2021年山东省莱芜中考数学试题及答案[1]

山东省莱芜市中考数学试卷(含答案)绝密★启用前 试卷类型A莱芜市中等学校招生考试数 学 试 题注意事项：1.答卷前考生务必在规定位置将姓名、准考证号等内容填写准确。

2.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分，共120分。

考试时间为120分钟。

3.请将第Ⅰ卷选择题答案填写在第Ⅱ卷首答案栏内，填在其它位置不得分。

4.考试结束后，由监考教师把第Ⅰ卷和第Ⅱ卷一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填写在答案栏的相应位置上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）1.31-的倒数是A ．3-B ．31-C ．31D ．32.下列计算结果正确的是A ．923)(a a =-B ．632a a a =⋅C ．22)21(21-=--D ．1)2160(cos 0=-3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4.4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为A ．3.1×106元B ．3.11×104元C ．3.1×104元D ．3.10×105元5.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b，则下列结论正确的是 A ．0>abB ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是A .B .C .D .7.已知反比例函数x y 2-=，下列结论不正确．．．的是 A ．图象必经过点(-1,2) B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则y ＞-28.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．9.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数bx y +=图象不经过 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为A ．4B ．2C ． 2D ． ±211.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是A ．2B ． 3C ．1D ．1212.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y 随时间x （第9题图）乙甲 10 -1 a b BA （第5题图） （第6题图）列结论不正确．．．的是A．甲先到达终点B．前30分钟，甲在乙的前面C．第48分钟时，两人第一次相遇D．这次比赛的全程是28千米绝密★启用前试卷类型A莱芜市中等学校招生考试数学试题第Ⅱ卷（非选择题共84分）注意事项：第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在本试卷上。

2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）A ．垂线段最短B ．经过一点有无数条直线C ．两点之间，线段最短D ．经过两点，有且仅有一条直线2．下列说法正确的是（ ）A ．负数没有倒数B ．﹣1的倒数是﹣1C ．任何有理数都有倒数D ．正数的倒数比自身小3．如图，直线y ＝kx+b 与y ＝mx+n 分别交x 轴于点A （﹣1，0），B （4，0），则函数y ＝（kx+b ）（mx+n ）中，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集为（ ）A ．x ＞2B ．0＜x ＜4C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＜﹣1 或 x ＞44．某圆锥的主视图是一个边长为3cm 的等边三角形，那么这个圆锥的侧面积是（ ） A ．4.5πcm 2B ．3cm 2C ．4πcm 2D ．3πcm 25．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c ﹣a|﹣|a+b|的值等于（ ）A ．c+bB ．b ﹣cC ．c ﹣2a+bD ．c ﹣2a ﹣b6．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＜oD ．a÷b ＞07．下列计算正确的是（ ）8．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）A．B．C．D．9．下列方程中，没有实数根的是( )A．2x2x30-+=--=B．2x2x30C．2x2x10--=-+=D．2x2x1010．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．55°二、填空题（本题包括8个小题）11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为cm．12．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．13．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点OAC的中点，点D在A射线BO上，连接OE，EC，若AB＝4，则OE的最小值为_____．14．农科院新培育出A 、B 两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量100 200 500 1000 2000 A出芽种子数961654919841965发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B出芽种子数961924869771946发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A 种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率可能会高于B 种子．其中合理的是__________（只填序号）． 15．请写出一个比2大且比4小的无理数：________. 16．计算：21m m ++112m m++=______．17．函数y=12-x的自变量x 的取值范围是_____． 18．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，若剪去∠A 得到四边形BCDE ，则∠1＋∠2＝______．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．426x x >-21．（6分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类记为A；音乐类记为B；球类记为C；其他类记为D．根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：七年级（1）班学生总人数为_______人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为_____度，请补全条形统计图；学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC 的度数；求证：AE是⊙O的切线；当BC=4时，求劣弧AC的长．23．（8分）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与费用y(元)之间的函数关系如图所示．有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元；分别求出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式；请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长25．（10分）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．求甲、乙两种品牌空调的进货价；该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．26．（12分）先化简分式：（a-3+4+3aa）÷-2+3aa∙+3+2aa，再从-35、2、-2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】【详解】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．2．B【解析】A、只有0没有倒数，该项错误；B、﹣1的倒数是﹣1，该项正确；C、0没有倒数，该项错误；D、小于1的正分数的倒数大于1,1的倒数等于1，该项错误.故选B.【点睛】本题主要考查倒数的定义：两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数，熟练掌握这个知识点是解答本题的关键.3．C【解析】【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x＜4，故选C．【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．4．A【解析】【分析】根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，那么利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可．【详解】∵圆锥的轴截面是一个边长为3cm的等边三角形，∴底面半径＝1.5cm，底面周长＝3πcm，∴圆锥的侧面积＝×3π×3＝4.5πcm2，故选A．【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，关键是利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2得出．5．A【解析】【详解】由数轴可知，b＜a＜0＜c，∴c-a＞0，a+b＜0，则|c-a|-|a+b|=c-a+a+b=c+b，故选A．【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．6．C【解析】【分析】利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．故选：C．7．A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；B．a2+a2=2a2，故本选项错误；C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；D．3a﹣a=2a，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【详解】解：作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC=AD=1，AE=CD=3，∴BE=4，由勾股定理得，22AE BE=5，∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．9．B【解析】【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义确定正确选项．【详解】解：A、△=（-2）2-4×（-3）=16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误；B、△=（-2）2-4×3=-8＜0，方程没有实数根，所以B选项正确；C、△=（-2）2-4×1=0，方程有两个相等的两个实数根，所以C选项错误；D、△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0根时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．C根据平行线的性质即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：∵直线m∥n，∴∠3＝∠1＝25°，又∵三角板中，∠ABC＝60°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°，故选C．【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．1【解析】【分析】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，在Rt△OMF中，∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=1cm．故答案为1．12．30【解析】【分析】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.13．1【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝1，故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．14．②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.。

2021年山东省莱芜市中考数学试题(含答案) 山东省莱芜市2021年中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分） 1．（3分）（2021?莱芜）下列四个实数中，是无理数的为（）0 A．B．��3 C． D．考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、0是整数，是有理数，选项错误； B、��3是整数，是有理数，选项错误； C、=2是无理数正确； D、是无限循环小数，是有理数，选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．（3分）（2021?莱芜）下面计算正确的是（） 33344823 A．3a��2a=1 B． C．（2ab）=6abD．��a?a=��a 3a+2a=5a 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：分别进行合并同类项、积的乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案．解答：解：A、3a��2a=a，原式计算错误，故本选项错误； 2B、3a和2a不是同类项，不能合并，故本选项错误； 333C、（2ab）=8ab，原式计算错误，故本选项错误；448D、��a?a=��a，计算正确，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（3分）（2021?莱芜）2021年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（） 5678 A．B． C． D．15×10 1.5×10 1.5×10 0.15×10 考点：科学记数法―表示较大的数．分析：学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，科要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：：将1500万用科学记数法表示为：1.5×107．解故选：C．点评：题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|此＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）（2021?莱芜）如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（）A． B． C． D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．解答：解：从上面可看到从左往右有三个正方形，故选A．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5．（3分）（2021?莱芜）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：13 14 15 16 17 18 年龄 4 5 6 6 7 2 人数则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B． 17，16 C． 15，15.5 D． 16，16 考点：众数；中位数．分析：出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．解答：解：17出现的次数最多，17是众数．第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为16.5．故选A．点评：本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键． 6．（3分）（2021?莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（） 13 14 15 16 A．B． C． D．考点：多边形内角与外角．分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解答：解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°��156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选C．点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键． 7．（3分）（2021?莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B． C． D．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x��12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．解答：解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x��12）千米/小时，由题意得，=．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 8．（3分）（2021?莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）π A．2π B． C．4π D．考点：扇形面积的计算；旋转的性质．分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA′的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可．解答：：∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆��S半圆解=S扇形ABA′= =2π，故选B．点评：本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，是基础知识，难度不大．9．（3分）（2021?莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（） R A．B． C． D．考点：圆锥的计算．分析：根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长，然后表示出圆锥的高即可．解答：解：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=R．由勾股定理得到圆锥的高为=，故选D．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 10．（3分）（2021?莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△B DE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）A．1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24 考点：相似三角形的判定与性质．分析：设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．解答：：∵S△BDE：S△CDE=1：4，解∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，∵△BDE和△CDE的点D 到BC的距离相等，∴∴=， =，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE：S△ABC=1：25，∴S△ACD=25a��a��4a=20a，∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键． 11．（3分）（2021?莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B． FC平分∠BFD 2 AC2+BF2=4CD2 C．D． DE=EF?CE 考点：正多边形和圆．分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出2222AC+BF=4CD，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE=EF?CE．解答：解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A说法正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O， 222由勾股定理得OB+OC=BC，2222222∴AC+BF=（2OC）+（2OB）=4OC+4OB=4BC，222∴AC+BF=4C D．故C说法正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴=2，∴DE=EF?CE，故C说法正确；感谢您的阅读，祝您生活愉快。

绝密★启用前 试卷类型A莱芜市2021年初中学业水平测试数 学 试 题第I 卷选择题答案栏第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题，每小题选对得3分，共36分。

) 1.31-的倒数是A ．3-B ．31-C ．31 D ．32.下列计算结果正确的是A ．923)(a a =-B ．632a a a =⋅ C ．22)21(21-=-- D ．1)2160(cos 0=-3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是C ．D ．4.2021年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为 A ．3.1×106元 B ．3.11×104元 C ．3.1×104元 D ．3.10×105元 5.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是A ．0>abB ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a 6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是 A . B . C . D .10 -1 a b BA （第5题图） （第6题图）7.已知反比例函数xy 2-=，下列结论不正确．．．的是 A ．图象必经过点(-1,2) B ．y 随x 的增大而增大 C ．图象在第二、四象限内 D ．若x ＞1，则y ＞-2 8.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2.5B ．5C ．10D ．159.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为A ．4B ．2C ． 2D ． ±211.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是A ．2B ． 3C ．1D ．1212.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y (千米) 随时间x (分)变化的图象(全程)如图，根据图象判定下 列结论不正确．．．的是 A ．甲先到达终点B ．前30分钟，甲在乙的前面C ．第48分钟时，两人第一次相遇D ．这次比赛的全程是28千米第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分) 13.分解因式:=-+-x x x 232 ．14.有一组数据如下:2，3，a ，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ． 15.某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元． 16.在平面直角坐标系中，以点)3,4(A 、)0,0(B 、)0,8(C 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△111C B A (点111C B A 、、分别为点C B A 、、的对应点)，然后以点1C 为中心将△111C B A 顺时针旋转︒90，得到△122C B A (点22B A 、分别是点11B A 、的对应点)，则点2A 的坐标是 .17.已知:3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，（第9题图）（第12题图）乙甲观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ．三、解答题(本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)18.(本题满分6分) 先化简，再求值:24)2122(+-÷+--x xx x ，其中34 +-=x .19.(本题满分8分) 2021年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播.小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图(A:不了解，B:一般了解，C:了解较多，D:熟悉).请你根据图中提供的信息解答以下问题: (1)求该班共有多少名学生；(2)在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；(3)在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；(4)从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？20.(本题满分9分) 2021年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据:,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈)得分 评卷人得分评卷人得分 评卷人得分评卷人A B C D 人数 510 15 20 25（第19题图） A10% B 30% D C B AC（第20题图）21.(本题满分9分)在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3cm ，BC =4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长度；(2)点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.22.(本题满分10分) 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．(1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？23.(本题满分10分) 在中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE .(1)如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ；(4)如图④，在(3)的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.C B A （第21题图）HG F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④（第23题图）24.(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧(3)P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.莱芜市2021年初中学业水平测试（第24题图）数 学 试 题 答 案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案ACBCDDBCD B A D二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)13. 2)1(--x x ； 14. 2；15. 220； 16.)7,11( ； 17.210三、解答题(本大题共7个小题，共64分) 18.(本小题满分6分)解:原式=24212)2)(2(+-÷+-+-x xx x x ………………………1分 =xx x x -+⨯+-422162 ………………………2分 =)42(2)4)(4(-+-⨯+-+x x x x x ………………………4分=4--x ………………………5分当34+-=x 时，原式=4)34(-+--=434--=3-． ………………………6分19.(本小题满分8分)解:(1)5÷10％=50(人) ………………………2分(2)见右图 ………………………4分(3)360°×5020=144° ………………………6分(4)51502015550=---=P ． ………………………8分 20.(本小题满分9分)解:过A 作AD ⊥CB ，垂足为点D ． ………………………1分 在Rt △ADC 中，∵CD =36，∠CAD =60°．∴AD =31233660tan ==︒CD ≈20.76． ……5分在Rt △ADB 中，∵AD ≈20.76，∠BAD =37°．∴BD =37tan ⨯AD ≈20.76×0.75=15.57≈15.6(米)． ………8分 答:气球应至少再上升15.6米． …………………………9分21.(本小题满分9分)解:(1)在Rt △ACB 中，∵AC =3cm ，BC =4cm ，∠ACB =90°，∴AB =5cm ． ……1分 连结CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ．A B C D人数 5 1015 20 25BA C D∴ACADAB AC =，∴592==AB AC AD ． …………………………4分 (2)当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切．………………5分证明:连结OD ，∵DE 是Rt △ADC 的中线．∴ED =EC ，∴∠EDC =∠ECD ． ∵OC =OD ，∴∠ODC =∠OCD ． …………………7分 ∴∠EDO =∠EDC +∠ODC =∠ECD +∠OCD =∠ACB ∴ED 与⊙O 相切． …………………………9分 22.(本小题满分10分)解:(1)设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为(30-x )个． ………………1分 由题意得⎩⎨⎧≤-+≤-+16203060501900303080）（）（x x x x …………………………3分解这个不等式组得18≤x ≤20．由于x 只能取整数，∴x 的取值是18，19，20． …………………………5分 当x =18时，30-x =12；当x =19时，30-x =11；当x =20时，30-x =10．故有三种组建方案:方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．……7分 (2)方法一:由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，最低费用是860×18+570×12=22320(元)． …………………………10分 方法二:①方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元)； ②方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元)； ③方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元)故方案一费用最低，最低费用是22320元． …………………………10分 23.(本小题满分10分)解:(1)四边形EGFH 是平行四边形． …………………………1分 证明:∵ 的对角线AC 、BD 交于点O ． ∴点O 的对称中心． ∴EO =FO ，GO =HO ．∴四边形EGFH 是平行四边形． …………………………4分 (2)菱形． …………………………5分 (3)菱形． …………………………6分 (4)四边形EGFH 是正方形． …………………………7分 ∵AC =BD ，∴是矩形． 又∵AC ⊥BD ， 是菱形．是正方形，∴∠BOC =90°，∠GBO =∠FCO =45°．OB =OC ．∵EF ⊥GH ，∴∠GOF =90°．∴∠BOG =∠COF ．∴△BOG ≌△COF ．∴OG =OF ，∴GH =EF ． …………9分 由(1)知四边形EGFH 是平行四边形，又∵EF ⊥GH ，EF =GH .∴四边形EGFH 是正方形． ……………10分 24. (本小题满分12分)解:(1)∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． C B A E∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==3233463c b a . ∴抛物线的解析式为:32334632+-=x x y . …………………………3分 (2)易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为(4,8)．∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分 连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =21． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分 ∴劣弧EF 的长为:π=⨯π⨯3168180120． …………………………7分 (3)设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .∴⎩⎨⎧==+3202b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k .∴直线AC 的解析式为:323+-=x y . ………8分设点)0)(3233463,(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N则点N 坐标为)323,(+-m m .∵GN PN S S GNA PNA ::=∆∆.∴①若PN ︰GN =1︰2，则PG ︰GN =3︰2，PG =23GN .即32334632+-m m =）（32323+-m . 解得:m 1=－3， m 2=2(舍去). 当m =－3时，32334632+-m m =3215. ∴此时点P 的坐标为)3215,3(-. …………………………10分 ②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN . 即32334632+-m m =）（3233+-m .解得:121-=m ，22=m (舍去).当121-=m 时，32334632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-. 综上所述，当点P 坐标为)3215,3(-或)342,12(-时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分。

山东省莱芜市 2021 年中考数学试卷一、选择题〔本大题共 12 个小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 36 分〕 .1．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕在 ， ，﹣ 2，﹣ 1 这四个数中，最大的数是〔〕A ．B ．C ．﹣ 2D ．﹣ 1考点 ：有理数大小比拟．分析：求出每个数的绝对值，根据两个负数比拟大小，其绝对值大的反而小比拟即可． 解答：解：∵ |﹣ |= ， |﹣ |= ，|﹣ 2|=2， |﹣ 1|=1，∴ ＜ ＜ 1＜ 2，∴﹣ ＞﹣ ＞﹣ 1＞﹣ 2， 即最大的数是﹣ ，应选 B ．点评：此题考查了绝对值和有理数的大小比拟的应用，注意：两个负数比拟大小，其绝对值大的反而小．2．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕在网络上用 “Google 〞搜索引擎搜索 “中国梦 〞，能搜索到与之相关的 结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 〔〕A ． 451×105B ．×10 6C ．×107D ．×10考点 ：科学记数法 —表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数．解答：解： 45 100 000=4.51 ×107，应选： C ．a ×10n的形式，其中点评：此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为1≤|a|＜ 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．3．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有〔 〕- 1 -A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个考点 ：简单几何体的三视图．分析：四个几何体的左视图：球是圆，圆锥是等腰三角形，正方体是正方形，圆柱是矩形，由此可确定答案．解答：解：由图示可得：球的左视图是圆，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图是正方形，圆柱的左视图是矩形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体． 应选 B ．点评：此题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于根底题．4．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕方程 =0 的解为〔 〕A ．﹣2B ． 2C ． ±2D ．考点 ：解分式方程．专题 ：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值， 经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得： x 2﹣4=0，解得： x=2 或 x= ﹣2，经检验 x=2 是增根，分式方程的解为 x= ﹣ 2．应选 A点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是 “转化思想 〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕一组数据： 10、5、 15、5、20，那么这组数据的平均数和中位数分别是〔〕A ． 10， 10B ． 10，C ． 11，D ． 11， 10考点 ：中位数；加权平均数．分析：根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可． 解答：解：这组数据按从小到大的顺序排列为：5， 5， 10， 15，20，故平均数为：=11，中位数为： 10．- 2 -应选 D．点评：此题考查了中位数和平均数的知识，属于根底题，解题的关键是熟练掌握其概念．6．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕如下图，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，假设∠1=35°，那么∠ 2 的度数为〔〕A ． 10°B． 20°C． 25°D． 30°考点：平行线的性质．分析：延长 AB 交 CF 于 E，求出∠ ABC ，根据三角形外角性质求出∠AEC ，根据平行线性质得出∠ 2=∠ AEC ，代入求出即可．解答：解：如图，延长AB 交 CF 于 E，∵∠ ACB=90 °，∠ A=30 °，∴∠ ABC=60 °，∵∠ 1=35°，∴∠ AEC= ∠ ABC ﹣∠ 1=25°，∵GH∥ EF，∴∠ 2=∠AEC=25 °，应选 C．点评：此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．7．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影局部的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为〔〕A ．B．C．D．考点：圆锥的计算．分析：过 O 点作 OC⊥AB ，垂足为 D，交⊙ O 于点 C，由折叠的性质可知OD 为半径的一半，而 OA 为半径，可求∠ A=30 °，同理可得∠ B=30 °，在△ AOB 中，由内角和定理求∠AOB ，- 3 -然后求得弧 AB 的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：过 O 点作 OC⊥ AB ，垂足为D，交⊙ O 于点 C，由折叠的性质可知， OD= OC= OA ，由此可得，在Rt△AOD 中，∠ A=30 °，同理可得∠ B=30 °，在△ AOB 中，由内角和定理，得∠ AOB=180 °﹣∠ A ﹣∠ B=120 °∴弧 AB 的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2 π∴ r=1cm∴圆锥的高为=2应选 A ．点评：此题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含 30°的直角三角形．8．〔3 分〕〔 2021?莱芜〕以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是〔〕① 等边三角形；② 矩形；③ 等腰梯形；④ 菱形；⑤ 正八边形；⑥ 圆．A ． 2B． 3C． 4D． 5考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称及中心对称的定义，结合各项进行判断即可．解答：解：① 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；② 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；③ 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；④ 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．⑤ 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．⑥ 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．综上可得符合题意的有 4 个．应选 C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．- 4 -9．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕如图，在⊙O 中，∠OAB=22.5 °，那么∠ C 的度数为〔〕A ． 135°B．°C．°D．°考点：圆周角定理．分析：首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB 的度数，然后利用圆周角定理即可求解．解答：解：∵ OA=OB ，∴∠ OAB= ∠ OBC=22.5 °，∴∠ AOB=180 °﹣°﹣°=135°．∴∠ C=〔360°﹣135°〕°．应选 D．点评：此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．10．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕以下说法错误的选项是〔〕A．假设两圆相交，那么它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B ． 2+与2﹣互为倒数C．假设 a＞ |b|，那么 a＞bD ．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半考点：相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理．分析：根据相交两圆的性质以及互为倒数和有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出即可．解答：解： A 、根据相交两圆的性质得出，假设两圆相交，那么它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心，故此选项正确，不符合题意；B 、∵ 2+与2﹣=互为倒数，∴2+与2﹣互为倒数，故此选项正确，不符合题意；C、假设 a＞ |b|，那么 a＞b，此选项正确，不符合题意；D、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意；应选： D．点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握相关定理是解题关键．11．〔3 分〕〔 2021?莱芜〕在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为〔 1，〕，M 为坐标轴上一点，且使得△ MOA为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为〔〕A ． 4B． 5C． 6D． 8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．- 5 -专题：数形结合．分析：作出图形，利用数形结合求解即可．解答：解：如图，满足条件的点M 的个数为6．应选 C．点评：此题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．12．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕如图，等边三角形ABC 的边长为3， N 为 AC 的三等分点，三角形边上的动点 M 从点 A 出发，沿 A →B →C 的方向运动，到达点 C 时停止．设点 M 运动的2路程为 x，MN =y，那么 y 关于 x 的函数图象大致为〔〕A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．解答：解：∵等边三角形ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，∴ AN=1 ．∴当点 M 位于点 A 处时， x=0 ， y=1．①当动点 M 从 A 点出发到 AM=1 的过程中， y 随 x 的增大而减小，故排除 D ；②当动点 M 到达 C 点时， x=6 ，y=3﹣ 1=2，即此时 y 的值与点M 在点 A 处时的值不- 6 -相等．故排除A、 C．应选 B．点评：此题考查了动点问题的函数图象，解决此题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断 y 的变化情况．二、填空题〔本大题共 5 小题，只要求填写最后结果，每题填对得 4 分，共 20 分〕 .13．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕分解因式： 2m 3﹣8m= 2m〔 m+2〕〔 m﹣ 2〕．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：提公因式 2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．32=2m 〔 m+2〕〔 m﹣ 2〕．故答案为： 2m〔 m+2〕〔 m﹣ 2〕．点评：此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．〔 3 分〕〔 2021?莱芜〕正十二边形每个内角的度数为150° ．考点：多边形内角与外角．分析：首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．解答：解：正十二边形的每个外角的度数是：=30°，那么每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．故答案为： 150°．点评：此题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于360 度，正确理解内角与外角的关系是关键．15．〔 4 分〕〔 2021?莱芜〕 M 〔 1， a〕是一次函数y=3x+2 与反比例函数图象的公共点，假设将一次函数y=3x+2 的图象向下平移 4 个单位，那么它与反比例函数图象的交点坐标为〔﹣1，﹣ 5〕，〔〕．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：将 M 坐标代入一次函数解析式中求出a 的值，确定出 M 坐标，将 M 坐标代入反比例解析式中求出 k 的值，确定出反比例解析式，根据平移规律求出平移后的一次函数解析式，与反比例函数联立即可求出交点坐标．解答：解：将 M 〔1， a〕代入一次函数解析式得：a=3+2=5 ，即 M 〔 1， 5〕，将 M 〔 1， 5〕代入反比例解析式得：k=5，即 y=，∵一次函数解析式为y=3x+2 ﹣ 4=3x ﹣2，- 7 -∴联立得：，解得：或，那么它与反比例函数图象的交点坐标为〔﹣1，﹣ 5〕或〔，3〕．故答案为：〔﹣ 1，﹣ 5〕或〔，3〕点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平移规律，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．16．〔 4 分〕〔 2021?莱芜〕如图，矩形ABCD 中， AB=1 ，E、F 分别为 AD 、 CD 的中点，沿BE 将△ ABE 折叠，假设点 A 恰好落在BF 上，那么 AD=．考点：翻折变换〔折叠问题〕．分析：连接 EF，那么可证明△ EA'F ≌△ EDF，从而根据BF=BA'+A'F ，得出 BF 的长，在 Rt△ BCF 中，利用勾股定理可求出BC ，即得 AD 的长度．解答：解：连接 EF，∵点 E、点 F 是 AD 、 DC 的中点，∴ AE=ED ， CD=DF= CD= AB=，由折叠的性质可得AE=A'E ，∴A'E=DE ，在Rt△ EA'F 和 Rt△EDF 中，∵，∴Rt△ EA'F ≌ Rt△ EDF〔 HL 〕，∴A'F=DF= ，BF=BA'+A'F=AB+DF=1+=，- 8 -在 Rt△ BCF 中， BC==．∴ AD=BC=．故答案：．点：本考了翻折的知，解答本的关是接EF，明 Rt△ EA'F ≌ Rt△ EDF ，得出 BF 的，注意掌握勾股定理的表达式．17．〔 3 分〕〔 2021?莱〕⋯997998999 是由整数 1 至 999 排列成的一个数，在数中从左往右数第2021 位上的数字7．考点：律型：数字的化．分析：根据得出第2021 个数字是第638 个 3 位数的第 3 位，而得出即可．解答：解：∵共有9 个 1 位数， 90 个 2 位数， 900 个 3 位数∴2021 9 90=1914，∴=638 ，因此第 2021 个数字是第638 个 3 位数的第 3 位，第638 个数 637，故第 638 个 3 位数的第 3 位是： 7．故答案：7．点：此主要考了数字化律，根据得出化律是解关．三、解答〔本大共 7 小，共 64 分，解得要写出必要的文字明、明程或推演步〕18．〔 9 分〕〔 2021?莱〕先化，再求：，其中a=+2．考点：分式的化求．：算．分析：先算括号里面的，再将除法化乘法，然后代入求．解答：解：===．当 a=，原式=．点：本考了分式的化求，熟悉因式分解及分式的除法是解的关．19．〔 8 分〕〔 2021?莱芜〕在学校开展的“学习交通平安知识，争做文明中学生〞主题活动月中，学校德工处随机选取了该校局部学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A ．从不闯红灯； B．偶尔闯红灯； C 经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，解答以下问题．（1〕求本次活动共调查了多少名学生；（2〕请补全〔图二〕，并求〔图一〕中 B 区域的圆心角的度数；（3〕假设该校有 240 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：〔 1〕根据总数 =频数÷百分比，可得共调查的学生数；〔 2〕B 区域的学生数 =总数减去 A 、C 区域的人数即可；再根据百分比=频数÷总数计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出 B 区域的圆心角的度数；〔 3〕用总人数乘以样本的概率即可解答．解答：解：〔 1〕〔名〕．故本次活动共调查了200 名学生．〔 2〕补全图二，200﹣ 120﹣ 20=60〔名〕．．故 B 区域的圆心角的度数是108°．〔 3〕〔人〕．故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为960 人．点评：此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．20．〔 9 分〕〔 2021?莱芜〕如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛 A 、 B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东37°方向 C 处， B 岛在南偏东 66°方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，两个小岛间的距离是72 海里， A 岛上维修船的速度为每小时20 海里， B 岛上维修船的速度为每小时海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？〔参考数据： cos37°≈，sin37 °≈，sin66°≈， cos66°≈〕考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作 AD ⊥ BC 的延长线于点D，先解 Rt△ ADB ，求出 AD ， BD ，再解 Rt△ ADC ，求出AC ， CD ，那么 BC=BD ﹣CD ．然后分别求出 A 岛、 B 岛上维修船需要的时间，那么派遣用时较少的岛上的维修船．解答：解：作 AD ⊥ BC 的延长线于点 D ．在Rt△ ADB 中， AD=AB ?cos∠ BAD=72 ×cos66°=72 ×〔海里〕，BD=AB ?sin∠ BAD=72 ×sin66°=72 ×〔海里〕．在 Rt△ ADC 中，〔海里〕，CD=AC ?sin∠ CAD=36 ×sin37°=36 ×〔海里〕．BC=BD ﹣ CD=64.8 ﹣〔海里〕．A 岛上维修船需要时间〔小时〕．B 岛上维修船需要时间〔小时〕．∵ t A＜ t B，∴调度中心应该派遣 B 岛上的维修船．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出BD 与 CD 的值是解题的关键．21．〔 9 分〕〔 2021?莱芜〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD ，点 E 为 AB 的中点，连结 DE ．（1〕证明 DE∥ CB ；〔2〕探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：〔 1〕首先连接 CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD ，然后证明△ADE ≌△ CDE ，进而得到∠ ADE= ∠ CDE=30 °，再有∠DCB=150 °可证明 DE ∥CB ；〔 2〕当 AC=或AB=2AC时，四边形DCBE 是平行四边形．假设四边形DCBE 是平行四边形，那么 DC∥ BE ，∠ DCB+ ∠ B=180 °进而得到∠ B=30 °，再根据三角函数可推出AC=或AB=2AC．解答：〔 1〕证明：连结CE．∵点 E 为 Rt △ ACB 的斜边 AB 的中点，∴CE= AB=AE ．∵△ ACD 是等边三角形，∴AD=CD ．在△ ADE 与△ CDE 中，，∴△ ADE ≌△ CDE 〔 SSS〕，∴∠ ADE= ∠ CDE=30 °．∵∠ DCB=150 °，∴∠ EDC+ ∠ DCB=180 °．∴DE∥ CB ．〔 2〕解：∵∠ DCB=150 °，假设四边形DCBE 是平行四边形，那么DC∥ BE，∠DCB+ ∠B=180 °．∴∠B=30 °．在 Rt△ ACB 中， sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC．- 12 -∴当 AC=或AB=2AC时，四边形DCBE 是平行四边形．点评：此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．22．〔 10 分〕〔 2021?莱芜〕某学校将周三“阳光体育〞工程定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳假设干．长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元，且购置 2 条长跳绳与购置 5 条短跳绳的费用相同．〔1〕两种跳绳的单价各是多少元？〔2〕假设学校准备用不超过 2000 元的现金购置 200 条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的 6 倍，问学校有几种购置方案可供选择？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：计算题．分析：〔 1〕设长跳绳的单价是x 元，短跳绳的单价为y 元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元；购置 2 条长跳绳与购置 5 条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可；〔 2〕设学校购置 a 条长跳绳，购置资金不超过2000 元，短跳绳的条数不超过长跳绳的 6 倍，可得出不等式组，解出即可．解答：解：〔 1〕设长跳绳的单价是x 元，短跳绳的单价为y 元．由题意得：．解得：．所以长跳绳单价是20 元，短跳绳的单价是8 元．〔 2〕设学校购置 a 条长跳绳，由题意得：．解得：．∵ a 为正整数，∴ a 的整数值为29，3， 31， 32， 33．所以学校共有 5 种购置方案可供选择．点评：此题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答此题的关键仔细审题，设出未知数，找到其中的等量关系和不等关系．23．〔 10 分〕〔 2021?莱芜〕如图，⊙ O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交⊙ O 于 C、 D 两点，直径 AB ⊥CD ，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点， AM 所在的直线交于⊙ O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN ．〔1〕当点 M 在⊙ O 内部，如图一，试判断PN 与⊙ O 的关系，并写出证明过程；（2〕当点 M 在⊙ O 外部，如图二，其它条件不变时，〔 1〕的结论是否还成立？请说明理由；（3〕当点 M 在⊙ O 外部，如图三，∠ AMO=15 °，求图中阴影局部的面积．考点：圆的综合题．分析：〔1〕根据切线的判定得出∠PNO= ∠PNM+ ∠ONA= ∠AMO+ ∠ONA 进而求出即可；〔 2〕根据得出∠ PNM+ ∠ ONA=90 °，进而得出∠ PNO=180 °﹣ 90°=90 °即可得出答案；（3〕首先根据外角的性质得出∠ AON=30 °进而利用扇形面积公式得出即可．解答：〔 1〕 PN 与⊙ O 相切．证明：连接 ON，那么∠ ONA= ∠ OAN ，∵ PM=PN ，∴∠ PNM= ∠ PMN ．∵∠ AMO= ∠ PMN ，∴∠ PNM= ∠AMO ．∴∠ PNO= ∠ PNM+ ∠ ONA= ∠ AMO+ ∠ONA=90 °．即 PN 与⊙ O 相切．（2〕成立．证明：连接ON，那么∠ ONA= ∠ OAN ，∵PM=PN ，∴∠ PNM= ∠PMN ．在 Rt△ AOM 中，∴∠ OMA+ ∠ OAM=90 °，∴∠ PNM+ ∠ ONA=90 °．∴∠PNO=180 °﹣ 90°=90°．即PN 与⊙ O 相切．〔 3〕解：连接ON ，由〔 2〕可知∠ ONP=90 °．∵∠ AMO=15 °，PM=PN ，∴∠ PNM=15 °，∠ OPN=30 °，∵∠ PON=60 °，∠ AON=30 °．作 NE⊥ OD，垂足为点E，那么 NE=ON ?sin60°=1×=．- 14 -S 阴影 =S△AOC+S 扇形AON﹣ S△CON = OC?OA+CO?NE=×1×1+ π﹣×1×=+ π﹣．点评：此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键．224．〔 12 分〕〔 2021?莱芜〕如图，抛物线 y=ax +bx+c〔 a≠0〕经过点 A〔﹣ 3，0〕、 B〔 1，0〕、C〔﹣ 2，1〕，交 y 轴于点 M ．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕 D 为抛物线在第二象限局部上的一点，作DE 垂直 x 轴于点 E，交线段AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；〔3〕抛物线上是否存在一点P，作 PN 垂直 x 轴于点 N ，使得以点P、 A 、 N 为顶点的三角形与△ MAO 相似？假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：〔 1〕把点 A 、B、C 的坐标分别代入抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值；（2〕由〔 1〕中的抛物线解析式易求点 M 的坐标为〔 0，1〕．所以利用待定系数法即可求得直线 AM 的关系式为 y= x+1 ．由题意设点 D 的坐标为〔〕，那么点 F 的坐标为〔〕．易求DF==．根据二次函数最值的求法来求线段DF 的最大值；〔 3〕需要对点 P 的位置进行分类讨论：点 P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况．此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答．解答：解：由题意可知．解得 ．∴抛物线的表达式为y= ．〔 2〕将 x=0 代入抛物线表达式，得y=1．∴点 M 的坐标为〔 0， 1〕．设直线 MA 的表达式为y=kx+b ，那么 ．解得．∴直线 MA 的表达式为y= x+1．设点 D 的坐标为〔〕，那么点 F 的坐标为〔〕．DF= = ．当 时， DF 的最大值为．此时，即点 D 的坐标为〔〕．（ 3〕存在点 P ，使得以点 P 、 A 、 N 为顶点的三角形与 △ MAO 相似．设 P 〔 m ，〕．在 Rt △ MAO 中， AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限．① 设点 P 在第二象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM ，∴2，即 m +11m+24=0 ．解得 m= ﹣3〔舍去〕或 m= ﹣ 8．又﹣ 3＜ m ＜ 0，故此时满足条件的点不存在．② 当点 P 在第三象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM ，∴，即 m 2+11m+24=0 ．山东省莱芜市中考数学-中考数学试卷(解析版) 解得 m= ﹣ 3 或 m= ﹣ 8．此时点P 的坐标为〔﹣ 8，﹣ 15〕．③当点 P 在第四象限时，假设 AN=3PN 时，那么﹣ 32，即 m +m﹣ 6=0．解得 m= ﹣ 3〔舍去〕或 m=2．当 m=2 时，．此时点 P 的坐标为〔2，﹣〕．假设 PN=3NA ，那么﹣，即 m 2﹣ 7m﹣ 30=0 ．解得 m= ﹣ 3〔舍去〕或m=10 ，此时点 P 的坐标为〔 10，﹣ 39〕．综上所述，满足条件的点P 的坐标为〔﹣ 8，﹣ 15〕、〔 2，﹣〕、〔 10，﹣ 39〕．点评：此题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法．需注意分类讨论，全面考虑点P 所在位置的各种情况．- 17 -。

山东省莱芜市2021版中考数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A .B . -C . 3D . -32. （2分）给出四个数－1，0, 0.5，，其中为无理数的是（）A . －1.B . 0C . 0.5D .3. （2分） 20000用科学记数法表示为（）A . 20x103B . 0.2x103C . 2x104D . 2x1034. （2分） (2017七上·抚顺期中) 已知﹣2m6n与5m2xny是的和是单项式，则（）A . x=2，y=1B . x=3，y=1C . x= ，y=1D . x=1，y=35. （2分）学校春季运动会期间，负责发放奖品的张也同学，在发放运动鞋（奖品）时，对运动鞋的鞋码统计如下表：如果获奖运动员李伟领取的奖品是43号（原鞋码）的运动鞋，则这双运动鞋的新鞋码是（）A . 270B . 255C . 260D . 2656. （2分）(2018·邵阳) 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（）A . 2B . 1C . 4D . 27. （2分）做重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为（）A . 22%B . 44%C . 50%D . 56%8. （2分）如图，由9个全等的等边三角形拼成一个几何图案，这个图案中共有平行四边形（）A . 15个B . 14个C . 13个D . 12个9. （2分） (2017八下·路北期末) 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF 相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个10. （2分） (2018九上·温州开学考) 如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（）A .B .C .D .11. （2分）如图，等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数大小由60变为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）(2019·绥化) 某年一月份,哈尔滨市的平均气温约为-20℃,绥化市的平均气温约为-23℃,则两地的温差为 ________ ℃.14. （1分） (2017八下·卢龙期末) 对于数据：2，4，4，5，3，9，4，5，1，8，其众数，中位数与平均数分别是________15. （1分） (2017七下·马山期中) 若 +|b+1|+（c+1）2=0，则a+b﹣c=________．16. （1分） (2019八下·乌兰浩特期中) 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是________．17. （1分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=________．18. （1分）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为________．三、解答题 (共8题；共86分)19. （10分）(2017·扬州) 计算或化简：（1）﹣22+（π﹣2017）0﹣2sin60°+|1﹣ |；（2）a（3﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．20. （5分）(2018·抚顺) 先化简，再求值：（1﹣x+ ）÷ ，其中x=tan45°+（）﹣1 ．21. （15分）(2018·杭州) 设一次函数（是常数，）的图象过A（1，3），B（-1，-1）（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值；（3）已知点C（x1，y1），D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数的图象所在的象限，说明理由。

２0１7年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共1２小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂在答题卡上,每小题选对得３分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共3６分)1．（3分）﹣6的倒数是（ ）A ．﹣16ﻩB ．16 Ｃ．﹣6 Ｄ．62．（3分)某种细菌的直径是0.00000078米,将数据0．０0000078用科学记数法表示为（ )A.7．8×1０﹣7 Ｂ.７.８×10﹣8ﻩC ．0.７8×10﹣7 D.78×10﹣８3.（３分）下列运算正确的是( ）A.2x 2﹣x ２=1 Ｂ．x 6÷x 3=ｘ２ C ．4x•x 4=4x 5ﻩD ．(3ｘy 2）２＝6ｘ2y 4４.(３分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶3０千米比电动车行驶４０千米多用了１小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时,应列方程为（ ）A ．30x ﹣1=40x−25B ．30x ﹣1=40x+25 Ｃ.30x ＋1＝40x−25 D.30x +1=40x+255.（3分)将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是( ）A.ﻩB.C.ﻩD.6．（3分)如图,ＡB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切与点Ａ，D Ｏ交⊙Ｏ于点C,连接B Ｃ,若∠A ＢC=2１°，则∠ADC 的度数为（ )A ．4６°ﻩB ．47°ﻩＣ．４８° Ｄ.49°7.(3分）一个多边形的内角和比其外角和的２倍多18０°,则该多边形的对角线的条数是（ )A ．１2B ．１3C ．14ﻩD ．158.(３分)如图,在Rt △ＡBC 中,∠ＢCA=90°，∠ＢA Ｃ=30°,BC=2，将Rt △ＡBC 绕A 点顺时针旋转90°得到Rt △ＡDE,则B Ｃ扫过的面积为（ )A.π2B.(２﹣√3)π C ．2−√32πﻩD.π 9.（3分）如图,菱形ABCD 的边长为6,∠ＡBC=120°,M 是ＢC 边的一个三等分点,P 是对角线AC 上的动点,当PB +P Ｍ的值最小时，ＰM 的长是( )Ａ.√72ﻩB ．2√73 C.3√55ﻩD ．√26410．(3分)如图,在四边形ＡＢCD 中，DC ∥ＡＢ,AD=5,CD=3，sinA=ｓi ｎB=13，动点Ｐ自Ａ点出发，沿着边A Ｂ向点B 匀速运动，同时动点Q 自点Ａ出发,沿着边AD ﹣DC ﹣ＣB 匀速运动，速度均为每秒１个单位，当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点Ｐ运动t(秒)时，△ＡPQ 的面积为ｓ,则s 关于ｔ的函数图象是（ ）A ．ﻩB ．C ． D.11．（3分)对于实数ａ，b ，定义符号mi ｎ{a ，b }，其意义为：当a ≥ｂ时,min {ａ,b ｝=ｂ；当a ＜b 时，min {ａ，b }=ａ.例如:ｍin={2，﹣１｝＝﹣1，若关于x 的函数y=min {2ｘ﹣1,﹣x +3},则该函数的最大值为（ ）A ．23 B.１ C.43 D.5312．（3分)如图,正五边形ABCD Ｅ的边长为2,连结AC 、AD 、ＢE,BE 分别与AC 和AD 相交于点F 、G ，连结DF,给出下列结论：①∠FDG=1８°；②FG=３﹣√5;③(Ｓ四边形ＣＤEF )２=9+2√5;④ＤＦ2﹣ＤG 2＝７﹣2√5．其中正确结论的个数是( )A.1ﻩB.2ﻩC.3ﻩD.4二、填空题（本大题共5小题,每小题填对得４分,共２０分,请填在答题卡上）13．(4分）（﹣12)﹣３﹣２c ｏs ４5°+(3.１４﹣π)0+√8＝ . 14．(4分）圆锥的底面周长为2π3，母线长为2,点P 是母线O Ａ的中点，一根细绳(无弹性)从点P 绕圆锥侧面一周回到点P,则细绳的最短长度为 .15.（4分）直线y ＝k ｘ+ｂ与双曲线y=﹣6x交于A （﹣３，m)，B （n,﹣６)两点，将直线ｙ=kx +b 向上平移８个单位长度后,与双曲线交于D ，E 两点,则S △AD Ｅ= .16.(4分)二次函数y ＝ａx ２＋ｂx +c （a ＜0)图象与x 轴的交点A 、Ｂ的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论：①1６ａ﹣4b +c ＜0；②若P(﹣5,y 1），Q （52，ｙ2）是函数图象上的两点，则y １＞y 2；③a=﹣13c ；④若△ＡBC 是等腰三角形,则b=﹣2√73.其中正确的有 (请将结论正确的序号全部填上）17．(4分）如图，在矩形ABC Ｄ中,ＢＥ⊥ＡC 分别交ＡC 、ＡＤ于点Ｆ、E ，若AD=１，AB=CF,则ＡＥ＝ .三、解答题（本大题共7小题,共６４分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．(６分)先化简，再求值:（a ＋6a a−3)÷（a +9a+9a−3),其中a ＝√3﹣3. １9．(8分）为了丰富校园文化,某学校决定举行学生趣味运动会,将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种,为了解学生对这五项运动的喜欢情况,随机调查了该校ａ名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择五项中的一种）,并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表:学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数（名) 百分比（%) 袋鼠跳4５ １5 夹球跑30 c 跳大绳７５ 2５ 绑腿跑b 2０ 拔河赛90 30 根据图表中提供的信息,解答下列问题:(１）a ＝ ,b= ,c= .（２）请将条形统计图补充完整;(3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；(４）根据调查结果,某班决定从这五项(袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为A、B、C、Ｄ、E)中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率.20.(９分）某学校教学楼(甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是３1cm,在Ａ处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（２）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼)楼顶Ｇ处的仰角为4０°,爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°,求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离.(精确到０.01m）(cos31°≈０.８6,tａｎ３１°≈0.６0,cos19°≈０.95,ｔan19°≈0.3４,coｓ４0°≈0.77,tan40°≈0.84)2１．(９分）已知△ＡＢC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.（1）如图①所示,连接AE,DB,试判断线段AＥ和ＤB的数量和位置关系,并说明理由；（2）如图②所示,连接DB,将线段ＤB绕D点顺时针旋转９0°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.22．(10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购２袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费１10元． (１）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？(２）根据消费者需求，网店决定用不超过1０000元购进价、乙两种口罩共5０0袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元,乙种口罩每袋的进价为1８元,请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋,最大获利多少元？2３．（１0分）已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BA Ｃ的平分线交⊙O 于点D,过D 作D Ｅ⊥AC 交AC 的延长线于点E,如图①.(1)求证：Ｄ是⊙Ｏ的切线;（2)若AB=1０，A Ｃ＝6，求BD 的长；（３)如图②，若Ｆ是OA 中点，FG ⊥O Ａ交直线D Ｅ于点Ｇ,若FG=194,t ａｎ∠ＢAD ＝34，求⊙O 的半径.24．（1２分）抛物线y ＝ax 2＋b ｘ+c 过Ａ（2,3),B （４,３），C(6，﹣5)三点．（1）求抛物线的表达式;（2)如图①,抛物线上一点D在线段ＡC的上方,ＤE⊥AB交ＡC于点E，若满足DE AE =√52，求点D的坐标；（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥ＡB，若点Ｐ在直线l上运动,点Q 在ｘ轴上运动，是否存在这样的点Ｐ、Q，使得以B、P、Ｑ为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求Ｐ、Q的坐标,并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由．ﻩ２0１7年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,请把正确选项的代码涂在答题卡上，每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分,共36分)1.（3分）(２０1７•莱芜）﹣6的倒数是( )A.﹣16ﻩB.16C．﹣6D．6【考点】17：倒数．【分析】乘积是１的两数互为倒数．【解答】解：﹣6的倒数是﹣1 6．故选：Ａ【点评】本题主要考查的是倒数的定义,熟练掌握倒数的定义是解题的关键.2．(3分）(2017•莱芜）某种细菌的直径是０.000０0０7８米，将数据0.00０0００7８用科学记数法表示为( ）A ．７．8×10﹣7B ．7.８×１0﹣８ﻩC.０.７8×１0﹣７D ．78×10﹣8【考点】1J:科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a ×１0﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解:数0.０0000078用科学记数法表示为7.８×1０﹣7.故选A ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×1０﹣n ,其中1≤｜a |<10,ｎ为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.（3分）（201７•莱芜）下列运算正确的是( )Ａ．２ｘ2﹣x ２=1ﻩＢ.x ６÷x 3=x 2 C ．4x•x 4=4x ５ﻩD ．(3xy 2）2=6x ２y 4【考点】4I:整式的混合运算．【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.【解答】解：A 、原式=x 2,不符合题意;Ｂ、原式＝x 3，不符合题意；C 、原式=４ｘ5,符合题意;Ｄ、原式=9x ２y 4，不符合题意,故选C【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.４.（3分)(2017•莱芜）电动车每小时比自行车多行驶了2５千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少?设自行车的平均速度为ｘ千米/小时，应列方程为（ )A.30x ﹣1=40x−25ﻩB ．30x ﹣1=40x+25 Ｃ．30x +１＝40x−25 D.30x +1＝40x+25 【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程.【分析】根据电动车每小时比自行车多行驶了2５千米，可用x 表示出电动车的速度,再由自行车行驶3０千米比电动车行驶4０千米多用了1小时,可列出方程．【解答】解：设自行车的平均速度为x千米/小时，则电动车的平均速度为(ｘ+25)千米／小时,由自行车行驶30千米比电动车行驶４０千米多用了1小时，可列方程30x﹣１=40x+25，故选B．【点评】本题主要考查列方程解应用题,确定出题目中的等量关系是解题的关键. 5．（3分)(20１7•莱芜）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是( )A．B． C.ﻩD.【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据左视图的定义,画出左视图即可判断.【解答】解：根据左视图的定义,从左边观察得到的图形，是选项C.故选C.【点评】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义,是解决问题的关键.6．(3分)(2017•莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线ＤA与⊙O相切与点A，D Ｏ交⊙O于点C，连接BＣ，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（）A．46°ﻩB.47°Ｃ.48°ﻩD．4９°【考点】MC：切线的性质．【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BCO,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AＯD=∠B+∠ＢCＯ,根据切线的性质可得∠OAD=90°,然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解:∵OB＝ＯC，∴∠B=∠BCO=21°，∴∠AOＤ=∠B+∠ＢCO=21°+２１°=42°，∵ＡB是⊙Ｏ的直径,直线DA与⊙O相切与点A,∴∠ＯＡＤ＝90°,∴∠ＡＤC=９０°﹣∠ＡOD＝90°﹣42°=48°.故选Ｃ．【点评】本题考查了切线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．(３分)(2017•莱芜)一个多边形的内角和比其外角和的2倍多１80°，则该多边形的对角线的条数是（)A．12ﻩB．1３ﻩC．14Ｄ.１5【考点】L3:多边形内角与外角；L２:多边形的对角线．【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多１80°，而多边形的外角和是360°,则内角和是90０度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2)•1８0°，设这个多边形的边数是n，就得到方程,从而求出边数，进而求出对角线的条数.【解答】解:根据题意，得（n﹣2）•18０=３60°×2+180°，解得:n=7.则这个多边形的边数是7,七边形的对角线条数为7×(7−3)2＝1４, 故选C.【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理,只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．8．（3分)（２０17•莱芜)如图,在Rt △ＡＢC 中,∠BCA=90°，∠BA Ｃ=30°,BC=2，将Rt △A ＢC 绕A 点顺时针旋转９０°得到Ｒt △ADE ，则BC 扫过的面积为（ )Ａ．π2 Ｂ.（2﹣√3）πﻩC.2−√32πﻩD ．π 【考点】ＭO:扇形面积的计算;ＫO ：含30度角的直角三角形;R2:旋转的性质.【分析】解直角三角形得到A Ｃ，A Ｂ,根据旋转推出△ABC 的面积等于△ADE 的面积,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：在Rt △AB Ｃ中,∠ＢCA=９0°，∠B ＡC=3０°,BC=2,∴AC=２√3,A Ｂ=４,∵将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转9０°得到Ｒｔ△ＡDE,∴△ABC 的面积等于△ＡＤE 的面积，∠CAB=∠ＤAE,AE=A Ｃ=2√3，ＡD=ＡB=4， ∴∠CA Ｅ＝∠D ＡＢ=90°，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形ＢAD +S △A ＢC ﹣Ｓ扇形CAE ﹣Ｓ△ADE=90π×42360+12×2×2√3﹣90π×(2√3)2360﹣12×２×2√3=π． 故选D.【点评】本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的旋转，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形(如三角形、扇形）的面积．9．(３分)(2０１7•莱芜)如图，菱形A ＢＣＤ的边长为6，∠ABC=120°,M 是B Ｃ边的一个三等分点，P 是对角线ＡC 上的动点,当P Ｂ+ＰM 的值最小时,PM 的长是( )Ａ．√72 B.2√73ﻩC.3√55 D ．√264【考点】PA ：轴对称﹣最短路线问题;L8：菱形的性质.【分析】如图,连接ＤＰ，ＢＤ,作D Ｈ⊥B Ｃ于H ．当D 、P 、M 共线时，P′B +P′M=DM 的值最小,利用勾股定理求出ＤM ，再利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：如图，连接DP ，ＢD ，作D Ｈ⊥BC 于H.∵四边形ＡB ＣＤ是菱形，∴A Ｃ⊥B Ｄ，B 、D 关于ＡC 对称，∴ＰＢ+PM=PD +PM,∴当D 、P 、M 共线时,Ｐ′B ＋P′Ｍ=ＤM 的值最小,∵CM ＝13B Ｃ=２, ∵∠ABC ＝１２0°,∴∠D ＢC=∠A ＢＤ=６0°，∴△D ＢＣ是等边三角形,∵BC=6，∴CM=2，HM ＝１，DH ＝3√3，在R ｔ△DMH 中，ＤM=√DH 2+HM 2＝√(3√3)2+12＝2√7,∵ＣM ∥A Ｄ，∴P′M DP′＝CM AD =26=13, ∴P′M ＝14D Ｍ=√72． 故选Ａ.【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10.（3分）(２０１７•莱芜)如图，在四边形A ＢCD 中，ＤＣ∥ＡＢ,A Ｄ＝５，ＣD=3,ｓinA=ｓin Ｂ=13，动点P 自A 点出发，沿着边AB 向点Ｂ匀速运动,同时动点Ｑ自点A 出发,沿着边AD ﹣DC ﹣CB 匀速运动,速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P 运动t(秒）时,△APQ 的面积为s ，则s 关于t 的函数图象是（ ）Ａ.ﻩＢ．ﻩC ．ﻩD.【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】过点Q 做Q Ｍ⊥A Ｂ于点Ｍ，分点Q 在线段A Ｄ、DC 、C Ｂ上三种情况考虑，根据三角形的面积公式找出s 关于t 的函数关系式,再结合四个选项即可得出结论．【解答】解：过点Q 做ＱＭ⊥ＡＢ于点M ．当点Q 在线段AD 上时，如图1所示，∵AP=AQ=ｔ（０≤t ≤5)，si ｎＡ＝13， ∴QM=13t ， ∴s=12AP•QM=16ｔ2； 当点Q 在线段ＣＤ上时,如图2所示，∵AP ＝t(5≤t ≤8),QM=ＡD•ｓinA=53， ∴ｓ=12AP•Q Ｍ＝56t ； 当点Ｑ在线段ＣB 上时,如图3所示，∵ＡP=t(8≤ｔ≤20√23+3（利用解直角三角形求出AB ＝20√23+3),BQ=５+３+5﹣t=１3﹣t ，si ｎB ＝13， ∴ＱM=13(1３﹣t ）， ∴ｓ＝12AP•ＱM ＝﹣16(ｔ2﹣13t ）, ∴s=﹣16（t 2﹣１３t ）的对称轴为直线x=132. 综上观察函数图象可知B 选项中的图象符合题意．故选Ｂ.【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积，分点Q 在线段AD 、ＤC 、C Ｂ上三种情况找出s 关于t 的函数关系式是解题的关键．11．(3分）（２０１7•莱芜）对于实数ａ,b,定义符号min {ａ，b }，其意义为:当ａ≥b 时,m ｉn {a,ｂ}＝ｂ;当a <b 时，m ｉn ｛a ，b }=a ．例如:ｍin ＝{２,﹣1｝=﹣1,若关于x 的函数ｙ=min {2x ﹣１,﹣x +3}，则该函数的最大值为( )A ．23B ．1ﻩC.43 Ｄ.53【考点】Ｆ5:一次函数的性质．【分析】根据定义先列不等式：2ｘ﹣１≥﹣x +3和2x ﹣1＜﹣ｘ+３，确定其y ＝min {2x ﹣1，﹣x +３}对应的函数，画图象可知其最大值．【解答】解：由题意得：{y =2x −1y =−x +3，解得：{x =43y =53, 当２ｘ﹣１≥﹣x +３时，ｘ≥43， ∴当x ≥43时,y=min ｛2ｘ﹣1，﹣x ＋3}＝﹣ｘ＋３, 由图象可知：此时该函数的最大值为53; 当2x ﹣1＜﹣x +3时,x ＜43， ∴当x ＜43时，y ＝m ｉn {2x ﹣１,﹣x +3}＝２x ﹣1， 由图象可知:此时该函数的最大值为53；综上所述,y=m ｉn {2x ﹣1,﹣x ＋3｝的最大值是当x=43所对应的y 的值， 如图所示,当x=43时,y ＝53， 故选D.【点评】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题,认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题.１２.（3分）(2０17•莱芜）如图,正五边形ＡBC ＤＥ的边长为2，连结AC 、AD 、B Ｅ，ＢE 分别与A Ｃ和ＡD 相交于点F 、G,连结ＤF ，给出下列结论:①∠F ＤG=１8°;②F Ｇ=3﹣√5;③(S四边形ＣＤE Ｆ)２=9＋２√5;④ＤF 2﹣DG ２=7﹣２√5．其中正确结论的个数是( )Ａ.1ﻩB ．２ C ．3 Ｄ.４【考点】MM ：正多边形和圆;S9:相似三角形的判定与性质．【分析】①先根据正五方形ABCDE 的性质得：∠ABC=１８0°﹣360°5=10８°，由等边对等角可得：∠ＢAC=∠AC Ｂ=36°,再利用角相等求ＢC=C Ｆ=ＣＤ，得∠CDF=∠ＣFD=180°−72°2＝5４°,可得∠ＦＤG=18°;②证明△ABF ∽△ＡCB ，得AB AC =EG ED ,代入可得ＦG 的长;③如图１,先证明四边形ＣDEF 是平行四边形,根据平行四边形的面积公式可得：（S 四边形CDEF )2=EF ２•DM ２＝４×10+2√54=10+2√5; ④如图2，ﻩＣD ＥＦ是菱形，先计算EC=BE=4﹣ＦG=1+√5，由S 四边形ＣDEF =12FD•ＥＣ=2×√10+2√54,可得FD ２=１0﹣2√5，计算可得结论． 【解答】解:①∵五方形A ＢC ＤＥ是正五边形,∴ＡB=BC,∠A ＢＣ=180°﹣360°5=１08°， ∴∠BAC=∠ACB=36°，∴∠A ＣD=1０8°﹣36°=72°，同理得:∠AD Ｅ＝３6°,∵∠BAE ＝１08°,A Ｂ=A Ｅ，∴∠ABE ＝36°,∴∠CBF=108°﹣36°=72°,∴ＢC=F Ｃ,∵BC ＝ＣＤ,∴ＣD ＝ＣF, ∴∠CDF=∠CFD=180°−72°2=５4°， ∴∠FD Ｇ=∠CD Ｅ﹣∠ＣDF ﹣∠ADE=１０８°﹣５4°﹣３６°=18°;所以①正确;②∵∠ＡBE=∠AC Ｂ=36°，∠BAC=∠B ＡF,∴△ABF ∽△ACB,∴AB AC =EG ED， ∴A Ｂ•ED=AC•ＥＧ，∵AB=ED=２，AC=BE=BG +EF ﹣FG=2AB ﹣FG=4﹣F Ｇ，E Ｇ＝BG ﹣F Ｇ=2﹣FG ， ∴22=(2﹣ＦG ）（４﹣ＦG ）,∴F Ｇ＝3+√5>2（舍)，FG ＝３﹣√5;所以②正确；③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，∴∠E ＢC +∠BC Ｄ＝１80°,∴ＥF ∥CD,∵E Ｆ＝CD=2,∴四边形CDEF 是平行四边形，过D 作DM ⊥EG 于Ｍ,∵DG ＝D Ｅ，∴EM=MG=12EG=12(E Ｆ﹣ＦG)＝12（2﹣３+√5)=√5−12， 由勾股定理得：DM=√DE 2−EM 2＝2−(5−12)=√10+254,∴（S 四边形CDEF )2=EF ２•ＤＭ2=4×10+2√54=10+2√5; 所以③不正确;④如图2,连接ＥC,∵EF=ED,∴ﻩC ＤE Ｆ是菱形，∴FD ⊥E Ｃ,∵E Ｃ=BE ＝４﹣FG=4﹣（3﹣√5)=１+√5,∴Ｓ四边形ＣDE Ｆ=12FD•EC=２×√10+254, 12×FD ×（１+√5）=√10+2√5，ＦD2=10﹣2√5，∴DF2﹣ＤG２＝10﹣２√5﹣4=6﹣2√5,所以④不正确;本题正确的有两个，故选Ｂ.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质,有难度，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题,每小题填对得4分，共2０分，请填在答题卡上)1３．（4分)(2017•莱芜)（﹣12）﹣３﹣2cos45°+（3．1４﹣π）0＋√8= ﹣7+√2.【考点】２Ｃ：实数的运算；６E:零指数幂；6F：负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=﹣8﹣√2＋1+2√2=﹣7+√2，故答案为:﹣7+√2【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.(4分）（20１７•莱芜）圆锥的底面周长为2π3，母线长为2，点P是母线ＯA的中点，一根细绳（无弹性)从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为2√3．【考点】ＫＶ:平面展开﹣最短路径问题;MP:圆锥的计算．【分析】连接AA′,根据弧长公式可得出圆心角的度数,由勾股定理可得出AA′．【解答】解：如图,连接AA′,∵底面周长为2π3,∴弧长＝nπ×2180＝2π3，∴ｎ=60°即∠AＯA′=60°,∴∠Ａ=60°，作ＯB⊥AA′于Ｂ，在Rt△OBＡ中,∵OA=2，∴OB=1，∴ＡB=√3，∴AＡ′=２√3.故答案是:2√3．【点评】本题考查了圆锥的计算,平面展开﹣路径最短问题，注意“数形结合”数学思想的应用．15.(4分）(2０17•莱芜）直线y=kx+b与双曲线y=﹣6x交于A(﹣3，m)，Ｂ(n，﹣6)两点，将直线y=kx＋b向上平移８个单位长度后，与双曲线交于D，E两点,则S△ＡＤE= １6.【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】利用待定系数法求出平移后的直线的解析式，求出点D 、E 的左边，再利用分割法求出三角形的面积即可.【解答】解：由题意A(﹣3,2),B （１，﹣6)， ∵直线y ＝kx +ｂ经过点Ａ(﹣3,2），Ｂ(1，﹣６）， ∴{−3k +b =2k +b =−6，解得{k =−2b =−4,∴ｙ=﹣2x ﹣４,向上平移８个单位得到直线y ＝﹣2x +４，由{y =−6x y =−2x +4，解得{x =3y =−2和{x =−1y =6,不妨设D （3，﹣２),E （﹣1，6），∴Ｓ△AD Ｅ=6×8﹣12×4×２﹣12×6×4﹣12×8×4＝16，故答案为16．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会利用分割法求三角形的面积.16.(４分)(2０17•莱芜）二次函数ｙ=a ｘ2+bx +c(a <0）图象与ｘ轴的交点A 、Ｂ的横坐标分别为﹣3,1,与y 轴交于点C,下面四个结论:①16ａ﹣4ｂ+ｃ＜0;②若P(﹣5，y 1),Ｑ(52，y ２）是函数图象上的两点，则y 1＞ｙ２;③ａ=﹣13c;④若△AB Ｃ是等腰三角形，则b=﹣2√73.其中正确的有 ①③ （请将结论正确的序号全部填上）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系;H Ａ：抛物线与ｘ轴的交点;KH:等腰三角形的性质.【分析】①根据抛物线开口方向和与x 轴的两交点可知:当x=﹣4时,y <0,即１6a ﹣４b +ｃ<0；②根据图象与x 轴的交点A 、Ｂ的横坐标分别为﹣３，1确定对称轴是：ｘ=﹣1,可得:(﹣4.5，y 3)与Q(52,y 2)是对称点，所以y 1<y 2；③根据对称轴和ｘ＝1时,y=0可得结论；④要使△ＡCB为等腰三角形，则必须保证ＡB=BＣ=4或ＡB＝AC＝４或AC=ＢC，先计算ｃ的值，再联立方程组可得结论．【解答】解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下,∵图象与ｘ轴的交点Ａ、B的横坐标分别为﹣３,１，∴当x＝﹣4时,y＜０,即１６a﹣4ｂ+ｃ＜0;故①正确;②∵图象与ｘ轴的交点Ａ、B的横坐标分别为﹣3,1，∴抛物线的对称轴是：x=﹣１，∵P(﹣５，y1),Q（52，ｙ2），﹣1﹣(﹣5)=4，52﹣(﹣1)＝３.5,由对称性得：（﹣4.５，ｙ3)与Q(52,y2）是对称点,∴则y1＜y２；故②不正确;③∵﹣b2a=﹣１，∴b=2ａ，当x＝1时,y=０，即a＋ｂ+c=0, 3ａ+c=0，a=﹣13ｃ；④要使△ＡＣB为等腰三角形，则必须保证AB＝ＢC=4或AＢ=AＣ＝4或AC=ＢＣ，当AB=BC=4时,∵AO=１,△ＢＯC为直角三角形，又∵O Ｃ的长即为|c ｜, ∴c ２=１6﹣9=7，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上, ∴c=√7，与b=２a 、ａ+ｂ+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣2√73;同理当AB=AC=4时∵A Ｏ＝1，△ＡO Ｃ为直角三角形, 又∵O Ｃ的长即为|c |， ∴c 2=16﹣1=１5，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＝√15与ｂ＝2ａ、a +b +c=０联立组成解方程组，解得b ＝﹣2√153； 同理当AC=B Ｃ时在△AOC 中，AC 2=１＋c ２， 在△B ＯC 中ＢＣ2=c 2+9， ∵AC=BC ，∴1+ｃ2＝c 2+９，此方程无实数解. 经解方程组可知有两个ｂ值满足条件． 故⑤错误.综上所述,正确的结论是①③． 故答案是:①③.【点评】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与系数的关系：当a <0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a;抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c),与x 轴的交点为（x １,0）、（x 2,0)．17．（４分)（20１7•莱芜）如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC分别交ＡC、AD于点Ｆ、E,若ＡD=1，AＢ=CＦ,则AE=√5−1 2.【考点】S9：相似三角形的判定与性质;ＫD：全等三角形的判定与性质；ＬB：矩形的性质.【分析】利用互余先判断出∠ABE＝ＦCB，进而得出△ABE≌△FCB,即可得出ＢF=AE,BE＝ＢC=1,再判断出∠ＢＡF=∠AＥB,进而得出△ABE∽△FBA，即可得出ＡＥ＝AB2,最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解:∵四边形ＡBＣＤ是矩形，∴BC＝AD=1,∠ＢAF＝∠AＢＣ=90°，∴∠ＡBE+∠CBＦ=90°，∵BE⊥AC,∴∠ＢFＣ=９０°,∴∠BCＦ+∠CBF=90°，∴∠ＡＢE=∠ＦCB，在△ABE和△FCB中，{∠EAB=∠BFC=90°AB=CF∠ABE=∠FCB，∴△ABE≌△FCＢ，∴BＦ=AＥ，BE＝BC＝1，∵BE⊥AC,∴∠ＢＡＦ＋∠ＡBＦ=90°，∵∠ＡBF+∠AＥB=90°，∴∠BAF=∠AEB,∵∠BAE＝∠AFB,∴△A ＢＥ∽△F ＢA,∴AB BF =BE AB ， ∴AB AE =1AB, ∴ＡE ＝AB 2,在R ｔ△ABE 中，BE ＝1,根据勾股定理得,A Ｂ2+ＡＥ２=BE 2=1, ∴AE +A Ｅ2=1, ∵ＡE ＞0,∴AE ＝√5−12.【点评】此题主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,解本题的关键是判断出AE=AB 2．三、解答题（本大题共７小题，共６4分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．(６分）（2０17•莱芜）先化简,再求值：（a ＋6aa−3)÷（a +9a+9a−3)，其中a=√3﹣3.【考点】6D ：分式的化简求值． 【分析】先将原分式化简成aa+3,再代入a 的值,即可求出结论.【解答】解：原式=a(a−3)+6aa−3÷a(a−3)+9a+9a−3,=a 2+3a a−3×a−3a 2+6a+9,=a(a+3)a−3×a−3(a+3), =aa+3. 当ａ=√3﹣３时,原式＝aa+3=√3−3√3−3+3＝√3−3√3＝1﹣√3．【点评】本题考查了分式的化简求值，将原分式化简成aa+3是解题的关键.１９．（8分）（201７•莱芜)为了丰富校园文化,某学校决定举行学生趣味运动会,将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择五项中的一种),并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数(名）百分比(％）袋鼠跳451５夹球跑3０c跳大绳７525绑腿跑b2０拔河赛９０30根据图表中提供的信息,解答下列问题：（1)a=300，b＝60，c=10 .（2）请将条形统计图补充完整；（3)根据调查结果，请你估计该校３0０0名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑;(4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为Ａ、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率.【考点】X6:列表法与树状图法；V5:用样本估计总体；ＶA：统计表；VC:条形统计图．【分析】(１)根据学生数和相应的百分比，即可得到a的值,根据总人数乘以百分比,即可得到b的值，根据学生数除以总人数，可得百分比，即可得出ｃ的值；(2）根据b的值，即可将条形统计图补充完整；(3)根据最喜欢绑腿跑的百分比乘以该校学生数,即可得到结果；（4)根据树状图或列表的结果中，选到“Ｃ”和“Ｅ”的占２种,即可得出恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率.【解答】解：(1）由题可得,a＝4５÷１5%=30０,b=300×２0%=60，c＝30300×100=１0，故答案为：３０0，6０,１0；（2)如图:（3)３0０0×20％＝600(名）;（4)树状图为：共20种情况，其中选到“C”和“E”的有2种，∴恰好选到“C”和“E”的概率是220=110.【点评】此题考查了列表法与树状图法,扇形统计图,以及条形统计图的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.（9分)（201７•莱芜）某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗.小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31ｃm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是３１°．（1)求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到０．01m)(2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶Ｇ处的仰角为40°,爬到甲楼楼顶Ｆ处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°,求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离.（精确到0.０1m)(coｓ31°≈0.86,tan３1°≈０.６０，ｃos１9°≈0.95,tan19°≈０．３4，cｏs４0°≈０．77,ｔａn４0°≈0．8４）【考点】ＴA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.【分析】(1）在直角三角形ABＥ中，利用锐角三角函数定义求出AE与ＢE的长即可;（2）过点F作FM⊥GＤ，交GD于M，在直角三角形GＭF中，利用锐角三角函数定义表示出ＧＭ与ＧD,设甲乙两楼之间的距离为xm，根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果.【解答】解：(1）在Rt△ABE中，ＢE＝AB•tan３1°=31•tan３１°≈18．６0，AＥ=ABcos31°=31cos31°≈３6.0５,则甲楼的高度为18.6０m，彩旗的长度为3６.05m;（2）过点F作ＦM⊥GD,交GD于M,在Ｒt△GMF中，GM=FM•taｎ19°，在Rt△GＤC中,ＤＧ=CＤ•ｔan４０°，设甲乙两楼之间的距离为xm，ＦM=CD＝x,根据题意得:xtａｎ４0°﹣xtaｎ１9°=18.60，解得：x＝37．20,则乙楼的高度为３1．２5ｍ，甲乙两楼之间的距离为3７.20m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.２１．（9分）(２０1７•莱芜)已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE,DB，试判断线段AＥ和DB的数量和位置关系,并说明理由；（2）如图②所示,连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转９0°到ＤＦ,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.【考点】R2:旋转的性质；KD:全等三角形的判定与性质;ＫW：等腰直角三角形.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Ｒｔ△B ＣD≌Ｒt△ACE,根据全等三角形的性质解答;(2）证明△ＥBＤ≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可.【解答】解:(1）ＡＥ=DB，ＡE⊥DB,证明：∵△ABC与△ＤEＣ是等腰直角三角形，∴AC＝BC,ＥC=DC,在Ｒt△BCＤ和Rt△ACＥ中,{AC=BC∠ACE=∠BCD CE=CD，∴Rｔ△ＢCＤ≌Rｔ△ACＥ，∴AE＝BD,∠ＡEC=∠BDC，∵∠ＢＣD＝90°，∴∠DHE＝90°,∴ＡE⊥ＤＢ;(2）ＤE=AF，DＥ⊥AF，证明：设DＥ与AF交于N,由题意得,BE＝AD,∵∠EＢD=∠C+∠BＤC＝９０°+∠BDC,∠ADF=∠ＢDF+∠BDC＝９0°+∠BDC，∴∠ＥBD=∠ADF，在△EBＤ和△ＡＤＦ中,{BE=AD∠EBD=∠ADF DE=DF,∴△EBD≌△ＡDF，∴DE＝AＦ，∠Ｅ＝∠FＡＤ,∵∠Ｅ=45°，∠EDＣ＝４5°，∴∠ＦAD=45°，∴∠AＮD=90°,即DE⊥ＡF.【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．(１0分)（201７•莱芜）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费11０元．(1)改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元?（2)根据消费者需求，网店决定用不超过１００00元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45,已知甲种口罩每袋的进价为２2．4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【考点】FH:一次函数的应用；9A ：二元一次方程组的应用;CE ：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和３袋乙种口罩共花费11０元，得出等式组成方程求出即可；(2）根据网店决定用不超过1000０元购进价、乙两种口罩共500袋,甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，得出不等式求出后,根据m 的取值,得到5种方案,设网店获利ｗ元，则有w=（25﹣22.4)m +(20﹣１8)(500﹣ｍ）＝０.6m +1000，故当m=227时,w 最大,求出即可．【解答】解：（１）设该网店甲种口罩每袋的售价为ｘ元,乙种口罩每袋的售价为y 元，根据题意得：{x −y =52x +3y =110， 解这个方程组得：{x =25y =20, 故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元;(2)设该网店购进甲种口罩m 袋,购进乙种口罩(500﹣m)袋，根据题意得{m ＞45(500−m)22.4m +18(500−m)≤10000, 解这个不等式组得:２22，2<ｍ≤２27.3,因ｍ为整数,故有５种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩２2４袋，乙种口罩2７6袋；购进甲种口罩２25袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩２73袋；。

2021年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)2021年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）（2021?莱芜）2的绝对值是（）a．2b．c．d．22．（3分后）（2021?莱芜）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国招待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法则表示为（）a．14.7×107b．1.47×107c．1.47×108d．0.147×1093．（3分后）（2021?莱芜）无理数23在（）a．2和3之间b．3和4之间c．4和5之间d．5和6之间4．（3分后）（2021?莱芜）以下图形中，既就是中心对称，又就是轴对称的就是（）a．b．c．d．5．（3分后）（2021?莱芜）若x，y的温如军不断扩大为原来的3倍，则以下分式的值维持维持不变的就是（）a．b．c．d．6．（3分后）（2021?莱芜）某校举办汉字拼读大赛，参赛学生的成绩如下表中：成绩（分后）人数894906928945957对于这组数据，下列说法错误的是（）a．平均数就是92b．中位数就是92c．众数就是92d．极差就是67．（3分）（2021?莱芜）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）第1页（共32页）a．60πcm2b．65πcm2c．120πcm2d．130πcm28．（3分后）（2021?莱芜）在平面直角坐标系则中，未知△abc为全等直角三角形，cb=ca=5，点c（0，3），点b在x轴正半轴上，点a在第三象限，且在反比例函数y=的图象上，则k=（）a．3b．4c．6d．129．（3分后）（2021?莱芜）例如图，ab∥cd，∠bed=61°，∠abe的平分线与∠cde的平分线处设点f，则∠dfb=（）a．149°b．149.5°c．150°d．150.5°10．（3分后）（2021?莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则并使函数值y＜0设立的x的值域范围就是（）a．x＜4或x＞2b．4＜x＜2c．x＜0或x＞2d．0＜x＜211．（3分后）（2021?莱芜）例如图，边长为2的也已△abc的边bc在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b旋转轴直线l，a和b同时向右移动（a的初始边线在b 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直至b抵达c点暂停，在a和b向右移动的过程中，记△abc缠在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）第2页（共32页）a．b．c．d．12．（3分后）（2021?莱芜）例如图，在矩形abcd中，∠adc的平分线与ab处设e，点f在de的延长线上，∠bfe=90°，相连接af、cf，cf与ab处设g．存有以下结论：①ae=bc②af=cf③bf2=fg?fc④eg?ae=bg?ab其中正确的个数是（）a．1b．2c．3d．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分后，共20分后。

山东省莱芜市中考数学试卷含答案解析版It was last revised on January 2, 20212018年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）（2018?莱芜）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．﹣12C．12D．22．（3分）（2018?莱芜）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为（）A．×107B．×107C．×108D．×1093．（3分）（2018?莱芜）无理数2√11﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．（3分）（2018?莱芜）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A． B．C．D．5．（3分）（2018?莱芜）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2+xx−y B．2yx2C．2y33x2D．2y2(x−y)26．（3分）（2018?莱芜）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩（分）8990929495人数46857对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是67．（3分）（2018?莱芜）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．（3分）（2018?莱芜）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=kx的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．129．（3分）（2018?莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE 的平分线交于点F，则∠DFB=（）A．149°B．°C．150°D．°10．（3分）（2018?莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜211．（3分）（2018?莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）（2018?莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG?FC④EGAE=BGAB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2021年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2021的倒数是()A. 2021B. −2021C. 12021D. −120212.如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是()A.B.C.D.3.截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为()A. 0.42×107B. 4.2×106C. 4.2×105D. 42×1054.如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1=∠BEF=72°，则∠EGF的度数为()A. 34°B. 36°C. 38°D. 68°5.下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 4)⋅a的结果是()6.化简(1−a)÷(1−1aA. −a2B. 1C. a2D. −17.下列运算正确的是()A. a3+a3=a6B. (a+b)2=a2+b2C. (a5)2=a7D. (−a+2)(−a−2)=a2−48.某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图所示的折线统计图，下列说法错误的是()A. 阅读课外书本数的众数是58B. 阅读课外书本数的平均数是56.25C. 阅读课外书本数的中位数是50D. 阅读课外书本数的极差是559.若实数k、b满足k+b=0，且k>b，则一次函数y=kx+b的图象可能是()A. B.C. D.10.如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段12CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ． ③连接OE 交CD 于点M ． 不列结论中错误的是( )A. CM =MDB. ∠CEO =∠DEOC. ∠OCD =∠ECDD. S 四边形OCED =12CD ⋅OE11. 如图，点A(5a −1,2)、B(8,a)都在反比例函数y =k x(k ≠0)的图象上，点P 是直线y =x 上的一个动点，当PA +PB 最小时，点P 坐标是( )A. (83,83) B. (103,103) C. (3,3) D. (4,4)12. 如图，抛物线y =2x 2−8x +6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D.若直线y =−x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A. 1<m <158 B.158<m <3C. 1<m <3D. −18<m <1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 分解因式：2a 3−2a =______．14. 从3、−4、5三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第二象限的概率是______ ．15. 当x = ______ 时，代数式xx 2−1比代数式3xx+1的值小3． 16. 如图所示，两个半圆中，长为4的弦AB 与直径CD 平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是______ ．17.近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为______ ．18.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N.若直线BA′交直线CD于点O，BC=9，AM=4，则OD的长为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.(1)计算：√12−(4−π)0+(cos60°)−2−|√3−3|；(2)解不等式组：{3(x+2)≥2x+52x−1+3x2<1，并写出它的所有整数解．四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）20.学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀(每天都用)，B级：良好(周末使用)，C级：合格(假期使用)，D级：不合格(基本不用)四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率A60.15B12bC c0.35D80.2请根据以上信息完成下列问题：(1)本次调查随机抽取了______ 名学生；表中b=______ ，c=______ ；(2)请补全条形统计图；(3)若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是______ ；(4)若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．21.如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AD⊥OP于点C，交⊙O于点D，连接PD交直径AB的延长线于点E．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，DC=4，求PD的长．22.某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图.身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°.如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？(保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，√3≈1.73.)23.为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．(1)求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？(2)该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？24.如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转，旋转角为α(0°<α<360°)．(1)观察验证：当△AMN绕点A旋转到如图2的位置时，求证：△AMC≌△ANB；(2)问题探究：如图3，连接BM，分别取MN、BM、BC的中点O、P、Q，连接OP、PQ、OQ，猜想△OPQ的形状，并说明理由；(3)问题拓展：若AC=5，AN=3，在(2)的条件下，△AMN绕着点A在自由旋转过程中，旋转角为α(0°<α<360°)，求出△OPQ面积的最大值．25.如图1，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为A(1,2)，与x轴交于点B(−1,0)，C两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CD，点E在CD上，若点P在第一象限，且∠PEC=90°，求线段PE长度的最大值；(3)如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB=α，是否存在点P，使得tanα=2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C．【解析】解：2021的倒数是12021故选：C．直接利用倒数的定义得出答案．此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：D．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．3.【答案】B【解析】解：4200000=4.2×106．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：∵∠1=∠BEF=72°，∴AB//CD．∴∠EGF=∠GEB．∵EG平分∠BEF，∴∠GEB=1∠BEF=36°．2∴∠EGF=∠GEB=36°．故选：B．利用角平分线的性质先求出∠BEG，再利用平行线的判定和性质得到∠EGF的度数．本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质，题目难度不大，掌握平行线的判定和性质是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：左起第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有1个．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题考查轴对称图形问题，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．6.【答案】A⋅a【解析】解：原式=(1−a)⋅aa−1=−a2，故选：A．根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键还是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：A、原式=2a3，不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；C、原式=a10，不符合题意；D、原式=a2−4，符合题意．故选：D．各式计算得到结果，即可做出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.【答案】C【解析】解：A、58出现的次数最多，是2次，所以，众数是58，故本选项不符合题意；B、平均数=18(36+70+58+42+58+28+78+83)=18×453=56.625，故本选项不符合题意；C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为：28、36、42、58、58、70、78、83，中间两个数都是58，所以，中位数是58，故本选项符合题意；D、极差=83−28=55，故本选项不符合题意．故选：C．根据极差的定义，众数的定义，中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解．本题考查了折线统计图，主要利用了极差的定义，众数的定义，中位数的定义，算术平均数的求解，根据图表准确获取信息是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：因为实数k、b满足k+b=0，且k>b，所以k>0，b<0，所以它的图象经过一、三、四象限，故选：A．根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．10.【答案】C【解析】解：由作图可知，OC=OC，EC=ED，∴OE垂直平分线段CD，∴CM=MD，∴S四边形OCED =12⋅CD⋅OE，在△COE和△DOE中，{OC=OD OE=OE EC=ED，∴△COE≌△DOE(SSS)，∴∠CEO=∠DEO，故A，B，D正确，故选：C．根据线段的垂直平分线的判定，全等三角形的性质一一判断即可．本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.【答案】B【解析】解：∵A(5a−1,2)、B(8,a)都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴(5a−1)×2=8a，∴a=1，∴A(4,2)，B(8,1)，∴A关于直线y=x的对称点A′(2,4)，设直线A′B的函数关系式为：y=kx+b，∴{2k+b=48k+b=1，∴k=−12，b=5，∴y=−12x+5，∵P为A′B与直线y=x的交点，∴−12 x+5=x，∴x=103，∴P(103,103)，故选：B．先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出A关于直线y=x的对称点，利用数形结合的思想解答．12.【答案】B【解析】解：y=2x2−8x+6，令y=0，即2x2−8x+6=0，解得x=1或3，则A(1,0)，(3,0)，由于将C1向右平移两个单位得到C2，则C2的解析式为y=2(x−2)2−8(x−2)+6(3≤x≤5)，由图象知当直线y=−x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，∴①当y=−x+m与C2相切时，令y=−x+m=2x2−8x+6，即2x2−15x+30−m=0，∴△=8m−15=0，解得m=158，②当y=−x+m′过点B时，即0=−3+m′，解得m′=3，综上，当158<m<3时，直线y=−x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：B．根据图象可以判断当直线y=−x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．本题主要考查二次函数和一次函数的知识，正确找出临界值是解题的关键．13.【答案】2a(a+1)(a−1)【解析】【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a3−2a=2a(a2−1)=2a(a+1)(a−1)．故答案为2a(a+1)(a−1)．14.【答案】13【解析】解：画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中在第二象限的情况数有2种，所以该点在第二象限的概率为26=13．故答案为：13．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．15.【答案】34【解析】解：根据题意得：xx2−1=3xx+1−3，去分母得：x=3x(x−1)−3(x2−1)，去括号得：x=3x2−3x−3x2+3，解得：x=34，经检验x=34是分式方程的解．故答案为：34．根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16.【答案】2π【解析】解：过O向AB作垂线，则小圆的半径为OE=r，BE=AE=12AB=12×4=2．连接OB，则OB为大圆的半径R，在Rt△OEB中：由勾股定理得：R2−r2=BE2，图中阴影部分的面积是12π(R2−r2)=12πBE2=2π．故答案为：2π．阴影部分的面积=大半圆的面积−小半圆的面积．过O向AB作垂线OE，连接OB；再根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查了垂径定理的应用，两圆的半径，利用勾股定理计算出两半圆的面积之差．17.【答案】10%【解析】解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得10000×(1−x)2=8100，解得x1=0.1，x2=1.9(不符合题意，舍去)，则降价百分率为10%．故答案为：10%．设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原价的1−x，第二次降价后的单价是原价的(1−x)2，根据题意列方程解答即可．此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．18.【答案】√3【解析】解：AA′连接AA′，如图：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴AA′=A′B，∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，∴A′B=AB，∠ABM=∠A′BM，∴△ABA′为等边三角形，∴∠ABA′=∠BA′A=∠A′AB=60°，又∵∠ABC=∠BAM=90°，∴∠ABM=∠A′BM=∠A′BC=30°，∵AM=4，∴BM=2AM=8，AB=√3AM=4√3=CD，在直角△OBC中，∠C=90°，∠OBC=30°，=3√3，∴OC=BC⋅tan∠OBC=9×√33∴OD=CD−OC=4√3−3√3=√3，故答案为：√3．连接AA′，先证明△ABA′为等边三角形，得∠ABM =30°，从而求出AB 、CD ，再在Rt △BOC 中求出OC ，即可得到答案．本题考查矩形性质及应用、折叠等知识，解题的关键是根据折叠得到△ABA′是等边三角形．19.【答案】解：(1)√12−(4−π)0+(cos60°)−2−|√3−3|=2√3−1+4+√3−3=3√3；(2){3(x +2)≥2x +5①2x −1+3x 2<1②， 解不等式①得x ≥−1，解不等式②得x <3，故原不等式组的解集为−1≤x <3，故它的所有整数解为−1，0，1，2．【解析】(1)先去掉绝对值，零指数幂，负整数指数幂，三角函数化简，最后用实数的运算即可；(2)分别解出不等式①，②的解集确定出公共部分即可写出它的所有整数解．主要考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角函数值，要熟练掌握，解本题的关键是熟练掌握实数的运算顺序．以及解一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．20.【答案】40 0.3 14 72°【解析】解：(1)本次调查随机抽取的学生数是：6÷0.15=40(名)，b =1240=0.3，c =0.35×40=14；故答案为：40，0.3，14；(2)C 级的人数有14人，补全统计图如下：(3)“不合格”等级所对应的圆心角的度数是：360°×0.2=72°．故答案为：72°；(4)1800×(0.15+0.3)=810(人)，答：该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有810人．(1)根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数求出b，用总人数乘以合格的人数所占的百分比求出c；(2)根据(1)求出合格的人数，再补全统计图即可；(3)用360°乘以“不合格”的人数所占的百分比即可；(4)用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】(1)证明：∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∵AD⊥OP，∴AC=DC，∴PD=PA，在△OPD和△OPA中，{PD=PA OD=OA OP=OP，∴△OPD≌△OPA(SSS)，∴∠ODP=∠OAP=90°，又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)解：∵⊙O的半径为6，∴OD=6，∵AD⊥OP，∴∠DCP=∠OCD=90°，∴OC=√OD2−DC2=√62−42=2√5，∠ODC+∠DOC=90°，由(1)得：∠ODP=90°，∴∠ODC+∠PDC=90°，∴∠DOC=∠PDC，∴△OCD∽△DCP，∴ODPD =OCDC，即6PD =2√54，解得：PD=12√55．【解析】(1)由切线的性质得∠OAP=90°，再证△OPD≌△OPA(SSS)，得∠ODP=∠OAP=90°，即可得出结论；(2)先由勾股定理得OC=2√5，再证△OCD∽△DCP，得ODPD =OCDC，即可求解．本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．22.【答案】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE=AD−DE=2.8−1.6=1.2(米)，在Rt△ABE中，∠ABE=30°，∴BE=√3AE=6√35(米)，在Rt△ACE中，∠ACE=58°，tan∠ACE=AECE=tan58°≈1.60，∴CE≈AE1.60= 1.21.60=0.75(米)，∴MN=BC=BE−CE=6√35−0.75≈1.33(米)，答：小聪在有效测温区间MN的长度约为1.33米．【解析】延长BC交AD于点E，则AE=AD−DE=1.2(米)，再求出BE、CE的长，进而可得结果．本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】解：(1)设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需(x+4)元．列方程：2000x+4×2.5=1000x，解得：x=1．经检验x=1是原方程的解，∴x+4=5．答：购买一个普通口罩需1元，购买一个N95口罩需5元．(2)设购买一次性医用口罩y个．则购买N95口罩(3000−y)个，依题意得：1×(1−50%)y+5×(1−20%)(3000−y)≤3250．解得：y≥2500．∴该单位至少可购买2500个一次性医所口罩．【解析】(1)设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需(x+4)元，根据题意列出分式方程进行解答即可；(2)设设购买N95口罩y个．根据题意列出不等式进行解答即可．此题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24.【答案】(1)证明：∵∠CAB=∠MAN=90°，∴∠CAM=∠BAN，∴AC=AB，AM=AN，∴△CAM≌△BAN(SAS)．(2)解：结论：△OPQ是等腰直角三角形．理由：延长CM交BN于H，交AB于J．∵△CAM≌△BAN，∴CM=BN，∠ACM=∠ABN，∵∠AJC=∠BJH，∴∠CAJ=∠BHJ=90°，∵CQ=QB，MP=PB，CM，∴PQ//CM，PQ=12∵MO=ON，MP=PB，BN，∴OP//BN，OP=12∴PQ=PO，∵CH//BN，OP//CH，OP//BN，∴QP⊥PO，∴∠QPO=90°，∴△OPQ是等腰直角三角形．CM，(3)解：∵△OPQ是等腰直角三角形，PQ=12∴CM的值最大时，△OPQ的面积最大，∵CM≤AC+AN，∴CM≤8，∴CM的最大值为8，∴PQ的最大值为4，×4×4=8．∴△OPQ的面积的最大值为12【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)结论：△OPQ是等腰直角三角形，利用三角形的中位线定理，解决问题即可．(3)求出CM的最大值，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：(1)由题可设抛物线解析式为y=a(x−1)2+2，代入点B，得4a+2=0，∴a=−1，2(x−1)2+2；∴抛物线解析式为：y=−12(2)如图1，过P作PF⊥x轴于F，交CD于H，∵PE⊥CD，∴∠PEH=∠PFC=90°，∴∠PHE+∠EPH=∠CHF+DCB=90°，∵∠PHE=∠CHF，∴∠EPH=∠DCB，令x =0，则y =−12(x −1)2+2=32， ∴D(0,32)， 令y =0，则−12(x −1)2+2=0，解得x =−1或3，∴C(3,0)，∴DO =32，CO =3，∴CD =√DO 2+CO 2=3√52， ∴cos∠EPH =cos∠DCB =COCD =2√55， 设直线CD 为y =kx +32，代入点C ，得k =−12，∴直线CD 为y =−12x +32，设P(m,−12m 2+m +32)，则H(m,−12m +32)，∴PH =−12m 2+32m ，∵cos∠EPH =PE PH =2√55， ∴PE =−√55m 2+3√55m =−√55(m −32)2+9√520，∵P 在第一象限，∴0<m <3，∴m =32时，PE 最大值为9√520； (3)①如图2，当P 在x 轴下方时，tan∠ACP =tanα=2，延长AB 交CP 延长线于K ，过A 作x 轴平行线，过K 作y 轴平行线，两线交于点Q ， 过C 作CR ⊥AQ 于R ，∵A(1,2)，B(−1,0)，C(3,0)，∴AB =√(1+1)2+22=2√2，同理，AC =2√2，BC =4，∴AB 2+AC 2=BC 2，AB =AC ，∴∠BAC =90°，∵∠AKQ +∠QAK =∠QAK +∠RAC =90°，∴∠AKQ =∠RAC ，又∠AQK =∠CRA =90°，∴△AQK∽△CRA ， ∴AK CA =AQ CR =QK RA ， 又tan∠ACK =AK AC =2， ∴QKRA =AQCR =2，又AR =CR =2，∴QK =AQ =4，∴K(−3,−2)，设直线CK 为y =k 1(x −3)，代入点K ，解得k 1=13，∴直线CK 为y =13x −1，联立{y =13x −1y =−12(x −1)2+2， ∴3x 2−4x −15=0，解得x =−53或3，∴P 的横坐标为−53，②如图3，当P 在x 轴上方时，K 关于x 轴的对称点为K′，则K′(−3,2)，连接CK′交抛物线于点P ，可设直线CK′为y =k 2(x −3)，代入点K′，解得k 2=−13，∴直线CK′为y =−13 x +1联立{y =−13x +1y =−12(x −1)2+2， ∴3x 2+4x −3=0，∴x =−13或3，∴P 的横坐标为−13，综上，P 的横坐标为−53或−13．【解析】(1)利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入B 点，求得抛物线解析式；(2)先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点D 、B 、C ，则直角△DOC 的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线CD 的解析式可求，因为PE ⊥CD ，可以过P 作PF ⊥x 轴与F ，交CD 于H ，则可以证得△PEH∽△COD ，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到PE 与PH 的数量关系，设出P 点坐标，可以得到H 点坐标，表示出PH 的长度，继而求得PE 的长度，得到一个二次函数，根据P 的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决．(3)根据题意，可以画图，得到PC 可以在x 轴上方和x 轴下方两种情况，先看PC 在x轴下方，利用A 、B 、C 三点坐标，可以证得∠BAC =90°，延长AB 交CP 于K 点，则△AKC是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得CK 的解析式，从而联立CK 与抛物线解析式，求出交点P 的横坐标，当P 在x 轴上方时，可以先求出K 关于x 轴对称点K′的坐标，先求出直线CK′的解析式，再联立直线CK′与抛物线解析式，求出交点P 的横坐标．此题是二次函数综合题，考查了线段最值问题，解决关键就是做横平竖直线，将“斜线段”转化成“垂线段”，利用函数思想解决最值问题，第三问考查了角的存在性问题，要注意画图，分类讨论，利用一线三直角模型来解决问题．。