学案4:2.1.2 椭圆的简单几何性质
- 格式：doc
- 大小：54.01 KB
- 文档页数：9
2.1.2 椭圆的简单几何性质
【学习目标】
1．了解椭圆的简单应用．
2．理解数形结合的思想．
3．会处理简单的直线与椭圆关系问题．
【研题型学习法】
题型一 直线与椭圆的位置关系的判断
例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点，有一个公共点，没有公共点？
►变式训练
1．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆x29＋y24＝1的公共点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．需根据a，b的取值来确定
题型二 弦长问题
例2 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为1625.
(1)求椭圆方程；
(2)求△OAB的面积．
►变式训练
2．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，求|AB|的最大值．
题型三 中点弦问题
例3 已知椭圆x22＋y2＝1，求过点P12，12且被P平分的弦所在直线的方程．
►变式训练
3．过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________________．
当堂检测
1．椭圆x2m＋y24＝1的焦距等于2，则m的值为( )
A．5或3 B．8
C．5 D．16
2．已知椭圆x216＋y2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )
A．8 B．12
C．23 D．43
3．已知A(0，－1)、B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.x24＋y23＝1(x≠±2)
B.y23＋x24＝1(y≠±2)
C.x24＋y23＝1(y≠0)
D.y24＋x23＝1(x≠0)
课后练习：
1．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±5，0) B．(0，±5)
C.±56，0 D.±536，0
2．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )
A.32 B.3 C.72 D．4
3．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
5．若椭圆C1：x2a21＋y2b21＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：x2a22＋y2b22＝1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a1a2>b1b2；
③a21－a22＝b21－b22；④a1－a2
其中，所有正确结论的序号是__________．
6．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
7．P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，求动点Q的轨迹方程．
答 案
研题型学习法
例1 【答案】解：由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋3(kx＋2)2＝6，
即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.
当Δ＝72k2－48＞0，即k＞63，或k＜－63时，
直线和曲线有两个公共点；
当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63，或k＝－63时，
直线和曲线有一个公共点；
当Δ＝72k2－48<0，即－63＜k＜63时，
直线和曲线没有公共点．
【规律方法】直线与椭圆的位置关系用判别式法判断，即将直线的方程代入椭圆方程中，整理成关于x(或y)的一元二次方程，其根的判别式为Δ，若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
►变式训练
1．【解析】因为直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，所以原点到直线ax＋by＋4＝0的距离d＝4a2＋b2>2，所以a2＋b2<4，所以点P(a，b)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，因为椭圆的长半轴为3，短半轴为2，所以圆x2＋y2＝4内切于椭圆，所以点P是椭圆内的点，所以过点P(a，b)的一条直线与椭圆的公共点个数为2个．故选C.
【答案】C
题型二 弦长问题
例2 【答案】解：(1)∵a＝2b，∴设椭圆方程为x24b2＋y2b2＝1，联立y＝x＋2，x24b2＋y2b2＝1， 得5x2＋16x＋16－4b2＝0∴Δ＝162－20（16－4b2）＝16（5b2－4）＞0，x1＋x2＝－165，x1x2＝16－4b25.
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
∴|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|
＝2（x1＋x2）2－4x1x2＝425·5b2－4＝1625.
∴5b2－4＝16，∴b2＝4，即b＝2.
∴a＝2b＝4.
∴椭圆方程为x216＋y24＝1.
(2)点O到直线y＝x＋2的距离d＝22＝2，
∴S△AOB＝12·|AB|·d＝12×1625×2＝165.
【规律方法】直线l的斜率为k，与椭圆的两个交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长为|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2.
►变式训练
2．【答案】解：设直线l的方程为y＝x＋t，由y＝x＋t，x24＋y2＝1
消去y得x24＋(x＋t)2＝1.
整理，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
因为Δ＝64t2－80(t2－1)>0，所以－5
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－8t5，x1·x2＝4（t2－1）5.
所以|AB|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝ 26425t2－4×4（t2－1）5
＝－32t2＋16025.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝4105.
题型三 中点弦问题 例3 【答案】解：方法一 由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－12＝kx－12，即y＝kx＋12－12k，由x22＋y2＝1，y＝kx＋12－12k，
得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
x1＋x2＝－4k（1－k）2＋4k2＝1，
解之得k＝－12.∴直线方程为2x＋4y－3＝0.
方法二 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，
设为k，
则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
由x212＋y21＝1，x222＋y22＝1，得y21－y22＝－12(x21－x22)，
∴y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2＝－12，即k＝－12，
∴直线方程为y－12＝－12x－12，即2x＋4y－3＝0.
【规律方法】与中点弦有关的问题一般利用中点公式和韦达定理．
►变式训练
3．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由22221122221,1xyxyabab，两式相减，变形得1212121222()()()()0xxxxyyyyab，∴1221212212yybxxxxayy.
∵121212yyxx，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴2212ba，a2＝2b2，从而a2＝2c2，e＝22.
【答案】22
课堂练习 1．【答案】A
2．【解析】把点(－2，3)代入x216＋y2b2＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝23.∴2c＝43.
【答案】D
3．【答案】D
课后练习
1．【解析】椭圆4x2＋9y2＝1的标准形式为x214＋y219＝1，
∴a2＝14，b2＝19.故c2＝14－19＝536.
【答案】C
2．【解析】不妨设F1的坐标为(3，0)，P点坐标为(x0，y0)，∵PF1与x轴垂直，∴x0＝3.
把x0＝3代入椭圆方程x24＋y2＝1，得y20＝14.∴|PF1|＝12.
∴|PF2|＝4－|PF1|＝72.
【答案】C
3．【解析】由mn＞0，若m＝n＞0，则方程mx2＋ny2＝1表示圆，故mn＞0⇏方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则必有mn＞0，故选B.
【答案】B
4．【答案】8
5．【解析】由题意，a21－b21＝a22－b22，因为a1>a2，所以b1>b2，所以①③正确；又a21－a22＝b21－b22，a1>b1>0，a2>b2>0，所以④正确．
【答案】①③④
6．【解析】将圆的方程化为标准形式(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图：
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，
即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，
