相似多边形

北京四中编稿：宋建生责编：姚一民相似多边形一、相似多边形的定义，判定，性质可以类比相似三角形的定义，判定，性质来研究，主要应掌握以下几点：1．相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）2.研究相似三角形一定要和全等三角形对照研究三角形全等与相似的判定定理与性质定理。

“相似形”和“全等形”的区别和联系：相似形是指两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同；全等形是指两个图形的形状大小完全相同。

全等形一定是相似形，但相似形不一定是全等形,只有当两个图形的相似比为1时，这两个图形才是全等形。

在相似三角形的性质中，我们也可以说：所有的对应线段之比都等于相似比.3. 相似三角形的几种基本图形并要求掌握：(1)在图(a)中的相似三角形及相似比、面积比；(2)在图(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；(3)在图(d)中线段之间的比例关系及面积关系等常用的乘积式.4.这部分题目主要涉及了相似三角形的性质与判定等方面的内容。

因此，结合图形弄清相似三角形的性质定理及判定定理的条件、结论是正确解题的前提。

直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点。

如图所示，由RtΔACD∽RtΔCBD∽RtΔABC，得AC2=AD·AB；BC2=BD·AB；CD2=AD·DB。

熟记上述等积式有时会给解题带来很大的方便。

尤其几何综合题更明显。

但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似。

证明比例式或等积式是这部分内容所涉及的一种常见题型，解决它的常用方法是：（1）找相似；三点定形法；（2）用平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作某直线的平行线，从而能写出要证明式中的一个比或与其有关的比；（3）变原式：包括等量代换，等积代换和等比代换。

在解与相似形有关的综合题时，要善于挖掘题目中的“隐含条件”，并多结合图形，以相似三角形的判定与性质为突破口，以方程和函数为桥梁，找出解题的方案来。

24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。

2、会利用相似多边形的性质解决问题。

教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。

知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。

点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。

解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。

例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。

点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。

解答：1：4。

例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。

点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。

解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。

例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。

点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。

解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。

考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。

初中-数学-打印版
什么是相似多边形？
什么是相似多边形？
难易度：★★★
关键词：相似图形的性质
答案：
多边形的边数相同，各角对应相等，各边对应成比例叫相似多边形。

即把握两个关键各角对应相等，各边对应成比例。

【举一反三】
典例：两个多边形相似的条件是（）
A．对应角相等 B．对应边相等
C．对应角相等，对应边相等 D．对应角相等，对应边成比例
思路导引：一般来讲，解决本题要把握相似多边形的概念，即把握两个关键各角对应相等，各边对应成比例。

标准答案：D
初中-数学-打印版。

相似多边形教案一、教学目标1.了解相似多边形的定义和性质；2.掌握相似多边形的判定方法；3.掌握相似多边形的性质在实际问题中的应用。

二、教学重点1.相似多边形的定义和性质；2.相似多边形的判定方法。

三、教学难点相似多边形的性质在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入通过展示一些相似的图形，引导学生思考相似的概念，并引出相似多边形的概念。

2. 讲解1.相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似的。

2.相似多边形的性质：–对应边成比例；–对应角相等；–对应线段的比例相等。

3.相似多边形的判定方法：–对应角相等；–对应边成比例；–对应线段的比例相等。

3. 练习1.给出两个多边形，让学生判断它们是否相似，并说明理由。

2.给出一个多边形和一个比例因子，让学生求出相似的多边形。

3.给出一个多边形和一个相似的多边形，让学生求出它们之间的比例因子。

4. 拓展让学生思考相似多边形的性质在实际问题中的应用，如测量高楼、测量山高等。

5. 总结让学生总结相似多边形的定义、性质和判定方法，并强调相似多边形在实际问题中的应用。

五、教学评价1.通过练习，检查学生对相似多边形的理解程度；2.通过拓展，检查学生对相似多边形的应用能力；3.通过总结，检查学生对相似多边形的掌握程度。

六、教学反思相似多边形是初中数学中的一个重要概念，掌握相似多边形的定义、性质和判定方法对于学生的数学学习和实际问题的解决都有很大的帮助。

在教学过程中，要注意引导学生思考和发现，让学生在实践中掌握知识，提高学生的应用能力。

同时，要注意巩固学生的基础知识，让学生在掌握相似多边形的基础上更好地学习后续内容。

相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（）A．12 B．18 C．24 D．30思路与技巧由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.∴，∴2x=36,x=18.答案 B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的长．思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴（相似多边形对应边成比例），又∵AB=6，∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG，∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又A B=6 ∴AF=4 ∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，∴.点评本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似例4 已知：如图所示，△ABC中，DE//FG//BC．（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．思路与技巧注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积．解（1）令，则，（2）∴可设，则∴AD:AF:AB=1:3:6AD:DF:FB=1:2:3.点评根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．例5 如图所示，△ABC的面积为16，，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC，分别交AC于E、G，设AD=x．（1）把△ADE的面积S1，用含x的代数式表示；（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．思路与技巧转化为相似三角形，利用其性质解决．解（1），即（2）∵F为BD的中点，.例6 如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH//AD，HG//DC，GF//BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．思路与技巧证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等．解四边形四边形．理由：因为，所以，所以，所以又因为，所以，所以，所以．而，所以．因为，所以，所以．而，所以．设，所以，所以，所以因此，所以四边形四边形．点评通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究．例7 已知：ABCD是梯形，AB//DC，对角线AC，BD交于E，ΔDCE的面积与ΔCEB的面积比为1∶3．求：ΔDCE的面积与ΔABD的面积比．分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的．ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而ΔDCE与ΔABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ΔADE与ΔBCE的面积相等，这样ΔDCE与ΔABD的面积比就可求了．解∵SΔ DCE∶SΔCEB=1∶3,而ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，∴DE∶EB=1∶3，∵DC//AB，∴ΔDCE∽ΔBAE，∴SΔDCE∶SΔBAE=(DE∶EB)2=1∶9，∵ΔADC与ΔBDC为等底、等高三角形，∴SΔADC=SΔBDC，∴SΔADC-SΔDCE=SΔBDC-SΔDCE，∴SΔAED=SΔBEC设SΔDCE=k, 则SΔAED=SΔBEC=3k, SΔBAE=9k,∴SΔABD=SΔABE+SΔADE=12k,∴SΔDCE∶SΔABD=1∶12.点评相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方．例8 如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；思路与技巧本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形．第一问，思路，作PEQR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积．第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置．解（1）：作PE⊥QR，E为垂足∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4.∴PE==3.当t=3时，QC=3．设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP，∴=()2.∵S△QEP=×4×3=6，∴S=()2×6=(cm2).（2）当t=5时，QC＝5，B、C两点重合，CR=3，设PR与DC交于G. 由△RCG∽△REP，可求出S△RCG=.S=12-=(cm2).点评本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑．每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想．。

《相似多边形和图形的位似》汇报人：日期:•相似多边形的基本概念•相似多边形的判定方法•图形的位似变换目录•相似多边形与位似变换的关系•相似多边形和位似变换的应用举例•总结与展望01相似多边形的基本概念如果两个多边形的对应角相等，则它们是相似的。

对应角相等如果两个多边形的对应边成比例，则它们是相似的。

对应边成比例对应边成比例相似多边形的对应边成比例。

面积比等于相似比的平方相似多边形的面积比等于相似比的平方。

对应角相等相似多边形的对应角相等。

等边三角形矩形三边都相等的三角形。

四个角都是直角的四边形。

等腰三角形等腰梯形正方形两边相等的三角形，其中两边为腰，另一边为底。

有一组对边平行且另一组对边相等的四边形。

四边相等且四个角都是直角的四边形。

02相似多边形的判定方法平行线的性质是判定定理的基础，通过平行线的性质可以推导出相似多边形的判定定理。

平行线性质相似三角形的判定相似多边形的定义首先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质推导出两个多边形相似。

根据相似多边形的定义，如果两个多边形的对应角相等，则它们相似。

030201判定定理可以应用于实际问题中，例如在建筑设计、工程绘图等领域中，需要利用相似多边形的性质进行计算和设计。

判定定理也可以应用于数学问题中，例如在几何证明、代数运算等领域中，可以利用相似多边形的性质进行证明和计算。

数学问题中的应用实际问题中的应用首先根据相似三角形的性质，证明两个三角形相似；然后利用相似三角形的性质，推导出两个多边形相似。

证明过程具体证明过程需要使用到平行线的性质、相似三角形的性质等知识点，通过逻辑推理和数学运算来证明判定定理的正确性。

03图形的位似变换如果一个图形经过某种变换后，其形状和大小保持不变，但各对应点间的相对位置关系发生了改变，那么这种变换称为位似变换。

定义位似变换保持了图形间的相对位置关系，但改变了图形的形状和大小。

位似变换的特性位似变换保持了图形间的相对位置关系，即图形中的点在变换后仍然保持它们之间的相对位置不变。

3.4 相似多边形知识点：1.相似多边形对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。

2.相似多边形的性质(1)相似多边形的对应角相等；(2)相似多边形的对应边成比例；(3)相似多边形的周长之比等于相似比；(4)相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

例1 如图所示，已知四边形ABCD ∽四边形''''A B C D ，且''AB k A B=。

则： (1)'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，'C C ∠=∠，'D D ∠=∠； (2)''''''''AB BC CD DA k A B B C C D D A====； (3)四边形ABCD 的周长:四边形''''A B C D 的周长k =；(4)ABCD S 四边形:''''2A B C D S k =四边形。

3.判定两个多边形相似的方法如果两个多边形的各边对应成比例，各角对应相等，那么这两个多边形相似。

例 2 如图所示，在四边形ABCD 及四边形''''A B C D 中，'11∠=∠，'33∠=∠，''''''AB AC AD A B AC A D ==。

求证：四边形ABCD ∽四边形''''A B C D 。

3.5 图形的放大与缩小，位似变换知识点：1.位似变换取定一点O ，把图形上任意一点P 对应到射线OP (或它的反向延长线)上一点'P ，使得线段'OP 与OP 的比等于常数k （0k >），点O 对应到它自身，这种变换叫作位似变换，点O 叫作位似中心，常数k 叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。

相似多边形定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊相似多边形呀！你说这相似多边形，就像是一群有着相似模样的小伙伴。

咱先想想，啥叫相似多边形呢？简单说呀，就是形状一样，但大小可能不一样的那些多边形。

就好比一群人，长得都挺像，但高矮胖瘦各不同。

比如说两个三角形吧，如果它们的角都相等，边呢，也成比例，那它们就是相似三角形啦。

这就好像是两个双胞胎，虽然一个高点一个矮点，但那神情那模样，就是很像很像呀！
再看看四边形、五边形那些，也是同样的道理呀。

它们就像是一个家族里的兄弟姐妹，有着共同的特点，让人一眼就能看出是一伙的。

你想想看，生活中是不是也有很多相似的东西呀？就像不同品牌的手机，虽然有些细节不一样，但大体的功能和样子都差不多，这不就是一种相似嘛。

相似多边形可有意思啦！它们之间有着很多奇妙的联系和规律呢。

我们可以通过一个相似多边形去了解另一个相似多边形，就好像通过了解一个人，就能猜到他的兄弟姐妹大概是什么样。

而且呀，相似多边形在很多地方都大有用处呢！比如在建筑设计里，设计师们会利用相似多边形的原理，让建筑物既美观又协调。

在地图绘制上，也是利用相似多边形来把实际的地方缩小画在纸上，我们才能看清整个世界的样子呀。

你说这相似多边形是不是很神奇？它们就像是隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现和探索。

我们可不能小瞧了它们，说不定哪天它们就能帮我们解决大问题呢！
相似多边形就是这样，虽然看起来普普通通，但却蕴含着无尽的奥秘和乐趣。

所以呀，我们可得好好去认识它们，和它们成为好朋友，让它们为我们的生活增添更多的精彩！这就是相似多边形，神奇又有趣的数学伙伴！。