2015年北京市高考数学试卷文科【高考】

2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 3．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．3005．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）设a →，b →是非零向量，“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．28．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升二、填空题9．（5分）复数i （1+i ）的实部为 ． 10．（5分）2﹣3，312，log 25三个数中最大数的是 ．11．（5分）在△ABC 中，a=3，b=√6，∠A=2π3，则∠B= ．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x 2﹣y 2b2=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．13．（5分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x +3y的最大值为 ．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2√3sin2x 2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π3]上的最小值．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（13分）设函数f（x）=x22﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，√e]上仅有一个零点．20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B 两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故选：A．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=√2，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．3．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选B4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16， 因为青年教师有320人，所以老年教师有180人， 故选：C ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=12a=32，k=1 不满足条件a ＜14，a=34，k=2不满足条件a ＜14，a=38，k=3不满足条件a ＜14，a=316，k=4满足条件a ＜14，退出循环，输出k 的值为4．故选：B ．6．（5分）设a →，b →是非零向量，“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞； ∴a →⋅b →=|a →||b →|时，cos ＜a →，b →＞=1； ∴＜a →，b →＞=0； ∴a →∥b →；∴“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的充分条件； （2）a →∥b →时，a →，b →的夹角为0或π； ∴a →⋅b →=|a →||b →|，或﹣|a →||b →|； 即a →∥b →得不到a →⋅b →=|a →||b →|；∴“a →⋅b →=|a →||b →|”不是“a →∥b →”的必要条件；∴总上可得“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的充分不必要条件． 故选A ．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直， 底面为正方形如图：其中PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD=√2，PD=√2+1=√3． PC ═PA =√2该几何体最长棱的棱长为：√3 故选：C ．8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8； 故选：B ．二、填空题9．（5分）复数i （1+i ）的实部为 ﹣1 ． 【解答】解：复数i （1+i ）=﹣1+i ， 所求复数的实部为：﹣1． 故答案为：﹣1．10．（5分）2﹣3，312，log 25三个数中最大数的是 log 25 ．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜312＜2，log 25＞log 24=2，则三个数中最大的数为log 25． 故答案为：log 25．11．（5分）在△ABC 中，a=3，b=√6，∠A=2π3，则∠B= π4．【解答】解：由正弦定理可得，a sinA =b sinB，即有sinB=bsinAa=√6×√323=√22，由b＜a，则B＜A，可得B=π4．故答案为：π4．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣y2b2=1（b＞0）的一个焦点，则b=√3．【解答】解：双曲线x2﹣y2b2=1（b＞0）的焦点为（√1+b2，0），（﹣√1+b2，0），由题意可得√1+b2=2，解得b=√3．故答案为：√3．13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为7．【解答】解：由z=2x+3y，得y=−23x+z3，平移直线y=−23x+z3，由图象可知当直线y=−23x+z3经过点A时，直线y=−23x+z3的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 ．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；②观察散点图，作出对角线y=x ，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 故答案为：乙；数学．三、解答题（共80分） 15．（13分）已知函数f （x ）=sinx ﹣2√3sin 2x 2．（1）求f （x ）的最小正周期； （2）求f （x ）在区间[0，2π3]上的最小值．【解答】解：（1）∵f （x ）=sinx ﹣2√3sin 2x 2=sinx ﹣2√3×1−cosx 2=sinx +√3cosx ﹣√3=2sin （x +π3）﹣√3∴f （x ）的最小正周期T=2π1=2π；（2）∵x ∈[0，2π3]，∴x +π3∈[π3，π]，∴sin （x +π3）∈[0，1]，即有：f （x ）=2sin （x +π3）﹣√3∈[﹣√3，2﹣√3]，∴可解得f （x ）在区间[0，2π3]上的最小值为：﹣√3．16．（13分）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4﹣a 3=2 （1）求{a n }的通项公式；（2）设等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ． ∵a 4﹣a 3=2，所以d=2 ∵a 1+a 2=10，所以2a 1+d=10 ∴a 1=4，∴a n =4+2（n ﹣1）=2n +2（n=1，2，…） （II ）设等比数列{b n }的公比为q ， ∵b 2=a 3=8，b 3=a 7=16， ∴{b 1q =8b 1q 2=16∴q=2，b 1=4∴b 6=4×26−1=128，而128=2n +2 ∴n=63∴b 6与数列{a n }中的第63项相等17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲 乙 丙 丁100 √ × √√217 × √ × √ 200 √√ √ ×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为2001000=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为3001000=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率为1001000=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面VAB ， ∵OC ⊂平面MOC ， ∴平面MOC ⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC=BC=√2，∴AB=2，OC=1， ∴S △VAB =√3， ∵OC ⊥平面VAB ，∴V C ﹣VAB =13OC •S △VAB =√33，∴V V ﹣ABC =V C ﹣VAB =√33．19．（13分）设函数f （x ）=x 22﹣klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 【解答】解：（1）由f （x ）=x 22−klnx(k ＞0)f'（x ）=x ﹣kx=x 2−k x由f'（x ）=0解得x=√kf （x ）与f'（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，√k ）√k （√k ，+∞）f'（x ） ﹣ 0+ f （x ）↓k(1−lnk)2↑所以，f （x ）的单调递增区间为（√k ，+∞），单调递减区间为（0，√k ）；f （x ）在x=√k 处的极小值为f （√k ）=k(1−lnk)2，无极大值．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （√k ）=k(1−lnk)2．因为f （x ）存在零点，所以k(1−lnk)2≤0，从而k ≥e当k=e 时，f （x ）在区间（1，√e ）上单调递减，且f （√e ）=0 所以x=√e 是f （x ）在区间（1，√e ）上唯一零点．当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，√e ）上单调递减，且f(1)=12＞0，f(√e)=e−k2＜0，所以f （x ）在区间（1，√e ）上仅有一个零点．综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点．20．（14分）已知椭圆C ：x 2+3y 2=3，过点D （1，0）且不过点E （2，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x=3交于点M ． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2+3y 2=3，∴椭圆C 的标准方程为：x 23+y 2=1，∴a=√3，b=1，c=√2，∴椭圆C 的离心率e=c a =√63；（2）∵AB 过点D （1，0）且垂直于x 轴，∴可设A （1，y 1），B （1，﹣y 1），∵E （2，1），∴直线AE 的方程为：y ﹣1=（1﹣y 1）（x ﹣2）， 令x=3，得M （3，2﹣y 1）， ∴直线BM 的斜率k BM =2−y 1+y 13−1=1；（3）结论：直线BM 与直线DE 平行． 证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（2）知k BM =1， 又∵直线DE 的斜率k DE =1−02−1=1，∴BM ∥DE ； 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1）（k ≠1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则直线AE 的方程为y ﹣1=y 1−1x 1−2（x ﹣2），令x=3，则点M （3，x 1+y 1−3x 1−2），∴直线BM 的斜率k BM =x 1+y 1−3x 1−2−y 23−x 2，联立{x 2+3y 2=3y =k(x −1)，得（1+3k 2）x 2﹣6k 2x +3k 2﹣3=0，由韦达定理，得x 1+x 2=6k 21+3k 2，x 1x 2=3k 2−31+3k 2，∵k BM ﹣1=k(x 1−1)+x 1−3−k(x 2−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)=(k−1)[−x1x2+2(x1+x2)−3] (3−x2)(x1−2)=(k−1)(−3k2+31+3k2+12k21+3k2−3) (3−x2)(x1−2)=0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=A. ｛x|3＜x＜2｝B. ｛x|5＜x＜2｝C. ｛x| 3＜x＜3｝D. ｛x|5＜x＜3｝（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A）（x-1）2+（y-1）2=1 （B）（x+1）2+（y+1）2=1（C）（x+1）2+（y+1）2=2 （D）（x-1）2+（y-1）2=2（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=x²sinx （B）y=x²cosx （C）Y=|ln x| （D）y=2x（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k值为（A）3 （B）4 (C)5 (D)6（6）设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a//b”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1 （B）（B） (D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数i（1+i）的实数为（10）2-3,123,log25三个数中最大数的是（11）在△ABC中，a=3,b=,∠A=，∠B=（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。

2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A ∩B=（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<2．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=4．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100C ．180D ．3005．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A．3B．4C．5D．6//”的（）6．设,a b是非零向量，“a b a b⋅=”是“a bA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B C D．28．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015 年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升二、填空题9．复数()1i i +的实部为 ．10．13222,3,log 5-三个数中最大数的是 ．11．在ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠= ． 12．已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，则b = ．13．如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．三、解答题（共80分）15．已知函数()2sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．16．已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 17．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC BC == ，O ，M 分别为AB ，VA 的中点． （1）求证：VB ∥平面MOC ； （2）求证：平面MOC ⊥平面VAB （3）求三棱锥V ABC -的体积．19．设函数()2ln (0)2x f x k x k =->．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点． 20．已知椭圆C :2233x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故选：A．2．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=1 B．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=1 C．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=2 D．（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=2．故选：D．3．（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x^^^2sinx B．y=x^^^2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣^^^x【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．【解答】解：对于A，（﹣x）^^^2sin（﹣x）=﹣x^^^2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）^^^2cos（﹣x）=x^^^2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣^^^x）=2^^^x≠2﹣^^^x，2^^^x≠﹣2﹣^^^x；是非奇非偶的函数；故选B4．（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．5．（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．7．（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．8．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．二、填空题9．（2015•北京）复数i（1+i）的实部为﹣1 ．【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．10．（2015•北京）2﹣^^^3，，log_____25三个数中最大数的是log_____25 ．【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，log_____25＞log24=2，即可得到最大数．【解答】解：由于0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，log_____25＞log24=2，则三个数中最大的数为log_____25．故答案为：log5．_____211．（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，则B＜A，可得B=．故答案为：．12．（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．【分析】求得双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．【解答】解：双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．13．（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为7 ．【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．14．（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．三、解答题（共80分）15．（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin^^^2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin^^^2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．16．（2015•北京）已知等差数列{an }满足a_____1+a_____2=10，a_____4﹣a_____3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn }满足b_____2=a_____3，b_____3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？【分析】（I）由a_____4﹣a_____3=2，可求公差d，然后由a_____1+a_____2=10，可求a_____1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．∵a_____4﹣a_____3=2，所以d=2∵a_____1+a_____2=10，所以2a_____1+d=10∴a_____1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{bn}的公比为q，∵b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，∴∴q=2，b_____1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{an}中的第63项相等17．（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．18．（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB =•S△VAB=，∴VV﹣ABC =VC﹣VAB=．19．（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，）（） f'（x）﹣ 0+f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．（2015•北京）已知椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3，∴椭圆C的标准方程为：+y^^^2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y_____1），B（1，﹣y_____1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y_____1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y_____1），∴直线BM的斜率kBM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x_____1，y_____1），B（x_____2，y_____2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k^^^2）x^^^2﹣6k2x+3k^^^2﹣3=0，由韦达定理，得x_____1+x_____2=，x_____1x_____2=，∵kBM﹣1= ===0，∴kBM =1=kDE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；changq；w3239003；wkl197822；sdpyqzh；双曲线；maths；吕静；caoqz；雪狼王；cst（排名不分先后）菁优网2017年2月3日。

数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 12 页）绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|52}A x x =-<<，{|33}B x x =-<<，则A B =I（A ）{|32}x x -<< （B ）{|52}x x -<< （C ）{|33}x x -<<（D ）{|53}x x -<<（2）圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-= （B ）22(1)(1)1x y +++= （C ）22(1)(1)2x y +++= （D ）22(1)(1)2x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）|ln |y x =（D ）2x y -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 12 页）（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（6）设,a b 是非零向量．“||||⋅=a b a b ”是“∥a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ）1 （B （C （D ）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升（D ）12升1俯视图数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2015年高考北京市文科数学真题一、选择题1.若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则AB =（ ） A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<< 答案：A解析过程：在数轴上将集合A 、B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B 为图中阴影部分， 即{}32x x -<<，选A 2.圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-= 答案：D解析过程：由题意可得圆的半径为r =则圆的标准方程为()()22112x y -+-=.选D3.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x = C ．ln y x =D ．2x y -= 答案：B解析过程：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，选B.4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，）A．B．C．180D．300答案：C解析过程：由题意得，总体中青年教师与老年教师比例为160016 9009=；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x=，解得180x=.选C5.执行如果所示的程序框图，输出的k值为（）A．3B．4C．5D．6答案：B解析过程：初值为3a =，0k =，进入循环体后，32a =，1k =；34a =，2k =；38a =，3k =；316a =，4k =； 此时14a <，退出循环，故4k =，选B6.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析过程：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π， 此时||||a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.选A7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A ．1BCD ．2答案：C解析过程：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，SA ===，选C注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。

2015年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时100千米平均耗二、填空题9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为．10．（5分）（2015•北京）2，3﹣3，log2511．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b= ，∠A=，则∠B=．12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x﹣2=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 7 ．14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．三、解答题（共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．sin216．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁“√”表示购买，“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x+3y=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．22。

2015年高考数学卷 北京卷 文科一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.若集合{|52}A x x =-<<,{|33},B x x =-<<则A B = （ ） A. {|32}x x -<< B. {|52}x x -<< C. {|33}x x -<< D. {|53}x x -<<【参考答案】A【测量目标】集合的交集运算.【试题解析】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，第1题图由交集的定义可得，A B 为图中的阴影部分，即{|32}x x -<<. 2.圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)1x y -+-= B. 22(1)(1)1x y +++= C. 22(1)(1)2x y +++= D. 22(1)(1)2x y -+-= 【参考答案】 D【测量目标】圆的标准方程.【试题解析】由题意可得圆的半径为r 22(1)(1)2x y -+-=. 3.下列函数为偶函数的是（ ）A. 2sin y x x = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2x y -= 【参考答案】 B【测量目标】函数的奇偶性.【试题解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为（0，+∞）不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也不是偶函数.4. 某校老年、中年和青年的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ） A. 90 B. 100 D. 300【参考答案】C【测量目标】分层抽样.【试题解析】由题意，总体青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师人数为x ，由分层抽样的性质可得，总体与样本中青年教师的比例相等，即320169x =，解得x =180.5. 执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第5题图【参考答案】B【测量目标】程序框图.【试题解析】初值为a =3，k =0,进入循环体后，a =32，k =1；a=34，k=2；a=38，k=3；a=316，k =4；此时a <14,退出循环，故k =4. 6. 设,a b 是非零向量，“⋅=a b a b ”是“∥a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】充分必要条件、向量共线.【试题解析】cos ,,⋅=⋅<>a b a b a b 由已知得cos ,1,<>=a b 即,0,<>=∥a b a b 而当∥a b 时，,<>a b 还可能是π，此时,⋅=-a b a b 故“⋅=a b a b ”是“∥a b ”的充分而不必要条件.7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 1B.C. D. 2第7题图【参考答案】C【测量目标】三视图.【试题解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA===.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油为（）A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升【参考答案】B【测量目标】平均耗油量.【试题解析】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600－35000=600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008 600⨯=升.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 复数i(1+i)的实部为_______.【参考答案】－1【测量目标】复数的乘法运算、实部.【试题解析】复数i (1+i)=i－1=－1+i，其实部为－1.10.13222,3,log5-三个数中最大的数是________.【参考答案】2log5【测量目标】比较大小.【试题解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>=2log 5最大.11. 在△ABC 中，a =3,b 2π3A ∠=,则B ∠=_________. 【参考答案】π4【测量目标】正弦定理.【试题解析】由正弦定理，得,sin sin a b A B =即=所以sin B =，所以π4B ∠=. 12. 已知（2,0）是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =______.【测量目标】双曲线的焦点.【试题解析】由题意知2222,1,3c a b c a ===-=，所以b =13. 如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y=+的最大值为__________.第13题图【参考答案】7【测量目标】线性规划.【试题解析】由图可知，目标函数2,33zy x =-+因此当x =2，y =1，即在点A 处时，z 取得最大值为7.14. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的三位学生.第14题图从这次考试成绩看，（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次考前的学生是_________； （2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________. 【参考答案】甲；语文. 【测量目标】散点图. 【试题解析】（1）由图可知，甲的数学成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的数学成绩排名比总成绩排名靠前，故填甲.（2）由图可知，比丙的语文成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的语文成绩的排名更靠前，故填语文.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数2()sin .2x f x x =- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【测量目标】(1) 三角函数的周期;(2)∴()f x 的最小正周期为2π.(2) 0≤x ≤2π3，π3∴≤π3x +≤π 当ππ3x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值.()f x ∴在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2π()3f =16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？【测量目标】(1)等差数列的通项公式; (2) 等比数列的性质.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为43a a -=2，所以d =2.又因为12a a +=10，所以21a +d =10,故1a =4. 所以n a =4+2(n －1)=2n +2 (n =1,2,…). （2）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以q =2,14b =. 所以61642b -=⨯=128. 由128=2n +2,得n =63.所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.17.（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四“×”表示未购买. （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 【测量目标】(1)随机事件的概率； (2)统计表、随机事件的概率； (3) 随机事件的概率. 【试题解析】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2. （2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率可以估为1002001000+=0.3.（3）与（1）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001000++=0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.（1）求证：VB ∥平面MOC ；（2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （3）求三棱锥V －ABC 的体积.第18题图【测量目标】(1)线面平行的判定； (2)面面垂直的判定； (3)三棱锥的体积公式. 【试题解析】（1）因为O 、M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .（2）因为AC =BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB .（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC =BC 所以AB =2，OC =1.所以等边三角形VAB 的面积VAB S △又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于1=33VAB OC S ⨯⨯△. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 19.（本小题满分13分）设函数2()ln 2x f x k x =-，k >0. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(上仅有一个零点.【测量目标】(1)导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值; (2)函数零点问题.【试题解析】（1）由2()ln 2x f x k x =-，（k >0）得 2'()k x kf x x x x-=-=由于'()f x =0，解得x ()f x 与'()f x 在区间（0，+∞）上的情况如下：所以()f x 的单调递减区间是（0+∞）；()f x 在x 处取得极小值f =(1ln )2k k -.（2）由（1）知，()f x 在区间（0，+∞）上的最小值为f =(1ln )2k k -. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )2k k -≤0，从而e k 卐.当k =e 时，f (x )在区间（1f =0.所以x f (x )在区间(上的唯一零点.当k >e 时，f (x )在区间（0f (1)=12>0，fe 2k -<0，所以f (x )在区间(上仅有一个零点.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：223x y +=3，过点D （1,0）且不过点E （2,1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x =3交于点M .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其几何性质; (2)直线的斜率;(3)两直线的位置关系.【试题解析】（1）椭圆C 的标准方程为223x y +=1.所以a b =1,c 所以椭圆的离心率e =c a =3(2)因为AB 过点D （1,0）且垂直于x 轴，所以可设A （1，1y ），B （1，－1y ），直线AE 的方程为y －1=(1－1y )(x －2). 令x =3，得M （3,2－1y ）. 所以直线BM 的斜率BM k =11231y y -+-=1.(3)直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（2）可知BM k =1.又因为直线DE 的斜率DE k =1021--=1，所以BM ∥DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=k (x －1)(k ≠1).设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为y －1=111(2)2y x x ---. 令x =3，得点M （3，11132y x x +--）.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以12x x +=22613k k +，12x x =223313k k -+.直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-. 因为BM k －1=11112121(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(2)k x x k x x x x x x -+---------=[]121221(1)2()3(3)(2)k x x x x x x --++---=2222213312(1)31313(3)(2)k k k k k x x ⎡⎤-+-+-⎢⎥++⎣⎦-- =0所以BM k =1=DE k所以BM ∥DE.综上可知，直线BM 与直线DE 平行.。

2015年北京高考文科数学真题及答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合A=｛x|－5＜x＜2｝，B=｛x|－3＜x＜3｝，则A B=（）.A. 3＜x＜2B. 5＜x＜2C. 3＜x＜3D. 5＜x＜3【答案】A【难度】简单【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）.A.（x－1）2+（y－1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x－1）2+（y－1）2=2【答案】D【难度】简单【点评】本题考察圆的一般方程式。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第九章《圆》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对圆的专题讲解。

3.下列函数中为偶函数的是（）.A.y=x²sinxB.y=x²cosxC.Y=|ln x|D.y=2x【答案】B【难度】简单【点评】本题考查判断函数的相关性质、图像。

在高一·数学（文）强化提高班下学期，第一章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）.A.90B.100C.180D.300【答案】C【难度】中等【点评】本题考查统计问题。

在高二数学（文）下学期程讲座，第五章《统计》有详细讲解，其中第01讲，是统计专题讲解，有完全相似的题目讲解。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对统计相关知识的总结讲解。

2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=23．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．28．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升二、填空题9．（5分）复数i（1+i）的实部为．5三个数中最大数的是．10．（5分）2﹣3，，log211．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．16．（13分）已知等差数列{an }满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn }满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．3．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选：B．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选：A．【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．二、填空题9．（5分）复数i（1+i）的实部为﹣1 ．【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．10．（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是log25 ．【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，则B＜A，可得B=．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．【分析】求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为7 ．【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题．三、解答题（共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．16．（13分）已知等差数列{an }满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn }满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{bn}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{an}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB =•S△VAB=，∴VV﹣ABC =VC﹣VAB=．【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．19．（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：（f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为：+y2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率kBM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵kBM﹣1= ===0，∴kBM =1=kDE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)1.若集合A＝{x|﹣5<x<2}，B＝{x|﹣3<x<3}，则A∩B＝()A．{x|﹣3<x<2}B．{x|﹣5<x<2}C．{x|﹣3<x<3}D．{x|﹣5<x<3}答案：A解析：在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示.由交集的定义可得，A∩B为图中阴影部分，即{x|﹣3<x<2}.2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2答案：D解析：由题意可得圆的半径为r＝√2，则圆的标准方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.3.下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2﹣x答案：B解析：根据偶函数的定义f(﹣x)＝f(x)，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)不具有奇偶性，D选项既不是奇函数也不是偶函数.故选B．4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320A．90B．100C．答案：C解析：方法一：由题意，总体中青年教师与老年教师的比例为1600900＝169.设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320x ＝169，解得x＝180.故选C．方法二：由已知分层抽样中青年教师的抽样比为3201600＝15，由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于15，所以样本中老年教师的人数为900×15＝180.故选C．5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为()A．3B．4C．5D．6答案：B解析：初值为a＝3，k＝0.进入循环体后，a＝32，k＝1；a＝34，k＝2；a＝38，k＝3；a＝316，k＝4，此时a<14，退出循环，故k＝4.6.设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：a·b＝|a||b|cos<a，b>，若a·b＝|a||b|，则cos<a，b>＝1，即<a，b>＝0，a∥B．而当a∥b时，<a，b>还可能是π，此时a·b＝﹣|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A．7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B．√2C．√3D．2答案：C解析：四棱锥的直观图如图所示.由三视图可知，SB⊥平面ABCD，SD是四棱锥最长的棱，SD＝√xx2＋xx2＝√xx2＋xx2＋xx2＝√3. 8.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升答案：B解析：因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V＝48升.而这段时间内行驶的里程数s＝35600﹣35000＝600(千米).所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48600×100＝8(升).故选B．第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9.复数i(1＋i)的实部为__________.答案：﹣1解析：复数i(1＋i)＝i﹣1＝﹣1＋i，其实部为﹣1.10.2﹣3，312，log25三个数中最大的数是__________.答案：log25解析：2﹣3＝18<1，312＝√3，log25>log24＝2>√3，所以log25最大.11.在△ABC中，a＝3，b＝√6，∠A＝2π3，则∠B＝__________.答案：π4解析：由正弦定理，得xsin x ＝xsin x，即√32√6sin x，所以sin B＝√22.所以∠B＝π4.12.已知(2，0)是双曲线x2﹣x2x2＝1(b>0)的一个焦点，则b＝__________.答案：√3解析：由题意知c＝2，a＝1，b2＝c2﹣a2＝3.又b>0，所以b＝√3.13.如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为__________.答案：7解析：由题图可知，目标函数y＝﹣23x＋x3，因此当x＝2，y＝1，即过点A时z取最大值为7.14.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________. 答案：①乙 ②数学 解析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前.故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前.故填数学.三、解答题(共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.(本小题13分)已知函数f (x )＝sin x ﹣2√3sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值. 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋√3cos x ﹣√3＝2sin (x ＋π3)−√3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间[0，2π3]上的最小值为f (2π3)＝﹣√3.16.(本小题13分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4﹣a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等? 解：(1)设等差数列{a n }的公差为D ．因为a 4﹣a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n ﹣1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…). (2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26﹣1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等.17.(本小题13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，＝0.2.所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.＝0.3.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000(3)与(1)同理，可得：＝0.2，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.6，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.1.顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.18.(本小题14分)如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝√2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.解：(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC．(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以平面MOC⊥平面VAB．(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝√2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝√3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C﹣VAB的体积等于13OC·S△VAB＝√33.又因为三棱锥V﹣ABC的体积与三棱锥C﹣VAB的体积相等，所以三棱锥V﹣ABC的体积为√33.19.(本小题13分)设函数f(x)＝x22﹣k ln x，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，√e]上仅有一个零点.解：(1)由f(x)＝x22﹣k ln x(k>0)得f'(x)＝x﹣xx＝x2−xx.由f'(x)＝0解得x＝√x.f(x)与f'(x)在区间(0，＋∞)所以，f(x)的单调递减区间是(0，√x)，单调递增区间是(√x，＋∞)；f(x)在x＝√x处取得极小值f(√x)＝x(1−ln x)2.(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(√x)＝x(1−ln x)2.因为f(x)存在零点，所以x(1−ln x)2≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，√e)上单调递减，且f(√e)＝0，所以x＝√e是f(x)在区间(1，√e]上的唯一零点.当k>e时，f(x)在区间(0，√e)上单调递减，且f(1)＝12>0，f(√e)＝e−x2<0，所以f(x)在区间(1，√e]上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，√e]上仅有一个零点.20.(本小题14分)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.解：(1)椭圆C的标准方程为x 23＋y2＝1.所以a＝√3，b＝1，c＝√2.所以椭圆C 的离心率e ＝xx＝√63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，﹣y 1). 直线AE 的方程为y ﹣1＝(1﹣y 1)(x ﹣2). 令x ＝3，得M (3，2﹣y 1). 所以直线BM 的斜率k BM ＝2−x 1＋x 13−1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1−02−1＝1，所以BM ∥DE.当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ﹣1)(k ≠1). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y ﹣1＝x 1−1x 1−2(x ﹣2).令x ＝3，得点M (3，x 1＋x 1−3x 1−2).由{x 2＋3x 2＝3，x ＝x (x −1)得(1＋3k 2)x 2﹣6k 2x ＋3k 2﹣3＝0. 所以x 1＋x 2＝6x 21＋3x2，x 1x 2＝3x 2−31＋3x 2，直线BM 的斜率k BM ＝x 1＋x 1−3x 1−2−x 23−x 2.因为k BM ﹣1＝x (x 1−1)＋x 1−3−x (x 2−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)＝(x −1)[−x 1x 2＋2(x 1＋x 2)−3](3−x 2)(x 1−2)＝(x −1)(−3x 2＋31＋3x 2＋12x 21＋3x 2−3)(3−x 2)(x 1−2)＝0.所以k BM ＝1＝k DE ，所以BM ∥DE.综上可知，直线BM 与直线DE 平行.。

北京市高考数学试卷文科Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm2015年北京市高考数学试卷文科一、选择题每小题5分;共40分1．若集合{}52A x x =-<<;{}33B x x =-<<;则A ∩B= A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<2．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=4．某校老年、中年和青年教师的人数见如表;采用分层插样的方法调查教师的身体状况;在抽取的样本中;青年教师有320人;则该样本的老年教师人数为A ．90B ．100C ．180D ．300 5．执行如图所示的程序框图;输出的k 值为A ．3B ．4C ．5D ．66．设,a b 是非零向量;“a b a b ⋅=”是“a b //”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示;该四棱锥最长棱的棱长为A ．1BC D ．28．某辆汽车每次加油都把油箱加满;下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量升 加油时的累计里程千米 2015年5月1日2015 年5月15日注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程;在这段时间内;该车每100千米平均耗油量为A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升二、填空题9．复数()1i i +的实部为 ．10．13222,3,log 5-三个数中最大数的是 ．11．在ABC 中;23,3a b A π==∠=;则B ∠= ． 12．已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点;则b = ．13．如图;ABC 及其内部的点组成的集合记为D ;(,)P x y 为D 中任意一点;则23z x y =+的最大值为 ．14．高三年级267位学生参加期末考试;某班37位学生的语文成绩;数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示;甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看;①在甲、乙两人中;其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中;丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 三、解答题共80分15．已知函数()2sin 2x f x x =-． 1求()f x 的最小正周期；2求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．16．已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-=. 1求{}n a 的通项公式；2设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==;问：6b 与数列{}n a 的第几项相等 17．某超市随机选取1000位顾客;记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况;整理成如下统计表;其中“√”表示购买;“×”表示未购买．甲 乙 丙 丁 √ × √ √ × √ × √ √ √ √ × √ × √ × √ × × ××√××1估计顾客同时购买乙和丙的概率；2估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；3如果顾客购买了甲;则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大 18．如图;在三棱锥V ABC -中;平面VAB ⊥平面ABC ;VAB 为等边三角形;AC⊥BC 且AC BC == ;O ;M 分别为AB ;VA 的中点． 1求证：VB ∥平面MOC ； 2求证：平面MOC ⊥平面VAB 3求三棱锥V ABC -的体积．19．设函数()2ln (0)2x f x k x k =->．1求()f x 的单调区间和极值；2证明：若()f x 存在零点;则()f x 在区间(上仅有一个零点．20．已知椭圆C :2233x y +=;过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点;直线AE 与直线3x =交于点M ． 1求椭圆C 的离心率；2若AB 垂直于x 轴;求直线BM 的斜率；3试判断直线BM 与直线DE 的位置关系;并说明理由．2015年北京市高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、选择题每小题5分;共40分1．2015 北京若集合A={x |﹣5＜x ＜2};B={x |﹣3＜x ＜3};则A ∩B= A ．{x |﹣3＜x ＜2} B ．{x |﹣5＜x ＜2} C ．{x |﹣3＜x ＜3} D ．{x |﹣5＜x ＜3}分析直接利用集合的交集的运算法则求解即可． 解答解：集合A={x |﹣5＜x ＜2};B={x |﹣3＜x ＜3}; 则A ∩B={x |﹣3＜x ＜2}． 故选：A ．2．2015 北京圆心为1;1且过原点的圆的方程是 A ．x ﹣1^^^2+y ﹣1^^^2=1 B ．x +1^^^2+y +1^^^2=1 C ．x +1^^^2+y +1^^^2=2 D ．x ﹣1^^^2+y ﹣1^^^2=2分析利用两点间距离公式求出半径;由此能求出圆的方程．解答解：由题意知圆半径r=;∴圆的方程为x﹣1^^^2+y﹣1^^^2=2．故选：D．3．2015 北京下列函数中为偶函数的是A．y=x^^^2sinx B．y=x^^^2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣^^^x分析首先从定义域上排除选项C;然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系;相等的就是偶函数．解答解：对于A;﹣x^^^2sin﹣x=﹣x^^^2sinx；是奇函数；对于B;﹣x^^^2cos﹣x=x^^^2cosx；是偶函数；对于C;定义域为0;+∞;是非奇非偶的函数；对于D;定义域为R;但是2﹣﹣^^^x=2^^^x≠2﹣^^^x;2^^^x≠﹣2﹣^^^x；是非奇非偶的函数；故选B4．2015 北京某校老年、中年和青年教师的人数见如表;采用分层插样的方法调查教师的身体状况;在抽取的样本中;青年教师有320人;则该样本的老年教师人数为类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300分析由题意;老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16;即可得出结论．解答解：由题意;老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16;因为青年教师有320人;所以老年教师有180人;故选：C．5．2015 北京执行如图所示的程序框图;输出的k值为A．3 B．4 C．5 D．6分析模拟执行程序框图;依次写出每次循环得到的a;k的值;当a=时满足条件a ＜;退出循环;输出k的值为4．解答解：模拟执行程序框图;可得k=0;a=3;q=a=;k=1不满足条件a＜;a=;k=2不满足条件a＜;a=;k=3不满足条件a＜;a=;k=4满足条件a＜;退出循环;输出k的值为4．故选：B．6．2015 北京设;是非零向量;“=||||”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件分析由便可得到夹角为0;从而得到∥;而∥并不能得到夹角为0;从而得不到;这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．解答解：1；∴时;cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；2∥时;的夹角为0或π；∴;或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．7．2015 北京某四棱锥的三视图如图所示;该四棱锥最长棱的棱长为A．1 B．C．D．2分析几何体是四棱锥;且四棱锥的一条侧棱与底面垂直;结合直观图求相关几何量的数据;可得答案解答解：由三视图知：几何体是四棱锥;且四棱锥的一条侧棱与底面垂直;底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD;底面ABCD为正方形∴PB=1;AB=1;AD=1;∴BD=;PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．8．2015 北京某辆汽车每次加油都把油箱加满;下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量升加油时的累计里程千米2015年5月1日12 350002015年5月15日48 35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程;在这段时间内;该车每100千米平均耗油量为A．6升B．8升C．10升D．12升分析由表格信息;得到该车加了48升的汽油;跑了600千米;由此得到该车每100千米平均耗油量．解答解：由表格信息;得到该车加了48升的汽油;跑了600千米;所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．二、填空题9．2015 北京复数i1+i的实部为﹣1．分析直接利用复数的乘法运算法则;求解即可．解答解：复数i1+i=﹣1+i;所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．10．2015 北京2﹣^^^3;;log_____25三个数中最大数的是log_____25．分析运用指数函数和对数函数的单调性;可得0＜2﹣^^^3＜1;1＜＜2;log_____25＞log24=2;即可得到最大数．解答解：由于0＜2﹣^^^3＜1;1＜＜2;log_____25＞log24=2;则三个数中最大的数为log_____25．故答案为：log_____25．11．2015 北京在△ABC中;a=3;b=;∠A=;则∠B=．分析由正弦定理可得sinB;再由三角形的边角关系;即可得到角B．解答解：由正弦定理可得;=;即有sinB===;由b＜a;则B＜A;可得B=．故答案为：．12．2015 北京已知2;0是双曲线x^^^2﹣=1b＞0的一个焦点;则b=．分析求得双曲线x^^^2﹣=1b＞0的焦点为;0;﹣;0;可得b的方程;即可得到b的值．解答解：双曲线x^^^2﹣=1b＞0的焦点为;0;﹣;0;由题意可得=2;解得b=．故答案为：．13．2015 北京如图;△ABC及其内部的点组成的集合记为D;Px;y为D中任意一点;则z=2x+3y的最大值为7．分析利用线性规划的知识;通过平移即可求z的最大值．解答解：由z=2x+3y;得y=;平移直线y=;由图象可知当直线y=经过点A时;直线y=的截距最大;此时z最大．即A2;1．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7;故答案为：7．14．2015 北京高三年级267位学生参加期末考试;某班37位学生的语文成绩;数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示;甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看;①在甲、乙两人中;其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中;丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．分析1根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；2根据散点图2;观察丙的对应的坐标;如果横坐标大于纵坐标;说明总成绩名次大于数学成绩名次;反之小于．解答解：由高三年级267位学生参加期末考试;某班37位学生的语文成绩;数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中;其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图;作出对角线y=x;发现丙的坐标横坐标大于纵坐标;说明数学成绩的名次小于总成绩名次;所以在语文和数学两个科目中;丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．三、解答题共80分15．2015 北京已知函数fx=sinx﹣2sin^^^2．1求fx的最小正周期；2求fx在区间0;上的最小值．分析1由三角函数恒等变换化简函数解析式可得fx=2sinx+﹣;由三角函数的周期性及其求法即可得解；2由x∈0;;可求范围x+∈;π;即可求得fx的取值范围;即可得解．解答解：1∵fx=sinx﹣2sin^^^2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sinx+﹣∴fx的最小正周期T==2π；2∵x∈0;;∴x+∈;π;∴sinx+∈0;1;即有：fx=2sinx+﹣∈﹣;2﹣;∴可解得fx在区间0;上的最小值为：﹣．16．2015 北京已知等差数列{a n}满足a_____1+a_____2=10;a_____4﹣a_____3=21求{a n}的通项公式；2设等比数列{b n}满足b_____2=a_____3;b_____3=a7;问：b6与数列{a n}的第几项相等分析I由a_____4﹣a_____3=2;可求公差d;然后由a_____1+a_____2=10;可求a_____1;结合等差数列的通项公式可求II由b_____2=a_____3=8;b_____3=a7=16;可求等比数列的首项及公比;代入等比数列的通项公式可求b6;结合I可求解答解：I设等差数列{a n}的公差为d．∵a_____4﹣a_____3=2;所以d=2∵a_____1+a_____2=10;所以2a_____1+d=10∴a_____1=4;∴a n=4+2n﹣1=2n+2n=1;2;…II设等比数列{b n}的公比为q;∵b_____2=a_____3=8;b_____3=a7=16;∴∴q=2;b_____1=4∴=128;而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等17．2015 北京某超市随机选取1000位顾客;记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况;整理成如下统计表;其中“√”表示购买;“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××1估计顾客同时购买乙和丙的概率；2估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；3如果顾客购买了甲;则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大分析1从统计表可得;在这1000名顾客中;同时购买乙和丙的有200人;从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．2根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人;求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．3在这1000名顾客中;求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率;从而得出结论．解答解：1从统计表可得;在这1000名顾客中;同时购买乙和丙的有200人;故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．2在这1000名顾客中;在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300人;故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．3在这1000名顾客中;同时购买甲和乙的概率为=0.2;同时购买甲和丙的概率为=0.6;同时购买甲和丁的概率为=0.1;故同时购买甲和丙的概率最大．18．2015 北京如图;在三棱锥V﹣ABC中;平面VAB⊥平面ABC;△VAB为等边三角形;AC⊥BC且AC=BC=;O;M分别为AB;VA的中点．1求证：VB∥平面MOC；2求证：平面MOC⊥平面VAB3求三棱锥V﹣ABC的体积．分析1利用三角形的中位线得出OM∥VB;利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；2证明：OC⊥平面VAB;即可证明平面MOC⊥平面VAB3利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．解答1证明：∵O;M分别为AB;VA的中点;∴OM∥VB;∵VB平面MOC;OM平面MOC;∴VB∥平面MOC；2∵AC=BC;O为AB的中点;∴OC⊥AB;∵平面VAB⊥平面ABC;OC平面ABC;∴OC⊥平面VAB;∵OC平面MOC;∴平面MOC⊥平面VAB3在等腰直角三角形ACB中;AC=BC=;∴AB=2;OC=1;∴S△VAB=;∵OC⊥平面VAB;∴V C﹣VAB= S△VAB=;∴V V﹣ABC=V C﹣VAB=．19．2015 北京设函数fx=﹣klnx;k＞0．1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点;则fx在区间1;上仅有一个零点．分析1利用f'x≥0或f'x≤0求得函数的单调区间并能求出极值；2利用函数的导数的极值求出最值;利用最值讨论存在零点的情况．解答解：1由fx=f'x=x﹣由f'x=0解得x=fx与f'x在区间0;+∞上的情况如下：X 0;f'x ﹣ 0 +fx ↓↑所以;fx的单调递增区间为;单调递减区间为0;；fx在x=处的极小值为f=;无极大值．2证明：由1知;fx在区间0;+∞上的最小值为f=．因为fx存在零点;所以;从而k≥e当k=e时;fx在区间1;上单调递减;且f=0所以x=是fx在区间1;上唯一零点．当k＞e时;fx在区间0;上单调递减;且; 所以fx在区间1;上仅有一个零点．综上所述;若fx存在零点;则fx在区间1;上仅有一个零点．20．2015 北京已知椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3;过点D1;0且不过点E2;1的直线与椭圆C交于A;B两点;直线AE与直线x=3交于点M．1求椭圆C的离心率；2若AB垂直于x轴;求直线BM的斜率；3试判断直线BM与直线DE的位置关系;并说明理由．分析1通过将椭圆C的方程化成标准方程;利用离心率计算公式即得结论；2通过令直线AE的方程中x=3;得点M坐标;即得直线BM的斜率；3分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论;利用韦达定理;计算即可．解答解：1∵椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3;∴椭圆C的标准方程为：+y^^^2=1;∴a=;b=1;c=;∴椭圆C的离心率e==；2∵AB过点D1;0且垂直于x轴;∴可设A1;y_____1;B1;﹣y_____1;∵E2;1;∴直线AE的方程为：y﹣1=1﹣y_____1x﹣2;令x=3;得M3;2﹣y_____1;∴直线BM的斜率k BM==1；3结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时;由2知k BM=1;又∵直线DE的斜率k DE==1;∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时;设其方程为y=kx﹣1k≠1;设Ax_____1;y_____1;Bx_____2;y_____2;则直线AE的方程为y﹣1=x﹣2;令x=3;则点M3;;∴直线BM的斜率k BM=;联立;得1+3k^^^2x^^^2﹣6k2x+3k^^^2﹣3=0;由韦达定理;得x_____1+x_____2=;x_____1x_____2=;∵k BM﹣1====0;∴k BM=1=k DE;即BM∥DE；综上所述;直线BM与直线DE平行．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；changq；w3239003；wkl197822；sdpyqzh；双曲线；maths；吕静；caoqz；雪狼王；cst排名不分先后菁优网2017年2月3日。