自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版

第一章 函 数1. 1预备知识一元二次函数、方程和不等式不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。

绝对值不等式：|x|>a(a>0) x>a 或x<-a|x|<a 等价于 -a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x 1+x 2= b a - x 1*x 2= c a 2b a-为曲线对称轴 不等式：算术平均值大于等于几何平均值：2a b+≥ a=b 时才相等. 因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列　通项公式：　前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列 通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 求定义域：1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1）y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶 定义域（-∞，+∞） 值域：-1 <= x <= 1y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，初等数学基础知识 一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin 2(α)+cos 2 (α)=1; tan 2 (α)+1=sec 2 (α); cot 2 (α)+1=csc^2(α) ·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos 2(x)-sin 2 (α)=2cos 2(x)-1=1-2sin 2 (x) tan(2x)=2tanx / [1-tan^2(x)] ·半角公式：sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]六边形记忆法：1：对角线上两个函数的乘积为12：阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如：tan 2x+1= sec 2x 3:任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值和乘积。

第一章函数及其图形第二章极限和连续第三章一元函数的导数和微分第四章微分中值定理和导数的应用第五章一元函数积分学第六章多元函数微积分前言《高等数学一》共6章。

第一章函数1.主要是对高中知识的复习；2.对今后知识打下良好的基础；3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是4至5分。

第二章极限和连续本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。

第三章一元函数的导数和微分主要是如何求函数的导数和微分本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。

第四章微分中值定理和导数应用本章在历年考题中所占分值为15%左右。

第五章一元函数积分学包括函数的不定积分和一元函数定积分。

本章内容在历年考题中所占分值为25%左右。

第六章多元函数微积分本章内容在历年考试题中所占比例为15%左右。

第一章函数及其图形1.1 预备知识一、基本概念1.集合具有某种特定性质的事物的总体。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

2.包含关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。

若X A，则必x B，就说A是B的子集，记作A B数集分类：N----自然数集 Z----整数集Q----有理数集 R----实数集数集间的关系：N Z,Z Q,QR.3.相等关系若A B，且B A，就称集合A与B相等。

记作（A＝B）例1 则A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作）。

规定空集为任何集合的子集。

例25.集合之间的运算1)并：由中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B例3 例42）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A B例5 例63）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B 例7二、绝对值1.绝对值的定义：2.绝对值的性质：（1），如需精美完整排版，请QQ：1962930 当且仅当a＝0时，（2）（3）（4）3.绝对值的几何意义：（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。

绝密★考试结束前全国1月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020试卷总体分析：试卷详解：请考生按规定用笔将所有试题旳答案涂、写在答题纸上。

选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己旳考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹旳签字笔或钢笔填写在答题纸规定旳位置上。

2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目旳答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）在每题列出旳四个备选项中只有一种是符合题目规定旳，请将其选出并将“答题纸”旳对应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1．设函数()21f x x x +=+，贝f(x)= A. x (x+1) B ．x (x-1) C. (x+1) (x-2) D ．(x-1) (x+2)答案：B 知识点：复合函数 ()()()()()()2211,11111f x x x x t x t f t t t t t f x x x+=++==-=-+-=-=-解：令则故即2．若x →0时函数f (x )为x 2旳高阶无穷小量，则2()limx f x x →= A ．0 B ．12C ．1D ．∞答案：A知识点：无穷小量旳比较 解：根据高阶无穷小量旳定义2()limx f x x →=0. 3．设函数()()2931f x x x x =++，则高阶导数()(12)f x = A ．12! B ．11! C ．10! D ．0答案：D 知识点：高阶导数()()()()()()()()293115211151211125222110121'1152"111054211!0f x x x x x x x f x x x x f x x x x f x x f x ------=++=++=++=⋅+⋅+==解：4．曲线23xy x =+ A ．仅有铅直渐近线 B ．仅有水平渐近线 C ．既有水平渐近线又有铅直渐近线 D ．无渐近线 答案：B知识点：曲线旳渐近线221lim limlim 0331x x x xxy x x →∞→∞→∞===++∴解：原曲线有水平渐近线y=05．设函数f (x )持续，()()d axx tf t t Φ=⎰,则()x 'Φ=A . x f (x )B ．a f (x )C ．-x f (x )D ．-a f (x )答案：C知识点：变限积分旳导数 解：()()'()()d 'a xx tf t t xf x Φ==-⎰非选择题部分注意事项：用黑色字迹旳签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

绝密★启用前2021年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题（课程代码00020）选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1.下列运算正确的是A.ln6+ln3=ln9B.ln6-ln3=ln2C.(1n6)•(ln3)=ln18D.ln6ln2ln3= 2.设函数f(x)可导，且1f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则导数f'(x)= A.1xB.-1xC.21x D.-21x 3.设函数厂f (x ,y )=xy x y -，则f 11,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A.1y x - B.x y yx- C.1x y - D.22x y x y- 4.函数f(x)=sin x +cos x 是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 5.下列各对函数中，为同一函数的是A.y=ln (x 2)与y =21n|x |B.y =tan(2x )与y =2tan xC.y=x 与y =2D.y =x -1与y=211x x -+6.设函数f (x )=2x 2，g (x )=sin x ，则当x →0时A.f (x )是比g (x )高阶的无穷小量B.f (x )是比g (x )低阶的无穷小量C.f (x )与g (x )是同阶但非等价的无穷小量D.f (x )与g (x )是等价无穷小量 7.设函数234,<2(),22,2x x a x f x b x x x ⎧-+⎪==⎨⎪+>⎩在x =2处连续，则A.a =1，b =4B.a =0，b =4C.a =1，b =5D.a =0，b =58.设y =y (x )是由方程xy 3=y -1所确定的隐函数，则导数y ′=0x =A.-1B.0C.1D.2 9.已知函数y =a cos x +12cos2x (其中a 为常数)在x =2π处取得极值，则a= A.0B.1C.2D.3 10.设函数f (x )=ln x x，则下列结论正确的是 A.f (x )在(0，+∞)内单调减少 B.f (x )在(0，e)内单调减少‘C.f (x )在(0，+∞)内单调增加D.f (x )在(0，e)内单调增加非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2018 年10 月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（一）试卷（课程代码00020）本试卷共 4 页，满分 l00 分，考试时间 l50 分钟。

考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效。

试卷空白处和背面均可作草稿纸。

2．第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。

3．第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号，使用0．5 毫米黑色字迹签字笔作答。

4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分选择题一、单项选择题：本大题共 l0 小题，每小题 3 分，共 30分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1．若极限则常数 k=A． 1 B ． 2C． 3 D ． 4A．高阶的无穷小量B．低阶的无穷小量C．是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D．是等价无穷小量3．下列函数中在点 x=0 处导数不存在的是A．-2 B. -l C． 0 D ．18．设函数 f(x) 在区间【 a,b 】上连续，则下列等式正确的是9．微分方程 sinxdx+cosydy=0 的通解为 A ． cos y+sin x=C B ．cos y-sin x=C C ．sin y+cos x=C D ．sin y-cos x=CA．0 B ．1C． 2 D ．3第二部分非选择题二、简单计算题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分三、计算题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分。

16．求函数的定义域．18．已知函数19．求极限 20. 计算定积分四、综合题：本大题共 4 小题，共 25 分。

21．（本小题 6 分）设某厂生产 Q吨产品的总成本 C（Q）=3Q+l（万元），需求量 Q与价格P（万元／吨）的关系为 Q=35— 5P，且产销平衡．（1）求总利润函数 L（Q）；（2）问产量为多少时总利润最大 ? 22．（本小题 6 分）设 D是由曲线 y=x2一 l 与直线 x=2 ， y=0 所围成的平面区域．求：（1）D 的面积 A；23．（本小题 6 分）22求函数 z=x 2+xy+y 2-3x-6y+1 的极值． 24．（本小题 7 分）17．已知函数在点 x=0 处连续，求常数 a,b 的值2018年IO 月裔等教疗门学考试全国统 命题粵试高等数学（一）试题答案及评分参考（课用代码00020）一・单顶送择題：本大验共Iu 小址.毎小题3分.共孙分l ・ B 2. Λ 3. （ 4・ D 5・ A 6・ B7・ C8・ Λ9. D∣O. D三、计算題：本大題共5小融.每小融5分.共25分'，6-図碗杠川皿义•刪足;［带…；分故定义域D r -（λ5∣.）试逸行糸及严分枣勺55 I ；1 < P, 3 Ik ）二、简单计易鬆: II.解： 本大14共S 小他毎小Sfl 4分.共20分!tl Lllll V 4 J<*M⅜12.解:!⅛U 媲 Iiln (I 5v∣13.解：X CoS K - Sin rSinv dt14. Hβ ∙∙•2分 •4兮■4分3分 4什3分4分3分原枳分二四.综合鬆：本大Si 共4小SJ.共25分•21. (本小题6分)解:(1)由LIXlU 得I7.0∙2Q∙收益函数 /?(p)= -0.2p : ÷7p,故利润冈数 £(p) M R(Q) - C((?)= -0202 ÷4ρ^l........... 3 分(2)令 Γ<p)χ-O.4p÷4 = O∙得唯 1£ 点 P=IO ・乂 //(0- 0.4 <0.故该驻点为极人值点•也楚胶人値点. 所以u i ρ=ιo 吨时总利树垃人.••••••6分(注：乙用“由刚毬的实际意义知M<ft<∕⅛U5fcAK -,∙论述22. (本小JK6分)解：(I) J≡∫2(x 2-l)dr≡(iχ,-x)∣ =i........... 3 分(2) Γ ≡ M f \x : - |):<Ir ≡ π -X S --X l ÷xl =—Λ .......... 6 分1 Jl I5 311517・報：因为换数/(x)在点*二0处连续•所以 IIm /(x) ■ Iim /(x) ■ /(O) ■ I.f→O t→0*乂 Iim /(r> = Iim(u÷ VC l ) = 1;. Jl •€ ・ 3°Iim ((X) = lim(6÷sinx) = 6 • 故u≡=6 = l∙ Jl 亦 ■ WSL-Ki 极隈Timt→l-In 2 ÷ arcta∣H κ * 2)| ；二 In 2 * arctan 3 - artIan 2.，2分5分 2分 5分3分 5分 I 分 J 分X品等故学（一）试题答案及评分螯考62页（共3 50ρ∙ •7 R = -i r∣∙.'>Zf-f-3∙ U∙ H. J-2 ∙U∙故也t< (V ÷. (Oj)处M f/械小他r(03) - 824 ・ I △小,d! 7 ⅛)解：/-∫ dr∫ CC n dr∫ de-/ Ik ∫* xle, IIdXI.A 7； &7 ()试畀东R If分咨乌第3页(儿3 it >。