41.怎样用平均值代换法 解方程(组) ---刘培杰 代数

均值代换的技巧在数学问题中，出现条件x+y=a时，我们常作代换x= -t，y= -t，这种代换称为均值代换，本文举例说明均值代换的应用。

一、用于求值。

例1：已知实数x、y、z满足x+y=5 （1）z2=xy+y-0 （2），那么x+2y+3z 。

解：由（1）式，可设x= +a，y= -a，分别代入（2）式，得x2= -a2+ -a-9整理，得（a+ ）2+z2=0∴a=- ，z=0，于是x=2，y=3∴x+2y+3z=8例2：实数x、y、z满足x=6-3x （1）x+3y-2xy+2z2=0 （2），则x2y+z的值为。

解：由（1）式知，x+3y=6，则可设x=3+a，3y=3-a，即y=1-代入（2）式，得：6-2 （9-a2）+2z2=0整理，得3x2+a2=0∴z=0，a=0，∴x=3，y=1∴x2y+z=32=9例3：若x、y都是正实数，且- = ，求+ 的值。

解：由已知，得- =1不妨设= +a，- = -a两式相乘，得：-a2=-1解得：a=±∵x>0，y0∴a=∴+ =（+ ）+（- ）=二、用于证明例4：已知实数x、y、z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y证明：由x=6-y得x+y=6设x=3+a，y=3-a代入x2=xy-9得z2=9-a2-9即z2+a2=0，∴z=a=0于是x=3，y=3，∴x=y三、判断方程组的个数例5：已知方程组x+y=2 （1）xy-z2=1 （2）有实数解，那么它有（）A.一组解B.二组解C.三组解D.无数组解解：由（1）式，设x=1+a，y=1-a分别代入（2）式，整理得z2+a2=0∴z=a=0，于是x=1，y=1∴原方程组有唯一一组解x=1y=1z=0故选A四、判断三角形的形状例6：已知△ABC的三边a、b、c满足b+c=8 （1）bc=a2-12a+52 （2）试判断的形状△ABC（按边分类），并说明理由。

解：由（1）式，设b=4+m，c=4-m代入（2）式，得：16-m2=a2-12a+52，即（a-6）2+m2=0∴a=6，m=0，于是b=c=4∴△ABC是等腰三角形五、解方程组例7：设x、y、z时实数，解方程组2x+3y+z=13 （1）4x2+9y2+z2-2x+15y+3z-82 （2）解：由（1）式知2x+3y=13-z设2x= +a，3y= -a （3）将（3）代入（2），并整理得：3（z-4）2+4（a- ）2=0∴z=4，a= ，于是x=3，y=1∴原方程组的解为x=3y=1z=4六、求最小值例8：若x、y均为正数，且x+y=1，求（1+ ）（1+ ）的最小值。

专题29 平均值法在数学上，我们算过求平均数的题目，可表达为：m=(a+b)/2，且a＞b＞0时，a＞m ＞b。

我们把它引入化学计算中，能使很多题目转繁为简，化难为易。

一、解题方法指导例题1 计算下列不同质量的20%的硫酸和10%的硫酸相混合后，所得溶液的溶质质量分数，并填表：10%的硫酸的质量20%的硫酸的质量混合后硫酸溶液的质量分数20g 70g40g 60g50g 50g60g 30g80g 20g思考：混合前后硫酸溶液中溶质、溶剂、溶液的量分别发生了什么变化?混合液的溶质质量分数与混合前两溶液的溶质质量分数大小有何关系？由此你可以得到哪些结论？（1）混合后的溶质质量分数总是介于10%-20%之间。

（2）只有等质量混合时混合液的溶质质量分数是混合前两溶液溶质质量分数之和的1/2。

（3）当20%的硫酸溶液质量大时，混合液的溶质质量分数就大于15%，反之亦然。

例题2 现有13.5ｇ氯化铜样品，当它与足量的硝酸银充分反应后，得到AgCl 29g，则此样品中可能混有的物质是( )A、BaCl2B、KClC、ZnCl2D、CaCl2思考：此题反应化学方程式是什么?如果混有杂质会对AgCl的产量产生什么影响?解析：此类题目一般采用假设推理求平均值的方法。

先假设参加反应的物质为纯净物质，经计算得出一个平均值。

然后将假设所得结果，与实际数据相比较。

(1)设13.5ｇ纯净物的CuCl2与AgNO3反应可得AgCl质量为XCuCl2 + 2AgNO3 == 2AgCl↓ + Cu(NO3)2135 28713.5ｇ X135 ：287 = 13.5ｇ：X X = 28.7ｇ(2)因为28.7ｇ＜29ｇ，说明CuCl2样品中混有的杂质能与硝酸银反应，并且与同质量的CuCl2相比产生AgCl的质量多，即杂质中所含氯元素的质量分数高于CuCl2中氯元素的质量分数。

(3)分别计算出CuCl2、BaCl2、KCl、ZnCl2、CaCl2中氯元素的质量分数，然后比较得出答案。

用平均数解决问题平均数是一种常见的数学概念，在解决问题时经常被使用。

平均数是指一组数值的总和除以数的个数，通过计算平均数，我们可以得到一种代表这组数值的中心趋势的指标。

本文将介绍如何使用平均数解决问题，并通过实例来说明其应用的具体方法和效果。

一、计算平均数的方法计算平均数的方法有多种，常见的有算术平均数、加权平均数和几何平均数。

其中，算术平均数是最常用且最简单的计算方法。

算术平均数的计算公式为：平均数 = 总和 / 个数。

当我们需要了解一组数据的整体情况时，可以使用算术平均数来得到这组数据的平均水平。

二、使用平均数解决问题的实例1. 平均年龄问题假设有一个班级，共有30名学生，他们的年龄分别为12岁、13岁、14岁、15岁...到40岁。

为了了解这个班级的整体年龄水平，我们可以计算他们的平均年龄。

根据算术平均数的计算公式，我们将30名学生的年龄相加，得到总和，并将总和除以30，即可得到该班级学生的平均年龄。

2. 平均成绩问题一门课程有5个小测验和1个期末考试，学生小明的分数分别为80、85、90、88、92和95。

为了了解小明在这门课程中的整体表现，我们可以计算他的平均成绩。

将小明的分数相加得到总和，再除以6（小测验的个数加上期末考试），即可得到小明的平均成绩。

三、平均数的优点和应用1. 提供整体情况通过计算平均数，我们可以得到一组数据的整体情况。

平均数能够将一组数据的分散程度进行简化，让人们更直观地了解数据的中心趋势。

2. 判断异常值平均数也可以用来判断一组数据中的异常值。

如果某个数值显著偏离其他数值，那么它可能是一个异常值。

通过计算平均数，我们可以将异常值与其他数值进行比较，进一步分析异常值的原因和影响。

3. 辅助决策平均数在许多决策中起到了重要的作用。

比如，在市场调研中，我们可以通过计算平均数来了解消费者对某一产品的整体满意度；在资产组合管理中，可以使用平均数来评估不同投资产品的平均收益率等等。

均值定理解题方法我折腾了好久均值定理解题方法，总算找到点门道。

说实话，均值定理解题这事，我一开始也是瞎摸索。

均值定理吧，就是那个对于两个正实数a、b，有(a + b)/2 ≥√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

我一开始就老是忘记这个等号成立的条件，这可导致我做了不少错题呢。

我记得有一道题，已知某个长方形的长和宽之和是一个定值，让求长方形面积的最大值。

我当时就直接用均值定理，得出面积的一个值，但完全没考虑长和宽相等这个等号成立的条件。

后来交了作业，被老师指出错误，我才恍然大悟。

在做一些比较复杂的题时，一定要先看清楚给出的数是不是正实数。

像那种根号下或者是分式分母里出现变量的式子，这一步可太关键了。

比如说，有一道题里出现了1/x + x的形式，要利用均值定理求它的最小值。

你得先确定x的取值范围是正实数或者负实数。

要是x是正实数，那根据均值定理就是1/x + x ≥2√(1/x x)=2，当且仅当1/x = x也就是x = 1或者x = -1（这里因为前面我们假设x是正实数所以舍去-1）的时候等号成立，这就求出最小值啦。

可要是不确定x的范围，上来就用均值定理那就坏事儿了。

还有一个小窍门，如果题里给的形式不是直接能用均值定理的形式，就想法子变形。

就好比搭积木，你有的那块积木形状不合适，但你可以把它拆了重新组合一下。

比如说求y = x(3 - x)在0 < x < 3上的最大值。

这个式子看起来和均值定理没直接关系啊。

你可以把它变形为y = -x²+ 3x = - (x²- 3x)= - [(x²- 2 3/2x+(3/2)²)-(3/2)²]=-(x - 3/2)²+9/4 这样虽然能用二次函数的知识求最值了，但换个思路我们也可以用均值定理。

对x和3 - x这两个式子，它们都是正数，根据均值定理x(3 - x)≤((x+(3 - x))/2)²=(3/2)²= 9/4当且仅当x = 3 - x也就是x = 3/2时等号成立。

中考数学复习技巧如何灵活运用平均值不等式数学作为中考的一门必考科目，对于很多学生来说，是一道难以逾越的“坎”。

然而，在复习数学的过程中，掌握一些技巧是非常重要的。

本文将介绍如何灵活运用平均值不等式进行数学复习。

一、认识平均值不等式平均值不等式是数学中常用的一个不等式，其形式为：对于正数a和b，有（a+b）/2 ≥ √（ab）。

这个不等式的意义在于，当a和b两个数相等时，等号成立；当a和b两个数不相等时，不等号成立。

二、运用平均值不等式求解问题在数学复习过程中，我们经常会遇到一些与平均值相关的问题。

下面举例说明如何利用平均值不等式解决这些问题。

例题1：某班级的学生数目为30人，其中男生人数不少于女生人数的一半，问男生人数的最大值是多少？解析：设男生人数为x，则女生人数为30-x。

根据题意，有x ≥ (30-x)/2。

化简得到2x ≥ 30-x，即3x ≥ 30。

因此，男生人数的最大值为10人。

例题2：已知正数a、b、c满足abc=1，求证：a+b+c ≥ 3。

解析：根据已知条件，有a+b+c ≥ 3√(abc)。

由平均值不等式可得，a+b+c ≥ 3√1，即a+b+c ≥ 3。

因此，得证a+b+c ≥ 3。

通过以上两个例题的解析，我们可以看出平均值不等式在解决数学问题时的灵活性。

根据不同的问题，我们可以巧妙地应用平均值不等式，得出正确的结果。

三、延伸运用平均值不等式除了上述例题中的应用，平均值不等式还可以推广到更多的数学题目中，例如：例题3：已知正数a、b、c满足a+b+c=3，求证：1/a + 1/b + 1/c ≥ 3/√(abc)。

解析：将条件代入需要证明的不等式中，得到1/a + 1/b + 1/c ≥3/√(abc)。

进一步化简得到(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 9。

由于a+b+c=3，所以不等式等价于(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 3，即平均值不等式成立。

平均值法在解题中的应用威宁县龙街第二中学 白刻生摘要：na n +++...aa 21称为n 个数a a a n ...,21的平均值，它在解题中有着广泛的应用，可使解题简捷，是解题的一种技巧，本文将介绍一些平均值法在解方程、求值、解决有关因式分解、证明不等式中的一些应用。

关键词：方程中的应用，求值中的应用，解决有关因式分解问题，证明不等式一，在解方程中的应用例1.解方程：546()5()4()8()75555++=+++++x x x x分析：这个方程如果直接展开，将会出现一个四次方程，解一般的四次方程对初中学生来说是十分困难的。

根据方程的特点，除546外，其余四项可以采取算术平均值做代换改变这个方程的形式来解。

解：设64)5()4()8()7(+=+++++++=x x x x x y 从而6-=y x 代入原方程得：546)1()2()2()1(5555++=+--++y y y y化简得：016624=-+y y解之得：.)(8222x y y ，从而解出舍去或-==例2.解方程：16553-121-1244=+++）（）（x x解：作平均值代换：2122312112555-+=-++-+x x x 从而原方程化为：16)1()1(24=+-+y y 整理得：07624=--y y 解之得：)(7122舍去或-==y y 最后代入代换式，由此得.3231,3221121==x x二，在求值中的应用 例3.求811974197719801983+⨯⨯⨯的值.解：前三数的平均值为1980，令,1980x =则39144519198032)3(18)3(81)183)(3(81)6)(3)][(3([81)6()3(31980)93(92222222=-⨯-==+---=+---=+-+-=+-⨯-⨯⨯+=--x x x x x x x x x x x x x x x x x x ）（原式三、解决有关因式分解的问题例4.分解多项式8)43(3322-++-+x x x x ）（..53)4)(1()53)(43()29213)(29213()29)(29(4814324498)27)(27(.2132433-3222222222）（于是，原式解：作代换：+++-=++-+=+++-++=+-=-=--=-+-=++=++++=x x x x x x x M M M M M x x x M x x x x x M x x x四、应用证明等式例5.若实数a,b,c 满足(a+2b)(a+2c)=(b+2c)(b+2a)=(c+2a)(c+2b), 试证：a=b=c.证明：所有括号内式子的平均值是a+b+c,令a+b+c=s,代入已知式得： [s+(b-c)][s-(b-c)]=[s+(c-a)][s-(c-a)]=[s+(a-b][s-(a-b)] 即)(s )(s )(s222222b a ac c b ----=-=-所以b)-(a a)-(c c)-(b 222==若.,b ,,,0,,,,b ,b 22c b a c b a c b c a c b c c b a c b a c c a ====〉〉-〉-〈〈≠≠--故随之得矛盾，从而得到存在故于是设三个数互不相同，不妨即则亦有）（）（例6.已知.425)1(1a 1,0,0≥+++〉〉b b a a b a ），求（分析：这道题有许多解法，下面的证明是相当巧妙的，其关键在于引进平均值。

67 怎樣用线性代换法解初中代数題变量代換是數學中強有力的杠杆之一，本節擬舉幾個線性代換的例子供讀者參考． 例1 求下列方程組的實數解⎩⎨⎧=+=+②①82444y x y x 解 令x=2+k(k 為實數)，由於x+Y=4，則Y=2一l-k ，代人②得82)2()2(44=-++k k展開後，其中k 的奇次項正負抵消，得0252424=-+k k 0)25)(1(22=+-k k因為k 為實數，所以,0252=/+k 所以,12=k 從而k=士l ．於是原方程組的實數解為⎩⎨⎧==13y x 或 ⎩⎨⎧==31y x 若已知條件之一為x+Y=a(a≠O)的形式，常作代換=+=y k a x ,2,2k a-往往可在運算中出現正負相消的項或用上兩數平方差公式，達到簡化問題的目的．對於已知條件之一為x+y+z=O 形式的問題，常將其變形為x+Y=一z ，化作x+y=a 形式的問題處理． 例2 已知a ，b ，c 都是實數，且a+b+c=0，abc=1，求證：a ，b ，c 中必有一個大於⋅23證明 從a+b+c=0及abc=1可知a ，b ，c 中必有一個正數，兩個負數．不失一般性，設c 為正數，則由a+b=一c ．可令,2,2k c b k c a --=+-=由abc=1，得⋅-=⇒=-c c k c k c 441)4(3222 因為,0,02>≥c k 所以23827832443333=>=≥⇒≥c c 對於已知條件之一為x+y+z=a(a≠0)的問題，通常可令,31k a x +=,3,332k az k a y +=+=其中 .0321=++k k k 解題中，注意利用++21k k 0,02322213≥++=k k k k 以及由此導出的0133221≤++k k k k k k 等關係式，常可使問題迎刃而解．例3把一條長為L 的繩子截成三段，各圍成一個正方形，怎樣截才能使得這三個正方形的面積之和最小?解 設三段的長度分別為x ，y ，z ，所求面積之和為S ．由x+y+Z-=L ，令,3,3,3321k Lz k L y k L x +=+=+=其中+1k ,032=+k k 則 =++=++=)(161)4()4()4(222222z y x z x s γ=+++++])3()3()3[(161232221k Lk L k L =++++++)]()(3231[1612322213212k k k k k k L L 22322212481)](31[161L k k k L ≥+++ 故當,0321===k k k 即3L z y x ===時，S 有最小值.4812L例4設a ，b ，C 是三角形三邊的長，且2S=a+b+c ，求證sc s b s a s 9111≥-+-+-證明 令32132,32,32k s c k s b k s a +=+=+=其中,0321=++k k k ),31,,32321s k k k s <<-則32131,31,31k s c s k s b s k s a s -=--=--=-於是=---≥-+-+-3))()((13111c s b s a s c s b s a s 33213321)3)(3)(3(9)3)(3)(3(273k s k s k s k s k s k s ---=---因為s k k k s k s k s k s 3)(33)3()3()3(321321=++-=-+-+-(定值) 所以 33321)33()3)(3)(3(s s k s k s k s =≤--- 於是ss c s b s a s 9911133=≥-+-+- 例5 若x ，y ，z 都是比1小的正數，且x+y+z=2，求證：l<xy+yz+⋅≤34zx 證明 令,32,32,32321k z k y k x +=+=+=其中,0321=++k k k 則 ++++++=++)32)(32()32)(32(3221k k k k zx yz xy =++)32)(32(13k k①)()(3434133221321k k k k k k k k k ++++++ 因為 0321=++k k k所以 0)(2133221232221=+++++k k k k k k k k k但,0232221≥++k k k 所以0133221≤++k k k k k k故由式①可得 34≤++zx yz xy 又因为x ，Y ，z 均小于1，所以321,,k k k 均小于⋅31于是 0)31)(31()31)(31()31)(31(133221>--+--+--k k k k k k即031)(32)(321133221>+++-++k k k k k k k k k故 31133221->++k k k k k k从而 13134=->++zx yz xy故 341≤++<zx yz xy例6 设a>b>c ，求证：.0111>-+-+-ac c b b a证明 因为a>b>c ，故设b=c+a ，a=c+α+β(α，β均大于O)，于是0)(11111122>+++=+-+=-+-+-βααβαββαβααβa c c b b a 命题得证．。

37 怎样解一类特殊方程组在解形如⎩⎨⎧==+②①bxy a y x 的方程组时，常用的方法是代入法．这种方法在求解过程中显得不够简捷，这里例说两种较简捷的方法．方法l 上述方程组是一种对称方程组，它可以看成是已知两个数并，y 的和与积，求两数．由韦达定理可把x ，y 看成是二次方程z 2一az+b=0的根．因为对称方程组的解是对称数组，二次方程的每个根都可以看做是髫或y ．所以原方程组解的个数决定于方程，-z 2一az+b=0的根的个数．因此，当△=a 2—4b>0时方程组有两组不同的解，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=2424,24y 2422222121b a y b a a x b a a b a a x ( Ⅰ) 当042=-=∆b a 时，方程组有两组相同的解)(2∏==ay x 当042<-=∆b a 时，方程组无实数解． 例1 解方程组：⎩⎨⎧⋅=+=+5122y x y x分析 由于,2)()(222xy y x n y x =+-+我们可以把原方程组转化为⎩⎨⎧==+b xy ay x 的形式求解．解⎩⎨⎧-==+⇔⎩⎨⎧-=+-+=+⇔⎩⎨⎧=+=+214)()(15x 122222xy y x y x y x y x y y x 由韦达定理知x ，y 是二次方程022=--z z 即(z 一2)(z+1)=0的根，所以原方程组的解为⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==21,122211y x y x 方法2 应用关系式(x 一y )2=(x+y )2—4xy 由②①⨯-42得b a y x 4)(22-=-当042>-b a 时，得⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+ba y x ay x b a y x a y x 4,422 解之，得解(I)．当042=-b a 时，解之，得解(Ⅱ)． 当042<-b a 时，方程组无实数解．例2解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+94xy y x解 原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+②①34y x y x 由①2—4×②得4344)(22=⨯-=-y x则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,24yx y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+24y x y x 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==,13yx ⎪⎩⎪⎨⎧==31y x即⎩⎨⎧==,1911y x ⎩⎨⎧==9122y x另外，对于某些方程组，我们可以通过初等变换转化为上述形式的方程组，以简化解法．例3 ⎩⎨⎧-=-⋅=-+⇔⎩⎨⎧==-b y x a y x b xy a y x )()(例4 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+61x 151161511yy x xy yx例5⎩⎨⎧==+⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+=+16102510.2510xy y x xy y x y x x y y x y x例6⎪⎩⎪⎨⎧=+=+104531122y x y x分析 由于x≠0，Y≠0，以22γx 除第二个方程的两端得222210411y x y x =+ xy x y x 210411222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+γ所以0259210422=-+xy yx 由此式解得2011=xy 或,13091-=xy 而原方程组可看成已知两数y x 1,1的和与积，求两数的问题．。

诠释均值定理掌握多变配凑技巧作者：薛胜菊来源：《教育教学论坛》 2014年第12期薛胜菊（河北枣强中学，河北枣强053100）摘要：在高考题中，利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一。

但是应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

关键词：数学；求最值；均值定理中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0265-01最值问题始终是高考数学的命题热点，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一，这类问题难度虽不大但技巧性，考生常因方法选择不当，造成应用定理错误而失分。

因此，快速找到切入点，灵活运用所学知识，将复杂问题简单化，从而顺利解答高考题，这是高三学生的最大期望。

笔者现就此类问题进行归纳总结，对不同类型技巧的解法进行分析。

希望本文能对读者有所启示和帮助。

一、配凑项凑“积”为定值法例1 已知x＜ 5/4，求函数y=4x-2+ 1/4x-5的最大值。

解：因4x-5＜0，所以首先要“调整”符号，又（4x-2）g 1/4x-5不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，Qx＜5/4，∴5-4x＞0，x=1时，ymax=1。

点评：本题需要调整项的符号，保证各项正，又要配凑项的系数，使其积为定值。

其实凑积为定值无非是凑“倒数”形式，消去未知数，得到定值而已。

二、分离拆项或换元构造“积”为定值例2 求y= x2+7x+10/x+1（x＞-1）的值域。

解法一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离。

“=”号）。

解法二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。