上海市2018-2019学年奉贤中学高二上学期数学期中考试(无答案)

上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。

上海市高二上学期期中考试数学试卷一、填空题 1. 已知0120A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2A B +=________. 2. 若{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则7a =________. 3. 设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若533a a =，则64S S =________. 4. 行列式101213131---中元素3的代数余子式的值为________. 5. 已知0120A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1801B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =________.6. 在无穷等比数列{}n a 中，若()121lim 3n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围为_________.7. 若数列{}n a 满足，111nn na a a ++=-，12a =，则数列{}n a 前2022项的积等于________. 8.已知数列(){}2log 1na -为等差数列，且13a =，25a =，则21321111lim n n n a a a a a a →∞+⎛⎫+++= ⎪---⎝⎭________. 9. 已知数列{}n a 的通项公式是231n n a n +=+，若n N >时，恒有12100n a -<成立，则正整数N 的最小值为_________.10. 已知函数()1x f x x=+，在7行7列的矩阵111213172122232771727377a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭中，ij i a f j ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则这个矩阵中所有数之和为_________.11. 等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈，且21526a a =，则使1212111n na a a a a a +++>+++成立的正整数n 的取值范围为_________.12. 已知数列{}n a 满足：12a =，{}()*112,,,n n n a a a a a n N +-∈∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的列数{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 二、选择题13. 已知列数{}n a 为等比数列，则“公比1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ） A. 192里B. 96里C. 48里D. 24里15. 用数学归纳法证明不等式：111131214n n n n +++>+++，从k 到1k +，不等式左边需要（ ） A. 增加一项12(1)k +B. 增加两项121k +、12(1)k + C. 增加12(1)k +，且减少一项11k +D. 增加121k +、12(1)k +，且减少一项11k + 16. 已知集合{}0,2M =，无穷数列{}n a 满足n a M ∈，设310012231003333a a a a t =++++，则实数t 一定不属于（ ） A. [)0,1 B. (]0,1C. 12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17. 已知关于x 、y 的二元一次方程组()211ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=+⎩.（1）写出系数矩阵和增广矩阵； （2）讨论解的情况.18. 如图，1P 是一块直径为2的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形3P ，4P ，…，n P ，…，记纸板n P 的面积和周长分别为n S 、n L ，求：（1）lim n n S →∞；（2）lim n n L →∞.19. 我们要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积S ，可用x 轴上的分点0、1n、2n 、…、1n n-、1将区间[]0,1成n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线2y x =上，这么矩形的高分别为0、21n ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22n ⎛⎫ ⎪⎝⎭、…、21n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭、1，矩形的底边长都是1n ，设所有这些矩形面积的总和为n S ，就无限趋近于S ，即lim n n S S →∞=.（1）求数列n S 的通项公式，并求出已知S ； （可以利用公式2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）（2）利用上述方法，探求有函数xy e =、x 轴、y 轴以及直线1x =和所围成的区域的面积T .（可以利用公式：1lim 11n n n e →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭）20. 在列数{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成2m 为公差的等差数列. （1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n nn S a a a =+++，试问当n →∞时，数列{}2n S n -是否在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.21. 给正有理数i i m n 、j jm n （i j ≠，*,i j N ∈，*,,,i i j j m n m n N ∈，且i j m m =和i j n n =不同时成立），按以下规则排列：①若i i j j m n m n +<+，，则i i m n 排在j jm n 前面；②若i i j j m n m n =++，且i j n n <，则i i mn 排在j jm n 的前面，按此规则排列得到数列{}n a （例如11，21，12）. （1）依次写出数列{}n a 的前8项；（2）对数列{}n a 中小于1的各项，按以下规则排在前面：①各项不做约分运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{}n b ，求数列{}n b 的前10项的和10S ，前2021项的和2021S ；（3）对数列{}n a 中所有整数项，由小到大取前2021个互不相等的整数项构成集合{}1232021,,,A c c c c =，A 的子集B 满足：对任意的,x y B ∈，有x y B +∉，求集合B 中元素个数的最大值.参考答案一、填空题 1. 1441⎛⎫⎪⎝⎭ 2.15 3. 92 4.3 5. 01216⎛⎫⎪⎝⎭6. 1120,,333⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 7. -6 8. 1 9. 99 10. 49211. {}1,2,3,4,5,6 12. 1078 二、选择题13. D 14. B 15. D 16. C 三、解答题 17.（1）系数矩阵11a a ⎛⎫⎪⎝⎭，增广矩阵12111a a a a +⎛⎫ ⎪+⎝⎭； （2）1a =±，无解；1a ≠±，有唯一解22211a x a -=-，2211a a y a --=-. 18.（1）3π；（2）2π. 19.（1）2(1)(21)6n n n S n ++=，13S =；（2）1e -. 20.（1）证明略；（2）22122n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数；（3）存在，极限为12.21.（1）11，21，12，31，22，13，41，32；（2）105S =，20213100813S =；（3）1011.。

奉贤中学2018学年第一学期高二第一次阶段练习（数学学科）2018.10、填空题（4*6+5*6=54 ）1已知A 1, -2 , B -1,3若AC 二3BC ，则C 的坐标是 _________________2已知A0,k ,B 1,2,C 3,4，三点共线，则k - _____________________3已知a 二2,-4 ,b 二1,2，贝U a 在b 的投影是 ____________________4 5 x4若行列式1 x 3 （x H 1 ）中，元素1的代数余子式大于 0,则x 满足的条件是 _________________7 8 95若a=b=a+b ，贝y a 与b 的夹角为 ___________________6 已知向量 a = 4,2 ,b = 1,-2 ,若ma • nb = 9,-8 , m, n ・ r ，则 m - n 的值为 _____________8 已知 a = (coso,sin 。

)b =(cos 卩,sin P )，若 a — b = J2,贝 9在平行四边形 ABCD 中，AC ・AD 二AC ・BD =3,则线段AC 的长为 ___________________2 兀——p 10在边长为1的菱形ABCD 中，• A,若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD 的最3 大值为 __________________ 11 已知也 ABC 中，BC CA = CA AB, BA+BC =2,且 迦［则 BC BA 的取 < 3」 值范围是 _______________12设a 1,a 2,...,a n ,...是按先后顺序排列的一列向量， 若印 +4049,14。

且K -时 二1,1 , 则其中模最小的一个向量的序号n 二 _____________二选择题（4*5=20）13已知A 1,2，把OA 绕原点O 顺时针旋转90得到OB ，则点B 的坐标为（ ） 已知A =： 广2 ,B = 『1 -20、 -4 0」 <-2 3 4」,则"AB HA、-1,2B、2,-1C、-2,-1D、-2,1b ■ —■ * ____ —► ■.14如果0与是两个单位向量，下面有五个命题 (1) 6|=62 (2) e=e 2 ( 3) 0・62=1 _.2 一 2(4) e 1 = e 2 (5)若G // e 2,则=62。

2018-2019学年上海市奉贤中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知()1-2A ，，把OA 绕原点O 顺时针旋转90︒得到OB ，则点B 的坐标为（ ） A ．()-1,2 B ．()2-1，C ．()-2-1， D ．()-2,1【答案】C【解析】设出点B 的坐标，利用=OA OB ，OA OB ⊥，列方程组求解即可． 【详解】解：设B 的坐标为(,),0,0x y x y <<，由已知=OA OB ，得2214x y +=+，①又OA OB ⊥，得20x y -=，② 由①②得2,1x y =-=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的模的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，是基础题．2．如果1e 与2e 是两个单位向量，下面有五个命题（1）12e e =（2）21e e =（3）121e e ⋅=（4）2212e e =（5）若12,e e ∥则12e e =.其中不正确的是（ ） A ．(1)(2)(3) B ．(2)(3)(5)C ．(1)(3)(5)D ．(2)(4)【答案】C【解析】由已知1e 与2e 是两个单位向量，则他们的大小相等，但方向不确定，根据向量相等的定义可判断（1）的真假；根据向量模的定义可判断（2）的真假；根据向量数量积的运算性质，可以判断（3）（4）的真假；根据向量共线与向量相等的定义，可以判断（5）的真假；进而得到答案． 【详解】∵1e 与2e 是两个单位向量，则他们的大小相等，但方向不确定； 故（1）12e e =，错误；（2）21e e =，正确； （3）1212e e cos cos [1,1]e e θθ⋅=⋅⋅=∈-，故121e e ⋅=错误；（4）22121e e ==，正确；（5）12e e ，则12e e =或12e e =-，故（5）错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查相等向量与相反向量，向量的模，单位向量，其中熟练掌握这些向量的基本概念，是解答本题的关键．3．已知数列{}n a 的通项公式2,,n a n n N =∈*则122334*********4455620142015.....a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=（ ）A ．-16096B ．-16104C ．-16112D ．-16120【答案】A 【解析】算出+123n n n n a a a a ++的表达式，根据规律可得结果.【详解】 解：+13+1223n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=-(2)(26)(22)(24)8n n n n =+-++=-， 122334*********4455620142015.....2012(8)16096a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++++=⨯-=-，故选：A. 【点睛】本题考查二阶行列式的计算，转化为利用数列知识发现二阶一般式+123n n n n a a a a ++的规律是关键，难度不大.4．已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列结论中正确的个数有 （ ）①20OB OC OA -⋅≥； ②20OB OC OA -⋅<；③x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个；⑤ 点B 是线段AC 的中点． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得22OC x OA xOB =--，为直线上不同的三点，点， 因此，解得，，又由于，，因此的值只有一个，点是线段的中点，故答案为C ．【考点】平面向量及应用．二、填空题5．已知()()1,2,1,3A B --,若3AC BC =,则C 的坐标是__________ 【答案】112,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设C 点坐标，利用向量的坐标运算，先求AC 和BC 的坐标，再根据3AC BC =，可得到C 点坐标满足的等式，解出C 点坐标．【详解】解：设(,)C x y ，则(1,2)ACx y =-+， (1,3)x C y B =+-，3,(1,2)3(1,3)AC BC x y x y =∴-+=+-，133,239x x y y ∴-=++=-，112,2x y ∴=-=， ∴C 的坐标是112,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：112,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了向量坐标的求法，属于向量运算的基础题． 6．已知()()()0,,1,2,3,4Ak B C ，三点共线，则k =__________【答案】1【解析】根据,,A B C 三点共线可得AB BC k k =，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可． 【详解】 解：∵()()()0,,1,2,3,4Ak B C 三点共线∴AB BC k k =2421031k --∴=-- 1k ∴=故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了点共线的问题，解题的关键是要将点共线问题转化为直线的斜率相等问题然后再利用两点间斜率公式2121AB y y k x x -=-代入求解．7．已知()()2,4,1,2a b =-=，则a 在b 的投影是__________【答案】【解析】由向量a 在向量b 方向上的投影：||cos ||a ba b θ⋅=，代入条件计算可得结果．【详解】 解：由()()2,4,1,2a b =-=，得：||25,5||a b ==，21(4)26a b ⋅=⨯+-⨯=-，即向量a 在向量b 方向上的投影为：||cos 5||5a b a b θ⋅===-，故答案为：5-． 【点睛】本题考查了向量a 在向量b 方向上的投影的运算及数量积运算，属简单题．8．若行列式4513789xx ()1x ≠中，元素1的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________ 【答案】458x >【解析】行列式4513789xx ()1x ≠中，元素1的代数余子式大于0，可得5089x->，结合()1x ≠，可得x 满足的条件． 【详解】解：∵行列式4513789xx ()1x ≠中，元素1的代数余子式大于0， ∴5089x->， 4580x ∴-+>，458x ∴>故答案为：458x > 【点睛】本题考查行列式，考查代数余子式的概念，是基础题． 9．若a b a b ==+，则a 与b 的夹角为__________ 【答案】23π 【解析】利用向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】 解：如图：因为a b a b ==+， 所以图中三角形为等边三角形， 所以a 与b 的夹角为23π， 故答案为：23π. 【点睛】本题考查向量加法的三角形法则，数形结合可快速得出结果，是基础题.10．已知向量()()4,2,1,2,a b ==-若()()9,8,,ma nb m n r +=-∈，则m n -的值为__________ 【答案】4-【解析】利用向量的坐标运算，列方程求解,m n ，即可得到结果． 【详解】 解：()()4,2,1,2,a b ==-(4,22),ma nb m n m n ∴+=+-又(9,8)(,)ma nbm n R +=-∈可得：49228m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得1,5m n ==．4m n -=-故答案为：4-． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，是基础题．11．已知2140A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,120234B -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则AB =__________【答案】048014-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】根据矩阵的乘法公式，可得答案. 【详解】1202321404AB ⎛⎫= ⎪--⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎭⎝21+1(2)2(2)1320141=(4)10(2)(2)0304(4)(4)804400-⨯⨯⨯-+⨯⨯+⨯-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⨯+⨯-⨯-+⨯⨯+⨯-⎝⎭⎝-⎭- 故答案为：048014-⎛⎫ ⎪-⎝⎭【点睛】本题考查矩阵的乘法，是基础题12．已知()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，若2,a b -=则-αβ=__________【答案】,()2k k Z ππ+∈【解析】由条件和向量的坐标运算求出a b -的坐标，再代入向量模的公式，由两角差的余弦公式化简求值. 【详解】解：有题意得(cos cos ,sin sin )a ba a ββ-=--，2a b -=，22(cos cos )(sin sin )2a a ββ∴-+-=，化简得：22cos cos 2sin sin 2a a ββ--=， 即cos cos sin sin 0a a ββ+=，cos()0a β∴-=-,()2k k Z παβπ=+∈故答案为：,()2k k Z ππ+∈【点睛】本题是向量运算和三角运算的结合，考查计算能力，难度不大.13．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为．【解析】试题分析：由AC AD AC BD ⋅=⋅得()0AC AD BD ⋅-=，即0AC AB ⋅=，所以AC AB ⊥，于是AC CD ⊥，又22()AC AD AC AC CD AC AC CD AC ⋅=⋅+=+⋅=，即23AC =，所以AC ；【考点】1.向量的数量积；14．在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的最大值为 ． 【答案】12-【解析】【详解】 在菱形ABCD 中，23A π∠=，则，又AB BC CD AD ===，所以ABC ∆，ACD ∆都是等边三角形，即1AC =， 设[0,1]AP x =∈2()()()PB PD AB AP AD AP AP AP AB AD AB AD⋅=-⋅-=-⋅++⋅2AP AP AC AB AD =-⋅+⋅22221131cos011cos()3224x x x x x π=-⨯⨯+⨯⨯=--=-- 当0x =或1x =时，PB PD ⋅取得最大值12-【考点】平面向量的数量积运算．15．已知ABC ∆中,2BC CA CA AB BA BC ⋅=⋅+=，,且203B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，则BC BA ⋅的取值范围是__________ 【答案】[)2,1-【解析】根据向量的几何意义和数量积的运算以及BC CA CA AB ⋅=⋅，得到CA BD ⊥，继而做出平行线四边形，得到平行四边形为菱形，设BC 与BA 的夹角为2θ，表示出1||||cos BC BA θ==，再根据向量的夹角公式，求出212cos BA BC θ⋅=-，根据函数得单调性，求出范围即可 【详解】解：如图：分别作CD BA =，AD BC =，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵BC CA CA AB ⋅=⋅，∴()()CA BC AB CA BC BA CA BD ⋅-=+=⋅， ∴CA BD ⊥，∴四边形ABCD 为菱形，||||2BD BA BC ∴=+=，1||||12BE BD ∴==， 设BC 与BA 的夹角为2θ，则2203πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，∴03πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，1cos ,12θ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，21cos ,14θ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，1||||cos BC BA θ∴==， cos 2||||BA BCBA BC θ⋅=，222212cos 11cos 22cos cos cos BA BC θθθθθ-∴⋅=⋅==-，当21cos 4θ=时，242BA BC ⋅=-=-， 当2cos 1θ=时，211BA BC ⋅=-=， 故BC BA ⋅的取值范围是[)2,1-． 故答案为：[)2,1-． 【点睛】本题考查了向量的几何意义和数量积的运算以及夹角公式，和函数的单调性，关键是证明四边形为菱形，属于中档题．16．设12,,...,,...n a a a 是按先后顺序排列的一列向量，若()14049,14a =-.且()11,1n n a a --=，则其中模最小的一个向量的序号n =__________【答案】2018或2019【解析】根据题意，设(),n n n a x y =求出,n n x y 的表达式，计算n a 何时取最小值即可． 【详解】解：∵12,,...,,...n a a a 是按先后顺序排列的一列向量，()14049,14a =-，且()11,1n n a a --=，()11,1n n a a -∴=+，设(),n n n a x y =，则()()(1111,,(1,1)1,1)n n n n n n x y x y x y ----=+=++，1111n n nn x x y y --=+⎧∴⎨=+⎩，4049(1)405014(1)13n nx n n y n n =-+-=-⎧∴⎨=+-=+⎩，2n x a ∴===当240372018.522n ⨯==⨯，即2018=n 或2019n =时，向量的模最小． 故答案为：2018或2019． 【点睛】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是中档题．三、解答题17．已知a 与b 所成角为56π，且2a =，3b =， （1）求32a b +（2）求32a b +与a 的夹角【答案】（1）|32|23a b +=；（2）32a b +与a 的夹角为6π. 【解析】（1）根据题意，由数量积的计算公式可得a b 的值，又由222(32)9412a b a b a b +=++，代入数据计算可得答案；（2）设32a b +与a 的夹角为θ，计算可得2(32)326a b a a a b +=+=，由数量积的计算公式可得(32)cos |32|||a b aa b a θ+=+，代入数据计算可得答案．【详解】解：（1）根据题意，a 与b 所成的角为56π，且||2a =，||3b =， 则523cos36a b π=⨯⨯=-， 则222(32)941212a b a b a b +=++=， 则|32|23a b +=，（2）设32a b +与a 的夹角为θ，则2(32)326a b a a a b +=+=， 由（1）可得|32|23a b +=，则(32)cos |32|||232a b a a b a θ+===+⨯又由0θπ剟，则6πθ=，即32a b +与a 的夹角为6π． 【点睛】本题考查向量的数量积的计算，涉及向量夹角的求法，关键是掌握向量数量积的计算公式．18．已知关于x 、y 的方程组（*）60(2)32x my m x y m ++=⎧⎨-+=-⎩.（1）写出方程组（*）的增广矩阵；（2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论. 【答案】（1）16232m m m -⎛⎫⎪--⎝⎭；（2）当1m =-时，无解；当3m =时，有无穷组解；当1m ≠-且3m ≠时，有唯一解.【解析】（1）根据方程组得到6(2)32x my m x y m +=-⎧⎨-+=-⎩，即可直接写出其增广矩阵；（2）分别讨论1m =-，3m =，1m ≠-且3m ≠三种情况，即可得出结果. 【详解】（1）因为方程组（*）60(2)32x my m x y m ++=⎧⎨-+=-⎩可化为6(2)32x my m x y m +=-⎧⎨-+=-⎩，因此，其增广矩阵为：16232m m m -⎛⎫⎪--⎝⎭；（2）当1m =-时，方程组（*）可化为6332x y x y -=-⎧⎨-+=⎩，此时方程组无解；当3m =时，方程组（*）可化为3636x y x y +=-⎧⎨+=-⎩，此时方程组有无穷组解；当1m ≠-且3m ≠时，由6(2)32x my m x y m +=-⎧⎨-+=-⎩解得26141m x m y m +⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，显然只有唯一解.【点睛】本题主要考查求方程组的系数矩阵，以及解方程组的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示，以及二元一次方程组的解法即可，属于常考题型.19．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛⎫== ⎪ ⎝⎭，，（1）求a b +的单位向量；（2）若向量27ta b +与向量a tb+r r的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 【答案】（1）14⎝⎭；（2）17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）求出向量a b +的坐标及a b +，将a b +表示为a b +m 的形式，这个m 就是a b +的单位向量；（2）向量夹角为钝角，则数量积小于零，列不等式求出t 的范围，再加上不能反向平行，求出其反向平行的t 值，除去即可. 【详解】 解：（1）由已知()152,022a b ⎛⎛+=+= ⎝⎭⎝⎭5a b ⎛⎫∴+===⎪57a b ⎛∴+=⎭， 即a b +的单位向量为1414⎛ ⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅=，2,1a b ==，所以2()(277)872a t tb t t a t b +=++++22157t t =++，由于两向量的夹角为钝角，故(27)()0ta b a tb ++<且向量27ta b +不与向量a tb +r r反向共线，设27()(0)ta b k a tb k +=+<，则27t k kt=⎧⎨=⎩，解得t =，从而2215702t tt ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩， 解得：17,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，其中需要注意，两向量夹角为钝角，不仅需要数量积小于零，还需要不能反向平行，本题是中档题.20．设向量cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量33sin,cos ,0,222x x b x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（1）求a b ⋅及a b +；（2）若函数()2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值和最大值.【答案】（1）sin 2a b x ⋅=，22sin a b =++；（2）()f x 的最大值是1+()f x 的最小值是2【解析】（1）代入数量积公式和模长公式化简； （2）使用换元法将()f x 转化为二次函数求最值． 【详解】解：（1）由已知1a ==r ，23sin 1b ==33cos sin sin cos sin 22222x x x xa b x ⋅=+=，222()222sin 2a b a a b b x ∴+=+⋅+=+，∴22sin a b =++；（2）()sin 2f x x =+t =，则2sin 21,(1x t t =-≤≤，令22g ()21(1)2t t t t =+-=+-，()g t ∴在上单调递增，min max g ()g(1)2,g ()1t t ∴====+()f x ∴的最大值是1+()f x 的最小值是2．【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，函数的最值，换元思想，注意换元后的定义域是解题关键，属于中档题．21．在直角坐标平面上的一列点()()()()1122331,2,,3,,...,,,...n n A a A a A a A n a ，简记为{}n A ，若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +＞，（其中j 是与y 轴正方向相同的单位向量），则称{}n A 为“T 点列”.（1）试判断：()1231111,1,2,,3,,...,,23n A A A A n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，...是否为“T 点列”？并说明理由.（2）若{}n A 为“T 点列”，且点2A 在点1A 的右上方.任取其中连续三点12k k k A A A ++、、，判断12k k K A A A ++∆的形状（锐角，直角，钝角三角形），并证明.（3）若{}n A 为“T 点列”，正整数,,,m n p q 满足：1m n p q ≤＜＜＜，且m q n p +=+，求证：n q m P A A j A A j ⋅⋅＞.【答案】（1）是“T 点列”,理由见解析；（2）钝角三角形，证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）根据所给的n 个点的坐标，观察出数列{}n a 的通项公式，把数列{}n a 的通项代入新定义的数列{}n b ，验证数列{}n b 满足1n n b b +＞，得到{}n A 是T 点列的结论． （2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果． （3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，即可得到向量的数量积之间的关系． 【详解】解：（1）由题意可知1n a n=， 11111(1,)(0,1)11n n n b A A j n n n n+∴=⋅=-⋅=-++， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++， 111110(1)(2)(1)(1)(1)(2)n n b b n n n n n n n n +--∴-=->+++++-=+1n n b b +∴＞，∴{}n A 是T 点列； （2）在12k k K A A A ++∆中，()111,k k k k A A a a ++=--，()12211,k k k k A A a a ++++=-，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--，∵点2A 在点1A 的右上方，1210b a a ∴=->，∵{}n A 是T 点列，10n b b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<， 12k k k A A A ++∴∠为钝角，12k k K A A A ++∴∆为钝角三角形；（3）1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，0q p n m ∴-=->①112112()q p q q q q p p q q p p a a a a a a a a b b b q p b ---+---=-+-+⋯+-=++⋯+≥-②同理121()nm n n m n a a b b b n m b ----=++⋯+≤-③由于{}n A 是T 点列，于是1p n b b ->④由①、②、③、④可推得11()()()p m n qp n n a a q p b q p b b a n a m ---≥->-≥-=-，q n p m a a a a ∴->-，又由（1）知,1111n q q n m p m P A A j a a A A j a a n q p m⋅=-=-⋅=-=- n q m P A A j A A j ⋅>⋅∴．【点睛】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，本题综合性较强，难度很大．。

奉贤区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，G为CC1中点，则直线A1C1与BG所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（）A．②④B．③④C．①②D．①③3．已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，a n=f（n），则a2017等于（）A．2017 B．﹣8 C．D．4．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．5．设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26． 已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）7． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．x=πB ．C ．D ．8． 已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||||PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）A.2B.2C.D. 4【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力. 9． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π10．直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形12．定义集合运算：A*B={z|z=xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．6二、填空题13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．14．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若 m=，则a 5=2；②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ．15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f （x ）=x ﹣lnx 的单调减区间为 ．16．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ． 17．不等式的解集为 ．18．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．三、解答题19．设A=2{x|2x+ax+2=0}，2A ∈,集合2{x |x 1}B ==（1）求a 的值，并写出集合A 的所有子集；（2）若集合{x |bx 1}C ==,且C B ⊆,求实数b 的值。

南洋模范2018-2019年高二第一学期期中考试试卷一、填空题（本大题满分56分）1、已知方程组3512324266x y z x y x y x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-+-=⎩，则其增广矩阵为 .2、在三阶行列式123456780中，5的余子式的值为 .3、已知向量()(),,1,2a x y b ==-，若()1,3a b +=，则a = .4、已知向量()()2,3,4,7a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 .5、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 .6、经过点()3,2P 且以()1,2d =-为方向向量的直线l 的点方向 式为 .7、已知两条直线的方程分别为1:10l x y -+=和2:220l x y -+=，则这两条直线的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）8、圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y -+=切与点()2,1P -的圆的标准方程 .9、设*n N ∈，圆()2121141:142n n n C x y n ++-⎛⎫-+-= ⎪+⎝⎭的面积为n S ，则lim n n S →∞= .10、若圆()()22:6M x a y b -+-=与圆()()22:115N x y +++=的两个交点始终为圆()()22:115N x y +++=的直径两个端点，则动点(),M a b 的轨迹方程为 .11、已知实数x y 、满1x y ≥+足，则2y x-的取值范围是 . 12、如图，已知点()2,0P ，且正方形ABCD 内接于圆22:1O x y +=，M N 、分别为边AB BC 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM第5题图二、选择题（满分20分）13.已知直线06)2(3:1=++-x k x l 与直线02)32(:2=+-+y k kx l ，记32)2-3-+=k k k D （，0=D 是直线1l 与直线2l 平行的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件D.既不充分也不必要条件. 14.设),y x （为圆1)1(22=-+y x 上的任一点，欲使不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A.[]1-22-1-，； B.[)∞+，1-2 C.()1-21-2-， D.()1-2--，∞.15.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，上顶点为B ，若2212==F F BF ,则该椭圆的方程为（ ）A.1222=+y xB.1322=+y x C.13422=+y x D.1422=+y x 16.已知数列{}n a 的通项公式*∈=N n n a n ,2，则201521420132012654354324321a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅⋅⋅+++= （ ）A.16096-B.16104-C.16112-D.16120-17、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x E ：的右焦点为()0,c F ，短轴的一个端点为M ，直线043:=-y x l 交椭圆E 于B A ，两点，若4=+BF AF ，点M 直线l 的距离不小于54，则ac的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡143， B.⎥⎦⎤ ⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡123， D.⎥⎦⎤⎝⎛230， 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。

2018-2019学年上海四中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 已知A(−1,2)，B(2,3)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. (−3,−1)B. (3,1)C. (−3,1)D. (3,−1)2. 方程x 22λ−1+y 22−λ=1表示椭圆，则λ的取值范围为( )A. (12,1)∪(1,2)B. (12,1)C. (1,2)D. (12,2)3. 已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 若圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上至少有三个不同的点到直线l ：ax +by =0的距离为2√2，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A. [π12,π4]B. [π12,5π12]C. [π6,π3]D. [0,π2]二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 直线√3x −y −1=0的倾斜角为______ ．6. 若向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=4，则|2a ⃗ −b ⃗ |=______．7. 已知G 是△ABC 的重心，则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −GC⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 8. 关于x ，y 的二元线性方程组{2x +my =5nx −3y =3的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为(103011)，则(m n )=______．9. 三阶行列式∣∣∣∣42k −354−51−2∣∣∣∣第2行第1列元素的代数余子式为−10，则k =______．10. 椭圆x 26+y 24=1的焦距是______．11. 过点(2,3)与直线3x −2y −1=0垂直的直线方程是______． 12. 直线mx +y −1=0的方向向量是d ⃗ =(1,m −2)，则m =______． 13. 直线x +y −1=0与直线2x −y =0的夹角是______(用反三角表示)． 14. 过点M(−1,1)的直线l 交椭圆x 23+y 22=1于A ，B 两点，若M 恰是线段AB 的中点，则直线l 的方程为______．15. 若点M(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=r 2内异于圆心的点，则直线x 0x +y 0y =r 2与该圆的位置关系是______．16.若动点(x,y)在曲线x24+y2b2=1(b>0)上变化则x2+2y的最大值为________．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.求过点P(3,2)与直线x+2y−2=0平行的直线方程及两条平行线间的距离．18.(1)求点P(−1,2)关于x−2y−10=0的对称点；(2)求圆x2+(y−1)2=9关于直线x+y=4对称的圆的方程．19.已知圆的方程为x2+y2=4．(1)过点(√3,1)作圆的切线，求切线方程；(2)过点(2,3)作圆的切线，求切线方程．20.设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值．21.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(−√3,0)，)．右顶点为D(2,0)，设点A(1,12(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，A(−1,2)，B(2,3)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)； 故选：B ．根据题意，由向量坐标的计算公式直接计算可得答案． 本题考查向量的坐标计算，涉及向量坐标的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：方程x 22λ−1+y 22−λ=1表示椭圆，假设焦点在x 轴上，则2λ−1>2−λ>0， 解得：1<λ<2，当焦点在y 轴上，则2−λ>2λ−1>0， 解得：12<λ<1，综上可知：λ的取值范围(12,1)∪(1,2)， 故选：A ．求得椭圆的标准方程，分别讨论焦点的位置即可求得实数λ的取值范围．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点位置，考查分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵依题OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )． ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用 本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．4.【答案】B【解析】解：圆x2+y2−4x−4y−10=0整理为(x−2)2+(y−2)2=(3√2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径为3√2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则圆心到直线的距离应小于等于√2，∴√a2+b2≤√2，∴(ab )2+4(ab)+1≤0，∴−2−√3≤ab ≤−2+√3，k=−ab，∴2−√3≤k≤2+√3，直线l的倾斜角的取值范围是[π12,5π12]，故选：B．先求出圆心和半径，比较半径和2√2；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by= 0的距离为2√2，则圆心到直线的距离应小于等于√2，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．5.【答案】π3【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系进行求解．本题主要考查直线倾斜角的求解，根据直线斜率和倾斜角的关系是解决本题的关键．【解答】解：直线的斜截式方程为y=√3x−1，则斜率k=√3，由tanα=√3，因为0≤α<π，解得α=π3，故倾斜角α=π3， 故答案为：π3．6.【答案】2√3【解析】解：因为向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=4， 所以a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=1×4×cos60°=2，所以|2a ⃗ −b ⃗ |=√(2a ⃗ −b ⃗ )2=√4a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√4×1−4×2+16=2√3．故答案为：2√3．根据平面向量数量积的运算法则知a ⃗ ⋅b ⃗ =2，再由|2a ⃗ −b ⃗ |=√(2a ⃗ −b ⃗ )2，展开运算，即可得解．本题主要考查平面向量的数量积，遇到模长问题，一般采用平方处理，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】2CG ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】解：D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，则 CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CG⃗⃗⃗⃗⃗ 所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故答案为：2CG⃗⃗⃗⃗⃗ ． 由D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再联立求解即可．本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属于容易题．8.【答案】(−112)【解析】解：增广矩阵为(2m 5n −33)， 第一行除以2，得到(1m 252n−33)，第二行+第一行×(−n)，得到(1m2520−mn 2−33−5n 2)，由于得到的矩阵第二行比例是1：1，可知−mn 2−3=3①，可以得到(1m 252011)，第一行+第二行×(−m2)，得到(105−m 2011)，由题意知5−m 2=3②联立①②，解之得m =−1，n =12， 所以(m n )=(−112)，故答案为：(−112)．由题意写出增广矩阵，转化成矩阵(103011)的形式，得到等式求解即可．本题考查增广矩阵，以及矩阵的运算，为中档题．9.【答案】−14【解析】解：三阶行列式∣∣∣∣42k −354−51−2∣∣∣∣中第2行第1列的元素−3的代数余子式为(−1)2+1∣∣∣2k 1−2∣∣∣=4+k ， 故4+k =−10， 解得k =−14． 故答案为：−14．利用行列式的代数余子式的定义及运算法则直接求解．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．10.【答案】2√2【解析】解：根据题意，椭圆的方程为x 26+y 24=1，其中a 2=6，b 2=4，则c=√a2−b2=√2，则该椭圆的焦距2c=2√2；故答案为：2√2．根据题意，由椭圆的方程可得a、b的值，计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的形式，属于基础题．11.【答案】2x+3y−13=0【解析】解：设过点(2,3)与直线3x−2y−1=0垂直的直线方程是2x+3y+m=0，把点(2,3)代入可得4+9+m=0，求得m=−13，可得要求的直线方程是2x+3y−13=0，故答案为：2x+3y−13=0．由题意利用两直线垂直的性质，用待定系数法求出直线的方程．本题主要考查两直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．12.【答案】1【解析】解：∵直线mx+y−1=0的方向向量是d⃗=(1,m−2)，∴−m=m−21，解得m=1．故答案为：1．利用直线斜率公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线斜率公式、方向向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】arctan3【解析】解：因为直线x+y−1=0的斜率为k=−1，直线2x−y=0的斜率为k′=2，设两条直线的夹角为θ，则tanθ=|k′−k1+k′k |=|2−(−1)1+2×(−1)|=3，因为θ∈(0,π2)，所以θ=arctan3．则直线x +y −1=0与直线2x −y =0的夹角是arctan3． 故答案为：arctan3．分别求出两条直线的斜率，然后利用夹角公式求解即可．本题考查了直线方程的理解与应用，直线斜率的求解，两条直线夹角公式的运用以及反三角函数的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．14.【答案】2x +3y −5=0【解析】解：依题意，设直线l 方程为：x =m(y −1)+1，椭圆x 23+y 22=1，联立{x =m(y −1)+12x 2+3y 2−6=0，消去x 整理得：(3+2m 2)y 2−4m(m −1)y +2m 2−4m −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m(m−1)3+2m 2，∵线段AB 的中点为M(1,1)， ∴4m(m−1)3+2m 2=2，即m =−32，∴直线l 方程为x =−32(y −1)+1，即2x +3y −5=0， 故答案为：2x +3y −5=0．通过直线l 过点M(1,1)可设其方程为x =m(y −1)+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】相离【解析】解：圆心O(0,0)到直线x 0x +y 0y =r 2的距离为d =2√x 0+y 0∵点M(x 0,y 0)在圆内，∴√x 02+y 02<r ，则有d >r ，故直线和圆相离． 故答案为相离．先利用点到直线的距离，求得圆心到直线x 0x +y 0y =r 2的距离，根据P 在圆内，判断出x 02+y 02<r ，进而可知d >r ，故可知直线和圆相离．本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查了直线与圆的位置关系．考查了数形结合的思想，直线与圆的位置关系的判定．解题的关键是看圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．16.【答案】{b 24+4,0<b ≤4,2b,b >4,【解析】解：由题意，可令x =2cosθ，y =bsinθ，则x 2+2y =4cos 2θ+2bsinθ=−4sin 2θ+2bsinθ+4=−4(sinθ−b4)2+b 24+4，∵b >0，∴b4>0①当b4∈(0,1]时，即0<b ≤4时，当sinθ=b4时，x 2+2y 取得最大值b 24+4，②当b 4∈(1,+∞)时，即b >4时，当sinθ=1时，x 2+2y 取得最大值2b ． 故答案为：{b 24+4,0<b ≤4,2b,b >4,．用三角换元x =2cosθ，y =bsinθ，将其代入x 2+2y 得x 2+2y =−4(sinθ−b4)2+b 24+4，再根据b 的取值范围进行讨论，结合二次函数的图象与性质，即可得到x 2+2y 的最大值． 本题给出曲线x 24+y 2b 2=1上的动点(x,y)，求x 2+2y 的最大值．着重考查了三角换元法解决二次曲线问题和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．17.【答案】解：设与直线x +2y −2=0平行的直线方程为x +2y +C =0，将点P(3,2)代入方程，可得C =−7， 故直线方程为x +2y −7=0， 所以两条平行线间的距离为√1+4=√5．【解析】利用待定系数法设出直线方程，代入点的坐标即可得到方程，然后由两条平行线间的距离公式求解即可．本题考查了直线方程的求解，两条直线平行的充要条件的运用，两条平行直线间距离公式的运用，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)设P 点关于直线x −2y −10=0的对称点为B(x,y)，则{y−2x+1×12=−1x−12−2×y+22−10=0，解得x =5，y =−10，故B (5,−10)；(2)已知圆的圆心为(0,1)，半径r =3，设对称圆的圆心为C(a,b)，由已知得C 与点(0,1)关于直线x +y =4对称，故{b−1a−0×(−1)=−1a+02+b+12=4，解得a =3，b =4，故圆心为(3,4)，半径为3， 故所求圆的方程为(x −3)2+(y −4)2=9．【解析】(1)设出P 点关于直线x −2y −10=0的对称点为B(x,y)，根据线段PB 的中垂线为直线x −2y −10=0，列出x ，y 的方程组求解；(2)所求圆的圆心(a,b)与已知圆的圆心(0,1)关于直线x +y =4对称，半径相等，据此列出a ，b 的方程组求解．本题考查点与点关于直线的对称的解题思路、圆的方程的求法等，属于基础题．19.【答案】解：(1)∵圆的方程为x 2+y 2=4，∴圆心是(0,0)，半径为2， ∵(√3)2+12=4，∴点(√3,1)在圆上，(√3,1)即为切点， ∵圆心与切点的连线的斜率是√3−0=√33， ∴过点(√3,1)作圆的切线的斜率是−√3，∴切线方程是y −1=−√3(x −√3)，即√3x +y −4=0， 故切线方程为√3x +y −4=0． (2)∵22+32≠4， ∴点(2,3)不在圆上，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x =2， 此时x =2到圆心(0,0)的距离为2，恰好等于半径， ∴x =2是圆的切线， 当直线l 的斜率存在时， 设斜率为k ，则直线方程是y −3=k(x −2)，即kx −y +3−2k =0，圆心到直线l 的距离为√k 2+1=2，解得k =512，故切线方程是512x −y +3−56=0，即5x −12y +26=0， 综上所述，切线方程为x =2或5x −12y +26=0．【解析】(1)根据已知条件，点(√3,1)在圆上，再结合斜率公式，即可求解． (2)由22+32≠4，可得点(2,3)不在圆上，分切线斜率存在，切线斜率不存在两种情况讨论，即可依次求解．本题主要考查圆的切线方程求解，考查分类讨论的思想，属于中档题．20.【答案】解：由题意得a =3，b =2，c =√5，F 1(−√5,0)，F 2(√5,0)．当PF 2⊥x 轴时，P 的横坐标为√5，其纵坐标为±43，∴|PF 1||PF 2|=2a−4343=6−4343=72．当PF 1⊥PF 2时，设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2a −m =6−m ，3>m >0，由勾股定理可得4c 2=m 2+(6−m)2，即 20=2m 2−12 m +36，解得m =2或m =4(舍去)，故 |PF 1||PF 2|=6−22=2．综上，|PF 1||PF 2|的值等于72 或2．【解析】当PF 2⊥x 轴时，求出P 的纵坐标，即得|PF 2|的值，由椭圆的定义求得|PF 1|，进而求得|PF 1||PF 2| 的值．当PF 1⊥PF 2时，设|PF 2|=m ，由椭圆的定义求得|PF 1|，由勾股定理可解得m ，进而求得|PF 1||PF 2| 的值．本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑 PF 2⊥x 轴时的情况．21.【答案】解：(1)由已知得椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1．又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1(2)设线段PA 的中点为M(x,y)，点P 的坐标是(x 0,y 0)，由{x =x 0+12y =y 0+122得{x 0=2x −1y 0=2y −12 由，点P 在椭圆上，得(2x−1)24+(2y −12)2=1，∴线段PA 中点M 的轨迹方程是(x −12)2+4(y −14)2=1． (3)当直线BC 垂直于x 轴时，BC =2， 因此△ABC 的面积S △ABC =1．当直线BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为y =kx ，代入x 24+y 2=1，解得B(√4k 2+1√4k 2+1)，√4k 2+1√4k 2+1)， 则|BC|=√1+k 2√1+4k 2，又点A 到直线BC 的距离d =|k−12|√1+k 2，∴△ABC 的面积S △ABC =12|BC|⋅d =√1+4k 2于是S △ABC =√4k2−4k+14k 2+1=√1−4k4k 2+1由−1≤4k4k 2+1≤1，得S △ABC ≤√2，其中，当k =−12时，等号成立． ∴S △ABC 的最大值是√2．【解析】(1)由“左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)”得到椭圆的半长轴a ，半焦距c ，再求得半短轴b 最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．(2)设线段PA 的中点为M(x,y)，点P 的坐标是(x 0,y 0)，由中点坐标公式，分别求得x 0，y 0，代入椭圆方程，可求得线段PA 中点M 的轨迹方程．(3)分直线BC 垂直于x 轴时和直线BC 不垂直于x 轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，还考查了三角形面积模型的建立和解模型的能力．。

奉贤中学2019学年第一学期高二第一次阶段练习(数学学科)2019.10、填空题(4*6+5*6=54 )1已知A 1, -2 , B -1,3若AC 二3BC ，则C 的坐标是 _________________2已知A0,k ,B 1,2 ,C 3,4，三点共线，则k 二 ________________________3已知a 二2,-4 ,b = 1,2，贝U a 在b 的投影是 ____________________4 5 x4若行列式1 x 3 (x H 1 )中，元素1的代数余子式大于 0,则x 满足的条件是 ___________________7 8 95若a=b=a+b ，贝y a 与b 的夹角为 ___________________已知向量a = 4,2 ,b = 1,-2 ,若ma ■ nb = 9厂8 , m, n ・r ，则m - n 的值为8 已知 a= cos ： ,sin : ,b 二 cos :,sin ：，若9在平行四边形 ABCD 中，AC ・AD 二AC ・BD =3,则线段AC 的长为 ___________________2兀■ ■ 10在边长为1的菱形ABCD 中，.A,若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD 的最 3大值为 ___________________ 值范围是 _______________12设印忌…鸟，…是按先后顺序排列的一列向量，若印- -4049,14。

且可-时 =1,1 , 则其中模最小的一个向量的序号n = ____________ 二选择题(4*5=20)13已知A 1,2，把OA 绕原点0顺时针旋转90得到OB ，则点B 的坐标为() A 、 -1,2 B 、 2,-1 C 、 -2,-1 D 、 -2,114如果e 与e ,是两个单位向量，下面有五个命题 (1) e =色(2)e = e 』(3) 0-^=1 —2 —2 — — — —(4) 0 e 2 (5)若q // e 2,则e^ =62。

填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1.10y -+=的斜率是 ．2.若点)2,1(A 在直线053=-+y ax 上，则实数a 的值为 ．3.已知空间直角坐标系中点A 的坐标为（1,1,0），AB 的中点坐标为（4,0,2），则B 点坐标为_____________.4.直线:20l kx y k +-=经过定点的坐标为_________.5.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若l ∥m ，m ⊂α，，则l ∥α； ④若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 其中真命题是________________(写出所有真命题的序号)．6．若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为___________.7.已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111A B C D 和11ADDA 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.8.若两条直线012)1(,03=+++-=++a y x a ay x 互相平行,则这两条直线之间的距离为 .9.已知正四棱柱的底面边长是3,侧面的对角线长是则正四棱柱的外接球的体积为__.10.已知点(1,2)A -关于直线20x ay +-=的对称点为(,2)B m ，则实数a 的值为________．11.如图，已知点A 为圆22:9O x y +=与圆()22:516C x y -+=在第一象限内的交点．过A的直线l 被圆O 和圆C 所截得的弦分别为NA ， MA （M ， N 不重合），若NA MA =，则直线l 的方程是___________________．12.已知()f x =， ()g x x m =+，若方程()()1g x f x =有且只有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是_______．13．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图2-②），则图2-①中的水面高度为 .14.设直线l ： 340x y a ++=，圆C ： ()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P 和Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则a 的取值范围是_________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）过点(2,3)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，求切线所在的直线方程．16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，AB AD ⊥．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点． （1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面ACD ．17.（本小题满分15分）已知三角形ABC ∆的顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --． （1）求边AB 上的高CD 所在直线的方程；（2）求经过C 的直线l ，使得A B 、到直线l 的距离相等．18.（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面，且1AB BC CA AD CD =====． (1)求证：1BD AA ⊥;(2)在棱BC 上取一点E ，若AE ∥平面11D DCC ，试求BEEC的值．19.（本小题满分16分）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M ，（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）若圆C 上存在四个点到直线l a 的取值范围；（3）已知(0,3)N -，若圆C 上存在两个不同的点P ，使P M N ，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分16分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由。