名师联盟2020届高三上学期入学调研考试卷文科数学(三)含解析

2020届高三入学调研考试卷文科数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|15}A x x =-<，则R C A =（ ） A. {|4}x x >- B. {}|4x x ≤ C. {|4}x x <- D. {|4}x x ≤-【答案】D 【解析】 【分析】先解出A 中x 的范围,再求A R即可.【详解】{|15}{|4}A x x x x =-<=>-,故A =R{|4}x x ≤-故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型. 2.2(3)i -=（ ） A. 86i -- B. 86i + C. 86i - D. 86i -+【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案.【详解】根据复数的运算法则得到：22(3)9686i i i i -=-+=-. 故选C ．【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.3.已知平面向量()1,2a =-，()2,b y =，且//a b ，则32(a b += ) A. ()1,7- B. ()1,2-C. ()1,2D. ()1,2-【答案】D 【解析】 【分析】由共线向量可知1y 220-⨯-⨯=，可得y 值，进而可得向量b 的坐标，由向量的运算可得结果． 【详解】()a 1,2=-，()b 2,y =，且a //b ，1y 220∴-⨯-⨯=，解得y 4=-，故可得()()()3a 2b 31,222,41,2+=-+-=- 故选D ．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题． 4.已知数列{}n a 为等差数列，若2610πa a a 2++=，则()39tan a a +的值为( )A. 0B.3C. 1【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质得6πa .6=从而396πa a 2a 3+==，由此能求出()39tan a a +的值． 【详解】数列{}n a 为等差数列，1610πa a a 2++=，26106πa a a 3a 2∴++==，解得6πa 6=．396πa a 2a 3∴+==，()39πtan a a tan33∴+==． 故选D ．【点睛】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅，由已知得cos ,1a b =，即,0a b =，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是π，此时a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.考点：充分必要条件、向量共线.6.设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得；【详解】解：由题意可得：(2018)(20186733)f f =-⨯(1)2f =-=，(2019)(20196733)f f =-⨯(0)0f ==，则(2018)(2019)2f f +=.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的求值，属于基础题．7.若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. (],1-∞B. (),1-∞C. (],2-∞D. (),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0>时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可． 【详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->，即m 2<-，或m 2>，则需：()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤；m 2∴<-， ∴综上得m 2≤，∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x≤+在()1,∞+恒成立， 而函数1y x 2x=+≥，故选C ．【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．8.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.2C. 0.35D. 0.4【答案】A 【解析】 【分析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题．9.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b a cosC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c =，则角C (= ) A.π3B.π6C.3π4D.π4【答案】D 【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA =结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】b a cosC ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可得：sinB sinAcosC =+，又()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，∴cosA =，可得：tanA =()A 0,π∈，πA 3∴=，可得：sinA =， 又a 2=，c 3=， ∴由正弦定理可得：c sinA 32sinC a 22⋅===， c a <，C 为锐角， πC 4∴=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．10.已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，若使得1122||||A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B.C. 2]D.)+∞【答案】D【解析】【分析】根据使得1122A B A B=成立的直线12,l l有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果.【详解】设双曲线方程为22221(00)x ya ba b-=>>，；所以渐近线方程为ybxa=±因为直线12,l l交于点O且相互垂直，1l与双曲线C交于点11,A B，2l与C交于点22,A B，且使得1122A B A B=成立直线12,l l有且只有一对，所以可得451btana>︒=，所以b a>，即222c a a->，所以eca=>故选D【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线12,l l斜率之间的关系，属于常考题型.11. 下列命题：①“在三角形ABC中，若sin sinA B>,则A B>”的逆命题是真命题；②命题:2p x≠或3y≠，命题:5q x y+≠则p是q的必要不充分条件；③“32,10x R x x∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x∀∈-+>”；④“若,221a ba b>>-则”的否命题为“若a b≤，则221a b≤-”；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：对于①“在ABC∆中，若sin sinA B>，则A B>” 的逆命题为“在ABC∆中，若A B>，则sin sinA B>”，若A B>，则a b>，根据正弦定理可知，sin sinA B>，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠，或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1,4x y ==，5x y +=，p ∴不是q 的充分条件；若5x y +≠，则一定有2x ≠，则3y ≠，即能得到2x ≠，或3y ≠，p ∴是q 的必要条件，p ∴是q 的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>” ,所以③不对；对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ．考点：1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定． 12.方程3sin x x =的根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.点()M 2,1到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为______．【答案】14或112- 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【详解】抛物线2y ax =的标准方程为：21x y a =，准线方程为：1y 4a=-， 1124a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a 4=或112-．故答案为14或1..12- 【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题． 14.若π0α2<<，πβ02-<<，π1cos α43⎛⎫+= ⎪⎝⎭，βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ+=______．【答案】2327【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式，余弦公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sin β，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos β的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】()π21cos αcos αsin α423⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，可得：2cos αsin α-=，①∴两边平方可得，21sin2α9-=，解得：7sin2α9=， π0α2<<，可得：()4cos αsin α1sin2α3+=+=，②∴由①②解得：()()42cos2αcos αsin αcos αsin α=-+=，又βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得：2ββ3sin cos 2223⎛⎫+= ⎪⎝⎭，两边平方，可得：1sin β3=-，22cos β3=， ()42227123cos 2αβcos2αcos βsin2αsin β939327⎛⎫∴+=-=⨯-⨯-=⎪⎝⎭． 故答案为2327． 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 15.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 【答案】84π 【解析】如图，点12,O O 分别为,BAD CBD ∆∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，所以113163,3tan 60323O G OO =⨯⨯===，136233AO =⨯=222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===，故答案为84π.16.已知函数()212ln x x f x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.【答案】322,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求出函数()g x关于直线1y=的对称函数()h x，令()f x与()h x的图象有交点得出m的范围即可．【详解】()1g x mx=+关于直线1y=对称的直线为()1y h x mx==-，∴直线1y mx=-与2lny x=在21[,]ee上有交点，作出1y mx=-与2lny x=的函数图象，如图所示：若直线1y mx=-经过点12e-（，），则3m e=，若直线1y mx=-与2lny x=相切，设切点为(),x y，则122y mxy lnxmx⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得323232x eym e-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩．∴322?3e m e--≤≤，故答案为322,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T .证明：n T 1<． 【答案】（1）n 2a n 1=+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】(1)由已知得n n 1n 1211a a a -+=+，从而推导出n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，由此能求出数列{}n a 的通项公式;(2)由()n 111b n n 1n n 1==-++，利用裂项相消法能证明n T 1<．【详解】(1)数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥， n n 1n 1211a a a -+∴=+， 又1a 1=，213a a 1-=，121131,a a 2∴==，21111a a 2∴-=， n 1a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，()()n 1111n 1n 1a 22∴=+-=+， n 2a .n 1∴=+ (2)证明：数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=， ()n 111b n n 1n n 1∴==-++，n 12n 111111T b b b 111223n n 1n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故n T 1.<【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查数列的前n 项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，获得的利润为20(100)x -元，即可列出y 与x 的函数关系式；（2）由题意，可得甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和的可能取值0,1,2，分别求得取每个值对应的概率，即可列出分布列，利用公式求解数学期望． 【详解】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元， 则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，因而y 与x 的函数关系式为()2010030y x x =-- 200050x =-，其中04x ≤≤，x N ∈. （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x N ∈.由2000501950x -≥，得1x ≤， 所以X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，所以X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为204031005+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为30251110020+=， 所以()299052050P X ==⨯=，()39211491520520100P X ==⨯+⨯=，()311332520100P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为所以()94933230125010010020E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.19.已知椭圆C ：223412x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.【答案】m <<【解析】 【分析】根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，从而可得直线AB 的斜率14k =-，线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点M 在直线4y x m =+，可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=可求中点M ，由226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->可求n 的范围，由中点M 在直线4y x m =+可得m ，n 的关系，从而可求m 的范围．【详解】解：设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分． 可得直线AB 的斜率14k =-， 直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点()00,M x y 在直线4y x m =+， 故可设直线AB 的方程为14y x n =-+， 联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩， 整理可得2213816(3)0x nx n -+-= 12813n x x ∴+=，1212124()2413n y y x x n +=-++=， 226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->，n <， 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+，413n m =-，∴m <，m ∴的范围就是213213,⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，解题关键是熟练运用直线与椭圆的位置关系求解．20.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且,E F 分别是11,BC A B 的中点.（Ⅰ）求证：11BC A C ；（Ⅱ）求证：//EF 平面11AC CA ；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB = 【解析】 【分析】（Ⅰ）由11BC C C ⊥，利用面面垂直的性质，证得1BC ⊥平面11ACC A ，在线面垂直的性质，即可得到11BC A C .（Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC ，得到四边形11BCC B 为平行四边形，又由E 是BC 的中点，证得EC FG //，且EC FG =，进而得到FE GC //，利用线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面11AC CA .（Ⅲ）取AB 的中点P ，连PE ，连PF ，由线面垂直的性质，得到1BC ⊥AC ,1BC ⊥CG ，又在在△ABC 中，利用中位线得//PE AC ，再由（Ⅱ）知FE CG //，进而得到1BC ⊥平面EFP ，得出结论.【详解】（Ⅰ）因为11BC C C ⊥，又平面11AC CA ⊥平面11BCC B ， 且平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =， 所以1BC ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11A C CA ， 所以11BC AC ⊥. （Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC .在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点， 所以11//FG B C ，且111=2FG B C . 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点， 所以11//EC B C ，且111=2EC B C . 所以//EC FG ，且=EC FG . 所以四边形FECG 是平行四边形. 所以//FE GC .又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA . （Ⅲ）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP . 取AB 的中点P ，连PE ，连PF .因为1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ,CG ⊂平面11ACC A , 所以1BC ⊥ AC ,1BC ⊥ CG .在△ABC 中，因为,P E 分别是,AB BC 中点，所以//PE AC . 又由（Ⅱ）知//FE CG ， 所以1BC ⊥ PE ，1BC EF ⊥. 由PE EF E ⋂=得1BC ⊥平面EFP .故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB =. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 21.已知函数f(x)＝x 2－ax －alnx(a∈R )． (1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－33x ＋252x －4x ＋116.【答案】(1) a ＝1.(2) 见解析. 【解析】试题分析：（1）根据极值的定义即导函数的变号零点，求导使得f′(1)＝0，解得a ＝1；并检验a ＝1时1是函数的变号零点即可（2）构造函数g(x)＝f(x)－35114326x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，研究这个函数的单调性，使得这个函数的最小值大于等于0即可. 解析：(1)解 f′(x)＝2x －a －ax，由题意可得f′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f(x)在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f(x)＝x 2－x －lnx ，令g(x)＝f(x)－35114326x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ ＝33x －232x ＋3x －lnx －116，由g′(x)＝x 2－3x ＋3－1x ＝31x x -－3(x －1)＝()31x x- (x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－33x ＋252x －4x ＋116成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．【答案】（1）30x --=，22(2)4x y -+=（2【解析】 【分析】 （I ）将2ty代入32x t =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离. 详解】解：（I ）将2t y =代入3x =+，整理得30x --=， 所以直线l的普通方程为30x -=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （II ）设A ，B的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得22132422t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得230t +-=，由韦达定理得12t t += 于是1222p t t t +==-. 设()00,P x y ，则0093,412x y ⎧⎛==⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯= ⎪ ⎝⎭⎩则9,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以点P 到原点O 2. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围. 【答案】（1）2(,4][,)3-∞-+∞（2）[4,10]- 【解析】 【分析】（I ）当1m =，不等式为2112x x +--≥，分类讨论，即可求解不等式的解集.（II ）由题意()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]，转化为当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立，即||4x m x -≤+，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】解：（I ）当12x ≤-时，()()2112f x x x x =--+-=--， 由()2f x ≥解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()()()2113f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<； 当1x ≥时，()()()2112f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥.所以()2f x ≥的解集是][2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （II ）∵()213f x x x m x =+--≥-的解集包含[]3,4，∴当[]3,4x ∈时，213x x m x +--≥-恒成立 原式可变为213x x m x +--≥-，即4x m x -≤+，∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[]3,4x ∈上恒成立，显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[]4,10-.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

名师联盟2020届高三上学期入学调研考试卷数学（三）（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则（ ） A ．B ．C ．D ． 3．已知，为第二象限角，则（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设函数，若，（ ） A ．B ．C ．D ．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生．2{|230}A x x x =+-≤{|2}B x =<A B ={|31}x x -≤≤{|01}x x ≤≤{|31}x x -≤<{|10}x x -≤≤12z =+||z z +=12-12--32-32+1sin 4x =x sin2x =316-88±8{}n a 2a 9a 260x x --=56a a ⋅66-1-12sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax+=∈≠(2019)2f -=(2019)f =22-20192019-909019908019801989-801979A ．互联网行业从业人员中后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C ．互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多7．已知实数，满足不等式，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．无最小值8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为和，高为，则该刍童的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知向量，，则“”是为钝角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知为椭圆的左顶点，该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）9020%90809080x y 10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+4-54262003110432718(1,2)a =-(1,)b m =12m <,a b <>A 2229x y +=22221x y a b -=B ABA ．B ．C ．D11．如图，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（ ） A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设某总体是由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体编号为__________．第行 第行14．的展开式中的系数为__________．15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为__________．252(1,1)A --(1,1)B -(1,1)C (1,1)D -2(1)y x =-+2(1)y x =-ABCD 231316123ln 1x x e a x x --≥+(1,)x ∈+∞a (,1]e -∞-2(,2]e -∞-(,2]-∞-(,3]-∞-01021920206136181807924544171658097983861916206765003105523640505266238251(2)2x y -23xy()sin 2f x x x =+()f x (0)ϕϕ>()g x ()g x ϕ16．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有种 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，的对边分别是，，，．（1）求角的大小；（2）为边上的一点，且满足，，锐角三角形的长．18．（12分）如图，在三棱锥中，，，为线段上一点，且，平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．432ABC ∆A B C a b c sin (2)b A a B =B D AB 2CD =4AC =ACD BC P ABC -AC=2AB BC =D AB 3AD DB =PD ⊥ABC PA ABC 45︒PAB ⊥PCD P AC D --19．（12分）某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：10000从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由． （参考数据：，，），20．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．10010060100-2012(80,2)N ()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>120x y -+=(4,0)P l C A B C O AB l k21．（12分）设函数．（1）若是函数的一个极值点，试用表示，并求函数的减区间；（2）若，，证明：当时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）『选修4−4：坐标系与参数方程』在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；2()(,)xx ax b f x a R b R e ++=∈∈1x =-()f x a b ()f x 1a =1b =-0x >1()(21)f x x e ≤-xOyl 322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t xOy O xC ρθ=l C（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求．23．（10分）『选修4-5：不等式选讲』 已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）对任意的，有，求实数的取值范围．——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．『答案』B『解析』，，所以．故选B ．2．『答案』CC l A BP ||||PA PB +()|||31|f x x m x m =----1m =()1f x <x R ∈()(2)f x f ≤m {|31}A x x =-≤≤{|04}B x x =≤<{|01}AB x x =≤≤『解析』因为复数， 所以复数的共轭复数，， 所以，故选C ． 3．『答案』B『解析』因为，为第二象限角， 所以， 所以，故选B ． 4．『答案』B『解析』因为、是方程的两根，所以根据韦达定理可知，因为数列是等比数列，所以，，故选B ．5．『答案』B『解析』因为， 所以，因此函数为奇函数，又，所以． 故选B ． 6．『答案』D122z =+z 12z =-||1z ==13||122z z +=-+=1sin 4x =x cos x ===1sin 22sin cos 2(448x x x ==⨯⨯-=-2a 9a 260x x --=296a a ⋅=-{}n a 5629a a a a ⋅=⋅566a a ⋅=-2sin cos ()x x xf x ax+=22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-()f x (2019)2f -=(2019)(2019)2f f =--=-『解析』A ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，后占了，故A 选项结论正确；B ．由后从事互联网行业岗位分布图可知，技术所占比例为，故B 选项结论正确；C ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，在互联网行业从业者中后明显比前多，故C 选项结论正确；D ．在互联网行业从业者中后与后的比例相差不大，故无法判断其技术岗位的人数是谁多，故D 选项结论不一定正确． 故选D ． 7．『答案』C『解析』绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即，其中取得最小值时， 其几何意义表示直线系在轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为．故选C ． 8．『答案』B『解析』由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为和，高为，9056%9039.65%908090801122y x z=-+z y A 320x y x y +=⎧⎨-=⎩(2,1)A min 2224z x y =+=+=262所以几何体体积． 故选B ． 9．『答案』B『解析』因为，，所以，则，若，则，但当时，，反向，夹角为；所以由不能推出为钝角；反之，若为钝角，则且，即且，能推出；因此，“”是为钝角的必要不充分条件．10．『答案』D『解析』因为直线垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线的方程为， 联立，可得交点，代入椭圆方程整理得，即有11．『答案』B『解析』∵，，，，∴正方形的的面积，1104(436233V =+⨯=(1,2)a =-(1,)b m =12a b m ⋅=-+cos ,||||5a b a b a b ⋅<>==⋅12m <cos ,0||||5a b a b a b ⋅<>==<⋅2m =-a b 180︒12m <,a b <>,a b <>cos ,0a b <><2m ≠-12m <2m ≠-12m <12m <,a b <>AB AB (3)ay x b =+(3)ay x b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222233(,)a ab B a b a b ----224b a =225c a =(1,1)A --(1,1)B -(1,1)C (1,1)D -ABCD 224S =⨯=根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选B ． 12．『答案』D『解析』题意即为对恒成立， 即对恒成立， 从而求，的最小值， 而，故，即．当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．『答案』『解析』由题意，从随机数表第行的第列数字开始，从左到右依次选取两个数字的结果为，，，，，，，故选出来的第个个体编号为． 14．『答案』12231012[1(1)]2()|3S x dx x x =--=-⎰1242[(1)0]2333=--=⨯=41343=3ln 1xa x x e x -≤--(1,)x ∀∈+∞31ln x x e x a x ---≤(1,)x ∀∈+∞31ln x x e x y x ---=(1,)x ∈+∞33ln 3ln 3ln 1xx xx x x e ee e x x ---==≥-+313ln 113ln xx e x x x x x ---≥-+--=-313ln 3ln ln x x e x xx x ----≥=-3ln 0x x -=3ln 0x x -=(1,)+∞3min 1()3ln x x e x x ---=-3a ≤-1913118071716091961920-『解析』由二项式定理可知，展开式的通项为，要求解的展开式中含的项，则，所求系数为．15．『答案』『解析』，将的图像向右平移个单位长度得到，因为函数是偶函数， 所以，，，， 所以，故答案为． 16．『答案』『解析』每个城市投资个项目有种，有一个城市投资个有种，投资方案共种．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为， 所以， 解得，所以，因为，所以，，解得． 5151()(2)2r r rr T C x y -+=-51(2)2x y -23x y 3r =32351()(2)202C -=-512π()sin 22sin(2)3f x x x x π==+()f x (0)ϕϕ>()2sin(22)3g x x πϕ=-+()g x 232k ππϕπ-+=+122k ππϕ=-+k ∈Z (0)ϕ>min 512πϕ=512π6013343C A 2212423C C C 3321243423243660C A C C C +=+=sin (2)b A a B =sin sin sin (2)B A A B =-sin 2B B +=sin()13B π+=(0,)B π∈4(,)333B πππ+∈32B ππ+=6B π=（2）因为锐角三角形所以，因为三角形为锐角三角形，所以， 在三角形中，由余弦定理可得：，所以， 在三角形中，，所以，在三角形中，，解得18．解：（1）因为，， 所以， 所以是直角三角形，；在中，由，，不妨设，由得，，，在中，由余弦定理得，故所以，所以；因为平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为平面，所以与平面所成的角为，即，可得为等腰直角三角形，，ACD 1sin 2AC CD ACD ⋅⋅∠=sin 4ACD ∠=ACD 1cos 4ACD ∠==ACD 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠4AD =ACD sin sin CD ADA ACD=∠sin 8A =ABC sin sin BC ACA B=BC =AC =2AB BC =2222)4AB BC BC =+=ABC ∆AC BC ⊥Rt ABC ∆AC =30CAB ∠=︒1BD =3AD BD =3AD =2BC =AC =ACD ∆222222cos30323cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒=+-⨯⨯︒3=CD =222CD AD AC +=CD AD ⊥PD ⊥ABC CD ⊂ABC PD CD ⊥PDAD D =CD ⊥PAB CD ⊂PCD PAB ⊥PCD PD ⊥ABC PA ABC PAD ∠45PAD ∠=︒PAD ∆PD AD =由（1）得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 则为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，，则由，得，令，则，则为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的余弦值为． 19．解：（1）平均值为：． （2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或，或，，设生产一件产品的利润为元，则，3PD AD ==D DC DB DP x y z (0,0,0)D C (0,3,0)A -(0,0,3)P (0,0,3)DP =ACD (,,)x y z =n PAC (0,3,3)PA =--(3,0,3)PC =-00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 30330z y z -=--=⎪⎩1z =x =1y =-1,1)=-n PAC cos ,5DP <>==n P AC D --5720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(74P x ≤86)0.25x >=(7478P x <≤8286)0.45x <≤=(7882)0.3P x <≤=X (100)0.20.250.40.450.60.30.41P X ==⨯+⨯+⨯=， ，所以生产一件成品的平均利润是元， 所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元． （3），，，，设引入该设备后生产一件成品利润为元，则， ， ，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元， 增加收入万元， 综上，应该引入该设备．20．解：（1）由可得，又，∴，．故椭圆的方程为．（2）由题意知直线方程为．联立，得． 由，得．①(60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=30374μσ-=78μσ-=82μσ+=386μσ+=Y (100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=(60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=55.255.23020 5.2--=12c e a ==2243a b=b ==24a =23b =22143x y +=l (4)y k x =-22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(43)3264120k x k x k +-+-=2222(32)4(43)(6412)0Δk k k =--+->214k <设，，则，． ∴．当原点在以线段为直径的圆内时，∴，②．由①②，解得．∴当原点在以线段为直径的圆内时，直线的斜率．21．『解：（1）由，有，得．此时有．由是函数的一个极值点，可知，得．①当，即时，令，得或，函数的减区间为，．②当时，函数的减区间为，．（2）由题意有，要证，只要证：令11(,)A x y 22(,)B x y 21223243k x x k +=+2122641243k x x k -=+22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++O AB 22212121212(1)4()16OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=+-++2222222264123287(1)416250434343k k k k k k k k -=+-⋅+=-<+++k <<O ABl (55k ∈-222(2)()(2)()x x xx x a e x ax b e x a x a bf x e e +-++-+-+-'==(1)(12)0f a a b e '-=-+-+-=23b a =-22(2)(23)(2)3()xx x a x a a x a x a f x e e -+-+---+--+'==(1)[(3)][(1)][(3)]x x x x a x x a e e ++-----=-=-1x =-()f x 31a -≠-4a ≠31a ->-4a <()0f x '<3x a >-1x <-()f x (,1)-∞-(3,)a -+∞4a >()f x (,3)a -∞-(1,)-+∞21()xx x f x e +-=1()(21)(0)f x x x e ≤->2(21)(1)0(0)x x e e x x x --+-≥>2()(21)(1)(0)x g x x e e x x x =--+->有．则函数的增区间为，减区间为，则．故不等式成立．22．解：（1）由直线的参数方程（为参数）得直线的普通方程为．由，得， 即圆的直角坐标方程为． （2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即， 由于， 故可设，是上述方程的两个实根，所以．又直线过点，故23．解：（1），所以或或． 解之得不等式的解集为．（2）当，时，由题得必须在的右边或者重合，()(21)(21)(21)()x x g x x e e x x e e '=+-+=+-()g x (1,)+∞(0,1)min ()(1)0g x g ==1()(21)f x x e ≤-l 322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t l 3y x =-++ρθ=220x y +-=C 22(5x y +=l C 22(3)()522-+=240t -+=2440Δ=-⨯>1t 2t 12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩l P 1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=()|1||4|1f x x x =---<11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩4141x x x >⎧⎨--+<⎩()1f x <(,3)-∞31m m +>12m >-231m +31m +所以；∴，所以；当，时，不等式恒成立；当，时，由题得必须在的左边或者与重合， 由题得，，所以没有解．综上，． 231m ≥+13m ≤1123m -<≤31m m +=12m =-31m m +<12m <-231m +31m +231m ≤+13m ≥m 1123m -≤≤。

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷文 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,2,1{=M ，}2|{≤=x x N ，故M N 等于( )A ．}1{B ．}5{C ．{1,2}D ．{2,5}2．若复数(1)(2)z i i =+-，则复数z 的虚部是( ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ) A ．12B ．16C ．112 D ．134．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取1.732)≈，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为()A ．134B ．67C ．182D ．1085．已知(0,)x π∈，则()cos2sin f x x x =+的值域为( ) A ．9(0,]8B ．[0,1)C ．(0,1)D ．9[0,]86．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a =，3520a a +=，则4=S ( ) A ．16B ．16-C ．15D ．15-7．设x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是( )A ．22-B ．13-C ．10-D ．20-8．函数cos y x x =+的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S 的值是()A ．910B ．1011C ．1112D ．92210．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若椭圆的离心率1e =垂直于x 轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．BCD11．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，则实数a 的值为( ) A ．11e-B ．1e -C ．211e- D ．21e -12．已知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-．设3()2a f =，3(log 7)b f =，3(0.8)c f =-，则( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(1,1)=a ，(2,)m =b ，()⊥-a a b ，则||=b ．14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为 ．15．已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则||4||FA FB +的最小值是 ．16．《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”．若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：h ）的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，23B π∠=，AB =，ABC S ∆． （1）求ACB ∠的大小； （2）若,4BC CD ADC π⊥∠=，求AD 的长．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥， 12AB BC AP AD ===，90APD BAD ∠=∠=︒． （1）证明：PD PB ⊥；（2）设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ∆的面积为，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）已知函数21()1xax x f x e +-=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，0()1f x ≤≤，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||||(0f x x a x b a =-++>，0)b >． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x >+； （2）若()f x 的值域为[2,)+∞，求11111a b +≥++．2020届高三入学调研考试卷文 科 数 学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】214．【答案】21432n n a n n n +=⎧=⎨-≥∈⎩N 且 15．【答案】18 16．【答案】π41三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）0.1m =；（2）5.08．【解析】（1）由频率分布直方图得：0.0620.0820.2220.0621m ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.1m =．（2）学生的平均学习时间为：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．【答案】（1）6π；（2【解析】（1）在ABC ∆中，1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅，∴由题意可得：12sin 23BC π⨯∴BC =AB BC ∴=，又23B π∠=，6ACB π∴∠=．（2）BC CD ⊥，3ACD π∴∠=，由余弦定理可得：22222212cos 2()932AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+--=， 3AC ∴=，∴在ACD ∆中，由正弦定理可得：3sinsin 3sin sin 4AC ACD AD ADC ππ⨯⋅∠==∠．19．【答案】（1）见解析；（2）【解析】证明：（1）90BAD ∠=︒，BA AD ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面PAD ，交线为AD ，BA ∴⊥平面PAD ，从而BA PD ⊥，90APD ∠=︒，AP PD ∴⊥，BA AP A ⋂=，PD ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，PD PB ∴⊥．（2）设2AD m =，则AB BC AP m ===，PD =，由（1）知BA ⊥平面PAD ，BA AP ∴⊥，BP ， 取AD 中点F ，连结CF ，PF ，则CF BA ∥，CF m =， 且由（1）知BA ⊥平面PAD ，CF ∴⊥平面PAD ，CF PF ∴⊥， 12PF AD m ==，PC ∴==， 13PM PC =，23CM CP ∴=，∴2221332MBC PBC S S BC ∆∆==⨯，2=，解得2m =， 在PAD ∆中，P 到AD的距离AP PD h AD ⋅==， P ∴到平面ABCD 的距离H h =∴四棱锥P ABCD -的体积111(24)2332P ABCD ABCD V S H -=⋅=⨯⨯+⨯20．【答案】（1）见解析；（2）211[,]44e +--． 【解析】解：（1）(1)(2)()xax x f x e +-'=-，①当0a >时，1()(2)()x a x x af x e+-'=-， 令()0f x '=，解得：11x a=-，22x =，且12x x <，当1(,)(2,)x a∈-∞-⋃+∞时，()0f x '<， 当1(,2)x a∈-时，()0f x '>，故()f x 在1(,2)a-单调递增，在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递减，②当0a =时，2()xx f x e -'=-， 故()f x 在(,2)-∞单调递增，在(2,)+∞单调递减，③当102a -<<时，令()0f x '=，解得：12x =，21x a =-且12x x <，故()f x 在(,2)-∞，1(,)a -+∞单调递增，在1(2,)a -单调递减，④当12a =-时，2(2)()02x x f x e -'=…，故()f x 在R 单调递增， ⑤当12a <-时，11x a=-，22x =且12x x <，故()f x 在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递增，在1(,2)a-单调递减．（2）由(0)0f =及（1）知： ①0a ≥时，241(2)11a f e +=+>，不合题意； ②102a -<<时，a 需满足条件：极大值()241211a f e +=+≤，解得14a ≤-，极小值121()110a f e e a --=->->恒成立，当1x a>-时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即14a ≤-，故1124a -<≤-；③12a =-时，()f x 在[0，)+∞递增，()(0)0f x f ≥=，2(1)1()112xx f x e -+=-+<， 故12a =-；④12a <-时，极大值11()11a f e a-=-<恒成立，极小值241(2)10a f e +=+≥，解得214e a +≥-， 当2x >时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即14a ≤-，故21142e a +-≤<-， 综上，a 的范围是211[,]44e +--． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）当直线的斜率存在时，设直线(1)y k x =-，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880Δk =+>，∴22412A B k x x k +=+，222212A B k x x k -=+，假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅为定值，∴20000(,)(,)()A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++--222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++ 2220002(241)(2)12x x k x k-++-=+． 要使EA EB ⋅为定值，则EA EB ⋅的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-， 解得054x =，此时716EA EB ⋅=-为定值，定点为5(,0)4．当直线的斜率不存在时，A，(1,B，1(4EA =，1(,4EB =，117(4416EA EB ⋅=⨯=-也满足条件．22．【答案】（1）24cos 8sin 160ρραρθ--+=；（2）)4π或(4,)2π．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为：22(2)(4)4x y -+-=， 转换为极坐标方程为：24cos 8sin 160ρραρθ--+=． （2）曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 转换为直角坐标方程为：2240x y y +-=，所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-044)4()2(2222y y x y x ， 整理出公共弦的直线方程为：40x y +-=，故：⎩⎨⎧=-+=-+040422y x y y x ，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎩⎨⎧==40y x ，转换为极坐标为)4π或(4,)2π．23．【答案】（1）{|2x x >或0}x <；（2）见解析． 【解析】（1）当1a b ==时，()|1||1|2f x x x x =-++>+，①当1x <-时，不等式可化为：22x x ->+，即23x <-，故1x <-，②当11x -≤≤时，不等式可化为：22x >+，即0x <，故10x -≤<， ③当1x >时，不等式可化为22x x >+，即2x >，故2x >， 综上，不等式的解集是{|2x x >或0}x <．（2）根据绝对值三角不等式可知()f x x a x b a b =-++≥+，()f x 的值域是[2,)+∞，故2a b +=，114a b +++=， 故1111a b +++11111()411a b a b a b ++++++=+++111(2)411b a a b ++=++++， 当且仅当1111b a a b ++=++，即1a b ==时取等号时，由基本不等式可得11111a b +≥++．。

2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣1，0）C．（﹣2，1）D．[﹣1，1]2．若2??=1﹣i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．已知点A（2，0），动点P（x，y）满足{-??≤??≥??，则|PA|的最小值为（）A．1B．2C．√??D．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3+1的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则104值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．-239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√12），c＝f（√）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C 的准线交于点M ，若→+→=??→，则|AB |的值等于（）A ．34B ．2pC ．3pD ．94??12．已知曲线：??(??)=(????+3)，把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，关于g （x ）有下述四个结论：（1）函数g （x ）在(-1112??，-512??)上是减函数；（2）当，????∈(-3??4，-??12)，且x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），则(??+????)=√32；（3）函数()=??(??-6)+(12??-??6)（其中x ∈（0，2π））的最小值为-3√32．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量→与→满足??→???→=-2，且??→?（??→+2??→）＝5，则|??→|＝．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生50m 女生30n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+d+c+d ．P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2b ＝2ccosA ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且=??√??，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆??：22+??22=??(??＞??＞??)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx+m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD|的最小值．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ√??-||=1．（Ⅰ）求RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P（0，2）与直线l：{=-=??+（m为参数），若直线l与RC心形线交于两点M，N，求|PM||PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|的最小值为m．（I）求m的值；（II）当a+b+c=3时，证明：（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣1，0）C．（﹣2，1）D．[﹣1，1]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0}＝[﹣1，0）．故选：B．2．若2??=1﹣i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由2??=1﹣i，得z=2??1-??=2??(1+??)(1-??)(1+??)=-??+??，故选：D．3．已知点A（2，0），动点P（x，y）满足{-??≤??≥??，则|PA|的最小值为（）A．1B．2C．√??D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P（x，y）满足{-??≤??≥??对应的平面区域，由图象可知点A到直线y＝x的距离最小，此时d=2√2=√??，即|PA|的最小值为√??，故选：C．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3+1的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3(-??)+1-??=-f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ，又f （﹣π）=3(-??)+1-??=2??＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则104值为（）A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=-32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出104．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=-32d ．d ≠0．则104=10??1+10×９2????1+3??=5(-3??+9??)-32??+3??=20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x﹣1，则f （m ）的值为（）A ．2B ．﹣2C ．23D ．-23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13-??）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确．解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误；BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√??，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确．故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x+l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √??12），c ＝f （√）的大小关系正确的是（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√），只要分析清楚3√，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x+l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √??12）＝f （√2）＝f （323√3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√??）＝f （log 33√），因为32＞23所以3＞21.5＞2√??，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√ln 2，所以32＞1.5＞√，所以√ln 3＞2ln 2，所以3√??＞4，所以3√??＞3√??＞4，要分析3√与92大小，只需确定√l n 3与ln 92的大小，也就是√ln 3与2ln3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3-√??ln 3＝（2-√??）ln 3的大小，需分析12-√3与32的大小，而12-√3=2+√??，32=log 23∈（1，2），所以2+√??＞log 23，所以3√＞92，所以3√??＞92＞4，所以log 33√＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ，故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若→+→=??→，则|AB |的值等于（）A ．34??B ．2pC ．3pD ．94??【分析】由→+→=??→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为→+→=??→，可得A 为BM 的中点，则′′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ，|BB ′|＝|BF |＝2t ，故|′｜|′｜=??2??=4??6??，即有t =34p ，所以|AB |＝|AF |+|BF |＝3t ＝3×34p =94p ，故选：D ．12．已知曲线??：??(??)=(????+3)，把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，关于g （x ）有下述四个结论：（1）函数g （x ）在(-1112，-512??)上是减函数；（2）当，????∈(-3??4，-??12)，且x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），则(+????)=√32；（3）函数()=??(??-6)+(12??-??6)（其中x ∈（0，2π））的最小值为-3√32．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g （x ）．由x 的范围求得2x+3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x 1+x 2的值，进一步求出g （x 1+x 2）判断（2）；求出函数m （x ），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C ：f （x ）＝sin （4x+3）．把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝sin （2x+3）．（1）当x ∈(-1112??，-512??)时，2x+3∈(-3??2，-??2)，则g （x ）在(-1112??，-512??)上是减函数，故（1）正确；（2）当x ∈(-3??4，-??12)时，2x +3∈(-7??6，??6)，由2x +??3=-??2，得一条对称轴方程为x =-5??12．又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴??+????=-5??6，则g （x 1+x 2）＝g （-5??6）＝sin （-5??3+??3）＝﹣sin 4??3=√32，故（2）正确；（3）()=??(??-6)+(12??-??6)=sin[2（x -6）+??3]+2sin[2（12??-??6）+??3]＝sin2x+2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x+2cosx ＝2（2cos 2x+cosx ﹣1）＝2（cosx+1）（2cosx ﹣1），令m ′（x ）＝0，解得x=3或x =5??3或x ＝π，可得m （x ）在（0，3），（5??3，2π）上单调递增，在（??3，5??3）上单调递减．∴当x =5??3时f （x ）取得最小值为sin10??3+2sin5??3=-3√32，故（3）正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量→与→满足??→???→=-2，且??→?（??→+2??→）＝5，则|??→|＝3．【分析】→（??→+2→）可整理为|??→|2﹣4＝5，解得即可．解：→（??→+2→）＝|??→|2+2??→→=|??→|2﹣4＝5，解得|??→|2＝9，所以|→|＝3，故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比．解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34，∴q ＞0，且q ≠1，∴{????=181(1-??3)1-??-??=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12．故答案为：12．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是4．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解．解：由双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0），得2-??2??=??，∴a＝b=√??，双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆x2+y2﹣2ym＝0化为x2+（y﹣m）2＝m2，如图：联立{=??+????-=??，解得B（m，m），同理解得A（﹣m，m）．∴几何图形M的面积为12××??=??=，即m＝4（m＞0）．故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为√6??8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案．解：如图，分别取AB，BC，AC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，沿DE，EF，DF，剪开，把三角形DEF作为底面，可得正三棱锥P﹣DEF，则三棱锥P﹣DEF的所有棱长相等，等于1．把P﹣DEF放置在棱长为√22的正方体中，则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)+(√22)??+(√22)??=√64．则该三棱锥外接球的体积为43×(√64)=√68??．，故答案为：√6??8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生6050m女生3060n总计90110200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+d+c+d ．P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60-50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2b ＝2ccosA ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a+2b ＝2ccosA ，将边化为角，得sinA+2sin B ＝2sinCcosA ，再结合A +B+C ＝π与正弦的两角和公式化简可得=-12，由于C ∈（0，π），所以??=2??3；（Ⅱ）△=12=12×??×??×2??3=√??，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinA+2sinB＝2sinCcosA，而sin B＝sin（A+C）＝sinA cosC+cosA sinC，所以sin A+2sinAcosC＝0，又因为sinA≠0，所以=-12，由于C∈（0，π），所以=2??3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√??，所以△=12=12×??×??×2??3=√??，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=??+-??×??×??×2??3=，故??=√．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且=??√??，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC?平面SAD，FD?平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故=√-??=??，=??√??，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13??-13??△-13??△?12=13×??√??(2+42×??-12×??×??-12×??×??×12)=8√33．20．已知椭圆??：22+??22=??(??＞??＞??)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于点C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a，b，然后求出椭圆方程．（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入24+??=??得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，设D（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理设出M，N，利用|CM|＝|DN|，结合y＝kx+m （k＞0）与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，求出CD，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：==√32=√??-??22，2??2=??，所以a＝2，b＝1，则椭圆E的方程为24+??=??；（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入24+??=??得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，设D（x1，y1），C（x2，y2），则??+????=-81+4??2，????????=4??2-41+4??2，又??(-，??)，N（0，m），因|CM|＝|DN|，所以x M﹣x1＝x2﹣x N，即x M+x N＝x1+x2，所以-81+4??2=-??，因为y＝kx+m（k＞0）与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m≠0，又k＞0，则=12，故x1+x2＝﹣2m，????????=-??，因为直线y＝kx+m（k＞0）与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以-√??≤-≤√??，即-√32≤??≤√32，且m≠0，所以||=√??+??|??-????|=√52√(????+????)??-??????=√52√(-)-??(??-??)=√??(??-????)，因为-√32≤??≤√32，且m≠0，所以当=√32或??=-√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x+1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a ＝0，a ＞0及a ＜0三种情况讨论f ′（x ）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于≥1--??+1在x ＞0且0＜a ≤1上恒成立，令??(??)=1--????+1，当x ≥1时，易知只需m ≥0，当0＜x ＜1时，通过放缩思想可知只需(+1)+-1??+≥??，构造函数()=??(??+1)+-1??+??，然后分m ≥2，m ＝1及m ＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝1+alnx +a ＝a （lnx +1）+1，当a ＝0时，f （x ）＝x ﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得＞??-1-??，故函数f （x ）的单调递增区间为(??-1??-??，+∞）；当a ＜0时，由f ′（x ）＞0得＜??＜??-1-??，故函数f（x ）的单调递增区间为(??，??-1??-??)；（Ⅱ）因为g （x ）≥0，则m （x+1）+axlnx +x ﹣1≥0，因为x ＞0，所以≥1--??+1，令??(??)=1--????+1，（i ）当x ≥1时，因为0＜a ≤1，则﹣axlnx ≤0，因此1﹣x ﹣axlnx ≤0，故只需m ≥0；（ii ）当0＜x ＜1时，因为0＜a ≤1，则﹣axlnx ≤﹣xlnx ，所以()≤1--??+1≤??，即(+1)+-1??+??≥??，构造函数??(??)=??(??+1)+-1??+??，则??′(??)=??-??+12，当m ≥2时，p （x ）在（0，1）上递减，p （x ）min ＝p （1）＝2m ＞0；当m ＝1时，p （x ）＝lnx +2，则??(13)=-??+??=-??＜??，不合题意；当m ＝0时，()=-1+??，则??(1??)=-??＜??，不合题意；综上可知，整数m 的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ√??-||=1．（Ⅰ）求RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P（0，2）与直线l：{=-=??+（m为参数），若直线l与RC心形线交于两点M，N，求|PM||PN|的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC心形线的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM||PN|的值．解：（Ⅰ）由ρ√-||=1，得ρ2（1﹣|cosθ|sinθ）＝1，①当θ∈[-2，2]时，①化为ρ2﹣ρ2cosθsinθ＝1，即x2+y2﹣xy＝1（x≥0）；当θ∈（2，3??2）时，①化为ρ2+ρ2cosθsinθ＝1，即x2+y2+xy＝1（x＜0）．综上，RC心形线的直角坐标方程为x2+y2﹣|x|y＝1；（Ⅱ）由直线l：{=-=??+（m为参数），消去参数m，可得4x+3y﹣6＝0．化为{=-35??=??+45??（t为参数），代入x2+y2﹣xy＝1（x≥0），得3725+2225??+??=??．设M、N对应的参数分别为t1，t2，则????=7537．∴|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|的最小值为m．（I）求m的值；（II）当a+b+c=3时，证明：（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m值代入a+b+c=3，得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式证明（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|={-+??，??≤-?? -??+??，-??＜??＜??-??，??≥??，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥163，当且仅当a＝b＝c=13时取等号，∴（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．。

2020届河南省名师联盟高三入学调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合A {1,=2，5}，B {x |x 2}=≤，则A B (⋂= ) A ．{}1 B ．{}5C ．{}1,2D ．{}2,5【答案】C【解析】利用交集的定义求解. 【详解】{}1,2,5M =，{|2}N x x =≤，则{}1,2M N ⋂=，选C .【点睛】本题主要考查集合的运算，属基础题. 2．若()()12z i i =+-，则复数z 的虚部是 A ．1 B ．1-C ．3D ．3-【答案】B【解析】本题首先可以根据复数的运算法则对复数z 进行化简，将复数z 化简为a bi +的形式，再通过复数的虚部的相关概念即可得出结果． 【详解】()()21223z i i i i i =+-=--=--，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的运算法则以及虚部的相关概念，考查计算能力，提高了学生对于复数运算的掌握，是简单题．3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222 422226C Cn AA=⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13mpn==，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．108【答案】B【解析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为132，312-，小正方形的面积231312S⎫==-⎪⎪⎝⎭则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.13450067112⎛⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⨯⎝⎭，【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 5．已知(0,)x π∈，则()cos 2sin f x x x =+的值域为（ ） A ．9(0,]8B ．[0,1)C ．(0,1)D ．9[0,]8【答案】D【解析】根据二倍角余弦公式可得2()12sin sin f x x x =-+，再令sin x t =，将函数化为二次函数的形式，配方即可求解. 【详解】由2()cos 2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+， 设sin x t =，(0,)x π∈Q ，(0,1]t ∴∈，219()2()48g t t ∴=--+，9()[0,]8g t ∴∈，即()cos 2sin f x x x =+的值域为9[0,]8.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的值域、同时考查了二倍角的余弦公式，二次函数配方求最值，解答此题注意换元中自变量的取值范围，属于基础题.6．已知正项等比数列满足：28516a a a =，3520a a +=，则4=S （ ） A ．15 B ．15-C ．16D ．16-【答案】A【解析】将已知条件转化为等比数列的基本量首项1a 和公比q ，根据条件列出方程组，解出1,a q ，再得到答案. 【详解】设等比数列的公比为(),0q q >， 因为28516a a a =，3520a a +=，所以7411124111620a q a q a q a q a q ⎧⋅=⎨+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，故前4项的和4124815S =+++=， 故选A 项. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题.7．设x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是（ ）A ．22-B ．13-C ．10-D ．20-【答案】A【解析】作出约束条件的可行域，利用简单的线性规划即可求解. 【详解】由x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(1,6)A ，化目标函数24z x y =-为124z y x =-， 由图可得，当直线124zy x =-过点(1,6)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域以及理解目标函数表示的几何意义，属于基础题. 8．函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S 的值是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．【详解】由程序框图可知，输入，，，第一次运算：，；第二次运算：，；第三次运算：，；第四次运算：，；第五次运算：，；第六次运算：，；第七次运算：，；第八次运算：，；第九次运算：，；第十次运算：，，综上所述，输出的结果为，故选B．【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．10．已椭圆1C：221122111(0)x ya ba b+=>>和双曲线2C：222222221(0,0)x ya ba b-=>>，若椭圆的离心率13 2e=，椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆焦点的连线垂直于x轴.则双曲线一条渐近线的斜率为()A．3B3C．33D．36【答案】D【解析】利用椭圆以及双曲线的半焦距，求出双曲线的渐近线与椭圆的交点坐标，然后求解双曲线的渐近线的斜率即可．【详解】解：设椭圆的半焦距为c 1，双曲线的半焦距为c 2，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点（c 1，211b a ）， 所以双曲线的渐近线的斜率为：k 222211112111111b b a c e a a c a c e -====-= 故选D ． 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，则实数a 的值为（ ） A ．11e- B ．1e - C ．211e - D ．2e 1-【答案】C【解析】首先求出1()f x a x'=-，设切点横坐标为0x ，根据导数的几何意义可得011a x -=，再由切点在曲线上可得000ln 1x ax x -=+，解方程组即可求解. 【详解】由()ln f x x ax =-，()a R ∈得1()f x a x'=-， 设切点横坐标为0x ，依题意得011a x -=，并且000ln 1x ax x -=+， 解得211a e =-，则实数a 的值为211e-. 故选：C 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及由切线方程求参数值，解题的关键是求出导函数，需熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题. 12．已知()f x 是偶函数，且对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-，设3()2a f =，3(log 7)b f =，3(0.8)c f =-，则（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】由题意得偶函数()f x 在()0,+∞上为增函数，可将问题转化为判断333,log 7,0.82-到y 轴的距离的大小问题求解． 【详解】∵对任意()12,0,x x ∈+∞，()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 在()0,+∞上为增函数． 又函数()f x 为偶函数，∴()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增．又33233333log 3log log 7log 10.802===-<-<， ∴()()333log 70.82f f f ⎛⎫>>- ⎪⎝⎭，即c a b <<． 故选B ． 【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知(1,1)a =r ，(2,)b m =r ，()a a b ⊥-r r r，则||b =r __________.【答案】2【解析】根据向量坐标的线性运算可得(1,1)a b m -=--r r，再根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】(1,1)a b m -=--r r；Q ()a a b ⊥-r r r ，∴()110a a b m ⋅-=-+-=r r r，0m ∴=；∴(2,0)b =r ；∴||2b =r.故答案为：2 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标求法，属于基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．【答案】2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 【解析】由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则4FA FB+的最小值是______． 【答案】18【解析】联立方程组消元，由根与系数的关系得出A ，B 横坐标12x x ＝4，利用抛物线的性质得出|F A |+4|FB |24x =+42x +10，根据基本不等式得出最值． 【详解】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|F A |+4|FB |＝x 1+2+4（2x +2）＝1x +42x +10， 当直线AB 斜率不存在时，|F A |+4|FB |＝2+4×2+10＝20， 当直AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣2）， 代入y 2＝8x 得k 2x 2﹣（4k 2+8）x +4k 2＝0，∴12x x ＝4，∴|F A |+4|FB |24x=+42x +10≥21144x x ⨯+10＝18， 当且仅当x 1＝1时取等号． |F A |+4|FB |的最小值是18． 故答案为18． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查均值不等式，属于中档题． 16．《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为_______.【答案】41π【解析】根据题意可得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x ，从而可得2222255()(1)22R x x =+=++，解方程可得2x =，再利用球的面积公式即可求解. 【详解】由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则2222255()(1))2R x x =+=++，解得2x =， 2414R ∴=，∴该球体的表面积41S π=. 故答案为：41π 【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，需熟记球的表面积公式，属于基础题.三、解答题17．某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）.现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：h ）的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间. 【答案】（1）0.1m =；（2）5.08.【解析】（1）根据频率分布直方图，使小矩形的面积之和等于1即可求解.（2）根据频率分布直方图中平均数=小矩形的面积⨯小矩形底边中点横坐标之和即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得：0.0620.0820.2220.0621m ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.1m =.（2）学生的平均学习时间为：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了补全频率分布直方图、根据频率分布直方图求平均数，属于基础题. 18．如图，在四边形ABCD 中，23B π∠=，3AB =，334ABC S =△.（1）求ACB ∠的大小； （2）若BC CD ⊥，4ADC π∠=，求AD 的长.【答案】（1）6π；（236【解析】（1）在△ABC 中，利用三角形的面积得AB ＝BC ，由23B π∠=，进而利用三角形内角和得∠ACB ；（2）由（1）与已知可求∠ACD ＝3π，在△ABC 中，由余弦定理可得AC ，在△ACD 中，由正弦定理可得AD ． 【详解】（1）在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •BC •sin ∠ABC ，得132BC ⨯⨯⨯sin 23π＝334，∴3BC =，∴AB ＝BC ，又∵2π3B ∠=，∴∠ACB 2326πππ-==； （2）∵BC ⊥CD ，由（1）得∠ACD 263πππ=-=，在△ABC 中， 由余弦定理可得：AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos 23π＝（3）2+（3）2﹣2×1332⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭＝9， ∴AC ＝3，∴在△ACD 中，由正弦定理可得：AD ＝sin sin AC ACD ADC ⋅∠∠＝3sin3sin 4ππ⨯＝362． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC P ，12AB BC AP AD ===，30ADP ∠=︒ 90BAD ∠=︒.(1)证明PD PB ⊥(2)设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ∆27，求四棱锥P ABCD -的体积【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）推导出BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，AP ⊥PD ，从而PD ⊥平面PAB ，由此能证明PD ⊥PB ．（2）设AD ＝2a ，则AB ＝BC ＝AP ＝a ，PD 3=a ，PB PC 2a ==，得ΔPBC 为等腰三角形，利用1PM PC 3=推得ΔPBC 面积，进而求出a ＝2，由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的体积． 【详解】(1) Q 平面ABCD ⊥平面PADBAD=90∠︒，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥，在ΔPAD 中，1AP AD 2=Q ，ADP 30∠=︒， ∴由正弦定理可得： 1sin ADP APD 2∠∠=，APD 90∠∴=︒，∴PD ⊥PA,又PA∩AB=A,∴ PD ⊥平面PAD ，PD PB ∴⊥.(2)取AD 的中点F ，连结CF ，PF ，设AD ＝2a ，则AB ＝BC ＝AP ＝a ，PD 3=a,则PB PC 2a ==，∴ΔPBC 为等腰三角形，且底边BC 上的高为7a 1PM PC 3=Q ，ΔMBC 的面积为273.ΔPBC ∴的面积为7，17a a 722∴⨯=解得：a 2=， ∴四梭锥P ABCD -的体积为()1124232332⨯⨯+⨯⨯= .【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数()211xax x f x e+-=+. （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()01f x ≤≤，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）211,44e ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到a 在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求a 在不同范围时()f x 的单调区间，得到()f x 的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得a 的取值范围. 【详解】 （1）()()()12xax x f x e '+-=-①当0a >时，()()12xa x x a f x e ⎛'⎫+- ⎪⎝⎭=- 令()0f x '=，解得11x a=-，22x =，且12x x < 当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()2,+∞；②当0a =时，()2xx f x e =-'- 所以，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞； ③当102a -<<时，令()0f x '=，解得12x =，21x a =-，并且12x x <当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当12,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当12a =-时，()()2202x x f x e'-=≥，所以()f x 的单调递增区间是(),-∞+∞⑤当12a <-时，令()0f x '=，解得11x a =-，22x =，且12x x < 当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以，()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()2,+∞（2）由()00f =及（1）知， ①当0a ≥时，()241211a f e+=+>，不恒成立，因此不合题意； ②当102a -<<时，a 需满足下列三个条件： ⑴极大值：()241211a f e +=+≤，得14a -≤ ⑵极小值：121110a f e e a -⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭⑶当1x a>-时，()1f x ≤ 当12x a >->时，210ax x +-≤，221111124a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭，故14a -≤所以1124a -<≤-； ③当12a =-时，()f x 在[)0,+∞单调递增，()()00f x f ≥= ()()22111121112x xx x x f x e e -+--+=+=-+< 所以12a =-； ④当12a <-时， 极大值：1111a f e a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭极小值：()241210a f e +=+≥ 由②中⑶知()1f x ≤，解得214e a +≥- 所以21142e a +-≤<-综上所述，a 的取值范围是211,44e ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查利用导数讨论含有参数的函数的单调性问题以及导数恒成立问题，难点在于需要根据a 的不同范围，准确得到函数的单调性.讨论含有参数的函数单调性，通常结合二次函数图像确定二次函数的符号，主要从以下三个角度考虑：①开口方向；②判别式；③根的大小关系.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆C 的长轴为直径的圆与直线20x y ++=相切，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得结果；(2) 设直线()()10y k x k =-≠联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>. 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得()()2220002241212x x k x EA EB k-++-⋅==+u u u v u u u v，要使EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值，则EA EB ⋅u u u v u u u v 的值与k 无关，所以()2200024122x x x -+=-，从而可得结果.详解：（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C 的方程是2212x y +=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k =-≠联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。

2020届湖北省名师联盟高三第三次调研考试数学（文科）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}2|20B x x x =->，则A B ⋂=（ ）A. {}3B. {}2,3C. {}1,3-D. {}0,1,2 2.下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件C. 扇形的周长为4，则当其圆心角的弧度数为2时，其面积最大。

D. 若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角的弧度数为8或1/2 3. i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限 4. 化简tan 20+tan 40+tan120=tan 20tan 40（ ）A. C. -1 D.15.函数()21xy x e =-的图象是（ ）A. B. C. D.6.已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b >>B. b c a >>C.b a c >>D. a b c >> 7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ） A. 0 B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）9.为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x = 的图像（ ） A. 向左平移512π个长度单位B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位 10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ内没有最值，则ω的取值范围是（ ）A. 1120,,1243⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B. 1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A.1ln 22+ B. 2e - C. 1ln 22- D. 12二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若1sin cos ,(0,)5βββπ+=∈，则tan _____β= 14. cos10-3sin10= .15. 已知双曲线C ：-=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为______．16.已知函数1()()23xf x kx e x =+- ，若)0f x <（的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，依据关键步骤判分） 17.已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.18.函数()()sin 10,06f x A x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式和当[]0,x π∈时()f x 的单调减区间； (Ⅱ)()f x 的图象向右平行移动12π个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到 ()g x 的图象,用“五点法”作出()g x 在[]0,π内的大致图象.19.已知11sin(2)cos()cos()cos()22()9cos()sin(3)sin()sin()2f πππαπααααππαπαπαα-++-=----+（1）化简()f α（2）若α为第二象限角，且4()3f α=-，求cos(2)3a π+20.已知函数()2xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程；(2)若函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围.21.已知函数()()ln af x x x a R x=++∈. (1)若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；(2)若函数()()()21g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.(二)选考题：共10分。