2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习 ：等差、等比数列+Word版含解析

专题检测（十三） 数 列A 卷——夯基保分专练一、选择题1．(2017·武汉调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A ．－2 B ．－1 C.12D ．23解析：选B 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2， 得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3， 解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13 B ．－13C.12D ．－12解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫x ·3n －1－16－⎝⎛⎭⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n－2)＝2x ·3n －2，∵{a n }是等比数列， ∴a 1＝2x ·31－2＝23x ＝x －16，∴x ＝12.3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．60D ．90解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 24＝a 3a 7，得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，故2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋28d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋45d ＝60.4．已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx 2＋2a 1x ＝0的两个实数根，且d <0，∴－2a 1d ＝9，a 1＝－9d 2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝⎝⎛⎭⎫n －112d ，可得a 5＝－12d >0，a 6＝12d <0.∴使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是5.5．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的值为( )A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 015解析：选A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝(n －1)(n ＋2)2，所以a n ＝n 2＋n 2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝2⎝⎛1－12＋12－13＋…＋12 016⎭⎫－12 017＝2⎝⎛⎭⎫1－12 017＝4 0322 017.6．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .若首项a 1＝32，公差d ＝1，则满足S k 2＝(S k )2的正整数k 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选D 法一：由题意知，S k 2＝k 2(a 1＋a k 2)2＝k 2⎝⎛⎭⎫32＋32＋k 2－12＝k 2(k 2＋2)2，S k ＝k (a 1＋a k )2＝k ⎝⎛⎭⎫32＋32＋k －12＝k (k ＋2)2，因为S k 2＝(S k)2，所以k 2(k 2＋2)2＝k 2(k ＋2)24，得k ＝4. 法二：不妨设S n ＝An 2＋Bn ，则S k 2＝A (k 2)2＋Bk 2，S k ＝Ak 2＋Bk ，由S k 2＝(S k )2得k 2(Ak 2＋B )＝k 2(Ak ＋B )2，考虑到k 为正整数，从而Ak 2＋B ＝A 2k 2＋2ABk ＋B 2，即(A 2－A )k 2＋2ABk ＋(B 2－B )＝0，又A ＝d 2＝12，B ＝a 1－d2＝1，所以14k 2－k ＝0，又k ≠0，从而k ＝4.二、填空题7．(2017·长沙模拟)等比数列{a n }的公比为－2，则ln(a 2 017)2－ln(a 2 016)2＝________. 解析：因为a n a n －1＝－2(n ≥2)，故⎝⎛⎭⎫a n a n －12＝2，从而ln(a 2 017)2－ln(a 2 016)2＝ln ⎝⎛⎭⎫a 2 017a 2 0162＝ln 2. 答案：ln 28．(2018届高三·福建八校联考)在数列{}a n 中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{}a n 为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{}a n 是等比数列，且公比q ＝1时，{}a n 不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④9．(2017·福建质检)已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为_______．解析：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)， 两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a n n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n ＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a ＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等， 所以n 取10或11时，a n 取得最小值． 答案：10或11 三、解答题10．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．11．已知等差数列{a n }的首项为a 1(a 1≠0)，公差为d ，且不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n －a n ＝1n 2＋n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )，可得a 1＞0且1，d 为方程a 1x 2－3x ＋2＝0的两根，即有1＋d ＝3a 1，d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)b n －a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，即b n ＝a n ＋1n －1n ＋1＝2n －1＋1n －1n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n ＝(1＋3＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝12n (1＋2n －1)＋1－1n ＋1＝n 2＋nn ＋1. 12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)． (1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解：(1)∵6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)， ①∴当n ＝1时，6S 1＝6a 1＝9＋a ， 当n ≥2时，6S n －1＝3n ＋a ， ②①－②得，6a n ＝2×3n ， 即a n ＝3n －1，∵{a n }是等比数列，∴a 1＝1，则9＋a ＝6，得a ＝－3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)＝(3n －2)(3n ＋1)， ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1 ＝n3n ＋1. B 卷——大题增分专练1．新定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若数列{a n }满足a 1＝23，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1 n a n n ＋1＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1 n a n n ＋1＝0，所以(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以数列{na n }是常数列，因为a 1＝23，所以na n ＝23，所以a n ＝23n .(2)因为b n ＝a n a n ＋1，所以b n ＝49n (n ＋1)＝49⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝49⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝49⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n 9(n ＋1)， 所以T n ＝4n 9(n ＋1).2．已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1.解：(1)因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1， 所以b n ＋1b n ＝3(n ＋1)n.因此，b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×43，…，b n b n －1＝3×n n －1，上面式子累乘可得b n b 1＝3n －1×n ，因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n . (2)证明：因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n (n ＋1)2n ＋3·3n.因为1a n ＝2n ＋3n (n ＋1)·13n ＝3(n ＋1)－n n (n ＋1)·13n＝⎝⎛⎭⎫3n －1n ＋113n ＝1n ·13n －1－1n ＋1·13n， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝⎛⎭⎫1·130－12·131＋⎝⎛ 12·131－ ⎭⎫13·132＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ·13n －1－1n ＋1·13n ＝1－1n ＋1·13n. 因为n ∈N *，所以0<1n ＋1·13n ≤16，所以56≤1－1n ＋1·13n <1，所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1.3．(2017·河南焦作二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n －1)·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝2S 1＋1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，由a n ＝2S n ＋1，得a n －1＝2S n －1＋1， 两式相减得a n －a n －1＝2a n ，化简得a n ＝－a n －1， 所以数列{a n }是首项为－1，公比为－1的等比数列， 则可得a n ＝(－1)n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·(－1)n ，当n 为偶数时，T n ＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(2n －1)＝2×n2＝n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝(n ＋1)－(2n ＋1)＝－n . 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n ·n .4．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1， 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1， 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高 考 感 悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【 真 题 体 验 】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考 点 突 破 】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

寒假作业(六) 不等式(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≥0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 解析：选C 将不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0，解得－12≤x ≤32.2．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 由于a <b <0，不妨令a ＝－2，b ＝－1，可得1a ＝－12，1b ＝－1，∴1a >1b ，－1a <－1b，故A 不正确，D 正确．可得ab ＝2，b 2＝1，∴ab >b 2，故B 不正确．可得－ab＝－2，－a 2＝－4，∴－ab >－a 2，故C 不正确．3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.4．若a >1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3D.2a a －1解析：选C ∵a >1， ∴a －1>0，a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2＋1＝3，当a ＝2时取到等号，故选C.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y x的取值范围是( )A ．[2,5]B ．(－∞，2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，3]∪[5，＋∞)D ．[3,5]解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，y x表示可行域内一点(x ，y )与原点连线的斜率，由图易得A (2,4)，B (1,5)，故y x的取值范围是[2,5]．6．(2018届高三·石家庄摸底)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a1＋2b 2＝122×(22a )×1＋2b 2≤122×12×[]22a 2＋1＋2b 22＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.7．(2017·兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A.322B.92C.5D ．25解析：选B 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为32＝322，∴x 2＋y 2的最小值为92. 8．已知函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若a >0时，f (x )<0在x ∈(1,2)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 2≤0，解得0<a ≤12或a ≥2.9．某工厂用A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件，耗时1 h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件，耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8 h ．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为( )A ．24万元B ．22万元C ．18万元D ．16万元解析：选B 设该工厂分别生产甲、乙两种产品x 件，y 件，每天获得的利润为z 万元，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤24，4y ≤16，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(6,1)，所以z max ＝3×6＋4×1＝22(万元)，故选B.10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.11．(2018届高三·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y的最小值为－4，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2.12．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有以下性质： ①对任意a ，b ∈R ，a ⊕b ＝b ⊕a ； ②对任意a ∈R ，a ⊕0＝a ；③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊕b )⊕c ＝c ⊕(ab )＋(a ⊕c )＋(b ⊕c )－2c . 则函数f (x )＝x ⊕1x(x >0)的最小值为( )A ．4B ．3C ．22D ．1解析：选B 根据题意，得f (x )＝x ⊕1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ⊕1x ⊕0＝0⊕⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋(x ⊕0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x⊕0－2×0＝1＋x ＋1x，即f (x )＝1＋x ＋1x.∵x >0，可得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x＝1，即x ＝1时等号成立．∴1＋x ＋1x ≥2＋1＝3，可得函数f (x )＝x ⊕1x(x >0)的最小值为f (1)＝3.13．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，则m的取值范围是________．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m <2，∴m 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)14．(2017·南京调研)已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1，由2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t＝7，解得t＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．答案：315．(2017·长春质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y2的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y ＝－2x ＋2z ，结合线性规划知识知，使目标函数z ＝x ＋y2取得最大值的最优解为M (4，6)，故z ＝x ＋y2的最大值为7.答案：716．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a ＋4b的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝ax ＋by (a >0，b >0)得，y ＝－a b x ＋z b ，平移直线y ＝－a b x ＋z b ，数形结合可知，当y ＝－abx ＋zb过点A (1,1)时，目标函数取得最大值1，即a ＋b ＝1，则1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝1＋4＋b a＋4a b≥5＋2b a ·4ab ＝5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝23时取等号，故1a ＋4b的最小值为9.答案：9二、能力拔高练1．已知互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，则下列等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B 若a >b ，则a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A 、D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )，故a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立， 例如取a ＝3，b ＝5，c ＝1，故选B. 2．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B ∵a x ＝b y ＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＝log 2a ，1y＝log 2b ，∴1x ＋1y＝log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ，∵2a ＋b ＝8≥22a ·b ，∴ab ≤8(当且仅当2a ＝b 时，取等号)， ∴1x ＋1y ≤log 28＝3，即1x ＋1y的最大值为3.3．给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则2a 2＋b 2≥a ＋b ；②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2； ④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2≥3. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．③④解析：选B ①若a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴2a 2＋b 2≥a ＋b ，故①正确；②若ab >0，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，故②不正确；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，取a ＝5，b ＝1.5，结论不成立，故③不正确；④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3(ab ＋bc ＋ca )＝3，故④正确． 综上知，正确的命题是①④.4．(2018届高三·皖南八校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0 解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－4，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0. 5．设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为________． 解析：当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，故(3x 2＋a )·(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2，所以－13≤a <0，所以b －a <13；当a <0<b 时，令x ＝0，则(3x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上不恒成立，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，2x (3x 2＋a )≥0恒成立，所以3x 2＋a ≤0，所以－13≤a <0，所以b －a ≤13.综上所述，b －a 的最大值为13. 答案：136．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n 表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞。

寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3＝18. 4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，22时，y ′＝1x－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74. 6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x＝x ＋a x－2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋a x－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0.11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x －12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e) D ．(0，e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a <e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln1＋x1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln1＋x 1－x， 则g (－x )＝(－x )2ln1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x1－x＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x 为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x 趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x ∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1， 由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高 考 感 悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1qn －1.(4)等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m qn －m.(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【 真 题 体 验 】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考 点 突 破 】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

第一讲 等差数列、等比数列[考情分析]等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点.[真题自检]1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：法一：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5.解析：A2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12解析：∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.答案：B3．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，求n 的值．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴－2n1－2＝126，∴n ＝6.等差数列、等比数列的基本运算[方法结论]1．两组求和公式 (1)等差数列：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列：S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q(q ≠1)． 2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．[题组突破]1．(2017·贵阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( ) A ．88 B ．48 C ．96D ．176解析：依题意得S 11＝a 1＋a 112＝a 3＋a 92＝11×162＝88，选A. 优解：依题意，可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法)，即a n ＝8，因此S 11＝88，选A.答案：A2．(2017·海口模拟)已知数列{a n }，a n ＞0, 它的前n 项和为S n ，且2a 2是4a 1与a 3的等差中项．若{a n }为等比数列，a 1＝1，则S 7＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，依题意有a 1＝1,4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，故q ＝2，则S 7＝1－271－2＝127. 答案：1273．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝8a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)c 1＝ab 1＝a 1＝1，c 2＝ab 2＝a 2＝3， 从而等比数列{c n }的公比为3， 因此c n ＝1×3n －1＝3n －1.另一方面，c n ＝a n b ＝2b n －1， 所以2b n －1＝3n －1，因此b n ＝3n －1＋12. 记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝＋31＋…＋3n －1＋n 2＝3n＋2n －14.[误区警示]在运用等比数列前n 项和公式时，一定要注意判断公比q 是否为1，切忌盲目套用公式导致失误．等差数列、等比数列的性质[方法结论]1．等差数列、等比数列常用性质：(1)若n 为奇数，则S n ＝na 12n+.(2)若n 为偶数，则S n ＝n2(a 2n ＋a 12n ＋)．3．在等差数列中，当项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n；当项数为奇数2n －1时， 有S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n. 4．在等比数列中，当项数为偶数2n 时，S 偶S 奇＝q .[题组突破]1．(2017·洛阳模拟)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．1B ．2C ．9D ．10解析：依题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，∴a 1a 10＝10， 又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1＜a 10，∴a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1＝1，选A.答案：A2．(2017·江西红色七校联考)等比数列{a n }满足a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则公比q 为( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：通解：由已知可得a 21q 6＝64，即a 1q 3＝8，得a 4＝8，所以8q＋8q ＝20，化简得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)，故q ＝2，选C.优解：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4a 5＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16a 5＝4(舍去)，故a 5a 3＝164＝4＝q 2，故q ＝2，选C. 答案：C3．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3解析：{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan(－7π3)＝tan(－2π－π3)＝－tan π3＝－ 3.答案：D [误区警示]在等比数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m …仍成等比数列的前提是S m ≠0，易忽视这一条件．等差数列、等比数列的判定与证明[方法结论]1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： (1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； (2)利用等差中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． 2．证明{a n }是等比数列的两种基本方法： (1)利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； (2)利用等比中项性质，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，a n ≠0)． [典例] (2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和． 已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解析：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＝2，a 1＋q ＋q2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1－qn1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． [类题通法]等价转化思想在解决a n 与S n 关系问题中的应用在已知a n 与S n 的关系问题中，通常利用a n 与S n 的关系转化为{a n }中a n 与a n －1或a n ＋1与a n 的关系，然后求解其他问题．[演练冲关]1．(2017·华南师大附中测试)在数列{a n }中，a 1＝p ，a n ＋1＝qa n ＋d (n ∈N *，p ，q ，d 是常数)，则d ＝0是数列{a n }是等比数列的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当d ＝0，p ＝0时，a n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；当q ＝0，p ＝d ，d ≠0时，a n ＝d ，则数列{a n }为公比为1的等比数列，所以必要性不成立．综上所述，d ＝0是数列{a n }是等比数列的既不充分也不必要条件，故选D. 答案：D2．(2017·临川一中模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝n ＋1na n ＋2n ＋2. (1)证明：数列{a n n}是等差数列； (2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＜1.证明：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋2n ＋2得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2， ∴数列{a n n}是首项为3，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n n＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1， ∴a n ＝n (2n ＋1)， ∴1a n ＝1nn ＋＜1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＜(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝11－1n ＋1＜1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＜1.等差、等比数列与其他知识的交汇1．交汇点 数列与其他知识的交汇数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用． [典例1] (2017·宜昌月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴a 1＋a 2 016＝1，∴S 2 016＝a 1＋a 2 0162＝1 008，故选B.答案：B [类题通法]本题巧妙地将三点共线条件(PA →＝xPB →＋yPC →且A ，B ，C 三点共线⇔x ＋y ＝1)与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体求值思想．[演练冲关]1．(2017·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32 C ．1D ．－32解析：因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32.答案：B2．创新点 新定义下数列的创新问题 [典例2] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析：由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋c n2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，所以S 2nS n ＝2n c 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd4＋nd －d＝2＋21＋4－d nd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n 为非零常数，所以d ＝4. 答案：4 [类题通法]解决新定义下数列问题一般是直接扣定义进行求解．本例的关键是抓住S 2nS n为非零常数来确定参数值．[演练冲关]2．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n}是等比数列，且公比q＝1时，{a n}不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④。

寒假作业(十一) 数列的通项与数列求和(注意命题点的区分度)一、选择题1．(2017·安溪质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A ．9B ．8C ．17D ．16解析：选A S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n，则数列{b n }的前n 项和为( )A.n ＋12n ＋2B.34－2n ＋32n ＋1n ＋2C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3n ＋1n ＋2解析：选B 易得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.3．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， ∴数列{a n }是公差d ＝3的等差数列， 又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8a 1＋a 82＝8a 4＋a 52＝92.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31解析：选BS n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62.又n ∈N *，∴n 有最小值63.5．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选D 由4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)， 得4S n －1＝(a n －1－1)·(a n －1＋3)，n ≥2， 两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又{a n }是正项数列， ∴a n －a n －1－2＝0(n ≥2)，则数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝3， ∴a n ＝2n ＋1.6．已知数列2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 017项和S 2 017等于( )A ．2 018B ．2 015C ．1D ．0解析：选B 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1，故数列的前8项依次为2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，－1,2 015,2 016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S 6＝0.∵2 017＝6×336＋1，∴S 2 017＝2 015.7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1n 为奇数，n n 为偶数，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝( )A ．4 800B ．4 900C ．5 000D ．5 100解析：选C 由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×2＋982＋100＝5 000.8．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是( )A ．[12,16]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤8，323C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，323 解析：选C 因为{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 21－q 2n 1－q 2＝323(1－q 2n )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323，故选C.9．(2017·宁波二模)已知在数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝( )A.32n －23nB.23n －32n C.12n －23n D.23n －12n 解析：选A 法一：a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边同时乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1，令b n＝2n ·an ，则b n ＋1＝23b n ＋1，即b n ＋1－3＝23(b n －3)，所以数列{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，所以b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ， 所以a n ＝b n2n＝32n －23n . 法二：a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边同时乘以3n ＋1，得3n ＋1·an ＋1＝3n ·an ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1， 令b n ＝3n ·an ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1， 可得b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322， 以上各式累加可得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，a n ＝b n 3n ＝32n －23n .10．(2017·福州二模)已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 6＝6332，且a 2，a 4，a 3成等差数列，若数列{b n }满足b n ＝na n ，则数列{b n }的前10项和T 10为( )A.6348B.5348C.5338D.7348解析：选A 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝6332，a 2＋a 3＝2a4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－q 61－q ＝6332，a 1q ＋a 1q 2＝2a 1q3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－12⇒a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.于是b n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋3×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－129，① －12T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋3×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1210，② ①－②得32T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－30×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1210，整理得T 10＝43－⎝⎛⎭⎪⎫20＋43×11 024＝6348.11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋1a n 的前n 项和T n ＝( )A ．－n 2n ＋1 B.n2n ＋1 C ．－2n2n ＋1D.2n2n ＋1解析：选C 设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1， 整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，解得a 1＝－52或a 1＝－12. 当a 1＝－52时，公差d ＝0，不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以12n ＋1a n ＝－22n －12n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以其前n 项和T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝－2n2n ＋1，故选C.12．(2017·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，故等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D.二、填空题13．(2017·衡水调研)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2，∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也满足该式． ∴a n ＝4(n ＋1)2， ∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以8为首项，4为公差的等差数列，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，② ∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2×1－21 0091－2＝3×21 009－3.答案：3×21 009－315．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －4(n ∈N *)，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则不等式2T n >a n 的解集为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －4－2a n －1＋4，∴a n ＝2a n －1；当n ＝1时，a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列， 则a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.设b n ＝log 2a n ，则b n ＝n ＋1， ∴T n ＝2＋3＋…＋n ＋1＝n 2＋3n2.若2T n >a n ，则n 2＋3n >2n ＋1，解得n ＝2或n ＝3， ∴不等式的解集为{2,3}． 答案：{2,3}16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n an －12n，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.解析：∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1an －1＋12n(n ≥2)．当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，a n －1＝12n －1，从而可得a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 答案：13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1三、解答题17．(2017·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)由已知得a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是首项为1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)由(1)知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋2n －1n2＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以公比q ＝3，b n ＝3n －1.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.若T n ≤S n ，即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.18．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 19．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知条件可得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n (4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n 2＝2n ， 当n 为奇数时，n ＋1为偶数， T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.20．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n .由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.①由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ， 4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1， 上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1 ＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83. 所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。

寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin x x2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10πrad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎜⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B⎠⎜⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1. 6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 解析：选A 21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43. 8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e4 解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t2tx，则切线斜率为k ＝t 4，所以切线方程为y －2＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t 4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t4－1＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t 2＋1，所以由题意，得－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<f (2)－f (1)B ．f ′(2)<f (2)－f (1)<f ′(1)C ．f ′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f 2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2. 12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎜⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．解析：f (m )＝⎠⎜⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32， 解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋3216．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，∴k ＝－4e x ＋1ex ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x ＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π。