2018届高考数学二轮复习专题八课时作业二十一坐标系与参数方程理

第23讲 选修4－4 选修4－5(对应学生用书第118页)一、选择题1.(2017·全国Ⅰ卷)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【导学号：07804137】[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16. 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ(t 为参数，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．[解] 由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12，∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．[解] (1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立， 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ， 所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ， 14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169 ＝1336⎝⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取到最小值为1613.3.(2016·全国Ⅰ卷)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【导学号：07804138】[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2016·全国Ⅰ卷)选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图23­1[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2. (1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．[解](1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由题可得曲线C 2的方程为x 24＋y 2＝1.所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ＋15sin θ＝45sin (θ＋φ)， 其中cos φ＝15，sin φ＝25.所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为4 5.此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z )，所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，15.所以直线l 1的普通方程为y ＝14x .(2017·全国Ⅱ卷)选修4­5：不等式选讲 已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2.。

2018年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）1.（2018·北京卷理科）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__ _．解析：直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>化为普通方程为：0x y a +-=.圆2cos ρθ= 化为标准方程为：22(1)1x y -+=.因为直线圆相切，所以，圆心C (1,0)到直线0x y a +-=的距离等于圆的半径11=,又0a >,解得1a =2.（2018·天津卷理科）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线132x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为 .解析：直线123x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程为：20x y +-=.圆2220x y x +-=化为标准方程为：22(1)1x y -+=.圆心(1,0)C到直线的距离为d =,圆的半径为1,利用勾股定理得弦AB =于是三角形ABC ∆的面积为：1122=. 3.（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（Ⅰ）求2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 有且仅有三个的公共点时，求1C 的方程.解析：（Ⅰ）由22cos 30ρρθ+-=可得22230x y x ++-=即22(1)4x y ++=，曲线2C 是以(1,0)A -为圆心，2为半径的圆.（Ⅱ）由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 为2，所以2=，故故43k =-．经检验，当43k =-时，1l 与2C 2l 与2C 有两个公共点．4. （2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 截直线l 所得的线段的中点坐标为(1,2)，求直线l 的斜率.解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（Ⅱ）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )013cos t t ααα++=-=+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．A5. （2018·全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xoy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点. （Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解析：（Ⅰ）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π． （Ⅱ）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，点P的轨迹的参数方程是2,x y αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．。

专题限时集训(二十)坐标系与参数方程 不等式选讲[建议用时：45分钟] [A 组 高考题体验练]1．(2017·全国卷Ⅰ)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．1分 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0．2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425．4分(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.5分当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;7分当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.9分 综上，a ＝8或a ＝－16．10分(2017·全国卷Ⅰ)选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①1分当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；2分 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 3分当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172．4分所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. 5分 (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，6分所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.7分 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．10分2．(2017·全国卷Ⅱ)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ．1分 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 3分 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). 5分(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，6分于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 9分当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋3．10分(2017·全国卷Ⅱ)选修4－5：不等式选讲已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 62分 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. 5分(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )7分≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34， 所以(a ＋b )3≤8，所以a ＋b ≤2．10分3．(2017·全国卷Ⅲ)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 1分 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．2分设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝1kx ＋消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．4分所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). 5分(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．6分联立⎩⎨⎧ρ22θ－sin 2θ＝4，ρθ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 8分故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为5．10分(2017·全国卷Ⅲ)选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 1分当x ＜－1时，f (x )≥1无解；2分当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；3分当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2． 4分所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.5分(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ．6分而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，9分且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54．10分[B 组 模拟题提速练]1．(2017·南昌一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值. [解] (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0，2分由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .5分(2)设A ，B 两点所对应参数分别为t 1，t 2，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t得2t 2－22t ＋1－4a ＝0，∵两曲线有两个不同的交点，则Δ＝(22)2－4×2(1－4a )＞0，即a ＞0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2，根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又由|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，7分∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136＞0，符合题意；8分当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94＞0，符合题意.9分 综上所述，实数a 的值为136或94．10分(2017·南昌一模)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a ＜2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． [解] (1)由题f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 2分∵不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4].5分(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1，当a ＜2时，a2＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜a 2，x －a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a － 1 x ＞，7分由图可知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3， 解得a ＝－4＜2(符合题意)，即a ＝－4．10分2．选修4－4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. [解] (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 2分 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数). 5分(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ． 8分 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1,1＋2或1－2． 10分选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.【导学号：04024171】[解] (1)当m ＝3时，f (x )≥5，即|x ＋6|－|x －3|≥5， ①当x ＜－6时，得－9≥5，所以x ∈∅；②当－6≤x ≤3时，得x ＋6＋x －3≥5，即x ≥1，所以1≤x ≤3； ③当x ＞3时，得9≥5，成立，所以x ＞3． 4分 故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≥1}. 5分(2)因为|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|. 由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7， 8分 解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围是[－13,1]． 10分3．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，P 点的极坐标为(2，π)，曲线C的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点坐标； (2)设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求|PM |的值．[解] (1)把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρcos 2θ＝sin θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＝y ，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.5分(2)点P 的直角坐标为(－2,0)，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中， 设点A ，B ，M 对应的参数为t 1，t 2，t 0. 由题意可知t 0＝t 1＋t 22.7分把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得t 2－52t ＋8＝0．8分因为Δ＝(52)2－4×8＝18＞0， 所以t 1＋t 2＝52，则|PM |＝|t 0|＝522．10分选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞0；(2)若f (x )＋3|x －4|≥m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5＞0，得x ＞－5，所以x ≥4成立．2分当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3＞0，得x ＞1，所以1＜x ＜4成立．4分当x ＜－12时，f (x )＝－x －5＞0，得x ＜－5，所以x ＜－5成立．综上，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－5}．6分 (2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9． 8分 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m ≤9．10分4．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的任意点，求|AB |的最小值． [解] (1)C 1：x －2y －32＝0，C 2：x 24＋y 2＝1．4分(2)设B (2cos θ，sin θ)，则|AB |＝|2cos θ－2sin θ－32|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－325． 8分当且仅当θ＝2k π－π4(k ∈Z )时，|AB |min ＝25＝105．10分选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若∀x ∈R ，不等式f (x )≥a |x |恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)不等式f (x )≥2等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－x ＋1－2x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜1，1－x ＋2x －1≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x －1≥2，3分解得x ≤0或x ≥43，因此不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43. 5分 (2)当x ＝0时，f (x )＝2，a |x |＝0，原式恒成立；6分当x ≠0时，原式等价转换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≥a 恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x min ．8分∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝1，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0，即12≤x ≤1时取等号， ∴a ≤1．10分。

专题八 第一讲 坐标系与参数方程A 组1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝12t .(t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy 中相同)的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝2a cos θ(a >0)，l 与C 相切于点P .(1)求C 的直角坐标方程； (2)求切点P 的极坐标．[解析] (1)l 表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C 表示以C ′(a,0)为圆心，a 为半径的圆．∵l 与C 相切，∴a ＝12(3－a )，⇒a ＝1．于是曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 于是x 2＋y 2＝2x ，22－2x ＝0． OP ＝3． 22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0． 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为6．3．(2017·玉溪一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数).(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t ，(t 为参数)平行的直线l 的普通方程．(2)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值．[分析] (1)由直线l 与直线m 平行可得l 的斜率，将椭圆C 的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l 方程．(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．[解析] (1)由C 的参数方程可知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴右焦点F 2(4,0)，将直线m 的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，所以k ＝12，于是所求直线方程为x －2y －4＝0．(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π2)，则S ＝4|xy |＝60sin φcos φ＝30sin2φ，∴当2φ＝π2时，S max ＝30，即矩形面积的最大值为30．4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.C 的距离最小时，求P 的直角坐标． ρ2＝23ρsin θ， －3)2＝3． ，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，点的直角坐标为(3,0)．B 组1．(2017·德州模拟)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解析] (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|．当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．2．(2017·广州模拟)在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0).(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值；(2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．[解析] (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x ．曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1．曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32．(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9．圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355．所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝ 29－3552＝1255．3．(文)(2016·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.[解析] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋1232t 21，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167．所以AB ＝|t 1－t 2|＝167．(理)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.C 的标准方程；两点，求|PA |·|PB |的值．的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t .t 为参数．(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1、t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3． 4．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．[解析] (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．。

课时跟踪检测（二十一） 坐标系与参数方程1．(2017·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程； (2)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA |＋|EB |.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得t 2－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝ 5.2．(2017·张掖模拟)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．①曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)． (2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋1＋1|2＝2，所以|AB |的最小值为2－1.3．(2018届高三·昆明一中调研)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)．(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得点P 的直角坐标为(3，3)，由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)得x 2＋(y ＋3)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4. (2)直线l 的普通方程为x ＋2y ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)，设Q (2cos α，－3＋2sin α)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos α，sin α， 故点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos α＋2sin α＋112＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5α＋φ＋525≥－5＋525＝52－1⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴点M 到直线l 的距离的最小值为52－1. 4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5．(2017·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，∴直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0， 即x 2－4y ＝0.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2， ∴点M 的直角坐标为(0,1)．∴tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. ∵Q 为线段AB 的中点， ∴点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1,0)，则|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝3 2.6．(2017·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a ＞0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 面积的最大值．解：(1)由题意知，曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)， 所以a ＝1.(2)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sinπ3＝2a ，所以|AB |＝3a .又|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos π3≥|OA |·|OB |，当且仅当|OA |＝|OB |时取等号，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24，所以△OAB 面积的最大值为33a24.。

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限时规范训练坐标系与参数方程错误!解答题（本题共4小题，每小题１０分,共4０分)1.（2017·河南六市联考)在直角坐标系xＯy中,曲线Ｃ1的参数方程为错误!(其中α为参数)，曲线C２：(x-1）2+y２＝１,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1）求曲线C1的普通方程和曲线Ｃ2的极坐标方程．(2）若射线θ＝错误!（ρ>0）与曲线C１,Ｃ2分别交于A,B两点，求|ＡB|。

解：（１)因为曲线C1的参数方程为错误!(其中α为参数),所以曲线C1的普通方程为x2+（ｙ-2)２＝7。

因为曲线Ｃ２:（x-１)2＋y2＝１，所以把x＝ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-１)2＋y２＝1,得到曲线C2的极坐标方程（ρcos θ-1)2＋（ρｓin θ)2＝１，化简得ρ＝２cｏs θ.(2）依题意设A错误!,Ｂ错误!,因为曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsin θ-３＝0,将θ＝＼f(π,6)(ρ>0）代入曲线C１的极坐标方程,得ρ2－２ρ－3＝0,解得ρ1＝３,同理，将θ＝＼ｆ(π,６)（ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程．得ρ2=错误!,所以｜ＡＢ|＝|ρ１－ρ2|＝3－错误!。