2013高考数学总复习 3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化练习 新人教A版

【走向高考】2013年高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版一、选择题1．(2010·山东理)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410 ＝112. 2．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-666f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] D[解析] ∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称． ∴对应的面积相等． 原式＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.3．(2012·沈阳)由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43 C.185 D ．6[答案] A [解析] S ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪x 442＝4.4．(2011·湖南理，6)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 3[答案] D[解析] 本小题考查定积分的计算与几何意义．S ＝⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.5．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ∵⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1xd x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －(12＋ln1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2 ∴a ＝2.6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4) 令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题7. ⎠⎛－43|x ＋2|d x ＝________.[答案]292[解析] 原式＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－23 (x ＋2)d x ＝292.8．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5m/s 的速度自由落下，则下落后第二个4s 内经过的路程是________．[答案] 261.2m[解析] ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 三、解答题 9．求下列定积分：(1)⎠⎛01(x 2－x )d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2cos 2x 2d x ；(3)⎠⎛12|3－2x |d x ；(4) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x . [解析]一、选择题1．已知力F 和物体移动方向相同，而且与物体位置x 有如下关系：F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤0，x 2＋1， x >0.那么力F 使物体从x ＝－1点运动到x ＝1点做功大小为( )A ．0 B.116 C.56 D ．1[答案] B[解析] ⎠⎛-11F (x )d x ＝⎠⎛-10|x |d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝12(－1)2＋13×13＋1＝116. 2．(2012·梅州模拟)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝94π.故选C.二、填空题3．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.[答案] －2[解析] ∵⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x ，∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－1－1＝－2.4．(2011·陕西理，11)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[答案] 1[解析] 本小题考查分段函数求函数值、定积分的计算．f (f (1))＝f (lg1)＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a＝a 3＝1.∴a ＝1.三、解答题5．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0，∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6， 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．如下图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310 ＝16.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x2y ＝kx可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－342.7．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0<t <1)，把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-1 ＝13. (3)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0 (x 2＋2x ＋1)d x .∴⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-t ，∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0 ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132.。

年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理【2013年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 三条性质设阴影部分面积为S .①S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ②S ＝－⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ③S ＝⎠⎜⎜⎛ac f (x )d x －⎠⎜⎜⎛cb f (x )d x ；④S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x －⎠⎜⎜⎛ab g (x )d x ＝ ⎠⎜⎜⎛ab[f (x )－g (x )]d x .(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 s ＝⎠⎜⎜⎛ab v(t)d t .(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．双基自测2．(2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D.3 解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3. 答案 D4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x双基自测1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1解析⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)1＝(e ＋1)－1＝e.答案 C 3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )．A.112B.14C.13D.712 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.答案 A轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．A.1πB.2πC.π4D.3π考向一 定积分的计算【例1】 计算下列积分解析 阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A.答案 A 5．(人教A 版教材习题改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．解析 s ＝⎠⎜⎜⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案 6.5 m当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．(5)由y ＝x cos x －5sin x 为奇函数⎠⎜⎜⎛－11(x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ ⎪⎪⎪⎠⎛1－12d x ＝2x 1－1＝4. (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则 ＝0.考向二 利用定积分求面积【例2】 求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．解 解方程组⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4 S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2 ＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136.考向三 定积分的应用【例3】 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置； (2)在t ＝4 s 内运动的路程．[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为 S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10＋|⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31|＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在4s 内运动的路程为4 m.由s ＝v 0t ＋12at 2通过求导可推出v ＝v 0＋at ，反之根据积分的几何意义，由v ＝v (t )(v (t )≥0)可求出t ∈[a ，b ]时间段内所经过的路程．【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解析 可观察出曲线v 甲，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积大于曲线v 乙，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积，故选A. 答案 A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积． 一、积分的几何意义【示例】► 已知r >0，则⎠⎛r －r r 2－x 2d x ＝________.二、积分与概率y)，则点M取自阴影部分的概率为__________．。

第4讲 定积分与微积分基本定理A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)1．(2013·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于 ( )．A ．0B ．4C ．8D ．16解析 因为f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16. 答案 D2．(2013·垫江模拟)已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛2－1f (x )d x 等于( )．A ．3B ．4C.72 D.92解析 f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－xx ≥0，2＋x x <0，∴⎠⎛2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )．A.13B.43 C ．2D.83解析 由导函数f ′(x )的图象可知函数f (x )为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，由f (0)＝0，得c ＝0.f ′(x )＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ×－1＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛0－2(－x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43.答案 B4．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，即a ＝2.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t ＝________.解析 ⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪t0＝t 2－t ＝6，解得t ＝3(t ＝－2舍去)． 答案 36．(2012·山东)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 S ＝⎠⎛0a x d x ＝⎪⎪⎪23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案 49三、解答题(共25分)7．(12分)已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f xx d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx ⎪⎪⎪10＝12a ＋b . ∴12a ＋b ＝5.① 又⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2⎪⎪⎪10＝13a ＋12b .∴13a ＋12b ＝176.② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， ∴⎠⎛12f x x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21＝4＋3ln 2.8．(13分)如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( )．A.16B.13C.56D.23解析 在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x 2＋2x ＝x ，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S ＝⎠⎛0－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫－13x 3－12x 20－1＝－13－12＝16. 答案 A2．(2013·郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12B.16C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若⎠⎛k3f (x )d x ＝403(k <2)．则k ＝________. 解析 ⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1.答案 0或－14．设f (x )＝x n＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且⎠⎛12f (－x )d x ＝m ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析 因为f (x )＝x n＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以⎠⎛12f (－x )d x＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪13x 3－⎭⎪⎫12x 221＝56＝m 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1. 答案 1三、解答题(共25分)5．(12分)已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋2－a x 10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]．∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2. 6．(13分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。