中考数学压轴题复习题：二次函数 (37)

1二次函数中的角度问题(4大题型)专练

通用的解题思路：

1、角的数量关系处理的一般方法如下：

(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形

的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；

(2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；

(3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．

2.特殊角问题处理的一般方法如下：

(1)运用三角函数值；

(2)遇45°构造等腰直角三角形；

(3)遇30°，60°构造等边三角形；

(4)遇90°构造直角三角形．

题型一：角相等问题

对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特殊角

来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

1(2024·山西太原·三模)综合与探究

如图1，经过原点O的抛物线y=-2x2+8x与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知

点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点．

(1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．

(2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线OM交直线l于点C，设点M的横坐标为m，

求MC

OC的最大值．

(3)如图3，连接OB，抛物线上是否存在一点M，使得∠MOA=∠BAO，若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由．

22(23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点

A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)请直接写出A、B、D三点坐标．

(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度

的最大值；

(3)如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；

3(23-24九年级下·湖南永州·开学考试)

综合与探究．

初三——二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三

2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图 C

P x O A B y

变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

12025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编

1.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1，0，C2，3两点，与y轴交于点N．其顶点

为D．

(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；

(2)设点M3，m，求使MN+MD的值最小时m的值；

(3)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，求PQ的最大

值．

【答案】(1)解：由抛物线y=-x2+bx+c过点A-1，0，C2，3得-1-b+c=0

-4+2b+c=3

，

解得b=2

c=3

，

∴抛物线为y=-x2+2x+3；

设直线为y=kx+n过点A-1，0，C2，3，得-k+n=0

2k+n=3

，

解得k=1

n=1

，

∴直线AC为y=x+1；

(2)解：∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，

∴D1,4，

令y=0，则0=-x2+2x+3，

解得x=-1或x=3，即抛物线与x轴的另一个交点为3，0，

作直线x=3，作点D关于直线x=3的对称点D，

得D坐标为5，4，如图，

连接ND交直线x=3于点M，

此时N、M、D三点共线时，NM+MD最小，即NM+MD最小，

设直线ND的关系式为：y=ax+b，

把点N0,3

和

D5,4代入得b=3

5a+b=4

，

得a=1

5，b=3，

2∴直线NM的函数关系式为：y=1

5x+3，

当x=3时，y=18

5，

∴m=18

5；

(3)解：如图，

∵PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴设Qx，x+1，则Px，-x2+2x+3，

∴PQ=-x2+2x+3-x+1=-x2+x+2

=-x-1

22+9

4，

∵-1<0，

∴PQ有最大值，最大值为9

4．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为-1,0，且OA=OC=5OB，抛物线y=ax2+bx+

ca≠0图象经过A，B，C三点．

(1)求A，C两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

中考复习之二次函数压轴40个问题

主要题型：

1. 二次函数之面积问题

2. 二次函数之特殊三角形的存在性问题

3. 二次函数之特殊四边形的存在性问题

4. 二次函数之线段最值问题

5. 二次函数之角度问题

题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D

第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.

求二次函数的解析式；

解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x+3

第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D

1. 判断BCD的形状；

解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故BCD是直角三角形；方法二:KCD=1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CDCB,所以BCD是直角三角形；

yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD 第3问:如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D,

2. 四边形ABDC的面积

解:BC:y=-x+3,

铅垂法:E(1,2)DE=2,SBCD=21∙2∙3=3

SABDC四=21∙4∙3+3=9

第4问:如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D,

1. P为直线BC上方抛物线上一点,求PBC面积最大值及P点坐标；

解:方法一:设P(m,-m+2m+3)

SPBC=21∙3∙[-m2+2m+3-(m+3)]

=23(-m2+3m),当m=23时,S有最大值,此时P(23,415)Smax=827

方法二:平移BC至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y=-x+n,与抛物线y=-x2+2x+3联立得x2-3x+n-3=0,=0,n=23,y=415,故P(23,415)Smax=827 yxBCAODyxBCAODEyxBCAOD