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则∠DOC=∠BOD=∠BOC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°， ∴△BDC为正三角形.
又由圆的对称性可知∠OBD=
1 2
∠CBD=30°.延长CO交BD
于E，则CE⊥BD.由题意知OB=10 cm，又∠OBE=30°，
∴在Rt△OBE中，OE=
1 2
OB= 1
2
×10=5(cm)，
〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分 为三类:(1)点E在线段AB上.(2)点E在线段BA的延 长线上；(3)点E在线段AB的延长线上. 解:(1)∠CEB=∠FDC.理由如下:
∵CD是☉O的直径，点C为 的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，
∵CD是☉O的直径，∴∠CFD=90°. ∴∠FDC+∠ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.
∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD.
证法2:如图72所示，连接OE，∵E是
∴
，∴OE⊥BC.
∵AD⊥BC，∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD.
∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠EAD.
的中点，
∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC.
又∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴BD=ID.∴BD=DC=DI.
解:(2) 当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外，连接OB,OD,OC，
圆内接四边形与垂径定理的综合应用
例3 如图24 - 52所示，四边形ABCD的四个顶点都在☉O上，
AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证2OF=CD.
〔解析〕作直径AG,再连接BG,利用三角形中位线定理可得 2OF=BG,只需证明BG=CD.
证明:如图24 - 52所示，过A点作直径AG，连接BG，CG.
则可得AF=CF.
证法1:连接BC,如图24 -48 所示. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°, 即∠ACF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF.
又∵点C是 的中点,∴
∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAE，∴AF=CF.
证法2:如图24 - 49所示，延长CD交 ☉O于点H.
AD⊥BC，D为垂足，E是 的中点，
求证∠OAE=∠EAD.(写出两种以上的证 明方法)
证法1:如图71所示,连接OB，
则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，
∵AD⊥BC,∴∠OAB= 1 (180°-
∠AOB)=90°-
1
2
∠AOB=90°-
2
∠ACB=∠DAC.∵E是 的中点，
∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB-
∵AB是直径,CD⊥AB,∴
又∵点C是 的中点,
∴
，
∴
，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.
证法3:连接OC，如图24 - 50所示.
∵
，OC过圆心，∴CO⊥AE，
∴∠COD+∠OAE=90°.
∵CD⊥OA，∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠DAE.
∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FCA=∠CAF，∴AF=CF.
证明:(1)连接OD，如图(1)所示.
∵AB是直径，AB⊥CD，∴
.
∴∠COB=∠DOB= 1 ∠COD.
2
又∵∠CPD=
1 2
∠COD，∴∠CPD=∠COB.
解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下: 如图 (2)所示，连接OD.
∵∠CPD+∠CP‘D=180°，
∠COB=∠DOB= 1 ∠COD，
直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是
上一点(不与C,D重合),
求证∠CPD=∠COB；
(2)点P‘在劣弧CD上(不与C,D重合)
时，∠CP'D与∠COB有什么数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关
系?请证明你的结论.
〔解析〕本题两个需证明的结论都是圆心角与圆 周角的关系,故可考虑应用同弧(等弧)所对的圆
心角、圆周角关系进行证明.
∴BE= OB2 OC2 102 52 5 3 (cm)，
∴BD=2BE=10 3 cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，
∴S△BDC= 12×BD×CE= ×12 10 ×315=75 (c3m2).
运用圆心角、圆周角的性质探究角的关系
例4 如图24 - 53所示，在☉O中，AB是
则有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.
②当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重 合， 所对的圆周角的度数变成0°，即n=0， 则∠APC=m°.
③如图70所示，当AB,CD的交点P在圆外时， 连接BC(不妨认为m>n)，
则有∠ABC=∠APC+∠DCB，
∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.
圆周角定理及其推论的综合运用
例5 如图24 - 55所示,已知AB是☉O的一条弦,点C为 的中点,CD是☉O的直径,过点C的直线l交AB 所在直线于点E,交☉O于点F.
(1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并写出结论; (2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合),在旋转过程中,点E、 点F的位置也随之变化,请你在图24 - 55的两个备用图中 分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标 上相应字母,选其中一个图形给予证明.
是添加辅助线构造直 角三角形,并且利用
圆周角定理确定AB是 圆的直径.
2.(自贡中考)如图所示，在平面直角坐标系中，☉A
经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已
知B(8，0)，C(0，6)，则☉A 的半径为 ( C ) A.3 B.4 C.5 D.8
[提示:如图68所示,连接BC， ∵B(8，0),C(0,6)，∴OB=8， OC=6. ∵∠BOC=90°， ∴ BC OB2 OC=2 10， 且BC为直径，则☉A的半径为5.]
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，
∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE.
由(1)知BD=CD，∴DB=DE=DC.
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
考查角度2 圆周角与平面直角
坐标系的综合应用
例2 如图24 - 51所示,已知CO,CB是☉O'的弦， ☉O‘与平面直角坐标系的x轴、y轴分别相交
(1)求证BD=CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为
半径的圆上，并说明理由.
证明:(1) ∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得
，∴BD=CD.
解:(2) B，E，C三点在以D为圆心，以
DB为半径的圆上.理由如下:
如图67所示，由(1)知
，
∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，
解:连接AB，如图24 - 51所示.
∵∠AOB=90°，∴AB是圆的直径 ，
∵∠BOC=45°，∠OBC=75°, ∴∠OCB=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°,
【解题归纳】 本题 考查了三角形的内角 和定理和圆周角定理 的运用,解题的关键
∵A点坐标为(0，2)，∴AO=2. 在Rt△AOB中，AB=2OA=4， ∴☉O'的直径AB的长度为4.
2
又∵∠CPD= 1 ∠COD，
2
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP'D+∠COB=180°.
4.圆上两条弦AB,CD所在直线 交于点P,则AB,CD之间夹的 弧为 , .若 所对的 圆周角为m°, 所对的圆周 角为n°,如图所示三种情况, AB,CD的夹角∠APC与m°,n° 之间的关系式是什么?
解:①如图69所示，当AB，CD的交点P 在圆内时,连接BC，
∵AG为☉O的直径，∴∠ACG=90°，∴CG⊥AC.
∵BD⊥AC，∴BD∥CG，∴∠DBC=∠BCG，
∴
，∴DC=BG.
∵OF⊥AB，∴AF=BF.又∵AO=OG，
∴OF是△ABG的一条中位线，∴2OF=BG.∴2OF=CD.
【解题归纳】 在圆中遇到中点,且要证一条线段的
长度是另一条线段长度的2倍时,常作的辅助线是三
于点B,O和A，O，若∠COB=45°，
∠OBC=75°,点A的坐标为(0，2)，求☉O'
的直径. 〔解析〕 连接AB,由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°,所以AB是
圆的直径,利用三角形的内角和定理易求得∠C=60°,再根据圆周角定理可
得∠OAB=∠OCB=60°,从而可以在Rt△AOB中求出AB的长.
(2)如图24 - 56所示.答案不唯一.
选择图(2)证明如下: ∵CD是☉O的直径，点C为 的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD=90°， ∵CD是☉O的直径,∴∠CFD=90°. ∴∠FDC+ ∠ ECD =90°. ∴ ∠CEB =∠FDC.
5.如图所示，△ABC的三个顶点在☉O上，
【解题归纳】 (1)在圆中通过“连接”构造同弧或等弧所对的圆周角是常用
的辅助线作法.(2)在已知条件中,若有与半径或直径垂直的线段,常延长此线段 与圆相交,这样可利用垂径定理得线段相等或弧相等.
1.如图所示，AD为△ABC外接圆的直径，
AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线
交AD于点E，连接BD，CD.
