数学九年级上册正多边形和圆课件

24.3 正多边形和圆（1）
一、情境引入
观察上图中美丽的图案，思考下面的问 题：这些都是日常生活中经常见到的利用正 多边形得到的物体，你能从中找出正多边形 吗？
二、探索交流
1.什么样的多边形叫做正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
2.正多边形与圆有什么关系？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆 分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多 边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3） 等分，依次连接各等分点所得的多边形是 这个圆的内接正多边形．
A
A
D
A
AF
B
E
B
O
CB
O C
OBOE
C
DCD
五、当堂检测
1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个
正多边形的边数为 ．
2．若一个正多边形的每个外角为36°，则这 个正多边形的边数为 ．
3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四
∴ ∠A=∠B.
B
E
O
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
C
D
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCDE的外接圆.
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多 边形的中心角.
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的
边心距.
F
E
· A 中心角 半径R O
D
边心距r
BG C
三、典例赏析
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).

反例:矩形. 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.
例题分析
1
边心距为 ,面积为
.
分析
例题分析
1
分析
例题分析
2
分析
例题分析
3
例题分析
例题分析
推广思考
推广思考
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成? 每个直角三角形都由正多边形的半径,边心距,边长一半组成.
阅读与思考
阅读与思考
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”,利用 圆的内接正多边形来确定圆周率. 并指出圆的内接正 多边形边数加倍的过程中“割之弥细,所失弥少,割之又 割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”他计算 出
复习回顾
正多边形:各边相等、各角也相等的多边形. 比如等边三角形、正方形等.
复习回顾
复习回顾
正多边形是轴对称图形; 当边数为偶数时,正多边形也是中心对称图形; 圆既是轴对称图形又是旋转对称图形. 正多边形和圆的关系联系非常密切,只要把一个 圆分成相等的一些弧,就可以作出正多边形.
探究新知 第一行的正多边形是圆内接正多边形; 第二行的正多边形是圆外切正多边形.
思考 各边相等的多边形是正多边形吗?
反例: 如图,菱形的四条边相等,但是四个 角不相等,所以不是正多边形.
各角相等的多边形是正多边形吗?
反例: 如图,矩形的四个角相等,但是四条 边不相等,所以不是正多边形.
思考 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗? 以四边形为例
思考 证明:
思考 各角相等的圆内接多边形是正多边形吗? 以四边形为例
拓广探索
巩固练习
分析
课堂小结
1 2 3
1 完成下表中有关正多边形的计算.

你能用类似的方法画出圆内接正四边形 吗？并说明理由。
还有其他 方法吗？
类比联想
问题1：画圆的内接正三角形 （3）给你一张圆形纸片，要求不能用量角器、 圆规、刻度尺、三角板，你又该怎么做呢？
你能说明一 下这么做的 理由吗？
拓展延伸
问题2：画圆的内接正六边形、十二边形等 在已有圆内接正三角形的前提下，你能画出 圆内接正六边形吗？
·O
典例剖析
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则 ∠ADE的度数是（ ）． A．60° B．45° C． 36° D． 30°
新人教版数学 九年级上册
正多边形与圆
——第2课时
复习回顾
回顾：正多边形和圆
F
E
. A
中心角 半径R
O
D
边心距r
B
C
探索新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广 泛的应用性，所以会画正多边形是学生必备 能力之一。
思考：怎样画一个正多边形？
探索新知
问题1：画圆的内接正三角形 （1）已知⊙O，请画出圆的内接正三角形.
O·
利用这种方法, 可以画出任意 的正n边形.
探索新知
等分圆
正多边形
（1）用量角器画一个等于
360o n
的圆心角；
（2）在圆上依次截取与该圆心角所对的弧相等 的弧（或依次画出相等的圆心角），得到圆的n 个等分点；
（3）顺次连接这些等分点，即得到正n边形。
类比联想
问题1：画圆Biblioteka 内接正三角形 （2）如果圆心O未知 ，你该怎么做呢？
（2）
掌握不同条件下画 圆内接正多边形的 方法；
（4）
在解决问题的过程 中，运用到化归思 想，体会到事物之 间都是相互联系的.

做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
C 弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
B
1．(孝感市 2008 年)在 Rt△ABC 中， C 90 ， AC 8， BC 6 ，
两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之 和为（ ）
C
A
25 A． 4
25 B． 8
25 C． 16
25 D． 32
（第 1 题图）
2．(浙江省湖州市 2008 年)已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
． 点在圆外

(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
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构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
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典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
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二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
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2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:

B
C
O
A
新知探究
(1)将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的 圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积 的关系吗？
新知探究
(2)画一个半径是2 cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算 这个扇形的面积吗？
随堂练习
1．下列说法不正确的是( A )
A．各边都相等的多边形是正多边形
提示：我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在 直线的同一侧.
新知探究
如图，在多边形ABCDE中，点A、点B等是多边形的顶点；线段AB、线段BC等 是多边形的边；∠EAB、∠B等是多边形的内角(简称多边形的角)；如线段AC、线 段AD是多边形的对角线．
E
A
D
B
C
你还能画出图中 其他的对角线吗 ？
它们都是由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平 面图形。
新知探究
多边形的相关概念
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形叫做多边形． 组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
本课小结
多边形 和圆的 初步认 识
多边形
多边形的对角线 正多边形
圆心角 圆
扇形面积
n边形的对角线 分割三角形
随堂练习
7.将一个圆分割成3个扇形，它们的圆心角的度数比是1∶3∶5，求这3个扇形的圆 心角的度数．
随堂练习
8.如图，把一个圆分成四个扇形，若该圆的半径为4 cm，你能求出它们的面积吗？
解：因为圆的面积为：π×42＝16π(cm2)． 所以S扇形OAB＝16π×45%＝7.2π(cm2)； S扇形OBC＝16π×10%＝1.6π(cm2)； S扇形OCD＝16π×25%＝4π(cm2)； S扇形OAD＝16π×30%＝4.8π(cm2)．

例题分析
1. (1)正三角形的半径为R，则边长为_____，边心距为______，
面积为________． (3)定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率，适量做一些综合题，提高解题思维能力。并及时总结、记忆，内化提高。
A
知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 。
中心 O 中心角
AB=BC=CD=DA .
边心距r
边心距r
边心距r
思考
各边相等的多边形是正多边形吗？
反例：如图，菱形的四条边相等， 但是四个角不相等，所以不是正 多边形.
各角相等的多边形是多边形吗？ 反例：如图，矩形的四个角相等， 但是四条边不相等，所以不是正 多边形.
思考
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？
OB=OC=2，则
Rt△OBD中，边心距
O是正五边形ABCDE
观察这些图片，你看到了哪些正多边形？
复习回顾
正多边形是轴对称图形； 当边数为偶数时，正多边形也是中心对称 图形； 圆既是轴对称图形又是旋转对称图形. 正多边形和圆的关系联系非常密切，只要把 一个圆分成相等的一些弧，就可以作出正多 边形.
分析：画出示意图，圆内接正三角形ABC. (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。
高三数学复习中的几个注意点
中心角BOC 360 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 120 ,OB=OC=R,则
O R
OBC 30, Rt
3 OBD
找出下列正多边形的中心，并标出正多边形的半 中心角
,OA=OB, AB=a,则
已知：如图， O 中内接四边形ABCD ，

S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
F
E
A
O
4m
D
r
B MC
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是 （ C ）
A
A．60°
B．45°
C． 36°
B
E
D． 30°
O·
C
D
方法归纳 ：圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
BMC
O
半径R
中心角一半 边心距r
M C
边长一半
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直
角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最
大值是多少？
解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x
∴ 另一边长为8-x。
则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2
即s 1 x2 4x
2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心 距、边长之间的关系.
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
知识点 1 正多边形的对称性
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？ 为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
1
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.∴CG= 2 BC= 3
∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2× BC2 BG2 =2× 3 =6.
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
拓广探索题
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN. (1)求图①中∠MON=__1_2_0__°_;图②中∠MON= 90 °;

学科素养课件
人教版·数学 九年级全
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
知识点 正多边形及其外接圆
蜂窝构造非常精巧,蜂房由许多大小、形 状都相同的房孔组成,房孔都是正六边形,正六 边形的六个顶点在同一圆上,该圆的圆心就是 这个正六边形的中心.
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点 正多边形及其外接圆
不是任何多边形(边数大于3)都有外接圆和内切圆, 但任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个 圆是同心圆.
知识点 正多边形的画法
设计美丽的图案:
(1)以圆的三等分点为圆心,圆的半径为半径作三 条弧; (2)以正六边形各边的中点为圆心,正六边形的边 长为直径向圆外画半圆; (3)作圆的内接正五边形,再以正五边形的各个顶 点为圆心,边长为半径画十条弧.
知识点 正多边形及其外接圆
(1)正多边形的对称性:所有的正多边形都是轴对称图形,一个正 n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.n为偶 数时,它还是中心对称图形,它的中心就是对称中心. (2)圆的外切正n边形:把圆分成n(n≥3)等份,经过各分点作圆的 切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边 形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径而不是内切圆 的半径. (3)边心距与弦心距的关系:边心距是正多边形的中心到正多边 形一边的距离,此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆中, 圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离,即边心距也是弦心距; 但弦心距不一定是边心距.

归纳 等分圆周的方法
1 用量角器等分圆周 2 用尺规作图等分圆周
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
参照图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．
C
B
D
360=45 A
8 画正八边形
H
45°
O
G
E F
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
用等分圆周的方法作正多边形的一般步骤
（1）任意画一个圆和一条半径； （2）算出该正多边形的中心角的度数，用量角器画出 一个圆心角（中心角），获得该圆心角所对的弧； （3）用圆规在圆上依次截取相等的弧，得到圆的等分 点（；4）顺次连接各分点得到正多边形.
使用工具：量角器，圆规
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配套人教版
24.3 正多边形和圆 第2课时
学习目标
1.能用等分圆周的方法作正多边形，会利用尺规作图的方法画一些特 殊的正多边形； 2.在等分圆周画正多边形的过程中，学会借助圆设计一些美丽的图 案； 3.在探索新知的过程中发展观察、分析、概括及归纳的思维能力； 4.体会数学与生活的紧密联系，感受正多边形和圆的和谐美．
操作
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
A
（1）任意画出一条半径OA；
（2）用量角器画一个等于120°
O 120 °
的圆心角，对应 AB͡ ；
C
（3）在圆上截取与AB͡ 相等的 BC͡ ； B
（4）顺次连接各点得正△ABC.
用圆规截取 BC͡ =AB͡
等分圆周
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