201X版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案 (新版)沪科版

半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则 A，B，C，D，E，F 是
⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边
形ABCDEF.
E
D
O
F
A
C
B
典例精析
例、 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
O
练一练
作法：
你能简单说明下如
何用尺规做出两条
为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E
B
O
Q
S
C
D
R
新知探究
⌒ ⌒
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
P
A
T
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
最小要___ _cm.
课堂练习
5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
解:设这个正三角形的中心为点O，
A
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，
则∠BOC=360°÷3=120°，
O
∴∠BOH=60°.
在Rt△BOH中，

BH=BC=3，∠OBH=30°，
OH= ， =
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫
做该正多边形的外接圆.
新知讲解
怎样由圆得到多边形呢？
定义：把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连结各分
点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

二、学情分析
九年级学生在学习本章节之前，已经掌握了多边形的性质、三角形和四边形的分类、圆的基本概念等基础知识。在此基础上，学生对正多边形与圆的关系已有一定的了解，但可能对正多边形的性质和计算方法掌握不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际问题相结合的能力。因此，在教学过程中，应注重以下方面：
4.鼓励学生相互交流、讨论，共同解决练习中的问题，提高学生解决问题的能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生对本节课的内容进行总结，分享学习收获。
2.教师强调本节课的重点知识，对难点进行梳理，帮助学生巩固记忆。
3.提问学生，检查他们对正多边形与圆的性质、计算方法的掌握情况。
4.布置课后作业，要求学生在课后独立完成，巩固所学知识。
设计意图：激发学生的自主学习兴趣，为下一节课的学习做好铺垫。
4.分层次作业设计：
-对于基础薄弱的学生，设计一些简单易懂的题目，帮助他们巩固基本概念；
-对于中等水平的学生，设计一些稍有难度的题目，提高他们的解题能力；
-对于优秀生，设计一些拓展题，鼓励他们深入探究正多边形与圆的性质。
设计意图：关注学生的个体差异，使每个学生都能在作业中找到适合自己的难度，提高作业的实效性。
设计意图：通过练习题，使学生巩固正多边形的性质、计算方法以及与圆的关系。
2.请学生选择一个生活中的正多边形实例，分析其性质，并运用所学知识解决相关问题。
设计意图：培养学生观察生活、发现数学问题的能力，提高学生将数学知识应用于实际问题的水平。
3.请学生预习下一节课的内容，提前了解正多边形的内切圆和外接圆的性质。
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能

24.6 正多边形与圆二、师生互动，探究新知师：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，证明你的结论•如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论•将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n边形•[教师根据学生的回答进行引导、补充和总结•]师：以五边形为例，引导学生证明•已知：如图，点A B、C、D E在o O上，且A B =Be = C D = DE = E A.求证：五边形ABCD是O O的内接正五边形•证明：（1）由A B = Be = C D = D E = ?A，得________ = _________ = _________ =•••B CE = C DA = 3A B，AZ i = z 2.让学生通过等分圆后，观察得出结论，体现一种研究方法一一由特殊推广到一般•同理可得/ 2=Z 3=Z 4=Z 5.又因为顶点A、B CD E都在O O上，所以五边形ABCD是O 0的内接正五边形.生：思考完成填空•师：将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形吗？用课件出示下列证明.已知：如图，点A B、C D E在O 0上,且A B=Be = C D = D E = E A,TP PQ QR RSST分别是以点A B、C、D E为切点的O 0 的切线•求证：五边形PQRS是O 0的外接正五边形.证明：连接OA OB OC则/ OAB=Z OB= / OB=Z OCB•/ TP PQ QF分别是以点A、B、C为切点的O0的切线，•••/ 0AP=Z 0BP=Z 0B(=Z 0CQ•••/ PAB=Z PBA=Z QBC=Z QCB又••• A B = Be , ••• AB= BC• △ PAB 也厶QBC•••/ P=Z Q PQ= 2PA同理可得/ Q=Z R=Z S=Z T,QF= RS= ST= TP= 2PA•••五边形PQRS的各边都与O 0相切，•••五边形PQRS是O 0的外切正五边形.生：观察理解证明过程，得出结论.将一个圆分成n等份，经过各分点作圆的切线，以相邻I教学小结I【板书设计】正多边形与圆1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形•2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形24.6 正多边形与圆第2课时正多边形的性质生：思考回答师：（1）正方形有外接圆吗？若有，外接圆的圆心在哪？（正方形对角线的交点.）⑵ 根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？生：小组讨论回答•接OA OB OC OD 0E•/ OB= OC •••/ 1 = Z 2.又•••/ ABC=Z BCD•/ 3=Z 4.•/ AB= DC ODC• OA= OD 即点D在O O上.同理，点E在O O上.所以正五边形ABCD有一个外接圆O O. 因为正五边形ABCD的各边是O O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距（OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCD还有一个以O为圆心的内切圆.师：引导学生归纳.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线采用开展活动，小组讨论的方法，培养学生互助，协作的精神，通过引导学生自主合作，探究验证，培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径•其他两个顶点到圆心的距离都等于半径•正五边形的各顶点共圆•正五边形有外接圆•圆心到各边的距离相等•正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心,半径是圆心到任意一边的距离•照此法证明，正六边形、正七边形、…、正n 边形都有一个外接圆和内切圆•定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆• 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距•正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等•正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角•正n边形的每个中心角都等于---------- •n师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心•边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心• 师：讲解例题•例求边长为a的正六边形的周长和面积•五、布置作业，巩固提升 教材习题24.6第4〜8题.I 教学小结I正多边形的性质巩固认识，提高应用水平【板书设计】 ,并且这两个圆是同心。

A A A A A A A . A2 3 n A3 4 1 A4 5 2 A1 A2 n 1
先说A1
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角.
F E
若正多边形的周长为l， 边心距为r，则：
A
O
D
lr S=_________。 2
1
B
C
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
360 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 60， 6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
B
D
小结：画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 画正多边形的方法 2.尺规作图等分圆
A
如图：
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
B O C D
E
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。（ × ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（ ×） 2、证明题。
A
D.24m
B C
D
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠C OA=120°． ②用量角器或30°角 的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30° ．
你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？

18
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.

又∵AF是⊙O的直径
∴∠ADF＝90°
∴ ∠BDF＝∠ADF-∠BDA＝90°- 36°=54°
C
F
D
例3.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，
54° ．
则∠BDF的度数是________
小结：
1.正n边形的每一个内角等于
A
n 2 180
n
B
E
O
；
2.直径所对的圆周角等于90°；
图形.
正三角形
120°
3条
正四边形
90°
4条
正五边形
72°
5条
正n边形有多少条对称轴？ n条
正n边形至少旋转多少度与自身重合？
360
n
正六边形
60°
6条
正七边形
360
7条
7
正八边形
45°
8条
如何画正多边形
3. 如何画正多边形
①用圆规和量角器画正多边形.
360
先任意画出一个圆和一条半径，再计算出该正多边形的中心角的度数，即
1
∴BA= ,
2
2
1
3

根据勾股定理可得：r=a= b 2 b
b
2
2
∴r:b＝ 3：2
1
B 2 bA
T2
3
b
2 r
T1
O
a
b
例5.如图，有一个圆O和两个正六边形1、 2，其中1的六个顶点都在圆周上，2的六条边都
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

A
求证： 正五边形的对角线相等
B D
E
C
类比联想
怎样找圆的内接正三角 形？怎样找圆的外切正 三角形？ •怎样找圆的内接正方 形？怎样找圆的外切正 方形？
A
D
B
H
A D
C
E B F CG来自•怎样找圆的内接正n边 形？怎样找圆的外切正 n边形？
把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这 个圆的内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形。
有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个 内切圆，并且这两个圆是同心圆。
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫 做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正 多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边 形的边心距。正多边形各边所对的外接圆 的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边 形的每个中心角都等于360°/n。
P B
A
T E O S
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
Q
C R D
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
⌒ ⌒ 又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA 又∵五边形PQRST的各边都与 ⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五 边形。
1、判断题。
×） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） P A F
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ 2、证明题。

人教版数学九年级上册24.3.1《正多边形和圆》说课稿一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24章第3节的内容。

本节课主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。

通过学习，使学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

教材通过丰富的图片和实例，引发学生的兴趣，引导学生探究正多边形与圆的内在联系，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。

但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从已有的知识出发，探究新知识，激发学生的学习兴趣，帮助学生建立知识体系。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，了解正多边形与圆的关系。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探究正多边形的性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学的美。

四. 说教学重难点1.教学重点：正多边形的定义，正多边形的性质。

2.教学难点：正多边形与圆的关系，正多边形的性质在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等，直观展示正多边形的性质和与圆的关系，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的正多边形图片，如足球、骰子等，引导学生关注正多边形，激发学生的学习兴趣。

2.探究正多边形的定义和性质：学生分组讨论，每组找出正多边形的定义和性质，最后进行汇报和交流。

3.揭示正多边形与圆的关系：引导学生观察正多边形的特点，引导学生发现正多边形可以看作圆的内接多边形，从而得出正多边形与圆的关系。

27.4正多边形和圆姓名：_______班级_______学号：________题型1直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程212200x x -+=的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出OD 的长即可得到答案．【详解】解：212200x x -+=，()()2100x x --=，10x ∴=或2，当2x =时，268+=，不能组成三角形，不符合题意；10x ∴=，当第三边为10时，2226810+= ，此三角形是直角三角形，如图所示，在Rt ABC △中，点O 是Rt ABC △的内接圆，分别与,,AB BC AC 相切于D 、E 、F ，,,OD OE OF OD AB OE ∴==⊥ABC ABO ACO BCO S S S S ∴=++ 111222AB BC AB OD BC ∴⋅=⋅+1683452OD OE OF ∴⨯⨯=++2OD ∴=，∴圆O 的半径为2，【答案】()5,1()8093,1【分析】作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB PB ，由A 、B 的坐标得出4OA =，3OB =，由勾股定理可得点A的坐标为()3,0，0,4，点B的坐标为()OA=，∴=，43OB2222∴=+=+=，AB OA OB435点P是Rt OAB内切圆的圆心，PD OA⊥⊥，PF OB【答案】3cm【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出1()2CD CF AC BC AB ==+-是解题关键．设易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：在Rt ABC △，90C ∠=︒，9cm BC =根据勾股定理2215(cm)AB AC BC =+=四边形OECF 中，OD OF =，ODC ∠∴四边形OFCD 是正方形，题型2圆外切四边形模型5．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆．若70AOB ∠=︒，则COD ∠=（）A ．110︒B ．125︒C ．140︒D ．145︒【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OAB OAD ∠=∠，ODA ODC ∠=∠，OCD OCB ∠=∠，OBC OBA ∠=∠，∵360OAB OAD ODA ODC OCD OCB OBC OBA ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180OAB OBA ODC OCD OAD ODA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，∵70AOB ∠=︒，180OAB OBA AOB ∠+∠+∠=︒，180ODC OCD DOC ∠+∠+∠=︒，∴18070110COD ∠=︒-︒=︒，故选：A ；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到180OAB OBA ODC OCD ∠+∠+∠+∠=︒．6．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．7．（2019上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形EBFI ，正方形MFCG 和正方形HLGD 都在正方形ABCD 内，且=BF HD ．O 分别与AE ，EI ，HL ，AH 相切，点M 恰好落在【答案】1682-【分析】连接AC ，由题意可知【详解】解：如图所示，连接∵正方形EBFI ，正方形MFCG ∴45ACD MCD DAC ∠=∠=∠=∵O 分别与AE ，EI ，HL ，∴四边形AQOP 是正方形，∴AC 过点O ，M ，四边形ABCD 为正方形，题型3三角形内心有关应用9．（2023上·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆A ．12B ．【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，【详解】解：过O 点作OD ∵O 是正ABC 的内切圆，A．100︒B．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出1【答案】52-/2-+【分析】在AB 的下方作等腰直角三角形过点K 作KT DB ⊥交DB ∵点P 是ACB △的内心，∠∴12PAB CAB ∠=∠，PBA ∠=∴(12PAB PBA CAB ∠+∠=∠∴18045135APB ∠=︒-︒=︒，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵2AB =，AK BK =，AKB ∠设这个三角形内切圆的半径为r ，则11145222S ar br cr =++=，即()1452r a b c ++=，∵三角形的三边a ，b ，c 分别为7，6，∴()1763452r ++=，则：DAC DBC ∠=∠，∵I 是ABC 内心，∴,ABD DBC CAI ∠=∠∠=∴DAC DBA ∠=∠，∴DAC CAI DBA ∠+∠=∠+则：222CH AC AH =-=即：(222141315x -=--解得：425x =，∴22CH AC AH =-=设AD x =，则2BD =-由勾股定理得：2CD AC =222243(2)x x ∴-=--．解得： 2.75x =．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接OD 、在Rt ABC △中，AC AB =设内切圆半径为r ，AB 、BC ∴OD AB ⊥，OE BC ⊥，∵AB BC ⊥，OD OE =，∴四边形ODBE 为正方形，∴OD OE BD BE r ====，由切线长定理得，8AF AD r ==-，6CE CF r ==-，MD MP =，NE NP =，∴8610AC AF CF r r =+=-+-=，解得2r =，则的周长为BM BN MN++BM BN MP NP=+++BM BN MD NE=+++BD BE=+2BD=2r=4=．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形ODBE 为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．题型5三角形内切圆与外接圆综合18．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知O 是ABC 的内心，70BAC ∠=︒，P 为平面上一点，点O 恰好又是BCP 的外心，则BPC ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．62.5︒D ．65︒【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得OB OC 、分别是ABC ACB ∠∠、的角平分线，进而求出BOC ∠的大小，再利用三角形外心的性质得出BPC ∠等于BOC ∠的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．∵O是ABC的内心，，∴12OBC ABC ∠=∠，∴12 OBC OCB∠+∠=∠【答案】65︒/65度【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接OB、OC，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得BOC∠，再根据圆周角定理得到∵80BAC ∠=︒，∴180ABC ACB ∠+∠=︒-∵O 是ABC 的内心，∴12OBC ABC ∠=∠，OCB ∠【答案】58【分析】作AD BC ⊥于点D ，作PF 且AD 垂直平分BC ，及BD CD ==得BQ 、PF 和DQ ，由PCF ≌ R R t 答案．则90ADB ADC ∠=∠=︒，∵5AB AC ==，∴AD 平分BAC ∠，且AD 垂直平分∵6BC =，∴1=32BD CD BC ==，【答案】40︒/40度【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出COB ∠的度数和OGE ∠【详解】解：连接,OD OE【答案】5【分析】连接OA 、OB 、OC 、33BE BD OE ===，进而得出【详解】解：如图，连接OA 、OB ∵ABC 的内切圆半径3r =，30ABO CBO ∴∠=∠=︒，33BE BD OE ∴===，8BC = ，A．72°【答案】A【分析】根据正n边形的中心角的度数为【答案】2【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、形的中心角36060AOB︒∠==︒，进而证明由题意，360 AOB∠=∴AOB为等边三角形，【答案】72︒/72度【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得解．【详解】∵五边形ABCDE1【答案】72︒/72【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，∴3605AOB BOC ︒∠=∠=∴7272144AOC ∠=︒+︒=∴1722AFC AOC ∠=∠=A．4B【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出60BOC ∠=︒，OB OC =∴BOC 是等边三角形，∴6OB BC ==，OM BC ⊥，1A ．2B ．确定，所以CMP S △的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出1S S =则2MN OM =，∵12COD S CD OM = ，PCM S ∴COD PCM S S = ，∵16COD ABCDEF S S = 正六边形，34．（2023上·浙江温州记ACE △的周长为1C ，正六边形为【答案】32【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含长为a ，利用含30︒角的直角三角形的性质求出【详解】解：设正六边形的边长为∵六边形ABCDEF 是∴DC DE a ==，CDE ∠∴60,EDH DEH ∠=︒∠∴12DH a =，(1)在方格纸中画出以AC为对角线的正方形小正方形的顶点上；∠为顶角的等腰三角形(2)在方格纸中画出以GFE格点上，连接AG，并直接写出线段【答案】(1)见详解；∠为顶角的等腰三角形（2）解：以GFE22AG=+=．5334【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．36．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知的内接正方形ABCD法，作出O【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙【详解】解：如图，正方形ABCD的直径，∵BD垂直平分AC，AC为O的直径，∴BD为O∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，的内接正方形．∴四边形ABCD是O【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．37．（2020下·山东青岛·九年级统考学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．38．（2022上·江西景德镇·九年级统考期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．39．（2023上·江苏盐城【答案】（1）3；（2）21316AN≤≤；（3）9373222r-≤≤【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果；（2）当MNA'的外接圆与线段DC相交，且点N与D重合时，此时AN外接圆与线段DC相切时，此时AN最小，利用勾股定理构建方程求解即可；由折叠的性质得：A D AD'=，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相交，且点N 与D 重合时，此时AN 最大，即3AN =，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相切时，设半径为r ，则3,OF r AO r =-=，则1924AF AM ==，∴()222934r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当N 与D 重合时r 最大，3,6,6A F r MF r MA ''∴=-=-=，Rt FA M ' 中，()()222366r r -+-=，1r =9372+（舍），29372r -=，故答案为：93732r -≤≤．。

沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。

本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。

通过学习正多边形和圆，可以帮助学生更深入地理解圆的性质，为后续学习圆的方程和应用打下基础。

教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究正多边形和圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。

但是，对于正多边形和圆的关系，以及如何运用圆的性质解决实际问题，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过生动的实例和实际操作，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。

三. 教学目标1.理解正多边形的定义和性质。

2.掌握圆的性质，并能运用到实际问题中。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

4.引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。

2.圆的性质及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。

2.利用图形和实例，进行直观教学，帮助学生理解和记忆。

3.通过小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和实践能力。

4.运用数学软件和实物模型，展示正多边形和圆的动态变化，增强学生的直观感受。

六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和展示。

2.准备数学软件和实物模型，用于演示和操作。

3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些常见的正多边形和圆的图形，引导学生关注正多边形和圆的性质。

提问：你们对这些图形有什么观察和认识？2.呈现（10分钟）讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的关系。

展示圆的性质，引导学生理解和记忆。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据正多边形和圆的性质，尝试解决一些实际问题。

九年级数学正多边形与圆教案（精选多篇）正文第一篇：九年级数学正多边形与圆教案九年级数学正多边形与圆教案学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。

学习过程：一、情境创设：观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？二、探索活动：活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形。

（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。

活动三探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。

问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

3 BC 2
3 a. 2
∴S=6 1 BC OG 3 3 a2.
2
2
24.6.2 正多边形的性质
例2 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm， 上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶 带按如图所示方式包扎礼盒，所需胶带长度至少为
__(7_2___3___6_0_)_c_m___．
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方 形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2. 则半径为 AB sin 45 2. ∴⊙O的面积为 π( 2)2 2π.
24.6.2 正多边形的性质
7.如图，正六边形ABCDEF的边长为 2 3，点P为六边形内任
24.6.2 正多边形的性质
例1 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解： 如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连
接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C 和S.
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC = 60°， △BOC是等边三角形.
∴C = 6BC = 6a.
在△BOC中，有 OG
出所需胶带的长度．
24.6.2 正多边形的性质
例3 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连 接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、 M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
n
24.6.2 正多边形的性质
画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
24.6.2 正多边形的性质
要点精析： (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条 对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. (2)当边数为偶数时，正多边形具有：轴对称性、中心

圆知识点总结一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；#2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．*3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．…圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．【圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． ：五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论：⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． \3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目： {1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径 2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <.》2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． ⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． —注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.|⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．、2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．：五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O、⊙⊙的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：|位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．—d R r>+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交#两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含>两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆，1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．~3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，、1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。

人教版数学九年级上册教学设计24.3《正多边形和圆》一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24章第三节的内容。

本节课主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。

教材中提供了丰富的实例和图示，有助于学生直观地理解和掌握知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。

但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，逐步理解和掌握知识。

三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。

2.掌握正多边形与圆的关系。

3.能够运用正多边形的性质解决一些实际问题。

4.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。

2.正多边形与圆的关系。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，自主地学习和掌握知识。

2.利用多媒体辅助教学，展示正多边形的实例和图示，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生互相交流、讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正多边形的实例和图示。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些正多边形的实例，如正方形、正三角形等，引导学生观察并思考：这些图形有什么特点？它们之间有什么联系？2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，以及正多边形与圆的关系。

通过图示和实例，让学生直观地理解和掌握知识。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个正多边形，分析其性质，并尝试用语言和图形表达出来。

然后，各组汇报自己的成果，其他组进行评价和补充。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、填空题和解答题，内容涉及正多边形的性质和与圆的关系。

5.拓展（10分钟）让学生思考：如何判断一个多边形是否为正多边形？引导学生运用已学的知识，探索和解决问题。

课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.6 正多边形与圆（1）教学目标1．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形教学重点正多边形的概念及正多边形与圆的关系．教学难点利用直尺与量角器等作特殊的正多边形．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：1．观察身边的图案，说说有哪些你熟悉的图形？2．观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？二．探究交流实践探索一：正多边形的概念1．观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2．概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，……）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？3．能否说各边相等的多边形是正多边形？四.拓展提高：．请你思考一下：正六边形与圆有何关系？得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．例2 如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．练一练1．下列说法中正确的是( )．A．平行四边形是正多边形；B．矩形是正四边形；C．菱形是正四边形；D．正方形是正四边形；2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为．3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？拓展思考：如何作正八边形？十六边形？练一练1．正十二边形的每一个外角为___°，每一个内角是°，该图形绕其中心至少旋转°和本身重合．2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积．3．用直尺和圆规作一个等边三角形．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记。

怎样找圆的外切正n边形？ F
例题
【例1】把圆分成5等份，求证： ⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五 边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点 的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵A⌒B=⌒BC=⌒CD=⌒DE=⌒EA
A
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵⌒BCE=⌒CDA=3⌒AB
先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形………
1.判断： （1）各边相等的圆内接多边形是正多边形（ ） （2）各边相等的圆外切多边形是正多边形（ ） （3）各角相等的圆内接多边形是正多边形（ ） （4）各角相等的圆外切多边形是正多边形（ ）
2.证明题. 求证：顺次连接正六边形各边中点所得的多
从而，作出正n边形.
你能用以上方法画出正四边形、正六边形吗？
A
D
·O
90°
B
C
F
E
O
A
·
D
60°
B
C
你还有什么方法画正四边形、正六边形？
用尺规等分圆周
对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规 来等份圆周.
你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正
多边形？
只要作出已知⊙O的
互相垂直的直径即得圆
A
D
内接正方形，再过圆心
作各边的垂线与⊙O相交，
或作各中心角的角平分
·O
线与⊙O相交，即得圆内
接正八边形，照此方法
依次可作正十六边形、
B
C
正三十二边形、正六十
四边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
F
E
O
A