高考数学新题分类汇编 推理与证明(高考真题 模拟新题)

2012高考数学新题分类汇编

推理与证明（高考真题+模拟新题）

课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形；

②△ABC可能是直角三角形；

③△ABC可能是等腰三角形；

④△ABC不可能是等腰三角形．

其中，正确的判断是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1

∵ f′(x)＝ex＋1>0，

∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴ f(x1)

∵ BA→＝(x1－x2，f(x1)－f(x2))，BC→＝(x3－x2，f(x3)－f(x2))，

∴ BA→·BC→＝(x1－x2)(x3－x2)＋(f(x1)－f(x2))(f(x3)－f(x2))<0，

∴ ∠ABC为钝角，判断①正确，②错；

(2)若△ABC为等腰三角形，则只需AB＝BC，即

(x1－x2)2＋(f(x1)－f(x2))2＝(x3－x2)2＋(f(x3)－f(x2))2，

∵ x1，x2，x3成等差数列，即2x2＝x1＋x3，

且f(x1)

只需 f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，即2f(x2)＝f(x1)＋f(x3)，

即 fx1＋x32＝fx1＋fx32，这与fx1＋x32

∴△ABC不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B.

解法二：(1)设A、B、C三点的横坐标为x1，x2，x3(x1

图1－3

∵ f′(x)＝ex＋1>0，

∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f(x)的图象(大致)

∴ f(x1)

如图1－2，设直线AB、BC的倾斜角分别为α和β，由0

得α

由x1，x2，x3成等差数列，得x2－x1＝x3－x2，

若△ABC为等腰三角形，只需AB＝BC，则

f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，

由0

课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：

对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．

则称映射f具有性质P.

现给出如下映射：

①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；

②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；

③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.

其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)

课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③

【解析】 设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则

λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，

①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2]

＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，

∴映射f1具有性质P；

②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]，

λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋ y2 )，

∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，

∴ 映射f2不具有性质P；

③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1

＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，

∴ 映射f3具有性质P.

故具有性质P的映射的序号为①③.

课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] C 【解析】 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；

因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；

因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；

若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则

a－b＝5(n1－n2)∈[0]；

反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则

a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；

∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.

课标理数7.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )

A．3125 B．5625

C．0625 D．8125

课标理数7.M1[2011·江西卷] D 【解析】 ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625，…，

∴5n(n∈Z且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，

∴52011与57的末四位数相同，均为8125.故选D.

课标文数6.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )

A．01 B．43 C．07 D．49

课标文数6.M1[2011·江西卷] B 【解析】 ∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…，

∴7n(n∈Z且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，

记7n(n∈Z且n≥2)的末两位数为f(n)，

则f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，

∴72011与73的末两位数相同，均为43.

课标理数15.M1[2011·山东卷] 设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝xx＋2，

f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，

f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，

f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.

课标理数15.M1[2011·山东卷] x2n－1x＋2n

【解析】 观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…与对应项的关系，显然满足2n，故fn(x)＝x2n－1x＋2n.

课标理数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．

课标理数13.M1[2011·陕西卷] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

【解析】 由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1,4,7,10，…，(3n－2)，对结果找规律为12,32,52，…，(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.

课标文数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为________________________________．

课标文数13.M1[2011·陕西卷] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 【解析】 因为

1＝1

第一个式子左边1个数，右边1；

2＋3＋4＝9

第二个式子左边2个数，从2开始加，加3个数，右边3的平方；

3＋4＋5＋6＋7＝25

第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个数，右边5的平方；

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

第四个左边7个数，从4开始加，加7个数，右边7的平方，

故第五项为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.