湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.1不等关系与不等式导学案(含解析)新人教版必修5

201７－2018学年高中数学第三章不等式3.1.１不等关系与不等式同步导学案新人教Ｂ版必修５编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-201８学年高中数学第三章不等式 3.1．1 不等关系与不等式同步导学案新人教B版必修５）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2017-2018学年高中数学第三章不等式３.1.１不等关系与不等式同步导学案新人教Ｂ版必修5的全部内容。

不等关系与不等式学案学习目标⒈了解不等式的概念，掌握比较实数大小的方法；⒉培养学生数形结合能力和运算能力;⒊通过实际情境的设置,培养学生对客观世界的认知能力。

合作探究1.人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船的飞行速度(记作ｖkm／s）应该不小于第一宇宙速度（记作v１km/s)，且小于第二宇宙速度(记作v2kｍ/s)。

v，v1,ｖ2的关系用数学符号可怎样表示?2.某人为自己制定的月支出计划中,规定手机电话费不超过150元,他所选用的中国电信卡的收费标准为:月租费３0元，每分钟通话费０．40元。

求这个人每月通话时间（记为x小时）的取值范围,请列出式子。

通过上面的两个问题，我们能得到什么启示？我们用哪些符号表示数与代数式之间的关系呢?可举几个例子？一、不等式的定义:二、实数大小比较的方法的依据是什么？实数集与数轴上的点集可以建立一一对应关系,数轴上的点是有次序排列的数轴上一个动点,沿着数轴的正方向运动时,它所对应的实数越来越大。

数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边对应的实数之间的关系怎样?结论一:在数轴上，表示实数a 和ｂ的两个点分别为Ａ和B,则点A 和点B 在数轴上的位置关系如何?实数a 和b 是否也有类似的结论?结论二:三、比较两个实数大小的方法当我们没有度量工具时，要确定甲乙两个同学身高之间的不等关系，应怎样?那么,在数学中如何比较两个数的大小呢?结论:例1比较22--x x x 和的大小。

3.1 不等式的基本性质(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言2(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，即a－b<0⇔a<b．3．不等式的基本性质性质1: 若a>b，则b<a；(自反性)，a>b⇔b<a．性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性)性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)性质7：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N*)．(拓展)提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ac>bc，则a>b．( )(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d．( )(3)若a >b ，则1a <1b．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知a 1，a 2∈()0，1，记M ＝a 1a 2, N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定B [由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝()a 1－1()a 2－1>0，故M >N ．故选B ．]3．若x ＞y ，且x ＋y ＝2，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜y 2B ．1x ＜1yC ．x 2＞1D ．y 2＜1C [因为x ＞y ，且x ＋y ＝2，所以2x ＞x ＋y ＝2，即x ＞1，则x 2＞1，故选C ．]利用不等式的性质判断和解不等式①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2；④若a <b <0，则a b >ba．其中正确命题的序号是 ．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由．(1)②④ [对于①∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2，∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2．又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >ba，④正确．所以正确答案的序号是②④．](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ， 当a >0时，不等式两边同时除以a 得 x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得 x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ．1．利用不等式判断正误的两种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＜b 2＜c 2B ．ab 2＜cb 2C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，故选C ．]2．若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，则不等式bx －a >0的解集为 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．]利用不等式的性质比较代数式的大小[探究问题]1．如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？[提示] 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立．2．若a >b ，则ab >1吗？反之呢？[提示] 若a >b ，当b <0时，ab<1，即a >bab >1；若a b >1，则a b －1>0，即a －b b>0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即a b >1a >b ，反之也不成立．【例2】 已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨] 作差―→因式分解――→x <1判号―→下结论[解] x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0，又∵⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x ．1．(变条件)本例条件“x <1”变为“x ≥1”，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解] x 3－1－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x ≥1，∴x －1≥0，又⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0， ∴x 3－1≥2x 2－2x ．2．(变题)已知：a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b 的大小．[解](作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －1a ＋b＝ab ＋b 2＋a 2＋ab －abab a ＋b＝a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b， 因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b同为正数，所以1a ＋1b1a ＋b ＝a ＋b2ab ，所以a ＋b 2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab>0，即a ＋b 2ab>1，因为1a ＋b >0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b >1，所以1a ＋1b >1a ＋b．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1．[跟进训练]3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ． 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a ．故选A ．] 4．已知a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2，当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2， 当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2．证明不等式【例3】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ． (2)已知a > b >0, m >0，求证：b a <b ＋ma ＋m．[证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc ． ∴－ac <－bc ，∵f <e ，∴f －ac <e －bc ．(2)(作差法)因为a > b >0, m >0，所以b －a <0，a ＋m >0，所以b a －b ＋m a ＋m ＝b a ＋m －a b ＋m a a ＋m ＝m b －a a a ＋m <0，所以b a <b ＋m a ＋m；(不等式的性质)因为a > b >0, m >0， 所以am > bm, a ＋m >0，ab >0，所以am ＋ab >ab ＋bm ，即a (b ＋m )>b (a ＋m )，所以b a <b ＋m a ＋m．1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．作差法也可以应用于证明不等式．3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b 克的a 克糖水中放入m 克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．[跟进训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋d d．[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0，∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd ． 6．已知a >b >m >0，求证：a b <a －m b －m．[证明] (作差法)因为a >b >m >0， 所以b －a <0，b －m >0，所以a b －a －m b －m ＝a b －m －b a －m b b －m ＝m b －a b b －m <0，所以a b <a －m b －m；(不等式的性质)因为a >b >m >0，所以am >bm ，b －m >0， 所以－bm >－am ，所以ab －bm >ab －am ，即b (a －m )>a (b －m )，所以a b <a －m b －m．不算式性质的应用[思路点拨] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解．[解]∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24，∴8<2a＋3b<32．∵2<b<8，∴－8<－b<－2，又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2，故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2．即2a＋3b的取值范围为(8,32)，a－b的取值范围为(－7,2)．相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2，α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14．两式相加得－12<α＋β2<12．∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13．又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0．8．已知－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的范围．[解]令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13y －x ，c ＝13y －4x ，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，②①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20，∴－1≤9a －c ≤20．1．作差法比较大小的三个步骤作差、变形、定号，概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值范围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－bB [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B ．]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( )A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤bC[a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b．]3．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是．(－π，2π)[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) ．(在横线上填甲或乙即可)乙[由题意得甲购买产品的平均单价为3a＋3b6＝a＋b2，乙购买产品的平均单价为2010a＋10b＝2aba＋b，由条件得a≠b．∵a＋b2－2aba＋b＝a－b22a＋b>0，∴a＋b2>2aba＋b，即乙的购买方式更优惠．]5．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea－c2>e(b－d)2．[证明]∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即1a－c2<1(b－d)2．又e<0，∴ea－c2>e(b－d)2．。

§3.1 不等关系与不等式 课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立．(2)符号表示a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质(1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a >n b .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>ab >aC.a b >a >ab 2 D.ab >ab 2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n. ∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小． 解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．。

§不等式与不等关系【教课目的】1．知识与技术：经过详细情形，感觉在现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，理解不等式（组）的实质背景，掌握不等式的基天性质；2．过程与方法：经过解决详细问题，学会依照详细问题的实质背景剖析问题、解决问题的方法；3．神态与价值：经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯。

【教课要点】用不等式（组）表示实质问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）关于刻画不等关系的意义和价值。

【教课难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教课过程】1.课题导入在现实世界和平时生活中，既有相等关系，又存在着大批的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还常常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超出或许多于等来描绘某种客观事物在数目上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下边我们第一来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.解说新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前面路段行驶时，应使汽车的速度v不超出40km/h，写成不等式就是：v 40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应许多于%，蛋白质的含量 p应许多于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%p2.3%问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的随意一点，则 d |AB|。

问题2：某种杂志原以每本元的价钱销售，能够售出 8万本。

据市场检查，若单价每提升元，销售量便可能相应减少2000本。

若把抬价后杂志的订价设为x元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢解：设杂志社的订价为x元，则销售的总收入为 (8 x0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式(8 x0.2)x 20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。

3.1 不等关系与不等式（2）【学习目标】1. 掌握不等式的基本性质；2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；3. 会将一些基本性质结合起来应用.【重点难点】1．重点:不等式的基本性质。

2．难点:不等式性质的应用。

【学习过程】一、自主学习：任务1:设点A 与平面α之间的距离为d ，B 为平面α上任意一点，则点A 与平面α的距离小于或等于A 、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.任务2: 回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c >>⇒（2）____a b a c b c >⇒++（3）,0____a b c ac bc >>⇒（4）,0____a b c ac bc ><⇒二、合作探究归纳展示探究1：问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1;.n n n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>三、讨论交流点拨提升例1 比较大小：（1）2(32)+ 626+；（2）2(32)- 2(61)-；（3）152- 165-；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.例2 已知0,0,a b c >><求证cca b >.变式： 已知0a b >>，0c d >>，求证：abd c >.例3已知1260,1536,aa b a b b <<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.四、学能展示课堂闯关知识拓展“作差法”、“作商法”比较两个实数的大小（1）作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论（2）作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）.A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2π- B ．[,0]2π- C ．(,0]2π- D ．[,0)2π- 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b <，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .五、学后反思本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.【课后作业】1. 比较51125+与1237+的大小.2.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入”．。

一、教材分析1、教材所处地位、作用本节课是高中新课程人教B版必修5第三章第一节第一课时的内容.本节的内容是继学习等量关系之后，在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。

不等关系在现实世界与日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用，它是学习不等式性质及解法的基础，又是构造方程、不等式与函数的基石；因此本节具有重要的奠基作用.不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系，在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的基础地位。

而本节课是不等式的起始课，学好本节课是学习本章的基础。

通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.2、教学目标根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标：知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。

过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法，掌握作差比较法。

情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯. 3、重点与难点根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是：教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，初步掌握作差比较法。

而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。

二、学情分析教学应走在学生发展的前面，教学创造着最近发展区，对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。

所以我对学生的学情作了如下分析第一，初中已学过简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力．第四，因式分解和配方法还不够熟练。

3.1 不等关系与不等式（导学案）一、学习目标1、了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.2、通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；二、本节重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

三、本节难点用不等式（组）正确表示出不等关系。

四、知识储备“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质①用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有22≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0等.x x00②“作差法”的一般步骤是：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.③常用的不等式的基本性质五、通过预习掌握的知识点实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式。

例如：a>b ，c>d ，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：六、知识运用①.比较233x x +与的大小，其中x R ∈.②.比较当0a ∉时，2222(1)(1)(1)(1)a a a a a a ++++-+与的大小. ③.设实数,,a b c 满足22643,44,,,b c a a c b a a a b c +=-+-=-+则的大小关系是_____________.④.配制,A B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B 药需甲料5毫克，乙料4毫克。

今有甲料20毫克，乙料25毫克，若,A B 两种药至少各配一剂，则,A B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.七、重点概念总结1．两个实数a 与b 之间的大小关系2．不等式的性质(4) (乘法单调性)。

备课资料 备用习题 1.已知x ＞y ＞z ＞0，求证：z
x z y x y --＞. 分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.
证明：∵x＞y,∴x -y ＞0.∴01＞y
x -. 又y ＞z,∴y
x z y x y --＞.① ∵y＞z,∴-y ＜-z.∴x -y ＜x-z.
∴0＜x-y ＜x-z.∴z x y x --11＞. 又z ＞0,∴z
x z y x z --＞.② 由①②得z
x z y x z --＞. 小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下.
2.试判断下列各对整式的大小：(1)m 2-2m+5和－2m+5；(2)a 2
-4a +3和－4a +1.
点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法： 若A －B ＞0，则A ＞B ；若A －B =0，则A =B ；若A －B ＜0，则A ＜B .
这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法. 解：(1)∵（m 2-2m+5）-(-2m+5)
=m 2-2m+5+2m-5
=m 2，
∵m 2≥0，∴(m 2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1
=a2+2,
∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0.∴a2-4a+3＞-4a+1.。

不等关系与不等式导学案文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]不等关系与不等式导学案命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐学习目标：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．学习重点：比较两实数大小．学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号学法指导：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系知识链接：在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.自主学习：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。

2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b 是零，则a＝b.问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0，反之亦然a >b ?a －b >0 a <b ?a －b <0 a ＝b ?a －b ＝01．上面的“?”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“?”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.不等式的基本性质问题1：若a 提示：正确．∵a >b ，b >c ，∴a －b >0，b －c >0. ∴(a －b )＋(b －c )>0.即a －c >0.∴a >c .问题2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a ＞b ，∴a －b ＞0，∴a ＋c －b －c ＞0 即a ＋c ＞b ＋c .问题3：若a ＞b ，则ac ＞bc ，对吗？试举例说明．提示：不一定正确，若a ＝2，b ＝1，c ＝2正确．c ＝－2时不正确．不等式的性质(1)对称性：a >b ?b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ?a >c ； (3)可加性：a >b ?a ＋c >b ＋c . 推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ?a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：⎭⎬⎫a >bc >0?ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0?ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0?ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0?a n>b n(n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0?n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 合作探究：某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N .用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ， 则v ≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.(1)x 2＋3与2x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． (1)(x 2＋3)－2x ＝x 2－2x ＋3 ＝()x －12＋2≥2＞0， ∴x 2＋3＞2x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．2．比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：a－c ＞b－d.∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜1a－c＜1b－d，又∵e＜0，∴ea－c ＞eb－d.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.证明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.∴－ap＜－bp，又m＞n，即n＜m.∴n－ap＜m－bp.已知1＜a＜4,2＜b＜8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．【探究一】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．在本例条件下，求ab的取值范围．∵2＜b＜8，∴18＜1b＜12，而1＜a＜4，∴1×18＜a·1b＜4×12，即18＜ab＜2.故ab 的取值范围是(18，2)．不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求ab的取值范围．解：因－6＜a＜8,2＜b＜3.∴13＜1b＜12，(1)当0≤a＜8时，0≤ab＜4；(2)当－6＜a＜0时，－3＜ab＜0.由(1)(2)得：－3＜ab＜4.利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23，所以－113≤a＋3b≤1.(注：本题可以利用本章第三节内容求解)1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：选 D 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5.3．如果a＞b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0.答案：c－2b4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10，又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18.答案：(－10,18)5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，试比较1a，1b，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1＞0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.(2)∵－1＜a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴a2＞b2＞0.∵a＜b＜0，∴a·1ab＜b·1ab＜0，即0＞1a＞1b，∴a2＞b2＞1a＞1b.一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关解析：选A M－N＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34＞0.∴M＞N.2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380， z 超过45即z >45.3．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，56πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56πC.()0，πD ．⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π. 5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.二、填空题6．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞7．已知|a|＜1，则11＋a与1－a的大小关系为________．解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.∴1＋a＞0,1－a＞0.即11＋a 1－a ＝1 1－a2∵0＜1－a2≤1，∴11－a2≥1，∴11＋a≥1－a.答案：11＋a≥1－a8．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330， 当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元． 答案：20 330 三、解答题9．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h ；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h ；生产每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t ．试根据这些数据预测明年的产量．解：设明年的产量为x 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ≤200×2 100x ≥80 0000.02x ≤600＋1 200，解得80 000≤x ≤90 000.预计明年的产量在80 000到90 000袋之间． 10．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于ba－ab＝b2－a2ab＝?b＋a??b－a?ab，∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴?b＋a??b－a?ab＜0，故ba＜ab.(2)∵1a＜1b，∴1a －1b＜0，即b－aab＜0，而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.。

不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。

2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。

3．了解不等式或不等式组的实际背景。

4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。

【重点难点】重点:１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。

２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

难点:1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】【教学反思】(【设计说明】)本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。

设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。

【交流评析】一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。

三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。

四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。

某某：李春霞学校：四十七中联系方式26918825--5219时间2007-11月。