2019届吉林省四平四中高三第二次模拟考试数学(理)试卷及答案

吉林2019年高三第二次重点考试-数学理（2019吉林二模）数学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3、请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一卷【一】选择题：本大题共12题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、设集合{}220,RM x x x x =+-<∈，{}02N x x =<≤,那么M N = A 、(1,2)- B 、(0,1]C 、(0,1)D 、(2,1]-2、为虚数单位，那么复数i 212i-+＝A 、B 、i -C 、43i 55--D 、43i55-+3、()f x 是R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()lg(3)f x x x =--，那么(1)f 的值为A 、0B 、lg 3C 、lg 3-D 、lg 4-A 、数列{}n a 为等比数列，假设m n p q +=+，*N ,,,∈q p n m ，那么有m n p q a a a a ⋅=⋅B 、点(,0)8π为函数()tan(2)4f x x π=+图像的一个对称中心 C 、假设⎰=a x 0238，那么2=aD 、假设||1,||2a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120°，那么b 在向量a 上的投影为； 5、设双曲线2221(0)9y x a a-=>的渐近线方程为340x y ±=，那么双曲线的离心率为 A 、54B 、53CD6、假设1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列，那么展开式中4x 项的系数为 A 、6 B 、7C 、8D 、9 7、如果执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为A 、3-B 、12-C 、2D 、138、函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为A 、32πB 、2πC 、πD 、2π9、不等式2log 0a x x -<在1(0,)2x ∈时恒成立，那么a 的取值范围是A 、1116a ≤<B 、01a <<C 、1a >D 、1016a <≤10、过点()1,1-且与曲线32y xx =-相切的切线方程为A 、20x y --=，或5410x y +-=B 、20x y --=C 、20x y -+=D 、20x y --=，或4510x y ++= 11、假设等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足1263CM CB CA=+，那么MA MB ⋅= A 、-1B 、-2C 、2D 、312、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出以下命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x ；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个第二卷【二】填空题：本大题共4个小题,每题5分。

高三数学试卷(理科)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选：B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据集合交集中元素的特征，选择正确的结果.【详解】因为，所以当时，，【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.3.从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选：C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.5.若函数有最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解. 故选：B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选：D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.8.已知函数，则下列判断错误的是（）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=0时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题9.已知，设满足约束条件的最大值与最小值的比值为，则（）A. 为定值B. 不是定值，且C. 为定值D. 不是定值，且【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值．.【详解】画出m＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：当直线z＝x+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（﹣1，﹣2）时，z取得最小值，故k2为定值．故选：C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB 的斜率分别为，，当2+取得最小值时，△PAB的重心坐标为A. (1，1)B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P的坐标，进而得到△PAB的重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，P A的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．11.设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故的最小值为f(7)=-343.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面EFG 所成角的正弦值．【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴（），（），（﹣2，2，2），设平面EFG的法向量（x，y，z），则，即，取x＝4，得（4，﹣3，﹣1）．设直线AC1与平面EFG所成角为θ，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos|．故选：D．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.的展开式的第项为_______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形中，，，，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_____．【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.在中，.证明：为等腰三角形.若的面积为，为边上一点，且求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c即可证明；由的面积求a,设，在中运用余弦定理求得x，即为所求【详解】（1）证明：，，设的内角的对边分别为，，，由余弦定理可得即，则为等腰三角形.（2），则的面积解得.设，则，由余弦定理可得，解得（负根舍去），从而线段的长为.【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，熟练运用定理及三角公式，准确计算是关键，是中档题18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．【解析】【分析】（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．X的分布列为则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120000元．因为120640>120000，所以选择方案①更划算．评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650．X的分布列为则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2．(1)证明：平面ADEF⊥平面ABF．(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求异面直线OC 与DF所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，AD⊥平面ABF，由此能证明平面ADEF⊥平面ABF；（2）推导出BC⊥平面ABF，BC⊥BF，再由BC⊥AB，得二面角A﹣BC﹣E的平面角为∠ABF＝30°，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DF所成角的余弦值．【详解】(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AD⊥AF，又AD⊥AB，AB∩AF＝A，所以AD⊥平面ABF，因为，所以平面ADEF⊥平面ABF．(2)解：因为平面ADEF⊥平面ABCD，AD⊥AF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以AF⊥平面ABCD．由(1)知AD⊥平面ABF，又AD∥BC，则BC⊥平面ABF，从而BC⊥BF，又BC⊥AB，所以二面角A-BC-E的平面角为∠ABF＝30°．以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则．因为三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，所以O为线段BE的中点，则O的坐标为，，又，则，故异面直线OC与DF所成角的余弦值为．评分细则：第(2)问中，若未证明AF⊥平面ABCD，直接建立空间直角坐标系，则扣1分．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知点是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列.（2）过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于，(在的上方），求向量在轴正方向上的投影的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由在抛物线上求P,再利用焦半径公式求，，，再利用等比数列定义证明即可（2）设直线的方程为，与联立，得，由，求k的范围，并求得P坐标，同理求得Q坐标，则向量在轴正方向上的投影为，求函数的范围即求得结果【详解】（1）证明：在抛物线上，，.，，，，，依次成等比数列.(2)设直线的方程为，与联立，得则，，设，，则，即在的上方，则.以代，得，则向量在轴正方向上的投影为，设函数，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故向量在轴正方向上的投影的取值范围为.【点睛】本题考查抛物线的简单性质与应用，直线与抛物线位置关系，范围问题，熟练运用定义，准确计算P,Q坐标，将在轴正方向上的投影表示为k的函数时关键，是中档题.21.已知函数f(x)的导函数满足对恒成立．(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）．【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值，确定m的范围即可．【详解】(1)由，得．，则，故在(1，+∞)上单调递增．(2)∵，∴，即．设函数，，∵x>1，∴1+lnx>0，为增函数，则．当2e+m≥0，即m≥-2e时，，则h(x)在(1，+∞)上单调递增，从而h(x)>h(1)＝0．当2e+m<0，即m<-2e时，则，若1<x<x0，；若x>x0，．从而，这与h(x)>0对恒成立矛盾，故m<-2e不合题意．综上，m的取值范围为[-2e，+∞)．评分细则：第(1)问中，函数g(x)的导数计算正确给1分；第(2)问中，整理得到得1分；必须因式分解得到才能给1分．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为若与相交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的普通方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，所以，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.[选修4—5：不等式选讲](10分)23.[选修4-5：不等式选讲]设函数求不等式的解集；证明：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题。

2019届吉林省四平市高三质量检测数学（理）试题一、单选题1．设全集{}{}{}|4,,0,1,2,2,3U x x x N A B =<∈==,则()U B A ⋃ð等于( ) A. {}3 B. {}23， C. ∅ D. {}0123，，， 【答案】B【解析】因为全集{}{}{}|4,,0,1,2,2,3U x x x N A B =<∈==，则{| 4,U A x x x N =<∈ð且}0,1,2x ≠=∅， (){}2,3U BU A ∴=ð，故选B.2．"1"a =是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为函数22cos sin cos2y ax ax ax =-=，它的周期是2,12a aππ==±，显然“1a =”可得“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π” ，“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”推不出“1a =”， "1"a =是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件，故选A.3．已知1212ln ,log ,x y z e ππ-===,则( )A. x y z <<B. z x y <<C. z y x <<D. y z x <<【答案】D 【解析】根据对数函数的单调性可以得到1122ln ln 1,log log 10,x e y ππ=>==<=根据指数函数的性质可得()120,1,z e y z x -=∈∴<<，故选D.4．设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( )A. 1，3B. -1，1C. -1，3D. -1，1，3 【答案】A【解析】当1a =-时， 1y x -=的定义域是0x ≠，且为奇函数；当1a =时， y x =的定义域是R 且为奇函数；当12a =时，函数12y x =的定义域是0x ≥，且为非奇非偶函数；当3a =时，3y x =的定义域是R ，且为奇函数，使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为1,3 ，故选A.5．若,x y 满足约束条件221{21x y x y x y +≥≥-≤且向量()()3,2,,a b x y ==,则a b 的取值范围是( )A. 544⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 752⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 742⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 554⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【解析】向量()()3,2,,,32a b x y a b x y ==∴⋅=+，设32z x y =+，作出不等式组对于的平面区域如图，由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，由图象可知当直线322zy x =-+，经过点B 时，直线322zy x =-+的截距最大，此时z 最大，由{ 21x y x y =-=，解得1{ 1x y ==，即()1,1B ，此时max 31215z =⨯+⨯=，经过点A 时，直线322zy x =-+的截距最小，此时z 最小，由{ 221x y x y =+=，解得14{14x y ==，即11,44A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时min 11532444z =⨯+⨯=，则554z ≤≤， a b 的取值范围是554⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a = 则268log ()b b 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．1 【答案】B【解析】试题分析：∵23711220a a a -+=，∴231172()a a a +=，∴2772(2)a a =，∴74a =，∴774b a ==，而226827272log ()log 2log 2log 44b b b b ====．【考点】等差数列等比数列的性质、对数的运算．7．定积分的值为( )A. 4πB. 2πC. πD. 2π 【答案】A 【解析】(()2211y x x y =-+=表示以()1,0为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分4π=，故选A.8．设0,y 0x >>,若lg2x y 成等差数列，则19x y+的最小值为( )A. 8B. 9C. 12D. 16 【答案】D【解析】lg2,lg lg2x y 成等差数列， ()lg2,1x y x y ∴=+∴+=，()19191010616x y x y x y ⎛⎫∴+=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当19,1010x y ==时取等号，故则19x y+的最小值为16，故选D.9．在ABC 中，已知a b c ，，分别为角,,A B C 的对边且A 60∠=︒，若2ABCS=且2sin 3sin B C =，则ABC 的周长等于( )A. 5105+【答案】A【解析】在ABC ∆中， 60,sin 3sin A B C ∠==，故由正弦定理可得23b c =，再由1sin 22ABC S bc A ∆==⋅，可得6,3,2bc b c =∴==，再由余弦定理可得2222cos 7a b c bc A =+-⋅=，所以a =ABC 的周长为5a b c ++= A.10．在ABC 中，若2AB AB AC BA BC CA CB =++，则ABC 是( ) A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形【答案】D【解析】在ABC ∆中， 2,AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅ 2AB AB AC AB BC CA CB ∴=⋅-⋅+⋅()AB AC BC CA CB =⋅-+⋅，22,0,90,AB AB CA CB CA CB C ABC ∴=+⋅∴⋅=∴∠=∴∆为直角三角形，故选D.11．已知函数()y f x =在()0+∞，上非负且可导，满足， ()()21xf x f x x x +≤-+-',若0a b <<,则下列结论正确的是( )A. ()()af b bf a ≤B. ()()af b bf a ≥C. ()()af a f b ≤D. ()()bf b f a ≤ 【答案】A【解析】因为()()21xf x f x x x +≤-+-' ()'0,xf x ⎡⎤∴<∴⎣⎦函数()()F x xf x =在()0,+∞上递减，又0a b <<且()f x 非负，于是有()()0af a bf b >≥，①22110a b >>， ② ①②两式相乘得()()()()0f a f b af b bf a ab>≥→<，根据“或”命题成立的条件可得()()af b bf a ≤成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数()()F x xf x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C 【解析】①()()()()2211,,'20F x f x g x x x F x x x x ⎛⎫=-=-∴∈=+> ⎪⎝⎭，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有210,40k b ∆≤+≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即220,40,0,0b k k b ∆≤+≤≤≤，即有24k b ≤-且2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()()f x kx e x R ≥-∈，可得20x kx e -+≥，当x R ∈恒成立，则(20k ∆=-≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()G x e h x =--2ln e e x =--， ()'x G x x-=，当x =()'0G x =；当0x << ()'0G x <；当x > ()'0G x >；当x = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值， ()()0G x e h x ∴=--≥，则()h x e ≤-， ∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线y e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的.二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 .【答案】11{|}32x x x <->或【解析】试题分析：根据题意可得51,6,5,30ba b a a=-=-∴=-=，所以250bx x a -+>可化为()()261031210x x x x -->⇔+->，所以不等式的解集为11{|}32x x x <->或.【考点】一元二次不等式的解法.14．等比数列{}n a 中， 182,4a a ==,函数()()()()128f x x x a x a x a =--⋯-，则()0f '=__________． 【答案】122 【解析】函数()()()()128...f x x x a x a x a =---， ()()()()128'...f x x a x a x a =---()()()128...'x x a x a x a ⎡⎤+---⎣⎦，则()()441212818'0...82f a a a a a =⋅===，故答案为122. 15．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间](26 -，内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是__________．【答案】)【解析】对于任意的x R ∈，都有()()22,f x f x -=+∴函数()f x 是一个周期函数，且4T =，又当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解，则函数()y f x =与()log 2a y x =+在区间(]2,6-上有三个不同的交点，画出()y f x =与()log 2a y x =+的图象，如图所示，又()()223f f -==，则对于函数()log 2a y x =+，由题意可得，当2x =时的函数值小于3，当6x =时的函数值大于3，即log 43a <，且log 83a >2a <<，故答案为).16．设函数()()2221,x e x e xf xg x x e +==，对任意的()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．【答案】1k ≥【解析】当0x >时， ()222112e x f x e x e x x +==+≥=， ()10,x ∴∈+∞时，函数()1f x 有最小值()()()()222212,,'x x x x xe e xe e x e xe g x g x e e e⋅--=∴==，当1x <时， ()'0g x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时， ()'0g x <，则函数()g x 在()1,+∞上单调递减， 1x ∴=时，函数()g x 有最大值()1g e =，则有()12,0,x x ∈+∞，()()12min max 2f x e g x e =>=，()()121g x f x kk ≤+恒成立且0k >， 2,11e ek k k ∴≤≥+，故答案为1k ≥.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈ 2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈， 2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈， ()()12f x g x ≥， ()max f x ≥ ()min g x .三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a,b,c 满足： 3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且a,b,c 成等比数列. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,判断三角形的形状. 【答案】（1）60B =︒（2）三角形ABC 是等边三角形【解析】试题分析：(Ⅰ)根据诱导公式以及两角和的余弦公式化简3cos cos sin sin cos 2A C A C B ++=，可得32sin sin 2A C =，再由2b ac =结合正弦定理，求得232sin 2B =，根据b 不是最大边，可得B 为锐角，从而求得B 的值；(Ⅱ)由条件可得2tan tan tan a c b A C B +=， cos cos 2cos 1A C B +==，结合23A C π+=，可求得3A C π==，从而得三角形为等边三角形.试题解析：(Ⅰ) 3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=,因为()cos cos B A C =-+32sin sin 2A C ∴=, 又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.(Ⅱ)由2tan tan tan a c b A C B +=,则cos ccos 2cos sin sin sin a A C b BA C B+=, 利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,又因为23A C π+=,所以3A C π==,所以三角形ABC 是等边三角形. 18．在等差数列{}n a 中， 123262311,24a a a a a +==+-,其前n 项和为n S . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列{}n b 满足1n n b S n=+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-（2）1n n + 【解析】试题分析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由123262311,24a a a a a +==+-列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式可得答案；(Ⅱ)求出等差数列的前n 项和2n S n =，代入()21111n n b S n n n n n ===+++ 111n n =-+，然后利用裂项相消法可求得数列{}n b 的前n 项和n T .试题解析：(Ⅰ) ()1211112423235311,24a a a a d a d a a a +=++=+==+-, 即()11122)54a d a d a d +=+++- 得1d 2,1a ==,()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.(Ⅱ) ()()2111111222n S nc n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=,()21111111n n b S n n n n n n n ====--+++, 1111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19．已知函数()22cos 2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()()20f t t m ⎡⎤-->⎣⎦,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),k Z 63T k k πππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为（2）(),1-∞-【解析】试题分析：(Ⅰ)利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由周期公式可得函数f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调性解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可得()f x 单调递增区间；(Ⅱ)利用三角函数的有界性求得()f t 的范围，从而根据二次函数的性质求得()()2f t t ⎡⎤-⎣⎦的最大值为1-，进而可得结果.试题解析：(Ⅰ) ()221cos 2sin 2sin cos 22f x x x x x =++-1cos 22cos 2sin 2226x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭函数()f x 的最小正周期T π=， 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈,得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈,单调递增区间为(),k Z 63k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅱ)当t ,123ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()2t 0,,sin 21626f t t πππ⎡⎤⎛⎫⎤-∈=- ⎪⎢⎥⎦⎣⎦⎝⎭()()()()[]72F t 22,1f t t f t ⎡⎡⎤⇒=-=-∈--⎣⎦⎣,存在t ,123ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()F t m 0->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.20．已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=,且32a +是24,a a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++,对任意正数数n ，()10n n S n m a +++<恒成立，试求m 的取值范围.【答案】（1）2n n a =（2）](1 -∞-，【解析】试题分析：(Ⅰ)通过32a +是24,a a 的等差中项可知()32422a a a +=+，结合23428a a a ++=，可知38a = ，进而通过解方程8820q q+=，可知公比2q =，从而可得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)通过(Ⅰ) 2n n b n =-⋅，利用错位相减法求得n S ，对任意正整数()1,0n n n S n m a +++<恒成立等价于112n m <-对任意正整数n 恒成立，问题转化为求()112nf n =-的最小值，从而可得m 的取值范围. 试题解析：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q 依题意，有()32422a a a +=+, 代入23428a a a ++=,得38a =，因此2420a a +=,即有3112120,{ 8,a q a q a q +==解得12{ 2q a ==或11,{ 232,q a == 又数列{}n a 单调递增，则12,{ 2,q a ==故2n n a =. (Ⅱ) 23122log 22,1222322n n n n n n b n S n ==-⋅∴-=⨯+⨯+⨯++⨯① ()23412122232122n n n S n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得()23111121222222n 222212nn n n n n n S n n ++++-=++++-=-=---()111110,222220n n n n n n S n m a n n m +++++++<∴--++<对任意正整数n 恒成立.11m 222n n ++∴<-对任意正整数n 恒成立，即1m 12n <-恒成立， 111,12nm ->-∴≤-,即m 的取值范围是](1 -∞-，. 【易错点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.21．已知函数()()1x f x e ax a R =--∈.(Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ)试探究函数()()F ln x f x x x =-在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)若()()ln 1ln x g x e x =--,且()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为()ln ,a +∞,单调减区间为()ln a -∞，.（2）见解析（3）](,1 -∞【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出()'f x ，分两种种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得：当a e 1>-时，函数()F x 有两个不同的零点；当a e 1=-时，函数()F x 有且仅有一个零点；当a e 1<-时，函数()F x 无零点；(Ⅲ)分两种情况讨论，当a 1>时，不合题意，当a 1≤时，由(Ⅰ)知，函数()f x 在()0+∞，单调递增，则()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞恒成立，，从而可得结果.试题解析：(Ⅰ)由()()1,,x f x e ax x R a R =--∈∈所以()x f x e a '=-,①当0a ≤时，则x R ∀∈有()0f x '>,函数()f x 在区间(),-∞+∞单调递增；②当0a >时， ()()0ln ,0ln f x x a f x x a >⇒><⇒<'',所以函数()f x 的单调增区间为()ln ,a +∞,单调减区间为()ln a -∞，,综合①②的当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为()ln ,a +∞,单调减区间为()ln a -∞，.(Ⅱ)函数()()ln F x f x x x =-定义域为()0+∞，，又()10ln (0)x e F x a x x x-=⇒=->, 令()1ln (0)x e h x x x x-=->, 则()()()211(0)x e x h x x x -->'=,所以()()01,001h x x h x x ''>⇒><⇒<<,故函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()11h x h e ≥=-.由(Ⅰ)知当1a =时，对0x ∀>,有()(ln )0f x f a >=,即111x xe e x x -->⇔>, 所以当0x >且x 趋向0时， ()h x 趋向∞+，随着0x >的增长， 1x y e =-的增长速度越来越快，会超过并远远大于2y x =的增长速度，而ln y x =的增长速度则会越来越慢，故当0x >且x 趋向∞+时， ()h x 趋向∞+，得到函数()h x 的草图如图所示，①当a e 1>-时，函数()F x 有两个不同的零点；②当a e 1=-时，函数()F x 有且仅有一个零点；③当a e 1<-时，函数()F x 无零点.(Ⅲ)由(Ⅱ)知当x 0>时， 1x e x ->,故对()0,0x g x ∀>>,先分析法证明： ()0,x g x x ∀><,要证()0,x g x x ∀><， 只需证10,x x e x e x-∀><, 即证0,10x x x xe e ∀>-+>,构造函数()1(0x x H x xe e x =-+>),所以()x H x xe 0(x 0)=>>',故函数()1x x H x xe e =-+在()0+∞，单调递增， ()()00H x H >=,则0,10x x x xe e ∀>-+>成立，①当a 1≤时，由(Ⅰ)知，函数()f x 在()0+∞，单调递增，则()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞恒成立，②当a 1>时，由(Ⅰ)知，函数()f x 在(ln ,)a +∞单调递增，在()0,ln a 单调递减，故当0ln x a <<时， ()0ln g x x a <<<,所以()()()f g x f x >,则不满足题意，综合①②得，满足题意的实数a 的取值范围](,1 -∞.22．以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos { sin x t y t αα=+= (t 为参数， 0απ<<)，曲线C 的极坐标方程为2ρsin 4cos θθ=.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相较于,A B 两点，当α变化时，求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =（2）4【解析】试题分析：(Ⅰ)把极坐标方程两边同时乘以 ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)把直线的参数方程代入抛物线方程，化为关于t 的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数方程中参数t 的几何意义求可AB 的最小值.试题解析：(Ⅰ)由2ρsin 4cos θθ=,得()2sin 4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =.(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=,设,A B 两点对应的参数分别为12,t t , 则1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-,1224sin AB t t α∴=-===, 当α2π=时， AB 的最小值为时4.。

吉林省四平一中2019届高三数学下学期第二次联合模拟考试试题（含解析）(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选：B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据集合交集中元素的特征，选择正确的结果.【详解】因为，所以当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.3.从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选：C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.5.若函数有最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选：B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选：D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.8.已知函数，则下列判断错误的是（）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=0时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题9.已知，设满足约束条件的最大值与最小值的比值为，则（）A. 为定值B. 不是定值，且C. 为定值D. 不是定值，且【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值．. 【详解】画出m＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：当直线z＝x+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（﹣1，﹣2）时，z取得最小值，故k2为定值．故选：C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为，，当2+取得最小值时，△PAB的重心坐标为A. (1，1)B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P的坐标，进而得到△PAB的重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，PA的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．11.设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故的最小值为f(7)=-343.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面EFG所成角的正弦值．【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴（），（），（﹣2，2，2），设平面EFG的法向量（x，y，z），则，即，取x＝4，得（4，﹣3，﹣1）．设直线AC1与平面EFG所成角为θ，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos|．故选：D．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.的展开式的第项为_______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形中，，，，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_____．【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题. 16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.在中，.证明：为等腰三角形.若的面积为，为边上一点，且求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c即可证明；由的面积求a,设，在中运用余弦定理求得x，即为所求【详解】（1）证明：，，设的内角的对边分别为，，，由余弦定理可得即，则为等腰三角形.（2），则的面积解得.设，则，由余弦定理可得，解得（负根舍去），从而线段的长为.【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，熟练运用定理及三角公式，准确计算是关键，是中档题18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．【解析】【分析】（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．X的分布列为则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120000元．因为120640>120000，所以选择方案①更划算．评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650．X的分布列为则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2．(1)证明：平面ADEF⊥平面ABF．(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求异面直线OC与DF所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，AD⊥平面ABF，由此能证明平面ADEF⊥平面ABF；（2）推导出BC⊥平面ABF，BC⊥BF，再由BC⊥AB，得二面角A﹣BC﹣E的平面角为∠ABF＝30°，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DF所成角的余弦值．【详解】(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AD⊥AF，又AD⊥AB，AB∩AF＝A，所以AD⊥平面ABF，因为，所以平面ADEF⊥平面ABF．(2)解：因为平面ADEF⊥平面ABCD，AD⊥AF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以AF⊥平面ABCD．由(1)知AD⊥平面ABF，又AD∥BC，则BC⊥平面ABF，从而BC⊥BF，又BC⊥AB，所以二面角A-BC-E的平面角为∠ABF＝30°．以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则．因为三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，所以O为线段BE的中点，则O的坐标为，，又，则，故异面直线OC与DF所成角的余弦值为．评分细则：第(2)问中，若未证明AF⊥平面ABCD，直接建立空间直角坐标系，则扣1分．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知点是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列.（2）过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于，(在的上方），求向量在轴正方向上的投影的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由在抛物线上求P,再利用焦半径公式求，，，再利用等比数列定义证明即可（2）设直线的方程为，与联立，得，由，求k的范围，并求得P坐标，同理求得Q坐标，则向量在轴正方向上的投影为，求函数的范围即求得结果【详解】（1）证明：在抛物线上，，.，，，，，依次成等比数列.(2)设直线的方程为，与联立，得则，，设，，则，即在的上方，则.以代，得，则向量在轴正方向上的投影为，设函数，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故向量在轴正方向上的投影的取值范围为.【点睛】本题考查抛物线的简单性质与应用，直线与抛物线位置关系，范围问题，熟练运用定义，准确计算P,Q坐标，将在轴正方向上的投影表示为k的函数时关键，是中档题.21.已知函数f(x)的导函数满足对恒成立．(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）．【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值，确定m 的范围即可．【详解】(1)由，得．，则，故在(1，+∞)上单调递增．(2)∵，∴，即．设函数，，∵x>1，∴1+lnx>0，为增函数，则．当2e+m≥0，即m≥-2e时，，则h(x)在(1，+∞)上单调递增，从而h(x)>h(1)＝0．当2e+m<0，即m<-2e时，则，若1<x<x0，；若x>x0，．从而，这与h(x)>0对恒成立矛盾，故m<-2e不合题意．综上，m的取值范围为[-2e，+∞)．评分细则：第(1)问中，函数g(x)的导数计算正确给1分；第(2)问中，整理得到得1分；必须因式分解得到才能给1分．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为若与相交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的普通方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，所以，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.[选修4—5：不等式选讲](10分)23.[选修4-5：不等式选讲]设函数求不等式的解集；证明：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题。

吉林省高考数学模拟试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ，≤≤，≤，则()U M N =ð（D ） （A ）{|23}x x ≤≤（B ）{|23}x x <≤ （C ）{|1x x -≤或23}x ≤≤ （D ）{|1x x <-或23}x <≤（2）已知复数2i1iz +=+，则复数在复平面内对应的点在（D ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（B ） （A ）11 （B ）10（C）7（D ）3（4）下列说法中正确的是（D ）（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:10p x x x ∃∈-->R ，，则2:10p x x x ⌝∀∈--<R ，（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 （D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（B（A ）27 （B ）63（C ）15（D ）31（6）下列函数既是奇函数，又在区间(01)，上单调递减的是（C ） （A ）3()f x x = （B ）()|1|f x x =-+ （C ）1()ln1xf x x-=+ （D ）()22x x f x -=+（7）11)d x x -=⎰ （B ）（A ）4π （B ）2π （C ）3π （D ）12π+ （8）设x y ，满足约束条件32021x y y x y x +-⎧⎪-⎨⎪--⎩，，，………则2z y x =-的最大值（A ）（A ）72（B ）2 （C ）3 （D ）112（9）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，若1ABF △是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（C ）（A）1e > （B）01e <（C11e <<（D11e <（10）一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组其三视图如图所示，则该几何体的体积是（B ）（A ）32π侧视图俯视图（B ）1π+（C ）16π+（D ）π（11）一个五位自然数12345{012345}12345i a a a a a a i ∈=，，，，，，，，，，，，当且仅当123a a a >>，345a a a <<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个 数为（D ）（A ）110（B ）137（C ）145（D ）146（12）已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（A ）（A ）1(0)2， （B ）(01)，（C ）(0)+∞， （D ）[1)+∞，第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）2532()x x-展开式中的常数项为 .40 （14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________.2 （15）已知数列{}n a 满足11332n n a a a n +=-=，，则na n的最小值为 ． 解析：2112211()()()2[12(1)]3333n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-+=+-，所以331n a n n n =+-，设33()1f n n n=+-，则()f n 在)+∞上单调递增，在(0上单调递减，因为*n ∈N ，所以当5n =或6时，()f n 有最小值． 又因为5653215562a a ==，，所以n a n的最小值为62162a =. （16）如图，在三棱锥D A B C -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为 .2三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A +=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若1a c ==，ABC △的面积.解析：（Ⅰ）∵sin(2)22cos()sin A B A B A+=++，∴s i n (2)2s i n 2s i n c o s ()A B A A A B +=++， ∴sin[()]2sin 2sin cos()A AB A A A B ++=++，∴sin (A B A AAB+-+=， ∴sin 2sin B A =，∴2b a =，∴2ba=.（Ⅱ）∵1a c ==，2b a =，∴2b =，∴2221471cos 242a b c C ab +-+-===-，∴23C π=.∴11sin 1222ABC S ab C ==⋅⋅=△ABC △的面积（18）（本小题满分12分）ABCD为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件 i i A B ，，123i C i =，，，.由题意知123123123A A A B B B C C C ，，，，，，，，，均相互独立. 则301201101()()()(123).602603606i i i P A P B P C i =======，，，， （Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率：331231111A ()6.2366P P ABC ==⨯⨯⨯= （Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：30102.603P +== 由33222(3)()C ()(1)(0123)333k kk XB P X k k -∴==-=，，，，，.X ∴的分布列为其数学期望为()3 2.3E X =⨯= （19）（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．图1 图2（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E M ，分别为棱BC AC ，的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求EN 与平面BMN 所成角的大小． 解析：（Ⅰ）方法一：在图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-. 由AD BC ⊥，45ACB ∠=︒知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后(如图2)，AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BDDC D =.所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=︒，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△.于是11(33A BV A -=⋅△312[]1233x x x+-+-=≤，当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，故当1x =，即1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．方法二：同方法一，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△.令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =.当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(13)x ∈，时，()0f x '<. 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，12BD AD CD ===，.于是可得(000)(100)(020)(002)D B C A ，，，，，，，，，，，，1(011)(10)2M E ，，，，，，且(111)BM =-，，．设(00)N λ，，，则1(10)2EN λ=--，，，因为EN BM ⊥等价于0EN BM =，解得12λ=，1(00)2N ，，．所以当12DN = (即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN BM ⊥.设平面BMN 的一个法向量为()x y z =，，n ，由BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n ，及1(10)2BN =-，，，得2.y x z x =⎧⎨=-⎩，可取(121)=-，，n ．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ， 则由11(0)22EN =--，，，(121)=-，，n 可得1|1|s i n =||||||EN EN θ--⋅==⋅nn ，即60θ=︒.故EN 与平面BMN 所成角的大小为60︒.图a图b图c 图d方法二：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，12BD AD CD ===，， 如图b ，取CD 的中点F ，连结NF BF EF ，，，则MF AD ∥． 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP DP ，，则四边形DBPF 为正方形，所以DP BF ⊥.取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN DP ∥， 所以EN BF ⊥.因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂平面BCD ，所以MF EN ⊥. 又MFBF F =，所以EN ⊥平面BMF .又BM ⊂平面BMF ，所以EN BM ⊥.因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的． 即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN BM ⊥. 连结MN ME ，，由计算得NB NM EB EM === 所以NMB △与EMB △是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG NG ，，则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ， 则EH ⊥平面BMN ，故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角． 在EGN △中，易得EG GN NE ===，所以EGN △是正三角形， 故60ENH ∠=︒，故EN 与平面BMN 所成角的大小为60︒.（20）（本小题满分12分）已知点(01)F ，，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知圆M 过定点(02)D ，，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A B 、两点，设12DA l DB l ==，，求1221l l l l +的最大值． 解析：（Ⅰ）设()()1P x y Q x -，，，，()()()2101FQ x FP x y QP y ∴=-=-=+，，，，，，代入已知可得，轨迹C 的轨迹方程为24x y =． -------------4分（Ⅱ）设()M a b ，，则24a b =，()22222MD r a b ==+-， ∴圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． ---------6分令0y =，则()224442x a a b x a -=-+=∴-=±，．不妨设()()2020A aB a-+，，，，12l l∴=．22212122112l l l ll l l l+∴+===-----------10分①0a=时，12212l ll l∴+=；②0a≠时，1221l ll l+=当且仅当a=±等号成立．综上，1221l ll l+的最大值为．-----------12分（21）（本小题满分12分）函数ln()a xf xx+=，若曲线()f x在点(e(e))f，处的切线与直线2e e0x y-+=垂直（其中e为自然对数的底数）.（Ⅰ）若()f x在(1)m m+，上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求证：当1x>时，1()2ee1(1)(e1)xxf xx x->+++.解析：（Ⅰ）因为21ln()a xf xx--'=，由已知21(e)ef'=-，所以221e ea-=-，得1a=.所以1ln()xf xx+=，2ln()(0)xf x xx'=->，当(01)x∈，时，()0f x'>，()f x为增函数，当(1)x∈+∞，时，()0f x'<，()f x为减函数.所以1x=是函数()f x的极大值点，又()f x在(1)m m+，上存在极值，所以11m m<<+，即01m<<，故实数m的取值范围是(01)，.（Ⅱ）1()2ee1(1)(e1)xxf xx x->+++等价于11(1)(ln1)2ee1e1xxx xx x-++>++.令(1)(ln1)()x xg xx++=，则2ln()x xg'xx-=，再令()ln h x x x =-，则11()1x h'x x x-=-=， 因为1x >，所以()0h'x >，所以()h x 在(1)+∞，上是增函数， 所以()(1)10h x h >=>，所以()0g'x >，所以()g x 在(1)+∞，上是增函数， 所以1x >时，()(1)2g x g >=，故()2e 1e 1g x >++. 令12e ()e 1x x m x x -=+，则122e (1e )()(e 1)x x x m'x x --=+，因为1x >，所以1e 0x -<，所以()0m'x <，所以()m x 在(1)+∞，上是减函数. 所以1x >时，2()(1)e 1m x m <=+， 所以()()e 1g x m x >+，即1()2e e 1(1)(e 1)x xf x x x ->+++.请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2019年高三第二次模拟考试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共1 50分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第1I卷j_}=I O．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收同．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 O小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知，则a，b ，c的大小关系是A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c3．将函数图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A．B．c．D．4．“m<0”是“函数存在零点"的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为A．B．C．D．86．下列四个判断：①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，某次测试教学平均分别是a，b，则这两个班的数学平均分别为；②从总体抽取的样本（1，2，5），（2，3，1），（3，3，6），（4，3，9），（5，4，4），则回归直线必过点（3，3，6）；③已知服从正态分布N （1，22），且=0.3，则其中正确的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个7．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有A．18种B．36种C．48种D．60种8．已知点M（a，b）（a>0，b>0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则实数ax+by一1A ．一定是负数B ．一定等于0C ．一定是正数D ．可能为正数也可能为负数9．等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知，则下列结论正确的是A ．B ．C ．D ．10．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，设∠DAB=，∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，设的大致图像是第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．曲线与坐标轴所围成押科形面积是 .12．已知集合}032|{},22,2|{22≤-+=≤≤-+==x x x B x x x y y A ，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是 .13．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出的p 值是 .14．观察下面两个推理过程及结论：（1）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：A CBC B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+= （2）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，则=，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：2s i 2c o 2c o s 22c o s 2c o s 2c o s 222A C B C B A -+= 则：若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，类比上面推理方法，可以得到一个等式是 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

2019届吉林省四平一中高三下学期第二次联合模拟考试数学（理）试题一、单选题1．在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选：B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合，则集合可以为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先解集合A,对照选项即可求解【详解】因为，所以当时，故选：C【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与推理论证能力，是基础题3．从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选：C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4．如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.5．若函数有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选：B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A．32 B．40 C．D．【答案】C【解析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7．若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选：D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.8．已知函数，则下列判断错误的是（）A．为偶函数B．的图像关于直线对称C．的值域为D．的图像关于点对称【答案】D【解析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=1时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题9．已知，设满足约束条件的最大值与最小值的比值为，则（）A．为定值B．不是定值，且C．为定值D．不是定值，且【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值．.【详解】画出m＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：当直线z＝x+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（﹣1，﹣2）时，z取得最小值，故k2为定值．故选：C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P的坐标，进而得到△PAB的重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，P A的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．11．设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可. 【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故的最小值为f(7)=-343.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12．正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面EFG所成角的正弦值．【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴（），（），（﹣2，2，2），设平面EFG的法向量（x，y，z），则，即，取x＝4，得（4，﹣3，﹣1）．设直线AC1与平面EFG所成角为θ，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos|．故选：D．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、解答题13．在中，.证明：为等腰三角形.若的面积为，为边上一点，且求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c 即可证明；由的面积求a,设，在中运用余弦定理求得x，即为所求【详解】（1）证明：，，设的内角的对边分别为，，，由余弦定理可得即，则为等腰三角形.（2），则的面积解得.设，则，由余弦定理可得，解得（负根舍去），从而线段的长为.【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，熟练运用定理及三角公式，准确计算是关键，是中档题14．某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．【解析】（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．X的分布列为则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120000元．因为120640>120000，所以选择方案①更划算．评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650．X的分布列为则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2．(1)证明：平面ADEF⊥平面ABF．(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求异面直线OC与DF所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，AD⊥平面ABF，由此能证明平面ADEF⊥平面ABF；（2）推导出BC⊥平面ABF，BC⊥BF，再由BC⊥AB，得二面角A﹣BC﹣E的平面角为∠ABF＝30°，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DF所成角的余弦值．【详解】(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AD⊥AF，又AD⊥AB，AB∩AF＝A，所以AD⊥平面ABF，因为，所以平面ADEF⊥平面ABF．(2)解：因为平面ADEF⊥平面ABCD，AD⊥AF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以AF⊥平面ABCD．由(1)知AD⊥平面ABF，又AD∥BC，则BC⊥平面ABF，从而BC⊥BF，又BC⊥AB，所以二面角A-BC-E的平面角为∠ABF＝30°．以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则．因为三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，所以O为线段BE的中点，则O的坐标为，，又，则，故异面直线OC与DF所成角的余弦值为．评分细则：第(2)问中，若未证明AF⊥平面ABCD，直接建立空间直角坐标系，则扣1分．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16．已知点是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列.（2）过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于，(在的上方），求向量在轴正方向上的投影的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由在抛物线上求P,再利用焦半径公式求，，，再利用等比数列定义证明即可（2）设直线的方程为，与联立，得，由，求k的范围，并求得P坐标，同理求得Q坐标，则向量在轴正方向上的投影为，求函数的范围即求得结果【详解】（1）证明：在抛物线上，，.，，，，，依次成等比数列.(2)设直线的方程为，与联立，得则，，设，，则，即在的上方，则.以代，得，则向量在轴正方向上的投影为，设函数，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故向量在轴正方向上的投影的取值范围为.【点睛】本题考查抛物线的简单性质与应用，直线与抛物线位置关系，范围问题，熟练运用定义，准确计算P,Q坐标，将在轴正方向上的投影表示为k的函数时关键，是中档题. 17．已知函数f(x)的导函数满足对恒成立．(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）．【解析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值，确定m的范围即可．【详解】(1)由，得．，则，故在(1，+∞)上单调递增．(2)∵，∴，即．设函数，，∵x>1，∴1+lnx>0，为增函数，则．当2e+m≥0，即m≥-2e时，，则h(x)在(1，+∞)上单调递增，从而h(x)>h(1)＝0．当2e+m<0，即m<-2e时，则，若1<x<x0，；若x>x0，．从而，这与h(x)>0对恒成立矛盾，故m<-2e不合题意．综上，m的取值范围为[-2e，+∞)．评分细则：第(1)问中，函数g(x)的导数计算正确给1分；第(2)问中，整理得到得1分；必须因式分解得到才能给1分．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．18．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为若与相交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（1）6；（2）13.【解析】（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的普通方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，所以，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.19．设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题三、填空题20．的展开式的第项为_______．【答案】【解析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.21．在平行四边形中，，，，则点的坐标为__________．【答案】【解析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题22．若函数则_____．【答案】6【解析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.23．过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.。

2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。

2019届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·湘潭一模]设集合()(){}140A x x x =+->，{}09B x x =<<，则A B 等于（ ）A ．()1,4-B ．()4,9C ．()0,4D ．()1,9-2．[2019·郴州质检]设312ii 2i z +=--，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．45- C ．2i - D ．2-3．[2019·河南实验中学]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．24πB ．36πC ．48πD ．60π 4．[2019·潍坊期末]若cos π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2α=（ ） A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 5．[2019·佛山质检]()()522x y x y -+展开式中33x y 的系数为（ ） A ．40- B ．120 C ．160 D ．200 6．[2019·宜昌调研]已知两点()1,0A -，()1,0B 以及圆()()()222:340C x y r r -+-=>，若圆C 上 存在点P ，满足0AP PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5 D ．[]4,6 7．[2019·山东外国语]若函数()()01x x f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2019·龙岩质检]已知定义在R 上的可导函数()f x 、()g x 满足()()263f x f x x +-=+，()()113f g -=，()()6g x f x x ''=-，如果()g x 的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号9．[2019·泉州质检]已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为（ ）A．254 B． C．272 D．25210．[2019·辽宁期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin2B A B A A ++-=，且c =π3C =，则ABC △的面积是（ ）ABCD11．[2019·湖北联考]如图，点A 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有 三个公共点，则C 的离心率为（ ）ABC ．2 D12．[2019·哈尔滨六中]定义域为R 的函数()()()2212x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=，恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则()12345f x x x x x ++++ 等于（ ）A ．0B ．2C ．8D ．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·揭阳毕业]若向量()1,x =a 、()1,2=--b 不共线，且()()+⊥-a b a b ，则⋅=a b _______．14．[2019·荆州质检]函数()ln f x x x =在1x =处的切线于坐标轴围成的三角形的面积为__________．15．[2019·盐城一模]设函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．16．[2019·湖南联考]已知直线:2l y x b =+被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为______． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是递增的等比数列且149b b +=，238b b =， 求()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++． 18．（12分）[2019·山东外国语]某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时， 每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正确工作时，超过的生产线每条纯利润为800元， 原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润． （1）写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数； （2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14x =，标准差2s =，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）．①()0.6826P x s X x s -<<+≥；②()220.9544P x s X x s -<<+≥； ③()330.9974P x s X x s -<<+≥，评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线． 试判断该生产线是否需要检修．19．（12分）[2019·牡丹江一中]在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点．（1）证明：11AC BC D ∥平面；（2）若11AA AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面1BC D，求三棱柱111ABC A B C -的高．20．（12分）[2019·丰台期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为12， 直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于不同两点M ，N ，直线FM ，FN 分别交y 轴于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：FA FB =．21．（12分）[2019·河南联考]已知a ∈R ，函数()()2e 3e 32x x af x a x =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB +的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·皖南八校]已知函数()224f x x x =-++．（1）解不等式：()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且()0,0m n a m n +=>>，求11m n+的最小值．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由题意，集合{}14A x x =-<<，{}09B x x =<<，根据集合的交集运算， 可得{}04A B x x =<<，故选C ．2．【答案】D 【解析】()()()()312i 2i 12i 5ii i i 2i 2i 2i 2i 5z +++=-=--=--=---+，∴z 的虚部是2-，故选D ．3．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得：该几何体的外接球的半径r =(24π48π=⨯=，故选C ．4．【答案】C【解析】cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭得到sin α=，所以211cos212sin 1233αα=-=-⋅=，故选C ．5．【答案】B【解析】()()522x y x y -+展开式中33x y 的项为()()()323223333333552C 2C 216040120x x y y x y x y x y x y ⋅⋅+-⋅⋅=-=，则展开式中33x y 的系数为120，故选B ．6．【答案】D【解析】0AP PB ⋅=，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ，151r r ∴-≤≤+，解得46r ≤≤，故选D ．7．【答案】D【解析】由函数()()01x x f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数，故01a <<．函数()log 1a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，函数()log 1a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的，故选D ． 8．【答案】D 【解析】()()6g x f x x ''=-，()()23g x f x x c =-+， ()()113f g -=，则0c =，故()()23g x f x x =-， ()()263f x f x x +-=+，则()()22333f x x f x x -=--++， ()()()22333f x x f x x ⎡⎤∴-=----+⎣⎦，()()3g x g x ∴=--+， 故()g x 的图象关于30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，322M N +∴=，3M N +=，故选D ． 9．【答案】A 【解析】设球O 的半径为R，AB x =，AC y =， 由24π29πR =，得2429R =．又()222222x y R ++=，得2225x y +=． 三棱锥A BCD -的侧面积11122222ABD ACD ABC S S S S x y xy =++=⋅+⋅+△△△， 由222x y xy +≥，得252xy ≤，当且仅当x y ==时取等号， 由()()2222222x y x xy y x y +=++≤+，得xy +≤xy ==时取等号，∴12525224S ≤⨯=，当且仅当x y ==时取等号．∴三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为254．故选A ． 10．【答案】D 【解析】依题意有sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=， 即sin 3sin B A =或cos 0A =． 当sin 3sin B A =时，由正弦定理得3b a =①， 由余弦定理得222π2cos 3a b ab =+-②，解由①②组成的方程组得1a =，3b =，所以三角形面积为1π1sin 13232ab =⨯⨯=当cos 0A =时，π2A =，三角形为直角三角形，b ==故三角形面积为1122bc =，故选D ．11．【答案】A【解析】由题意可得(),0A a ，A 为线段OB 的中点，可得()2,0B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,P a ，由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -， 即2AP a =，即有2a =a b =，ce a ==A ．12．【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解，当2x ≠时，方程()()20f x bf x c ++=至多四个解，不满足题意，当2x =是方程()()20f x bf x c ++=的一个解时，才有可能5个解，结合()f x 图象性质，可知123452222210x x x x x ++++=⨯+⨯+=，即()()12345108f x x x x x f ++++==， 故答案为C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】3【解析】由于()()+⊥-a b a b ，故()()0+⋅-=a b a b ，即22=a b ，即()()222112x +=-+-，解得2x =±， 当2x =时，()1,2==-a b ，两者共线，不符合题意．故2x =-．所以143⋅=-+=a b ．14．【答案】12【解析】()ln f x x x =，()ln 1f x x '∴=+，则()10f =，()11f '=， 故曲线()f x 在点()1,0P 处的切线l 的方程为1y x =-， 令0x =，得1y =-；令0y =，得1x =，则直线l 与两坐标轴的交点为()0,1-和()1,0， 所围成三角形的面积为111122⨯⨯=，故答案为12． 15．【答案】54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】()f x 取零点时x 满足条件()π3πk x k ωω=-+∈Z ，当0x >时的零点从小到大依次为12π3x ω=，25π3x ω=，38π3x ω=，所以满足5π2π38π2π3ωω⎧⎪≤⎨>⎪⎪⎪⎩，解得54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 16．【答案】【解析】（1）()222244202y x b x b p x b y px =+⎧⇒+-=+⎨⎩=， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦=⎥，又直线l 经过C 的焦点，则22b p -=，b p ∴=-， 由此解得2p =，抛物线方程为24y x =，()00,M x y ，2004y x ∴=， 则()()()222220000033418MN x y x x x =-+=-+=-+，故当01x =时，MN =即答案为 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7n a n =-；（2）24173n n n --+． 【解析】（1）由已知得12712153a d a d +=+=⎧⎨⎩，16a ∴=-，1d =，()6117n a n n =-+-⋅=-． （2）由已知得：141498b b b b ⋅+==⎧⎨⎩，又{}n b 是递增的等比数列，故解得11b =，48b =，2q =，12n n b -∴=，∴()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++ ()()13211321n n a a a b b b --=+++++++ ()()16422814164n n -=---++-+++++()()2146284172143nnn n n n --+--=+=-+-．18．【答案】（1）()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且，8条生产线；（2）见解析． 【解析】（1）由题意知：当5x ≤时，()11001001012001000y x x x =-⨯-=-， 当510x <≤时，()()11005800510010900500y x x x =⨯+⨯--⨯-=+，()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且， 当7700y =时，9005007700x +=，8x =，即8条生产线正常工作．（2）14μ=，2σ=，由频率分布直方图得：()()12160.290.1120.80.6826P x ∴<<=+⨯=>，()()10180.80.040.0320.940.9544P X <<=++⨯=<， ()()8200.940.0150.00520.980.9974P X ∴<<=++⨯=<， 不满足至少两个不等式，∴该生产线需重修．19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连结1B C 交1BC 于点E ，连结DE ，则E 是1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1DE AC ∥，且DE ⊂面1BC D ，1AC ⊄面1BC D ， 所以1A C ∥面1BC D ．（2）取AC 的中点O ，连结1A O ，因为点1A 在面ABC 上的射影在AC 上，且11A A AC =， 所以1AO ⊥面ABC ，可建立如图的空间直角坐标系O xyz -，设1A O a =， 因为2AC BC ==，120ACB ∠=︒，则()B -，()1,0,0C -，()12,0,C a -，32D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =，()10,BC a =，112C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,x y z =n 为面1BC D的法向量，1130102BC az C D x⎧⋅⎪⎨⎪=-+=⋅==⎩+n n ，取y a =-，则,,a =-n ， 由BC 与平面1BCD，即cos ,BC ==n ，解得a = 所以三棱柱111ABC A B C - 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得22211 2c c a a b c ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩C 的方程为22143x y +=． （2）设()11,M x y ，()()22121,1N x y x x ≠≠且． 由()224143y k x x y ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=， 依题意()()()22223244364120Δk k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k +=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦+=+=+=------ ()()22126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--． 所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠． 因为OF AB ⊥，所以FA FB =． 21．【答案】（1）详见解析；（2）6a <-． 【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2e e 3e 3e 31x x x x f x a a a '=-++=--． ①当0a ≤时，e 30x a -<，令()0f x '<，得0x >；令()0f x '>，得0x <，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，()0,+∞上单调递减． ②当0a >时，()()()()e e 11e 3e 3x x x x f x a a a ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'，（i ）当31a =，即3a =时，因为()()2e 310x f x '=-≥，所以在(),-∞+∞上单调递增； （ii ）当301a <<，即3a >时，因为()()e e 31x x f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在3ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,+∞上单调递增；（iii ）当31a >，即03a <<时，因为()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在(),0-∞上单调递增； 在30,ln a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）由（1）知当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减， 要使()f x 有两个零点，只要()0302af =-->，所以6a <-．（因为当x →+∞时，()f x →-∞，当x →-∞时，()f x →-∞）下面我们讨论当0a >时的情形： ①当31a =，即3a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，不可能有两个零点； ②当301a <<，即3a >时，因为()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在3ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,+∞上单调递增；因为()0302af =--<，3ln 0a <，所以393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()f x 没有两个零点； ③当31a >时，即03a <<时，因为()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，在30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()0302a f =--<，393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()f x 没有两个零点． 综上所述：当6a <-时，()f x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）2212x y +=；（2）11MA MB += 【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， 222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=． （2）将1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=， 1222cos 1sin t t αα∴+=-+，12211sin t t α-=+⋅， 121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-⋅⋅⋅，12tt -=，2111sin 11sin MA MB αα+∴+==+． 23．【答案】（1）12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）1． 【解析】（1）()32,22246,2232,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩， 可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解； 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤； 当2x >时，3234x x +≥-+，得13x ≥，可得2x >． ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． （2）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩， 可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >，∴()()111111*********n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当n m m n =，即2m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为1．。

吉林省四平一中等2019届高三下学期第二次联合模拟考试试卷数学试卷(理科)(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()212i i-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合{}{}2|4,|2A x x A B x x =>=<-I ，则集合B 可以为 A ．{x|x<3} B ．{x|-3<x<1} C ．{x|x<1} D ．{x|x>-3}3．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下：身高 (100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字) A ．119.3 B ．119.7 C ．123.3 D ．126.74．如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为 A ．25 B ．35C ．23D ．255．若函数()()1222,1,log 1,1x a x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩有最大值，则a 的取值范围为A ．(-5，+∞)B ．[-5，+∞)C ．(-∞，-5)D ．(-∞，-5] 6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为 A ．32 B ．40 C ．3210 D ．40107．若存在等比数列{a n }，使得()123169a a a a +=-，则公比q 的最大值为A ．15+ B ．15+ C ．15-+ D ．15-+ 8．已知函数()22cos 23sin 463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是 A ．f(x)为偶函数 B ．f(x)的图象关于直线4x π=对称 C ．f(x)的值域为[-1，3] D ．f(x)的图象关于点,08π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 9．已知m>0，设x ，y 满足约束条件20,20,20,y x x y m +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩z x y =+的最大值与最小值的比值为k ，则A ．k 为定值-1B ．k 不是定值，且k<-2C ．k 为定值-2D ．k 不是定值，且-2<k<-110．已知A ，B 分别是双曲线C ：2212y x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为A ．(1，1)B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭ D ．44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝5，S 5＝-55，则nS n 的最小值为 A ．-343 B ．-324 C ．-320 D ．-24312．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E ，F ，G ，则直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值为A ．13 B ．13 C ．39 D ．39二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第2项为________．14．在平行四边形ABCD 中，A(1，2)，B(-2，0)，()2,3AC =-u u u r，则点D 的坐标为________．15．若函数()cos 1||xf x x x=++，则()()11lg 2lg lg 5lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________． 16．过点M(-1，0)引曲线C ：32y x ax a =++的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若|MA|＝|MB|，则a ＝________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)在△ABC 中，3sin 2sin ,tan A B C == (1)证明：△ABC 为等腰三角形．(2)若△ABC 的面积为D 为AC 边上一点，且BD=3CD ，求线段CD 的长．18．(12分)某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8％成交的概率为0.6，以优惠6％成交的概率为0.4．(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；(2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问：该单位选择哪种优惠方案更划算?19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 为正方形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=2BC=2．(1)证明：平面ADEF ⊥平面ABF ．(2)若平面ADEF ⊥平面ABCD ，二面角A-BC-E 为30°，三棱锥A-BDF 的外接球的球心为O ，求异面直线OC 与DF 所成角的余弦值20．(12分)已知B(1，2)是抛物线M ：()220y px p =>上一点，F 为M 的焦点．(1)若15,,,23A a C b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是M 上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列． (2)过B 作两条互相垂直的直线与M 的另一个交点分别交于P ，Q(P 在Q 的上方)，求向量QP uuu r在y轴正方向上的投影的取值范围．21．(12分)已知函数f(x)的导函数()'f x 满足()()()ln 'x x x f x f x +>对()1,x ∈+∞恒成立． (1)判断函数()()1ln f x g x x=+在(1，+∞)上的单调性，并说明理由；(2)若()e xf x mx =+，求m 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4--4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ= (1)若l 与C 相交于A ，B 两点，P(-2，0)，求|PA|·|PB|；(2)圆M 的圆心在极轴上且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 设函数()|1||3|f x x x =-++． (1)求不等式()|6|1f x -<的解集； (2)证明：()242||4x f x x -≤≤+．参考答案1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．D 9．C 10．B 11．A 12．D 13．-x 5 14．(6，1)15．6 16．274-17．(1)证明：∵，3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵tan C =1cos 3C =， 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理可得22222232cos 2cos 2ac a b ab C a b a C b =+-=+-⨯=， 即b=c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)解：∵tan C =sin 3C =，则△ABC 的面积2113sin 222S ab C a ==⨯= 解得a ＝2．设CD=x ，则BD=3x ，由余弦定理可得()22213243x x x =+-⨯，解得112x -+=(负根舍去)，从而线段CD 的长为112-． 评分细则：第(1)问中，未设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 不扣分： 第(2)问中，根据三角形面积公式只要求出a ＝2(或BC ＝2)就得3分．18．解：(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24， 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76． (2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X 元，则X ＝184或188． X 的分布列为则EX ＝184×0.6+188×0.4＝185.6．若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200×600＝120000元． 因为120640>120000，所以选择方案①更划算． 评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整： 设在折扣优惠中购买总价为X 元，则X ＝184×650或188×650． X 的分布列为则EX ＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640． 19．(1)证明：因为四边形ADEF 为正方形， 所以AD ⊥AF ，又AD ⊥AB ，AB ∩AF ＝A ， 所以AD ⊥平面ABF ，因为AD ADEF ⊂平面，所以平面ADEF ⊥平面ABF ．(2)解：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，AD ⊥AF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AF ⊥平面ABCD ．由(1)知AD ⊥平面ABF ，又AD ∥BC ，则BC ⊥平面ABF ， 从而BC ⊥BF ，又BC ⊥AB ，所以二面角A-BC-E的平面角为∠ABF ＝30°． 以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ，如图所示，则()()()()(),0,2,0,,0,2,2,0,0,2B D C E F ．因为三棱锥A-BDF 的外接球的球心为O ，所以O 为线段BE 的中点， 则O 的坐标为)，)1OC =-u u u r，又()0,2,2DF =-u u u r ，则cos ,4OC DF ==-u u u r u u u r ，故异面直线OC 与DF 所成角的余弦值为2．评分细则：第(2)问中，若未证明AF ⊥平面ABCD ，直接建立空间直角坐标系，则扣1分． 20．(1)证明：∵B(1，2)在抛物线M ：()220y px p =>上，．∴4＝2p ，∴p ＝2．∴1358||,||2,||222323p p FA FB FC =+===+=， ∵238223⨯=， ∴|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．(2)解：设直线PB 的方程为()()120y k x k =-+>，与y 2＝4x 联立，得()24420ky y k -+-=，则()161620k k ∆=-->，∵k>0，∴()()0,11,k ∈+∞U ． 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则142y k +=，即142y k=-， ∵P 在Q 的上方，∴y 1>0，则()()0,11,2k ∈U ．以1k -代k ，得242y k =--， 则向量QP uuu r 在y 轴正方向上的投影为1244y y k k-=+．设函数()44f k k k=+，则f(k)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，从而f(k)>f(1)＝8，故向量QP uuu r在y 轴正方向上的投影的取值范围为(8，+∞)．评分细则：第(1)问中，计算|FA|，|FC|各得一分；第(2)问中，联立之后一定要注意判别式大于零，没有写到这一点的，扣一分．21．解：(1)由()()()()ln ',1,x x x f x f x x +>∈+∞，得()()()11ln '0x f x f x x+->． ()()()()()21'1ln '1ln f x x f x x g x x +-=+，则()'0g x > ，故g(x)在(1，+∞)上单调递增．(2)∵()e xf x mx =+，∴()()ln e e x x x x x m mx ++>+，即()()()ln e e e 1ln ln 0x x x x x x m mx x x x mx x ++--=-++>． 设函数()()()e1ln ln 1xh x x x x mx x x =-++>，()()()()()'e 11ln 1ln 1ln 1e x xh x x x x m x x x m ⎡⎤=+++++=+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∵x>1，∴1+lnx>0，()()1e xp x x m =++为增函数，则()()12e p x p m >=+．当2e+m ≥0，即m ≥-2e 时，()'0h x >，则h(x)在(1，+∞)上单调递增， 从而h(x)>h(1)＝0．当2e+m<0，即m<-2e 时，则()001,0x p x ∃>=， 若1<x<x 0，()'0h x <；若x>x 0，()'0h x >．从而()()()0min 10h x h x h =<=，这与h(x)>0对()1,x ∈+∞恒成立矛盾，故m<-2e 不合题意． 综上，m 的取值范围为[-2e ，+∞)． 评分细则：第(1)问中，函数g(x)的导数计算正确给1分； 第(2)问中，()()ln e e x x x x x m mx ++>+整理得到()e1ln ln 0xx x x mx x -++>得1分；()'h x 必须因式分解得到()()()'1ln 1e x h x x x m ⎡⎤=+++⎣⎦才能给1分． 22．解：(1)由ρ=，得2210x y +=，将12,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2210x y +=，得2260t t --=， 则t 1t 2=-6，故12||||||6PA PB t t ==g． (2)直线l0y -+=， 设圆M 的方程为()()2220x a y a a -+=>．圆心(a ，0)到直线l的距离为|2d +=，因为1=，所以()22232144a d a +=-=，解得a ＝13(a ＝-1<0舍去)， 则圆M 的半径为13． 评分细则：第(2)问中，若求出圆M 的半径有两个，没有舍去一个，要扣1分． 23．(1)解：∵()|6|1f x -<，∴()161f x -<-<，即()57f x <<， 当-3≤x ≤1时，f(x)＝4显然不合；当x<-3时，5<-2x-2<7，解得9722x -<<-； 当x>1时，5<2x+2<7，解得3522x <<．综上，不等式()|6|1f x -<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ． (2)证明：当-3≤x ≤1时，()42||4f x x =≤+；当x<-3时，()()()2||4222460f x x x x -+=----+=-<， 则f(x)<2|x|+4；当x>1时，()()()2||4222420f x x x x -+=+-+=-<，则f(x)<2|x|+4．∵()()|1||3||13|4f x x x x x =-++≥--+=，∴f(x)≥4．∵244x -≤，∴()24f x x ≥-． 故()242||4x f x x -≤≤+． 评分细则：第(1)问中，还可以这样作答：由()|6|1f x -<，得()57f x <<，给1分；接下来()22,3,4,31,22,1,x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，最后得出结论不等式()|6|1f x -<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ． 第(2)问方法二：|1||3|||1||32||4x x x x x -++≤+++=+，当且仅当x ＝0时，等号成立．证明f(x)≥4-x 2同上．。