高考数学二轮复习 教师用书 小题综合限时练 文

“12＋4"限时提速练(二)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为实数集R，M＝{x∈R｜x≤5},N＝｛1，2，3，4｝，则(∁R M)∩N＝（）A．{4｝B．｛3，4｝C．{2，3，4} D．｛1，2,3，4｝解析：选B 由题意可得∁R M＝｛x｜x＞错误!｝，(∁R M）∩N ＝｛3,4}．2．设复数z满足z（3＋i）＝10i（i为虚数单位)，则z的共轭复数为（)A．－1＋3i B．－1－3iC．1＋3i D．1－3i解析：选D 由题意可得，z＝错误!＝错误!＝1＋3i，∴z＝1－3i。

3．已知a,b为实数，则“a＋b≤2”是“a≤1且b≤1”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由“a≤1且b≤1”可推出“a＋b≤2"，但“a＋b≤2”推不出“a≤1且b≤1”，故选C.4．设直线y＝kx与椭圆错误!＋错误!＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于（)A。

错误!B．±错误!C．±错误!D。

错误!解析：选B 由题意可得，c＝1，a＝2，b＝3，不妨取A点坐标为错误!，则直线的斜率k＝±错误!。

5．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1、2、3、4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（)A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!解析：选D 抛掷两次该玩具共有16种情况：（1,1),（1,2）,（1，3),（1,4）,(2,1），…，（4，4)．其中乘积是偶数的有12种情况：（1,2)，（1，4），(2，1)，(2，2)，（2，3），（2，4），(3，2），(3,4），(4，2)，（4,4）,(4，1)，(4，3）．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P＝错误!＝错误!.6．如图是函数f（x)＝sin 2x和函数g(x）的部分图象,则g（x)的图象可能是由f（x）的图象( )A．向右平移错误!个单位得到的B．向右平移错误!个单位得到的C．向右平移错误!个单位得到的D．向右平移错误!个单位得到的解析：选B 由题意可得,在函数f（x）＝sin 2x的图象上，错误!关于对称轴x＝错误!对称的点为错误!,而错误!－错误!＝错误!，故g（x）的图象可能是由f（x)的图象向右平移π3个单位得到的．7．一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．30 D．32解析：选B 由题意可得该几何体为三棱锥，底面是直角边为6的等腰直角三角形，三棱锥的高h＝错误!＝4，故其体积V＝错误!×错误!×6×6×4＝24。

（通用版）2017届高三数学二轮复习教师用书文当你打开本书，你会发现她与众不同：她不同——没有按传统目录去编排；她不同——没有按固定体例去“套”．传统目录太“老”——已不能适应全国卷的高考．全国卷考什么，怎么考，传统目录区分度不高，指导性不明．“方向比努力更重要”，这一点，对二轮复习尤显重要！体例固定太“板”——二轮复习时间紧、任务重，该学什么，怎么学，如果再轻重不分，难易无别，一条道走到黑，哪有这么多时间任你我折腾！当研究完全国新课标卷近5年的高考题，你就会发现，本书的编排设计竟是如此的精妙！因为高考这样考，所以本书这样编排设计[全国课标卷5年考情统计分析]一、30%的题目是基础题目，主要集中在6大知识点进行命题(一)集合与常用逻辑用语1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多在第1题的位置以选择题形式进行考查，难度较小，命题的热点依然会集中在集合的运算上，常与简单的一元二次不等式结合命题．2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题．(二)平面向量[命题分析]1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第2～6或第13～15题的位置上，难度较低，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．(三)不等式[命题分析]1．不等式作为高考命题热点内容之一，多以选择题、填空题的形式进行考查，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．2．题目多出现在第13～15题的位置上，难度中等，但命题的模式比较固定，只要平时多加练习得分不难．3．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．(四)空间几何体的三视图、表面积与体积[1．“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第6～7题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第9～11题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．(五)算法、复数、推理与证明[1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第2～3题的位置，难度较小，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在6～9题的位置上，难度中等偏下，都是考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、统计等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．(六)统计与统计案例[命题分析]1．统计与统计案例是高考命题的热点之一，从题型上看，多为选择题和解答题．2．选择题常出现在第3～4题的位置，多考查统计图表的识别、抽样方法的选取、变量间的相关性判断等，难度较小．3．解答题常出现在第18～19题的位置，多考查用最小二乘法求线性回归方程、样本的相关性检验、用样本估计总体等，难度中等．二、50%的题目是中等题目，主要集中在12个命题点上(七)函数的图象与性质[命题分析]1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域，分段函数函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．题型多以选择题、填空题形式考查，一般出现在第9～11或第13～15题位置上，难度中等．2．此部分内容有时出现在选择题、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．(八)基本初等函数、函数与方程1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第7～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．(九)导数的简单应用[命题分析]1．此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．(十)三角函数的图象与性质[1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～11或第14题位置上．(十一)三角恒等变换与解三角形1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上．3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．(十二)数列1．高考主要考查两类基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2．若以解答题形式考查，往往与解三角形交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．(十三)点、直线、平面之间的位置关系1．高考对此部分命题较为稳定，选择题、填空题多考查线面位置关系的判断，此类试题难度中等偏下．2．解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．(十四)直线与圆[命题分析]1．圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第12题或第16题位置，难度很大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．(十五)圆锥曲线的方程与性质[命题分析]1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～10题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等．2．圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大．(十六)概率[1．对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．2．选择或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．3．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与频率与概率的关系、数据的数字特征相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．(十七)选修4－4(坐标系与参数方程)[命题分析]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．(十八)选修4－5(不等式选讲)[命题分析]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．三、20%的题目是较难题目，主要集中在3大块(一)选择题、填空题中的压轴题[命题分析]1．每年高考题中的第12题和第16题都有一定难度，所考查的知识点多样，有函数的零点与不等式，函数、导数与不等式，数列与不等式，圆锥曲线的综合问题和一些知识点的创新问题等．2．学有余力的考生在对此部分内容复习时要有深度和广度，能力一般的考生要掌握一定的答题技巧，争取拿分．(二)解答题第20题压轴题1．解答题第20题压轴题一般考查解析几何的有关内容，难度较大．2．本题常考查直线与圆锥曲线的位置关系、最值、范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值与范围的求解，综合性强．(三)解答题第21题压轴题[命题分析]1．解答题第21题压轴题一般考查利用导数研究函数的有关性质，难度中等偏上．2．本题考查内容灵活多变，常涉及分类讨论思想、数形结合思想．另外，多与不等式、方程根的分布及函数的值域等问题相结合设置成综合性试题，难度较大．题型专题(一) 集合与常用逻辑用语集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[题组练透]1．(2016²全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B ＝( )A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．2．(2016²河南六市联考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B ∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.3．(2016²江西两市联考)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x＜6} D．{x|x<－1}解析：选C 由x2－5x－6＜0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为∁U B＝{x|x≥0}，所以(∁U B)∩A ＝{x|0≤x＜6}，故选C.4．(2016²湖北七市联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )A．147 B．140 C．130 D．117解析：选B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，与y＝3，y ＝5时，没有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3³50－10＝140，故选B.5．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}[技法融会]1．集合运算中的3种常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解；(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．2．(易错提醒)在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B 时，易忽略A＝∅的情况.充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.[题组练透]1．(2016²湖北七市联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a²b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C |a²b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故p是q成立的充要条件，选C.2．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )A．┐p是q的必要不充分条件B．┐q是p的必要不充分条件C．┐p是┐q的必要不充分条件D．┐q是┐p的必要不充分条件解析：选C 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q p，由互为逆否命题的两命题等价可得┐q⇒┐p，┐p┐q，∴┐p是┐q的必要不充分条件，选C.3．(2016²天津高考)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，故q<0是q<－1的必要而不充分条件．故选C.4．已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]解析：选A 由3x＋1<1，可得3x＋1－1＝－x＋2x＋1<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2.[技法融会]1．判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．(易错提醒)“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定是┐p：∃x0∈M，┐p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定是┐p：∀x∈M，┐p(x)．[题组练透]1．(2016²南昌一模)已知命题p：函数f(x)＝|cos x|的最小正周期为2π；命题q：函数y＝x3＋sin x的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A．p∧q B．p∨qC．(┐p)∧(┐q) D．p∨(┐q)解析：选B 因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．2．(2016²浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．3．(2016²广州五校联考)以下有关命题的说法错误的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则┐p：∀x∈R，均有x2＋x＋1<0解析：选D 选项D中┐p应为：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.故选D.[技法融会]1．命题真假的4种判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p∨q，p∧q，┐p命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．2．(易错提醒)“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．一、选择题1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.2．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y＝3上的点，联立可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.3．(2016²武汉调研)已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x<1，则┐p 是 q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由题意，得┐p 为x <1，由1x<1，得x>1或x<0，故q 为x >1或x<0，所以┐p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D.4．(2016²河南八市质量检测)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D 因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.5．(2016²天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．6．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{6，8}B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8}解析：选A 法一：由已知得全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以∁U A ＝{5，6，7，8，9}，而B ＝{2，4，6，8}，故(∁U A )∩B ＝{6，8}，所以选A.法二：因为2，4∈A ，所以2，4∉∁U A ，故2，4∉(∁U A )∩B ，所以排除B 、C 、D ，所以选A. 7．若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是( ) A ．a >－2 B ．a ≤－2C ．a >－1D ．a ≥－1解析：选C A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－2<x <a }，如图所示：∵A ∩B ≠∅，∴a >－1.8．(2016²皖江名校联考)命题p ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0>2；命题q ：命题“∃x 0∈R ，2x 20＋3x 0－5＝0”的否定是“∀x ∈R ，2x 2＋3x －5≠0”，则四个命题(┐p )∨(┐q )，p ∧q ，(┐p )∧q ，p ∨(┐q )中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(┐p )∨(┐q )真，p ∧q 假，(┐p )∧q 真，p ∨(┐q )假．9．如图所示的程序框图，已知集合A ＝{x |x 是程序框图中输出的x 的值}，集合B ＝{y |y 是程序框图中输出的y 的值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当输入的x ＝－1时，(∁U A )∩B 等于( )A ．{－3，－1，5}B ．{－3，－1，5，7}C ．{－3，－1，7}D ．{－3，－1，7，9}解析：选D 根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x 值依次为0，1，2，3，4，5，6；y 值依次为－3，－1，1，3，5，7，9.于是A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，因此(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}．10．(2016²广州高考模拟)下列说法中正确的是( ) A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则┐p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D f (0)＝0，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则┐p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且┐q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1，2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)²f (1)<0，即－1²(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则┐q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且┐q 为真命题，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.故选C.12．(2016²浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则┐p ：_______________________.解析：全称命题的否定为特称命题，┐p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．已知集合A ＝{x ∈R||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．解析：A ＝{x ∈R||x －1|<2}＝{x ∈R|－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0，1，2，故A ∩Z ＝{0，1，2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.答案：315．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.答案：(－∞，－2]16．对任意两个集合X ，Y ，定义X －Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }，X ΔY ＝(X －Y )∪(Y －X )．设A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R}，则A ΔB ＝________.解析：由已知得A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}＝[0，＋∞)．B ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R}＝[－3，3]，于是A －B ＝(3，＋∞)，B －A ＝[－3，0)，故A ΔB ＝[－3，0)∪(3，＋∞)．答案：[－3，0)∪(3，＋∞)题型专题(二) 平面向量(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组练透]1．(2016²河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n ＝－2.2．(2016²唐山模拟)在等腰梯形ABCD 中，M 为BC 的中点，则＝( )解析：选 B因为，所以.又M是BC的中点，所以，故选B.3．(2016²广州综合测试)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则mn＝( )A．－3 B．－13C.13D．3解析：选A过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，∴∴mn＝1－13＝－3.4．(2016²杭州综合测试)设P是△ABC 所在平面内的一点，且，则△PAB 与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B ∵，∴，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC 上的高相等，∴S△PABS△PBC＝＝12.[技法融会]1．平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb)来判断．2．(易错提醒)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．(2)求非零向量a ，b 的夹角，一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．(3)向量a 在向量b 方向上的投影为a ²b|b |＝|a |cos θ(θ为两向量的夹角)．[题组练透]1．(2016²全国丙卷)已知向量＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选A 因为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12， 所以²＝34＋34＝32.又因为²＝||||cos ∠ABC ＝1³1³cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.2．(2016²合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ²(a －2b )＝|a |2－2a ²b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ²b ＋|b |2＝|b |＝2，选项B 正确．3．(2016²重庆二测)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3 D.332解析：选A 依题意得e 1²e 2＝1³1³cos2π3＝－12，|a |＝（e 1＋2e 2）2＝e 21＋4e 22＋4e 1²e 2＝3，a ²b ＝(e 1＋2e 2)²(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1²e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a ²b |a |＝－923＝－332，选A.4．(2016²天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118解析：选B 如图所示，＝＋又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以，，所以.又，则.又＝1，∠BAC ＝60°， 故＝34－12－14³1³1³12＝18.故选B. 5．(2016²长春质检)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是________．解析：由题意，b|b |＝(0，1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |表示同起点的向量tb|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |的取值范围是[1，13 ]．答案：[1，13 ][技法融会]1．平面向量数量积运算的2种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．2．(易错提醒)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．一、平面向量与其他知识的交汇平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[新题速递]1．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ²bx ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 解析：选D 设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ²bx ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a ²b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4³(－6)³(6a ²b )≤0，解得a ²b ≤－14|a |2，因为a ²b ＝|a ||b |cos θ，且|a |＝2|b |≠0，所以|a ||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.2．(2016²广东茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53解析：选B ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ³13(2x ＋3y )＝13(6＋9y x ＋4x y ＋6)≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x ²4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.[技法融会]这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇．第1题由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量的夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平面向量的知识得到有关x 和y 的一个等式，再利用基本不等式求解．二、新定义下平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．[新题速递]1．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a ³b 为a 与b 的“向量积”，且a ³b 是一个向量，它的长度|a ³b |＝|a ||b |sin θ，若u ＝(2，0)，u －v ＝(1，－3)，则|u ³(u ＋v )|等于( )A ．4 3 B. 3 C ．6 D ．2 3解析：选D 由题意v ＝u －(u －v )＝(1，3)，则u ＋v ＝(3，3)，cos 〈u ，u ＋v 〉＝32，得sin 〈u ，u ＋v 〉＝12，由定义知|u ³(u ＋v )|＝|u |²|u ＋v |sin 〈u ，u ＋v 〉＝2³23³12＝2 3.故选D.2．定义平面向量的一种运算a ⊙b ＝|a ＋b |³|a －b |³sin 〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a |＝|b |，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a ²b ；③若|a |＝|b |，则a ⊙b ≤2|a |2；④若a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．。

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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。

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高考小题标准练(十一)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|1≤x ≤2}，B={x|x 2-1≤0}，则A ∩B=( ) A.{x|-1<x<1} B{x|-1<x<2} C.{1} D.{-1，1}【解析】选C.由已知，得A={x|1≤x ≤2}，B={x|-1≤x ≤1}，则A ∩B={x|x=1}. 2.已知复数z 满足(2-i)2·z=1，则z 的虚部为( ) A.325i B.325C.425i D.425【解析】选D.设复数z=a+bi ，则由(2-i)2·z=1可得：(4-4i-1)·(a+bi)=1，即3a+4b+(3b-4a)i=1，所以{3a +4b =1,3b −4a =0,解得：a=325，b=425，故z 的虚部为425.3.已知log 2a>log 2b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a >1bB.log 2(a-b)>0C.2a-b<1 D.(13)a <(12)b【解析】选D.由log 2a>log 2b 得a>b>0，所以(13)a <(13)b <(12)b，故选D.4.函数f(x)=x 2+bx 的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2021=( )A.1B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016【解题提示】由f ′(1)与直线斜率相等可得f(x)的解析式，从而可得数列{1f(n)}的通项公式，计算可得答案.【解析】选D.f ′(x)=2x+b ，由直线3x-y+2=0可知其斜率为3， 依据题意，有f ′(1)=2+b=3，即b=1， 所以f(x)=x 2+x ，从而数列{1f(n)}的通项为1f(n)=1n 2+n =1n -1n+1，所以S 2021=1-12+12-13+…+12 015-12 016=2 0152 016.5.直线x-y+1=0被圆x 2+y 2+2my=0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m=( ) A.√6-2或√6+2 B.2+√6或2-√6 C.1 D.√6【解析】选B.圆的方程即x 2+(y+m)2=m 2，圆心(0，-m)到已知直线的距离d=|m+1|√2=√3|m|2，解得m=2+√6或m=2-√6.6.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是 ( )【解析】选A.由f ′(x)的图象可知f(x)在(-2，0)上是单调递增的， 在(-∞，-2)，(0，+∞)单调递减，故选A.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是74，则( )A.a=3B.a=4C.a=5D.a=6【解析】选A.第一次：S=32，k=2；其次次：S=53，k=3；第三次：S=74，k=4，退出循环，故选A.8.已知不等式组{x −y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1表示的平面区域为D ，若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则a 的取值范围为( )A.(-∞，2)B.(-∞，1)C.(2，+∞)D.(1，+∞)【解析】选A.平面区域D 如图所示，先求z=ax+y 的最小值，当a ≤12时，-a ≥-12，z=ax+y 在点A(1，0)取得最小值a ；当a>12，-a<-12，z=ax+y 在点B (13,13)取得最小值13a+13.若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则有z=ax+y 的最小值小于1，所以{a ≤12,a <1或{a >12,13a +13<1,解得a<2，故选A.9.在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →=0，2AB →2+BD →2-4=0，若将其沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 的外接球的表面积为( )A.16πB.8πC.4πD.2π【解题提示】由已知中AB →·BD →=0，可得AB ⊥BD ，沿BD 折起后，由平面ABD ⊥平面BDC ，可得三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ，进而依据2AB 2→+BD 2→-4=0，求出三棱锥A-BCD 的外接球的半径.【解析】选C.平行四边形ABCD 中，由于AB →·BD →=0，所以AB ⊥BD ， 沿BD 折成直二面角A-BD-C ， 由于平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ， 所以AC 2=AB 2+BD 2+CD 2=2AB 2+BD 2=4，所以外接球的半径为1，故表面积是4π.10.已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示.x -1 0 2 4 5 y1221若函数y=f(x)-a 有4个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.[1，2) B.[1，2] C.(2，3) D.[1，3)【解析】选A.依据导函数的图象可知：y=f(x)在[-1，0]，[2，4]单调递增，在[0，2]，[4，5]单调递减，将函数的大致图象画出，所以若y=f(x)-a 有4个零点，则a ∈[1，2)，所以答案为A.【加固训练】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0， +∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，则方程f(x)-f ′ (x)=2的解所在的区间是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1，2) D.(2，3)【解析】选C.对任意的x ∈(0，+∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，又由f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，则f(x)-log 2x 为定值，设t=f(x)-log 2x ，则f(x)=log 2x+t ，又由f(t)=3，即log 2t+t=3， 解得t=2；则f(x)=log 2x+2，f ′(x)=1xln2，由于f(x)-f ′(x)=2， 所以log 2x+2-1xln2=2，即log 2x-1xln2=0，设h(x)=log 2x-1xln2，可知h(x)在定义域上为单调增函数，又由于h(1)=log 21-1ln2<0，h(2)=log 22-12ln2=1-1ln4>0，所以h(x)=log 2x-1xln2的零点在区间 (1，2)上，即方程f(x)-f ′(x)=2的解所在的区间是(1，2).二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，则x= .【解析】由于a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，所以x 2-1=(2+x)x ，解得x=-12.答案：-1212.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 .【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，其表面积为：S=12×π×22+12×4×4+12×12×2π×2×√42+22=8+(2+2√5)π.答案：8+(2+2√5)π13.椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是 .【解析】椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2的坐标为(-2，0)，(2，0)，设点P的坐标为(x 0，y 0)，由题意x 024+y 023=1，所以y 02x 02−4=-34，又由于k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=-34，k PA 1=−34k PA 2，直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，所以38≤k PA 1≤34.答案：[38,34]14.抛物线y 2=-12x 的准线与双曲线x 26-y 22=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .【解析】抛物线的准线方程为x=3，双曲线的渐近线方程为y=±√33x ，所以所要求的三角形的面积为12×3×2√3=3√3.答案：3√315.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 .【解析】全部基本大事为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共计8个，总分至少4分的大事可分为“两黑一红”，“一黑两红”，“三红”这三个互斥大事，所以P=38+38+18=78；也可求对立大事“总分少于4分”即“三黑”的概率为18，所以P=1-18=78. 答案：78关闭Word 文档返回原板块。

“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－1≤log 2 016x ≤1}，B ＝{y |y ＝2x ＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2 016，0] B ．[0，2 016] C ．(2，2 016] D ．(－∞，2 016]解析：选C 由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12 016≤x ≤2 016，B ＝{y |y ＞2}，所以A ∩B ＝(2，2 016]． 2．“∀x ∈R ，2x －12x ＜1”的否定为( )A ．∀x ∈R ，2x －12x ≥1B ．∀x ∈R ，2x －12x ≤1C ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0＞1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1 解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x ∈R ，2x －12x ＜1”的否定为“∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1”．3．若不等式x －a (x ＋1)＞0的解集为(－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，1) C ．{1} D ．(－∞，0)解析：选A 不等式x －a (x ＋1)＞0的解集为(－1，＋∞)，也即是当x ＞－1时，不等式x －a ＞0恒成立，可得a ≤－1.4.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 3解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋13π6(x ∈R )，把函数f (x )的图象向右平移10π3个单位长度得函数g (x )的图象，则下面结论正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为5πB ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．函数g (x )在区间[π，2π]上是增函数D ．函数g (x )是奇函数解析：选C 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋13π6＝sin(15x ＋π6)，所以g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫x －10π3＋π6＝sin(15x －π2)＝－cos 15x ，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π15＝10π，故A 错误；函数g (x )为偶函数，故D 错误；g (x )图象的对称轴为x ＝5k π(k ∈Z )，故函数g (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，B错误；函数g (x )的单调递增区间为[10k π，10k π＋5π](k ∈Z )，故函数g (x )在区间[π，2π]上为增函数，故选C.6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n ＜2 014?D ．n ＜2 016?解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2 016？”，选B.8．A.π6B.π4C.π2D.3π49．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0，则z ＝4x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．10B ．64C ．1 024D ．2 048解析：选C 因为z ＝4x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝22x －y ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令u ＝2x －y ，当直线2x －y ＝0平移到经过点C 时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6，即C (2，－6)，即u max ＝2×2－(－6)＝10，所以z ＝4x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为210＝1 024，选C.10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124 D.255解析：选B 因为S △ABF 2＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝⎛⎭⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的一条渐近线y ＝34x 与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝⎛⎭⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.11．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( ) A.32n 2－12n B.32n 2＋12n C ．3n 2－2n D.92n 2－32n解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3＝⎣⎡⎦⎤n 3＝k ，所以12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1－1，x ＞1，2－e x ，x ≤1，若函数h (x )＝f (x )－mx －2有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－6－42，0)∪(0，＋∞)B ．(－6＋42，0)∪(0，＋∞)C ．(－6＋42，0)D ．(－6－42，－6＋42)解析：选B 函数h (x )＝f (x )－mx －2有两个零点等价于方程f (x )－mx －2＝0有两个不同的解，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图，根据题意，当直线y ＝mx ＋2与曲线y ＝x ＋1x －1－1＝2x －1相切时，联立方程，消去y 可得，mx ＋2＝2x －1，整理得mx 2＋(2－m )x －4＝0，由Δ＝(2－m )2＋16m ＝0，解得m ＝－6±42，要使y ＝f (x )与y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m 的取值范围是(－6＋42，0)∪(0，＋∞)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________．解析：因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，所以|c |＝a ·c|a |cos π3＝22×12＝2. 答案：214.如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB ＝________．解析：因为点A 到抛物线C 的准线的距离为|AN |＋p 2，点A 到焦点F 的距离为|AB |＋p2，所以|AN |＝|AB |，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.答案：30°15．在正三棱锥P -ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，AB ＝22，则正三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．解析：因为三棱锥P -ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC ⊥平面PBN ，所以PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面P AC ，所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，易证P A ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以P A ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P -ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：12π16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ＋12sin 2B ＝1，0＜B ＜π2，若＝3，则16bac的最小值为________．解析：因为cos 2B ＋12sin 2B ＝1，所以12sin 2B ＝sin 2B ，即sin B cos B ＝sin 2B ，因为sin B ≠0，所以tan B ＝1，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4.因为＝3，所以＝3，即b ＝3，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得9＝a 2＋c 2－2ac .由基本不等式可知9＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，即ac ≤92(2＋2)，当且仅当⎩⎨⎧a ＝c ，9＝a 2＋c 2－2ac ，即a 2＝c 2＝9（2＋2）2时等号成立，故16b ac ≥16×39（2＋2）2＝163(2－2)． 答案：16（2－2）3。

一、小题练速度——“12＋4”限时提速练（每练习限时40分钟）“12＋4”限时提速练(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝( ) A ．[2，3] B ．(2，3)C ．[1，＋∞)D ．[1，2)∪[3，＋∞)解析：选C A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2，3)，故A ∪∁R B ＝[1，＋∞)，选C.2．已知复数z 满足z ＋i ＝1＋i i (i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i 解析：选D 由题意可得z ＝1＋i i －i ＝1＋i ＋1i ＝（2＋i ）（－i ）i （－i ）＝1－2i ，故z ＝1＋2i ，选D.3.已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 0 12 0 1 2 43 1 3 5 5 7 84 3 3 356789 5 0 1 2 2 5 6 8 6267A ．44，45，56B ．44，43，57C ．44，43，56D ．45，43，57解析：选B 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.4．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋(y ＋3)2＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB |＝43”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k 2＝61＋k 2，弦长的一半为|AB |2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k2，解得k 2＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB |＝43”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，ω＞0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin(2×π6＋φ)＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，选C. 6.某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15，60)B ．(15，60]C ．[12，48)D ．(12，48]解析：选B 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x 3－2＞3，13⎝⎛⎭⎫x3－2－3≤3，解得15＜x ≤60，故选B.7．已知P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2 2D ．6解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1变形可得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，a ≤x ≤a ＋1，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S ＝12(2a ＋2a ＋2)×1＝3，解得a ＝1，平移直线y ＝2x ，得z ＝2x －y 在点(2，－2)处取得最大值6，故选D.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6>0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2>0，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，所以满足条件的正整数n 为12，选B.9．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：选C 设B ⎝⎛⎭⎫x ，－ba x ，OA ⊥FB ，可知点O 在线段FB 的垂直平分线上，可得|OB |＝x 2＋⎝⎛⎭⎫－b a x 2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A ⎝⎛⎭⎫c －a 2，b 2，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意实数x ，都有f [f (x )－e x ]＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)＝( )A ．1B ．e ＋1C ．3D ．e ＋3解析：选C 设t ＝f (x )－e x ，则f (x )＝e x ＋t ，则f [f (x )－e x ]＝e ＋1等价于f (t )＝e ＋1，令x ＝t ，则f (t )＝e t ＋t ＝e ＋1，分析可知t ＝1，∴f (x )＝e x ＋1，即f (ln 2)＝e ln 2＋1＝2＋1＝3.故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.76B.73C.53D.56解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝73，故选B.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c 且sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，若△ABC 的面积为24，c ＝13，则a 的值为( )A ．8B ．14 C.145 D ．12解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，∴22sin A －22cos A ＝7226，∴sin A －cos A ＝713， 与sin 2A ＋cos 2A ＝1联立可得cos 2A ＋713cos A －60169＝0，解得cos A ＝513 或cos A ＝－1213，故⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝513，或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213，∵0＜A ＜π，∴⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213舍去，由12bc sin A ＝24，得12×13×b ×1213＝24，得b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋132－2×4×13×513＝16＋169－40＝145，∴a ＝145，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k 的值是________．解析：根据题意可知，向量a －2b ＝(1，4)，又(a －2b )⊥c ，则k －8＝0，解得k ＝8. 答案：814．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为________． 解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.答案：1415.如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径r ＝1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径R ＝________．解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2－1，故AO 1BO 1＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2＝4，得R ＝233.答案：23316．若函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点等价于方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一的实数解，又x ＞0，所以m ＝ln xx －1，要使方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一的实数解，只需m ＝ln x x －1有唯一的实数解．令g (x )＝ln xx －1(x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2，由g ′(x )＞0得0＜x ＜e ，由g ′(x )＜0得x ＞e ，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，e 2]上是减函数．又g (1)＝－1，g (e)＝1e －1，g (e 2)＝2e 2－1，故－1≤m ＜2e 2－1或m＝1e－1. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，2e 2－1∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e－1。

第1讲 函数图象与性质及函数与方程高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理.数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.真 题 感 悟1.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上单调递减. 答案 D2.(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]上的图象大致为( )解析 令f (x )＝2x 2－e |x |(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B ；当x >0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x，而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，g ′(x )<14×4－e 0＝0，因此g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D3.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.答案 D4.(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －2考 点 整 合1.函数的性质 (1)单调性①用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.②常见判定方法：(ⅰ)定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；(ⅱ)图象法；(ⅲ)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(ⅳ)导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性.(3)周期性：常见结论有：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意结合其图象研究.3.指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注函数图象中两种情况的公共性质.4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.热点一 函数性质的应用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B.奇函数，且在(0，1)上是减函数 C.偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. (3)(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.解析 (1)易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. (3)f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.答案 (1)A (2)1 (3)2探究提高 牢记函数的奇偶性、单调性的定义以及求函数定义域的基本条件，这是解决函数性质问题的关键点.[微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】 (1)(2016·天津二模)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a(2)(2016·广州4月模拟)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________. 解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.(2)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞)，∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 (1)B (2)1探究提高 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.【训练1】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.2(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当x＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，故选D. (2)由题意知a ＞0，又log 12a ＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a ).∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1). 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增.∴|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别 【例2－1】 (1)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－x sin x 的大致图象为( )解析 (1)法一 函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B. 法二 由已知，设f (x )＝x ln|x ||x |，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B. (2)由y 1＝1x－x 为奇函数，y 2＝sin x 为奇函数，可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x sin x 为偶函数，因此排除C 、D.又当x ＝π2时，y 1＜0，y 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，因此选B.答案 (1)B (2)B探究提高 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法. [微题型2] 函数图象的应用【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A.0B.mC.2mD.4m(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c解析 (1)由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，两函数的交点成对出现，因此根据图象的特征可得∑i ＝1mx i ＝m ，故选B.(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D. 答案 (1)B (2)D探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法. 【训练2】 (1)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1B.1C.2D.4解析 (1)由3x－1≠0得x ≠0， ∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除A ； 当x ＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32＞0，可排除B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝45，但从D 中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C.(2)设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2.答案 (1)C (2)C热点三 函数的零点与方程根的问题 [微题型1] 函数零点的判断【例3－1】 (1)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________.解析 (1)法一 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x－2与y 2＝－x 3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图(图略)，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B.法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1.(2)当x >0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有两个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有三个零点.答案 (1)B (2)3探究提高 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. [微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数 【例3－2】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |. 当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ， 在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |.又m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3.(2)由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点. 如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间，∴12＜k ＜1，故选B. 答案 (1)(3，＋∞) (2)B探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【训练3】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝e x＋f ′(x )的零点所在的区间是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2)D.(2，3)(2)(2016·海淀二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，即g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B.(2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x－1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x－a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 答案 (1)B (2)①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.3.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.4.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.5.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1.(2016·沈阳模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1)上单调递减的函数是( ) A.f (x )＝sin x B.f (x )＝2cos x ＋1 C.f (x )＝2x－1D.f (x )＝ln 1－x1＋x解析 由函数f (x )为奇函数排除B 、C ，又f (x )＝sin x 在(－1，1)上单调递增，排除A ，故选D.答案 D2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C. 答案 C3.(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析 ∵y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C.又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt△POB 中，|PB |＝|OB |tan∠POB ＝tan x ，在Rt△PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tanx ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由以上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.答案 B 二、填空题6.(2016·成都二诊)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 答案 (1，2]7.设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________.解析 根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14. 答案 －148.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 三、解答题9.已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点.当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1的图象是抛物线，且与y 轴的交点为(0，1)，由f (x )有且仅有一个正实数的零点，则得：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1m >0，Δ＝0或②x ＝1m<0，解①，得m ＝1：解②，得m <0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}. 10.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ， 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点. 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]. 11.已知函数f (x )＝ex －m－x ，其中m 为常数.(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m ＞1时，判断f (x )在[0，2m ]上零点的个数，并说明理由. 解 (1)f ′(x )＝ex －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值. 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1].(2)由(1)知f (x )在[0，2m ]上至多有两个零点，当m ＞1时，f (m )＝1－m ＜0.∵f (0)＝e －m＞0，f (0)f (m )＜0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点. ∵f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ， ∵当m ＞1时，g ′(m )＝e m－2＞0，∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (m )＞g (1)＝e －2＞0，即f (2m )＞0.∴f (m )·f (2m )＜0，∴f (x )在(m ，2m )上有一个零点. ∴故f (x )在[0，2m ]上有两个零点.第2讲 不等式问题高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c<b cD.c a>c b解析 取a ＝4，b ＝2，c ＝12，逐一验证可得B 正确.答案 B2.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，由于1a ＋2b ≥22ab，当且仅当b ＝2a 时取等号.∴ab≥22ab，∴ab ≥2 2.故选C.答案 C3.(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到最小值为－5. 答案 －5考 点 整 合1.简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论. (2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . 3.利用基本不等式求最值已知x ，y ∈R ＋，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值. 5.不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例1－1】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x＋2y的最小值是( )A.53B.83C.8D.24(2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________.解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y ) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y ＝2x 时取等号.(2)设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去). ∴a m ·a n ＝a 1·2m －1·a 1·2n －1＝4a 1，平方得2m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当n m＝4mn，即n ＝2m ，亦即m ＝2，n ＝4时取等号. 答案 (1)C (2)32探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】 (1)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为( ) A.5，5B.10，52C.10，5D.10，10(2)(2016·郑州模拟)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ＋5＝xy ≥24xy ＋5， 即xy －4xy －5≥0，可求xy ≥25. 当且仅当x ＝4y 时取等号，即x ＝10，y ＝52.(2)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y ＞0，即x ＝1010，y ＝105时成立. 答案 (1)B (2)2105探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.【训练1】 (1)(2016·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是( ) A.3B.5C.7D.8(2)(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________. 解析 (1)由x ＋y ＋1＝xy ，得y ＝x ＋1x －1，又y ＞0，x ＞0，∴x ＞1. ∴x ＋2y ＝x ＋2×x ＋1x －1＝x ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1＝x ＋2＋4x －1＝3＋(x －1)＋4x －1≥3＋4＝7， 当且仅当x ＝3时取“＝”.(2)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x＝2y 时取等号. 答案 (1)C (2)2热点二 含参不等式恒成立问题 [微题型1] 分离参数法解决恒成立问题【例2－1】 (1)关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________.(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号.又关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3).(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，由于x >0，y >0，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立. 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376. 答案 (1)(－1，3) (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高 一是转化法，即通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )；二是求最值法，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题. [微题型2] 函数法解决恒成立问题【例2－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________.(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________.解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3，1].法二 设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.(2)法一 函数法.若a ＞0，则对称轴x ＝－12a＜0，故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1， 因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立. 若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0， ∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞). 法二 分离参数法.当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立.当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x，令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34. ∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞) 探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练2】 若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________. 解析 因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数， 即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . 答案 R热点三 简单的线性规划问题[微题型1] 已知线性约束条件，求目标函数最值【例3－1】 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.解析 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (1，0)，B (－1，－1)，C (1，3)，直线z ＝2x ＋3y －5过点B 时取最小值－10. 答案 －10探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.[微题型2] 线性规划中的含参问题【例3－2】 (1)(2016·成都诊断)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2(2)(2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A.3 B.2 C.－2D.－3解析 (1)由图形知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B点处取最大值2，∴2＝42m －1－2m2m －1.∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1). 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.答案 (1)C (2)B探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】 (1)(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________.(2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则实数a 的值是( )A.34B.12C.13D.14解析 (1)已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影部分内的动点，x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.(2)依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以3a ＝1，解得a ＝13，故选C.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c . 答案 A2.(2016·浙江卷)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0D.(b －1)(b －a )＞0解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得： 当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1， 代入验证只有D 满足题意. 答案 D3.(2016·太原模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n4≤(m 3＋n42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.答案 A4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞) B.(－∞，22] C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2016·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( ) A.[0，1] B.[－1，0] C.[－1，1]D.[－1，0]解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0， 解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0.故－1≤a ≤1. 答案 C二、填空题6.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点，即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －67.(2016·合肥二模)当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n的最小值为________.解析 函数f (x )的图象恒过点A (2，1)，∴2m －1＋n ＝0，即2m ＋n ＝1， ∴4m＋2n≥24m·2n＝222m ＋n＝22，当且仅当2m ＝n ＝12时等号成立.答案 228.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中阴影部分(包括边界)内的参数点，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，。

限时练(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,5}，B ＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝( )． A ．{2,3,4} B ．{2} C ．{2,4}D ．{1,3,4,5}解析 ∁U A ＝{2,3,4}，所以B ∩(∁U A )＝{2,4}． 答案 C 2．复数z ＝2－i2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝2－i2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝3－4i 5＝35－45i ，在复平面内对应的点(35，－45)在第四象限． 答案 D3．已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )． A.692 B ．69 C ．93D ．189解析 因为{a n }是由正数组成的等比数列，所以a 23＝a 2a 4＝144，即a 3＝12，又因为a 1＝3，所以q ＝2，所以S 5＝3(1－25)1－2＝93.答案 C4．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为( )． A ．27 B.21 C.13D ．3解析因为△ABC的面积为3，所以12bc sin A＝3，所以c＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝13，所以a＝13.答案 C5．如果log a8＞log b8＞0，那么a，b间的关系是()．A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜bC．0＜b＜a＜1 D．1＜b＜a解析因为log a8＞log b8＞0，所以log8b＞log8a＞0＝log81，所以1＜a＜b.答案 B6. 某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1＝52，x2＝70，x3＝68，x4＝55，x5＝85，x6＝90，执行如图所示的程序框图，那么输出的s是()．A．1 B．2C．3 D．4解析初始值i＝1，s＝0，输入x1＝52，此时不满足大于60，i＝i＋1＝2；输入x2＝70，此时满足大于60，s＝s＋1＝1；i＝i＋1＝3；输入x3＝68，此时满足大于60，s＝s＋1＝2；i＝i＋1＝4；输入x 4＝55，此时不满足大于60，i ＝i ＋1＝5；输入x 5＝85，此时满足大于60，s ＝s ＋1＝3；i ＝i ＋1＝6；输入x 6＝90，此时满足大于60，s ＝s ＋1＝4；i ＝i ＋1＝7，满足i ＞6，结束循环，所以输出的s 是4. 答案 D7．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为V 1；直径为2的球的体积为V 2.则V 1∶V 2＝( )． A ．1∶4 B ．1∶2 C ．1∶1D ．2∶1解析 易知：该几何体为一个圆柱内挖去一个圆锥，其中圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积V 1＝π×12×1－13π×12×1＝23π，直径为2的球的体积为V 2＝43πr 3＝43π，所以V 1∶V 2＝1∶2. 答案 B8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0.则目标函数z ＝3x －4y 的最小值m 与最大值M 的积为( )． A ．－60 B ．－48 C ．－80D ．36解析画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0的可行域，由可行域知：目标函数z ＝3x －4y 过点(2,0)时，取最大值6，所以M ＝6；过点(2,4)时，取最小值－10，所以m ＝－10.所以目标函数z ＝3x －4y 的最小值m 与最大值M 的积为－60. 答案 A9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )． A. 6 B. 3 C. 4 D.33解析 ∵MF 2⊥x 轴，∴M (c ，b 2a )，∴tan 30°＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝33，即3c 2－23ac －3a 2＝0，e ＝ 3. 答案 B10．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．多于4个解析 函数f (x )是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据[0,1]上的解析式，图象关于y 轴对称，可以绘制[－1,0]上的图象，根据周期性，可以绘制[1,2]，[2,3]，[3,4]上的图象，而y ＝log 3|x |是个偶函数，绘制其在y 轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点．答案 C二、填空题11．某公司300名员工2014年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．解析 由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4到1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在1.4到1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72. 答案 7212．已知f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.解析 ∵f (－x )＝e －x －e x ex＋e －x＝－e x －e －x ex＋e －x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )＝－12. 答案 －1213．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为________．解析 a 所在的总的区域是(0,1)，满足“3a －1＞0”的a 的区域是(13，1)，由几何概型知，所求概率为1－131－0＝23.答案 2314．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意可知f ′(x )＝e x －m ，存在x 使得e x －m ＝－2有解，则m ＝e x ＋2有解，e x ＋2＞2，知m ＞2成立． 答案 (2，＋∞)15．已知函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点(－π3，0)对称，且α∈(0，π)，则α＝________.解析 f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x －1＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3，因为函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点(－π3，0)对称，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2α－π3＝0，即sin 2α＝0，所以α＝12k π，k ∈Z ，又因为α∈(0，π)，所以α＝π2. 答案 π2。

“12＋4”限时提速练(五）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知如图，全集I＝R，集合A＝｛x｜0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3},则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x｜1＜x＜2} B．{x|0＜x＜3｝C．｛x｜x＜3｝D．｛x｜x＞0｝解析:选B 由Venn图可知，阴影部分表示的是集合A∪B＝｛x｜0＜x＜3｝,故选B。

2．若复数z＝i－2i2＋3i3，则|z｜＝( )A．6 B．2 2 C．4 D．2解析：选B 因为z＝i＋2－3i＝2－2i，所以｜z｜＝｜2－2i|＝2错误!，故选B.3．已知向量a＝（1，2），b＝(－2，3),若m a－n b与2a＋b共线（其中m,n∈R且n≠0），则错误!＝（）A．－2 B．2 C．－12D。

错误!解析：选A 因为m a－n b＝(m＋2n，2m－3n)，2a＋b＝（0,7)，m a－n b与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即错误!＝－2，故选A。

4．等比数列{a n｝的前n项和为S n，若公比q＝4,S3＝21，则（) A．4a n＝1－3S n B．4S n＝3a n－1C．4S n＝3a n＋1 D．4a n＝3S n＋1解析：选D 因为S3＝21＝错误!，所以a1＝1，所以S n＝错误!＝错误!，即4a n＝3S n＋1,故选D.5．函数f(x）＝2sin（ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示,则f(0)＝( ）A．－错误!B．－错误!C．－1 D．－错误!解析：选A 因为T2＝错误!－错误!＝错误!，所以T＝π,所以ω＝2。

因为f错误!＝2sin错误!＝2，所以错误!＋φ＝错误!＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－错误!＋2kπ，k∈Z。

因为φ∈错误!，所以φ＝－错误!,所以f（0）＝2sin 错误!＝－错误!，故选A.6．下列说法正确的是（)A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R,x2－2x－1＞0,则命题綈p：∀x∈R，x2－2x－1＜0C．命题“若α＞β,则2α＞2β”的逆否命题为真命题D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件解析：选C A中的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”；B中命题綈p：∀x∈R,x2－2x－1≤0；D中“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故选C。

“12＋4”限时提速练（三）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝错误!＋错误!(i 是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为（ )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 由已知z ＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，则错误!＋错误!＝1，得m ＝1，故选C 。

2．设集合A 满足｛a ｝⊆A｛a ，b ，c ，d ｝，则满足条件的集合A 的个数为（ )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 根据子集的定义，可得集合A 中必定含有元素a ，而且含有a ，b ，c ，d 中的至多三个元素．因此，满足条件｛a ｝⊆A {a ，b ，c ，d ｝的集合A 有{a ｝,｛a ，b ｝,{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ,c }，｛a ，c ，d ｝，｛a ，b ，d }，共7个．3．在等比数列{a n ｝中,a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为（ ）A ．2错误!B ．4C．－2错误!或2错误!D．－4或4解析：选A ∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，因此a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝a错误!＝a3a15＝8,∴a9＝2错误!，错误!＝2错误!，故选A。

4．已知在平面中，A（1,0)，B(1，3)，O为坐标原点，点C 在第二象限,且∠AOC＝120°，若，则λ的值为（) A．－1 B．2 C．1 D．－2解析：选C 由已知得，＝(1，3)，＝（1，0），则＝（λ－2，错误!λ)，又点C在第二象限，故λ－2＜0，错误!λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC＝120°,所以cos∠AOC＝错误!＝－错误!，解得λ＝1，故选C.5．已知双曲线x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y＝x2＋1相切,则双曲线的离心率为（）A。