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数学必修一第四章知识点总结第四章: 二次函数1. 二次函数的定义和性质：- 二次函数的形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
- 二次函数的图像是一个抛物线（开口向上或开口向下）。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。
2. 二次函数的图像和特征：- 开口向上的抛物线最小值是顶点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线最大值是顶点的纵坐标。
- 当a > 0时，抛物线在对称轴的两侧单调递增；当a < 0时，抛物线在对称轴的两侧单调递减。
- 抛物线与x轴交点称为零点，可以通过解二次方程求出零点的坐标。
3. 二次函数的图像平移：- 对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，向右平移h个单位的函数可以表示为 f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。
- 向右平移h个单位相当于将函数沿x轴正方向平移h个单位，反之向左平移h个单位。
- 向上平移k个单位相当于将函数沿y轴正方向平移k个单位，反之向下平移k个单位。
4. 二次函数的最值和解析式：- 当a > 0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。
- 通过配方法（完成平方），可以将二次函数的解析式转化为顶点坐标。
5. 二次函数与一次函数的关系：- 二次函数的图像是一条抛物线，一次函数的图像是一条直线。
- 一次函数可以看作是二次函数的特殊情况，即当a = 0时，二次函数变成一次函数。
- 二次函数和一次函数的图像不相交或相切的情况下，方程 ax² + bx + c = 0 有两个解；- 二次函数和一次函数的图像相交的情况下，方程 ax² + bx + c = 0 有一个解；- 二次函数和一次函数的图像重合的情况下，方程 ax² + bx + c = 0 有一个重解。
自考本科高等数学教材第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，它定义了一个集合内元素之间的对应规则。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性等。
1.2 极限的概念与性质极限是函数变化过程中的重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数取值的趋势和稳定性。
极限的性质包括唯一性、有界性等。
1.3 函数的连续性与间断点连续性是函数在某一点上的取值与该点的极限值相等的性质。
间断点则表示函数在某一点上存在不连续的情况，如跳跃间断、可去间断等。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是函数变化速率的度量，它表示函数在某一点上的切线斜率。
导数的性质包括加法性、乘法性等。
2.2 导数的计算方法常见的导数计算方法包括基本初等函数的导数、复合函数的导数、隐函数的导数等。
还可以通过极限的方法计算导数。
2.3 微分的概念与性质微分是函数变化过程中的微小增量，它与导数的关系可以用微分公式表示。
微分的性质包括线性性、微分中值定理等。
第三章积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质定积分是函数在一个区间上的面积，它可以用极限的方法进行定义。
定积分的性质包括线性性、积分中值定理等。
3.2 不定积分的定义与性质不定积分是函数的一个原函数，它可以通过求导的逆过程得到。
不定积分的性质包括线性性、分部积分法等。
3.3 定积分的计算方法定积分的计算方法包括基本积分公式、定积分的换元法、分部积分法等。
还可以通过数值积分的方法进行近似计算。
第四章微分方程4.1 微分方程的基本概念与分类微分方程是包含导数的方程，它用于描述自然界和社会现象中的变化规律。
微分方程按形式可以分为常微分方程和偏微分方程。
4.2 一阶常微分方程一阶常微分方程是只含有一阶导数的方程，它可以通过分离变量、齐次方程等方法求解。
常见的一阶常微分方程包括线性微分方程、可分离变量的微分方程等。
4.3 高阶常微分方程高阶常微分方程是含有高于一阶导数的方程，它可以通过特征根法、常数变易法等方法求解。
高等数学一专升本自学教材第一章：导数与微分在高等数学一专升本自学教材的第一章中，我们将深入研究导数与微分的概念和性质。
1.1 导数的定义与计算方法导数是函数在某一点上的变化率，它的定义是函数在该点的极限。
我们将介绍导数的定义，并针对常见函数的导数计算方法进行详细讲解。
1.2 导数的几何意义与图像特性导数具有重要的几何意义，它可以描述函数图像的斜率和曲线的凹凸性质。
我们将探讨导数与函数图像之间的关系，并介绍导数曲线的性质。
1.3 微分的定义与应用微分是函数在某一点附近的线性近似，它的定义和计算方法与导数密切相关。
我们将讨论微分的定义，并应用微分进行函数近似与误差估计。
第二章：积分与定积分第三章：一元函数的应用问题第四章：多元函数与多元函数微分法第五章：不定积分与定积分的计算第六章：无穷级数第七章：常微分方程第八章：空间解析几何与向量代数第九章：多元函数微分学第十章：多重积分与曲线积分第十一章：曲面积分、高斯公式与斯托克斯公式在高等数学一专升本自学教材中，我们将通过以上章节的学习，系统地掌握高等数学一所涉及的知识点和技能。
正确认识导数与微分的概念，在实际问题中能够熟练地运用它们；深入理解积分与定积分的含义，灵活运用积分方法解决各种实际问题；掌握一元函数的应用问题的解决方法；了解多元函数的基本概念与性质，掌握多元函数微分法；掌握不定积分与定积分的计算方法和技巧；学习无穷级数及其求和方法；掌握常微分方程的基本概念和解法；理解空间解析几何和向量代数的基本概念和性质；深入学习多元函数微分学的基本概念和方法；掌握多重积分与曲线积分的计算技巧；了解曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式的基本理论和应用。
通过自学教材的系统学习和实际问题的练习与应用，我们可以全面提升高等数学一的知识和技能水平，为专升本考试做好充分准备，进一步提升个人学术能力和就业竞争力。
高等数学一专升本自学教材，期待与你一同开启数学学习的新篇章！。
第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
自考高等数学一教材目录第一章实数与函数1.1 实数1.1.1 有理数1.1.2 无理数1.2 函数1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的性质1.2.3 常用函数的性质第二章一元函数的极限理论2.1 极限的概念与性质2.1.1 无穷小与无穷大2.1.2 极限的存在性与唯一性2.1.3 极限的四则运算2.2 函数极限与极限的运算性质2.2.1 函数极限的定义2.2.2 极限的运算性质2.3 无穷小的比较与无穷大的比较2.3.1 无穷小的比较2.3.2 无穷大的比较第三章一元函数的连续性3.1 连续函数的概念与性质3.1.1 连续函数的定义3.1.2 连续函数的性质3.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 3.2.1 连续函数的四则运算3.2.2 初等函数的连续性3.3 闭区间上连续函数的性质3.3.1 闭区间上连续函数的性质3.3.2 奇偶函数与周期函数的连续性第四章一元函数导数与微分4.1 导数的概念与性质4.1.1 导数的定义4.1.2 导数的性质4.1.3 导数的几何意义与物理意义4.2 导数的基本运算法则4.2.1 导数的基本运算法则4.2.2 高阶导数4.3 微分的概念与计算法则4.3.1 微分的定义4.3.2 微分的计算法则第五章高阶导数与隐函数及参数方程的导数 5.1 高阶导数5.1.1 高阶导数的定义5.1.2 高阶导数的计算方法5.2 隐函数及参数方程的导数5.2.1 隐函数的导数5.2.2 参数方程的导数第六章微分中值定理与泰勒公式6.1 罗尔中值定理及其应用6.1.1 罗尔中值定理的原理6.1.2 罗尔中值定理的应用6.2 拉格朗日中值定理及其应用 6.2.1 拉格朗日中值定理的原理 6.2.2 拉格朗日中值定理的应用 6.3 高阶导数的应用6.3.1 泰勒公式6.3.2 高阶导数的应用第七章不定积分与定积分7.1 不定积分的概念与性质7.1.1 不定积分的概念7.1.2 不定积分的性质7.2 不定积分的基本计算方法7.2.1 基本积分表7.2.2 第一换元法7.2.3 第二换元法7.3 牛顿-莱布尼兹公式7.3.1 牛顿-莱布尼兹公式7.3.2 无穷小技术7.4 定积分的概念与性质7.4.1 定积分的概念7.4.2 定积分的性质7.4.3 函数的定积分第八章定积分的计算法则与应用8.1 定积分的计算法则8.1.1 区间可加性8.1.2 线性性质8.1.3 线性变换与曲线坐标系下的定积分 8.2 反常积分8.2.1 第一类反常积分8.2.2 第二类反常积分8.3 定积分的几何应用8.3.1 平面图形的面积与弧长8.3.2 旋转体的体积与曲线的弧长第九章微分方程初步9.1 微分方程的基本概念9.1.1 微分方程的概念9.1.2 微分方程的阶与解的概念9.2 一阶微分方程9.2.1 可分离变量的微分方程9.2.2 一阶线性微分方程9.2.3 齐次线性微分方程9.2.4 Bernoulli微分方程9.3 高阶线性微分方程9.3.1 高阶线性微分方程的常系数齐次线性微分方程 9.3.2 常系数线性非齐次微分方程第十章空间解析几何初步10.1 三维空间的点、直线、平面10.1.1 点的概念与坐标10.1.2 直线的方程与相交关系10.1.3 平面的方程与夹角10.2 空间曲线与曲面10.2.1 空间曲线的参数方程与方程 10.2.2 空间曲面的方程10.2.3 空间曲线与曲面间的相交关系 10.3 空间向量与标量积10.3.1 空间向量的基本概念与运算 10.3.2 两向量的数量积10.3.3 向量的投影与夹角10.4 空间向量与矢量积10.4.1 两向量的向量积10.4.2 矢量积的几何意义及其应用。
高数第四章大一知识点高等数学是大学中的一门重要的数学课程，作为大一学生，学习高等数学的第四章是我们必须要掌握的知识点。
本文将围绕高等数学第四章的知识点展开论述，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一章节的内容。
第四章是高等数学中的一个重要环节，主要涵盖了导数和微分的内容。
其中，导数是微分学的基础，因此对于第四章，我们首先要理解导数的概念和性质。
导数用来描述函数在某一点上的变化率，表示为f'(x)、dy/dx 或者y'。
在学习导数的过程中，我们需要掌握导数的定义和计算方法。
导数的定义是极限的应用，通过求极限可以得到函数在某一点上的切线斜率。
计算导数的方法有很多，比如常见的有可微性、导数的四则运算、导数与函数的关系等。
这些方法是我们掌握高等数学的基础。
在学习导数的过程中，还要了解导数的几何意义和物理应用。
导数可以用来求函数的极值点、判定函数的单调性和凸凹性，也可以用来求函数的极限和求解最优化问题。
此外，导数在物理学中也有广泛的应用，如速度的求解、曲线运动的分析等。
所以，熟练掌握导数的概念和性质，不仅能够帮助我们理解函数的变化规律，还可以拓展我们对数学在实际问题中的应用。
接下来，我们来讨论微分学的内容。
微分学是导数的应用，主要研究函数的变化、增减及其相关问题。
在微分学中，我们主要学习了微分的概念和计算方法。
微分是函数变化的近似量，表示为df(x)或者dy。
微分可以用来求函数在某一点附近的近似值，也可以用来描述函数的局部变化规律。
微分的计算方法主要有微分法、微分运算法则和微分的几何应用等。
通过研究微分，我们可以更深入地理解函数的变化规律，为后续的数学学习打下坚实的基础。
除了导数和微分的基本概念和计算方法外，第四章还包含了一些重要的知识点，如高阶导数、隐函数求导和参数方程的导数等。
高阶导数可以用来描述函数的变化趋势更加细致的性质，对于函数的整体性质有更深入的了解。
隐函数求导是求解隐函数导数问题的一种方法，可以应用于各种实际问题的求解。
自考专科高等数学一教材数学是自考专科中非常重要的一门学科，对于很多专业来说是基础课程，而高等数学则是数学中的一大难点。
本文将根据自考专科高等数学一教材，从基本概念、方法和应用等方面进行全面而深入的论述。
第一章基本概念高等数学一的第一章主要介绍了一些基本概念，如函数、极限和连续等。
函数是高等数学的重要概念之一，它是一种关系，将一个集合中的每个元素（自变量）与另一个集合中的元素（因变量）相对应。
函数的极限是函数在某一点处的无穷接近于某个确定的数值。
连续则是函数在某一区间上无间断地变化。
第二章微分学微分学是高等数学一中的重要内容，它是研究函数变化率和函数在某一点的近似值的学科。
微分学中的概念包括导数和微分。
导数表示函数在某一点处的变化率，它是刻画函数局部性质的重要工具。
微分则是导数的一个应用，它表示函数在某一点处的变化与自变量变化之间的近似关系。
第三章积分学积分学是高等数学一的另一个重要内容，它是研究函数面积和曲线长度的学科。
积分学中的概念包括不定积分和定积分。
不定积分是积分学中最基础的概念之一，它表示函数的一个原函数。
定积分则是表示函数在某一区间上的面积或曲线长度。
第四章微分方程微分方程是高等数学一中的一大难点，它是研究函数与其导数之间关系的方程。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是只涉及一个自变量的函数与其导数之间的关系。
偏微分方程则是涉及多个自变量的函数与其偏导数之间的关系。
第五章序列与极限序列与极限是高等数学一中的另一个重要概念。
序列是指由一系列数按照一定规律排列而成的数列。
极限则是序列中的数随着序号的增大无限接近于某个确定的数值。
序列与极限的研究在数学分析和实际问题中有着广泛的应用。
第六章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学一中的一大考点，它是研究多元函数的变化率和极值的学科。
多元函数微分学中的概念包括偏导数、全微分和方向导数等。
偏导数表示多元函数在某一点处的变化率，全微分表示函数在某一点处的变化与自变量变化之间的近似关系，方向导数表示函数在某一方向上的变化率。
第四章微分中值定理和导数的应用4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
例如,2、定理设（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；（3）存在（或为无穷大）；那么。
3、定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
当x→∞时，以及x→a，x→∞时，该法则仍然成立。
4、例题分析例1、求。
【答疑编号11040201】解：原式。
例2、求【答疑编号11040202】例3、求【答疑编号11040203】例4、求【答疑编号11040204】例5、求【答疑编号11040205】例6、【答疑编号11040206】例7（教材166页例4）、求。
【答疑编号11040207】例8、求。
【答疑编号11040208】解：原式。
例9、求。
【答疑编号11040209】解：原式。
例10、求。
【答疑编号11040210】例11（教材168页，例8）、求（a＞0）【答疑编号11040211】解：当x→+∞时，ln x→+∞，这是型未定式，用洛必达法则，例12、求（n是正整数）。
【答疑编号11040212】解：这是型未定式，接连用洛必达法则n次，得。
对于任意的α＞0，同样可以证明。
二、型未定式解法关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。
1、0.∞型步骤：，或。
例13、求。
（0·∞）【答疑编号11040213】解：原式例14、求。
【答疑编号11040214】例15（教材169页，例10）、求。
【答疑编号11040215】解：当x→∞时，所以这是0·∞型未定式。
2、∞－∞型步骤：例16、求。
（∞－∞）【答疑编号11040216】例17（教材172页习题4.2，3题（2）题）、求【答疑编号11040217】3、型步骤：例18、求【答疑编号11040218】解：原式例19、。
【答疑编号11040219】解：原式。
例20（教材172页习题4.2，4题）、设是连续函数，求a.【答疑编号11040220】注意：洛必达法则的使用条件是分子分母都有导数，且分母的导数不为0，导数比的极限存在。
例21、求。
【答疑编号11040221】解：原式洛必达法则失效。
原式4.3 函数的单调性一、单调性的判别法定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，（1）如果在（a,b）内f＇(x)＞0，那么函数y=f(x),在[a,b]上单调增加；（2）如果在（a,b）内f＇(x)＜0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。
例1、讨论函数的单调性。
【答疑编号11040301】解：二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法：用方程f＇(x)=0的根及f＇(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，然后判断区间内导数的符号。
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性。
例2、求的单调区间【答疑编号11040302】例3、确定函数的单调区间。
【答疑编号11040303】解：例4、确定的单调区间。
【答疑编号11040304】利用导数判断函数的单调性的性质可以证明一些不等式。
例5、当x＞0，证明：x＞ln(1+x)这个不等式成立。
【答疑编号11040305】单调增函数的含义例6、证明：当x≠0时。
【答疑编号11040306】4.5 函数的极值与最值函数极值的定义定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，是（a,b）内的一个点，如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何点x，除了点外，f(x)＜均成立，就称是函数f(x)的一个极大值；如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何点x，除了点外，f(x)＞均成立，就称是函数f(x)的一个极小值。
函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
函数极值的求法定理1（必要条件）设f(x)在点处具有导数，且在处取得极值，那么必定f＇()=0。
定义使导数为零的点（即方程f＇(x)=0的实根）叫做函数f(x)的驻点。
注意：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。
如例7、。
【答疑编号11040307】注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点。
所以:连续函数的极值点必是函数的驻点和不可导点。
定理2（第一充分条件）设函数f(x)在点的一个邻域上连续，在去心邻域上可导。
（1）如果，有f＇(x)＞0；而，有f＇(x)＜0，则f(x)在处取得极大值。
（2）如果，有f＇(x) ＜0；而，有f＇(x)＞0，则f(x)在处取得极小值。
（3）如果当及时，f＇(x)符号相同，则f(x)在处无极值。
(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:（1）求定义域；（2）求导数f＇(x)及导数不存在的点；（3）求驻点，即方程f＇(x)=0的根；（4）检查f＇(x)在驻点左右的正负号，判断极值点；（5）求极值。
例8、求出函数的极值。
【答疑编号11040308】极大值f(-1)=10,极小值f(3)=-22。
定理3（第二充分条件）设f(x)在x0处具有二阶导数，且f＇()=0，f＇＇()≠0，那么（1）当f＇＇()＜0时，函数f(x)在处取得极大值；（2）当f＇＇() ＞0时，函数f(x)在处取得极小值。
例9、求出函数的极值。
【答疑编号11040309】解：f＇(x)=3+6x-24=3(x+4)(x-2)令f＇(x)=0,得驻点=-4，=2。
∵f＇＇(x)=6x+6,∵f＇＇(-4)=-18＜0，故极大值f(-4)=60，f＇＇(2)=18＞0，故极小值f(2)=-48。
例10、求出函数的极值。
【答疑编号11040310】解：当x=2时，f＇(x)不存在，但函数f(x)在该点连续。
当x＜2时，f＇(x) ＞0；当x＞2时，f＇(x) ＜0。
∴f(2)=1为f(x)的极大值。
二、函数的最值若函数f(x)在[a,b]上连续，除个别点外，处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在。
步骤:1.求驻点和不可导点；2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,大的就是最大值,小的就是最小值；应用举例例1、求函数y=2x3+3x2-12x+14的在[-3,4]上的最大值与最小值。
【答疑编号11040401】比较得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7。
实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值。
例2、由直线y=0，x=8及抛物线y=x2围成一个曲边三角形，在曲边y=x2上求一点使曲线在该点处的切线与直线y=0及x=8所围成的三角形面积最大。
【答疑编号11040402】令解得（舍去）。
为极大值。
故为所有三角形中面积的最大者。
补：第三章第六节导数和微分在经济学中的简单应用3．6．1 边际分析定义：设y=f(x)是一个经济函数，其导数f＇(x)称为f(x)的边际函数。
f＇(x0)称为f(x)在点的边际函数值。
成本、收入、利润函数的导数称为边际成本MC、边际收入MR、边际利润ML。
例３、（147页例1）已知某产品的产量为q件时总成本为（百元），求q=900件时的边际成本。
【答疑编号11040403】解：，即MC=1.5当q从900件改变（增加或减少）1件时，成本要改变150元。
3．6．2 弹性分析定义：设y=f(x)是一个经济函数，当经济变量x在点x0改变△x时，经济变量y相应地在y0=f(x0)处改变△y=f(x0+△x)-f(x0) ，如果极限存在，则称此极限值为y=f(x)在点x0的弹性，记为在任意点的弹性记为，它作为x的函数称为y=f(x)的弹性函数。
=例4、（149页例3）设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，S是市场的供给量，则称为供给价格弹性。
由于S一般随p的上升而增加，S（p）是单调增加函数，当△p＞0时，△S＞0，故≥0。
其意义是：当价格从p上升1%时，市场供给量从S（p）增加个百分数。
【答疑编号11040404】例5、（149页例4）【答疑编号11040405】例6、（07年4月考题）设某商品市场需求量D对价格p的函数关系为，则需求价格弹性是：【答疑编号11040406】解：例7、（05年1月考题）已知某厂生产x件产品的成本为，问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？【答疑编号11040407】（2）如产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？【答疑编号11040408】解：（1）4.4 曲线的凹凸性和拐点曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?曲线凹凸的判定定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内（1）f＇＇(x)＞0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；（2）f＇＇(x)＜0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
