立好模型之后，就需要对模型进行求解和分析。
这可能需要运用数学运算、计算机编程等手段。
通过求解，我们可以得到一些结果，但这些结果并不是最终的答案，还需要对它们进行分析和解释。
看看这些结果是否合理，是否符合我们的预期。
比如说，通过一个数学模型计算出某个交通路口的最优信号灯时间设置，但如果这个时间设置在实际中根本无法实现，那就说明模型可能存在问题，需要重新调整和改进。
在模型求解和分析的过程中，还需要对模型进行检验。
可以用实际的数据来验证模型的准确性，如果模型的预测结果与实际情况相差较大，那就得重新审视模型的假设、参数和求解方法，对模型进行修正和完善。
数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
三、仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。
①离散系统仿真--有一组状态变量。
②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。
3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。
（参见：齐欢《数学模型方法》，华中理工大学出版社，1996）二、风扇的最优化布局设计为你上课的教室安装风扇，请你做风扇的最优化布局设计；建模提示：（1）在风扇数目一定的情况下，风扇的位置不同，效果也不同，是否一定存在一个最好的布局？（2）在风扇数目不定的情况下，就有一个安装多少台风扇为最佳方案的问题，自然也应该存在一个最佳数量结果。
数学建模理论与方法数学建模是指将实际问题抽象成数学模型，通过数学方法对问题进行分析和求解的过程。
它是数学与现实问题相结合的一种应用形式，涉及数学、物理、工程、计算机科学等多个领域。
数学建模的目的是为了解决实际问题，并为决策提供科学依据。
它可以帮助我们更准确地理解问题的本质，发现问题中的规律和关系，从而提出解决问题的方法。
在数学建模中，我们通常需要完成以下几个步骤：1. 问题调研和分析：首先明确问题的背景和目标，了解问题的具体情况，对问题进行分析。
这一步骤需要对问题进行细致的研究和了解，明确问题的条件和限制，以及问题所涉及的变量和参数。
2. 建立数学模型：将实际问题转化为数学模型。
数学模型是对问题进行抽象和简化的结果，可以是代数方程、微分方程、概率模型等。
建立数学模型是数学建模的核心环节，它要求将问题的特性与数学工具相结合，选取合适的数学方法和模型形式。
3. 模型求解：根据建立的数学模型，运用数学方法对模型进行求解。
常用的数学方法包括解析方法、数值方法、优化方法等。
求解的过程可能需要编写程序、进行数值计算等，这就需要借助计算机和数学软件进行计算和模拟。
4. 模型检验和优化：对求解结果进行检验和评估，比较模型的预测结果与实际情况，评估模型的准确性和可行性。
如果模型的预测结果与实际情况不符，需要对模型进行修正和优化，直至得到满意的结果。
5. 结果分析和解释：对模型的结果进行解释和分析，得出结论，并将结果以可视化的形式进行展示。
结果分析是数学建模的最后一步，它可以帮助我们理解问题的本质，指导实际决策。
在数学建模的过程中，我们还需要掌握一些常用的数学工具和方法。
比如，微积分、线性代数、概率论、优化理论等都是数学建模中常用的工具。
此外，我们还需要具备一定的计算机编程和数学建模软件的使用能力。
数学建模在科学研究、工程技术、经济管理等领域都具有重要的应用价值。
通过数学建模，我们能够对问题进行全面的分析和研究，得到精确和可靠的结果，为决策提供参考。
第二讲 数学建模的基本方法和步骤数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。
下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。
（注：用最初等的方法解决，越受人尊重）一 数学建模的基本方法一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。
建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清 楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。
面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。
如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。
而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。
对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。
二 数学建模的一般步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。
下面给出建模的一般步骤，如图1.2所示。
⑴ 模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”（即问题的提出）。
情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。
对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。
假设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。
常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。
有关数学建模的方法论数学模型指对于现实世界或虚拟世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出的一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
该结构能解释特定现象的现实形态，或者能预测对象的未来走向，或者能提供处理对象的最优策略或控制。
在这里数学建模被看作成为一种能实现某一特定目标的有用工具。
从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于目标世界的一小部分或几个方面抽象的“映像”。
数学模型的特征是：第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构，这意味着扬弃、筛选，是取舍次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。
第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式的应用，可以推广到与原物相近的一类问题。
第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。
数学模型分类有以下几种：按数学模型的功能可分为定量和定性的。
按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。
按数学模型结构可分为分析的，非分析的和图论的。
按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。
当然根据数学建模应用于不同的领域相应的方法也很多，那这里只根据游戏中常见的几个数学建模方法简单介绍下。
建模的一般步骤和原则一个理想的数学模型必须是能反映系统的全部重要特征，同时在数学上又易于处理，即它满足:模型的可靠性在允许的误差范围内，它能反映出该系统的有关特性的内在联系。
模型的适用性它易于用数学手段处理和计算。
一个实际问题往往是非常复杂的，而影响它的因素也是很多的。
如果想把它的全部影响因素都反映到数学模型中来，这样的那个很难甚至无法建立，即使能建立也是无法求解的，这样也是达不到要求满足需求的。
根据相关经验做出一个方法论，该方法论建模的一般步骤如下：1) 模型准备了解问题的实际背景也就是系统策划提供的规则和相应的逻辑，并通过沟通明确建模的目的。
第2章 数学建模方法论不同的实际问题，建模的模式千差万别，各不相同，这与问题的性质、建模的目的以及建模者自身的数学基础知识和专长有关。
然而，还是有一些普遍适用的思想方法与思维方式，本章将从方法论的角度介绍建模时通常会采用的一般方法。
2.1 概 论数学建模首先在学习形式上与别的数学课程有很大的差别，它不像许多人想像的那样单靠一个人、一支笔、一张纸就可以解决问题，它经常表现为一种集体性质的活动，三、五个人甚至于更多的人组成一个团队，通过个人的智慧和与别人的合作来解决一个甚至一类实际问题。
因此，培养良好的交流、合作和表达能力非常重要。
对于个人来讲，在整个建模过程中，应该自始至终坚持做好记录，独自思考时随时记下好的想法。
再次，在进行集体讨论时借助于文字进行交流，并记下讨论要点；工作中记下方法、计划、进程和结果，以辅助我们高效地进行交流以及作为论文写作的原始资料。
另外，思考时养成记录的习惯可以帮助我们整理思路，并经常可以激发我们产生出新的、创造性的思想。
其次，数学建模在思考方法和思维方式上与学习其他数学课程有很大差别。
这表现在数学建模过程是一种创新过程，它需要相当高程度的观察力、想像力以及一些灵感和顿悟。
数学建模讲求创新，而我们同学最缺乏的就是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂，创新思维主要有类比思维、归纳思维、逆向思维、发散思维、猜测思维等等。
下面介绍几种常用的思维方法。
2.1.1发散性思维方法发散性思维是创新思维的重要组成部分，是发明创造的一个有力的武器。
遇到问题(特别是难题)时最好不要有一点想法就一条路走下去，应把自己的思路尽量打开，去寻求更佳的方案。
这里介绍两种方法：一种是借助于一系列问题来展开思路；另一种是借助于下意识的联想来展开思路。
第一种方法我们称之为提问题法。
当你想到什么主意或者面临什么难题时，通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案。
一些常用的问题如下:(1)这个问题和什么问题相类似?(2)假如变动问题的某些条件将会怎样?(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样?(4)重新组合又会怎样?对问题已有初步的想法或解决方案时，为进一步打开思路还可提出以下问题:(5)我们还可以做些什么工作?(6)还有没有需要进一步完善的内容?(7)可否换一种数学工具来解决此问题?另一种方法我们称之为关键词联想法。
即抓住问题或方案的关键词，然后不受任何约束地浮想联翩，并把联想到的内容记在卡片上，再在这些卡片的激发下产生新的想法，进一步想出新的主意。
经过这样一个过程后，把积攒的卡片相互搭配，形成解决问题的初步思路与步骤。
例1．A 、B 两个加油站位于同一公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同一种汽油，彼此竞争激烈。
一天，A 站推出降价销售，以吸引顾客，造成B 站的顾客被拉走。
B 站决定也降价销售以拉回顾客。
请你站在B 加油站的立场上为其提供决策支持。
不论是A 加油站还是B 加油站，不管他们采用什么手段，其主要目的还是为获得更多的利润。
影响利润的主要因素有销售量和价格。
对于B 加油站来讲，其决策需要考虑销售量和成本价格，而销售量又取决于销售价格，销售价格的确定需要考虑A 站的销售价格，B 站确定的新的销售价格以及其他加油站的销售价格。
这些要素之间的关系如下：2.1.2 从整体上把握问题的方法价格 成本价格利用上面拓展思路的思维方法，我们对问题和问题的解决有了一些初步的认识后，可能还是不知从何处入手解决问题，往往陷于问题的某个局部而不能自拔。
这就要求我们必须努力把握住问题的全貌，而把握住问题的全貌的一个非常有效的途径便是研究问题的结构。
层次结构是一种最常见的结构。
许多问题都可以分解为若干个子问题，每个子问题又可以进一步分解，如此类推。
我们把各个部分用线段连接起来，便构成了一个具有层次结构的网状图。
我们还可以在图上进一步分析，并标示出问题的特点和难点部分，这样我们就能对问题的整体框架一目了然。
例2．某公司现有2个工厂，4个仓库，工厂单一生产某种产品，工厂和仓库均可向所辖的50个客户供货。
由于经营需要，公司拟对仓库作适当变更，变更的内容是指：可对1号库扩容；可在已选定的地址上新建一个仓库；可关闭2号库或3号库。
公司不主张仓库的个数超过4个。
由于向客户供货的运费和仓库改建的费用均由公司负担，故需建模为公司选择方案。
若有可能，应将所建模型推广为适应于雷斯蒂更一般情形下的方案选择。
显然，公司的目标是使总费用最小。
那么费用是怎么构成的呢？如下图：总费用结构图为：其中：另外再介绍一种简单而有效的把握问题整体的方法一一分解问题法，即将问题分解为“三要素”的三个部分，即分为：初态、目标态和过程。
1,2, ;1,2,3,4,5, ; 6,7,,55, i i i A i B i C i =≅=≅=≅工厂仓库客户;ij i j k c A B C ≅到及的单位运输费jk j k d B C ≅到的单位运输费.初态：觉察到的现在状态。
目标态：觉察到的希望目标。
过程：能在初态和目标态之间发生作用的行动。
“初态”可以理解为我们目前“有什么”，比如条件、数据等；“目标态”则往往是我们希望达到的、或想要得到什么或希望避免什么等等；“过程”则可以理解为我们要“做什么”。
例3．以例2说明。
初态：现有工厂和仓库以及运输费用和仓库改建费用。
目标态：扩容、新建或关闭。
过程：建立判断的优化管理方案及相应算法。
大家熟知的数学题目模式往往是从“已知”到“求(证)”，所以目前的教学很大程度上是致力于教会学生们在给定条件下“怎样做”以达到目标，换言之，在事先己设定好初态和目标态的情况下，教会你采用何种过程来达到目标。
可是我们在解决实际问题时，通常要尽很大的努力才能分析出问题的初态和目标态。
需要避免的是，在清晰地描述出问题的初态和目标态之前，不要急于去形成并运用一个过程，即过早地进入解决问题的阶段。
这样做的后果是：由于条件不清、目标不明，好比盲人摸象似的，工作很可能事倍功半。
2.1.3 小组群体思维的方法前面已经说过，数学建模经常表现为一种集体性质的活动，它经常需要不同部门或不同专长的人们相互合作，各自发挥自己的特长，正如俗话所说“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”。
在建模活动中，经常会发生这样的事：两个合作者(尤其是青年学生)激烈地争论了很久，双方都不让步；又或者在没有搞清楚对方想法的情况下，盲目地争论否认对方的想法，在争论很久以后才发现双方的论点竟然是完全一致的。
为了高效率地合作，提高交流能力，减少无谓的争辩，在建模时有必要制定一些交流、讨论的原则。
首先，良好的合作必须建立在相互平等、相互尊重和充分交流的基础上。
要真正做到这一点，就必须注意一些“交流忌语”：(1)武断的评价。
轻易使用“这绝对不行”、“这根本行不通”这类语句，不仅会刺伤同伴的自尊心，往往还会束缚自己思路。
(2)回避责任。
遇到问题的第一反应便是“怎么办呢?”，这是只能依靠别人时所使用的语句。
而“我想这样做，你看怎么样?”这种自己也承担一部分责任的态度是很必要的。
如若不然，对问题的观察和分析、对工作的适应能力就会变得越来越迟钝。
(3)无可奈何。
“没办法!”，说这话只是为了回避问题，不仅使自己的能力不能充分发挥出来，而且还会压抑人们对问题的深入观察、思考和实际行动的能力。
(4)对交流失去信心。
“很难听懂他说的什么”、“他简直无动于衷!”，这也反映出一种对待问题的消极态度。
面对问题应采取积极的态度去分析、去解决。
这里应该从说、听两个方面去检查原因：表达者是否清楚地表达了自己的意思?最好把自己的想法写出来，这样使对方有充分的时间去思考并理解你的思想，同时你在书写的时候还能更好地整理你的思路。
作为倾听的一方应积极反馈，“你对哪一部分还不理解?”或“我是这样理解的，你看对不对？”。
交流中还必须注意学会倾听，首先让对方把话说完，稍加思考后再发表自己的看法。
倾听的时候，努力去把握对方讲话的要点，最好做一下笔记，并用反馈的方式确认是否真正理解了对方的思路。
另外，正确的身体姿态也会增强交流的效果，如目光正视对方、理解时面带微笑地点点头以鼓励对方继续下去。
相反的，如果听的一方左顾右盼，或毫无表情，则会严重影响讲话者的情绪。
事实上，正确的肢体语言可强化交流效果，反之，错误的肢体语言很可能造成对方的反感，致使交流失败。
一位名叫阿莱斯库·奥兹庞的美国人提出了一种集体思考法方法，这种方法是采取召开会议的形式，让大家畅所欲言地出主意、想办法。
作为一条原则，就是对别人的意见不予批评，让大家自由地思考、不受约束地提出各自的方案，或借助于别人的想法进一步制定出更好的方案。
总之，在一个开放的环境中，大家应充分交流、相互启发、积极吸取别人的长处.2.2 建模方法论在第一章中我们介绍了数学建模的一般步骤和流程，其中最为重要的五个步骤为：问题的分析、模型假设、建立模型、模型求解以及对模型的分析、检验、修改与推广。
当我们面临新的建模问题时，由这五个步骤构成的流程是非常具有指导意义的。
下面我们结合实例对上述流程的各个步骤作具体说明。
2.2.1问题分析（模型准备）进行数学建模和做很多数学“应用题”具有非常显著的差别，首先，“应用题”通常有不多不少恰到好处的条件和数据，内容和方法也基本限制在该节或该章。
而数学建模问题经常是由各领域的应用者提出的，因而既不可能明确提出该用什么方法，也不会给出恰到好处的条件(可能有多余的条件，也可能缺少必要的条件和数据)。
更经常出现的情形是：问题本身就是含糊不清的。
问题含糊不清的产生原因很可能是来自不向领域的人们相互间的交流发生障碍，也可能是提出问题的人只是感觉到需要解决某些方面的问题，但他还不能清楚地描述这个问题，当然，也可能存在你对问题是否能准确理解的情形.所以，数学建模的第一步便是对问题的分析。
为此，要充分了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，尽可能弄清楚对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据。
要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出（这时是不怕多的，只怕一个也列不出）。
至此，我们便有了一个很好的开端，因而可以初步确定用哪一类模型。
只有情况明确了才能保证方法对，这一步一定不能忽视。
如果不经过这一步，过早地着手解决问题，往往会陷入一些意想不到的陷阱，或者偏离方向。
我们看一下的例子。
例4．（方桌问题）日常生活中经常碰到这样的事情：把方桌置于地面上时，常常是只有三只脚着地而放不稳，通常需要调整几次方可将方桌放稳，试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具给予说明：方桌能否在地面上放稳?若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由。
我们来看看这个似乎与数学毫无关系的实际问题怎样一步步转化为数学问题，并用数学工具给以证明的。
问题分析：所谓方桌能否在地面放稳是指方桌的四个脚能否同时着地，而四个桌脚是否同时着地是指四个桌脚与地面的距离是否同时为零。
